电磁学与电动力学(下)

第五章 电磁波的辐射

5.1 对时谐场(~e

it

),证明电场的计算公式EiA和Eic2(B0j)/等

效.

【证】 由BA得

Eic2[(A)0j]/ic2[(A)2A0j]/

112A

[(2)22]iA, 利用delta = ik，a/at = -iw ctct

证毕.

5.2 从三维波动方程

ic2

12

224f(r,t)

ct

2

的推迟势解

f(r,t)|rr|

dV, tt |rr|c

出发,计算脉冲式点激发源f(r,t)(x)(y)(z)(t)、无穷长直线脉冲式激发源f(r,t)(x)(y)(t)和无限大平面脉冲式激发源f(r,t)(x)(t)的推迟势解.你会发现,三维推迟势解的扰动仅限于半径为ct的球面,而二维和一维解则在波前下游长期

(r,t)

维持扰动状态.试对此作出物理解释. 【解】 对脉冲式点激发源有

(r,t)

(x)(y)(z)(t)

|rr|1r

xdydz(t),

rc

迟势解的扰动仅限于半径为ct的球面.

对长直线脉冲式激发源有

(r,t)



(x)(y)(t)

|rr|

2

V



利用函数的如下性质





{t[x2y2(zz)2]/c}

[(xy(zz)2]1/2

1

2

dz.

(f(x))(df/dx)xx

i

i

(xxi),

可将上述积分化为

df(z)

(x,y,t)

idz

式中

1

2

(zzi)dz

2

21/2

zzi[(xy(zzi)]

,

f(z)t[x2y2(zz)2]1/2/c, f(zi)t[x2y2(zzi)2]1/2/c0,

|zzi|df[c2t2x2y2]1/2

. 

dzzzic[x2y2(zzi)2]1/2c2t

注意,f(z)存在两个零点,对积分的贡献相同,总贡献为

2c(ctx2y2)2c(ct)

, (x,y,t)22222

21/221/2

[ctxy][ct]221/2

式中为单位阶跃函数,(xy).

无限面源可由上述线源结果叠加求得:

2c(ctx2y2)

(x,t)(x,y,t)dy22dy 221/2

[ctxy]

c2t2x2



2c(ct|x|)



dy

2c(ct|x|). 22221/2[ctxy]c2t2x2

由线源和面源的结果可见,线源的波前为以源为轴、半径为ct的圆柱面,面源的波前为与源

面平行、距离为ct的平面.对于这两种情况,波前下游长期维持扰动状态.理由在于,源的尺寸无限,在任意时刻t,总会有扰动信号抵达波前下游的任意位置.

5.3 半径为R的理想导电球壳,为过球心的平面切成两半,分别加上交变电势Vcost.在长波近似(Rc)下,求辐射功率角分布和总辐射功率. 【解】 在长波近似下,只需给出系统最低阶矩对辐射场的贡献.由2.9题之结果,系统的最低阶非零矩为偶极矩,且

p60a2Vcost ez,

式中ez为垂直于切割面的单位矢量.经写成复数形式有

p60a2Veit ez.

将上述偶极矩代入偶极子辐射功率角分布和总辐射功率公式得

|2p904a4V2dP0|2

sinsin2, 23d32c8c

|2304a4V2|p

. P33

120cc

5.4 对纯偶极矩电荷系统,其电偶极矩为p(t),电四极矩和更高阶矩,以及各阶磁矩均为零,

其矢势为

(tr/c)0pp(tr/c)

(tr/c), p.

4rt

2

(1由洛伦斯规范条件cA/t0,求对应的标势;

A(r,t)

(2)计算对应的磁场和电场（不作任何近似）;

(3)求时谐偶极子p(t)p0eit的矢势、磁场和电场表达式. 【解】 (1) 由洛伦斯规范条件求标势

0c22

cAt4

1r1r

()ptpt rcrc

1r1r1

tt. er2pp

40rccrc1r1r

t. er2ptp

40rccrc1

将上式对时间积分得



(2)由电磁势求电场和磁场

1rrrr

 ()p(p)()p(p)332240rrcrcr

3(erp)er1p3(erp)erp1

(ep)err, 32240rcrcr

A01

, pp

t4r40c2r

A t

1r3(erp)erp1

, 1e(ep)r32r

40ctrcr

11pp

p02er. BA0p

4rrcr4r

上述诸式中,p(tr/c)被略写为p.

E

(3) 求时谐偶极子p(t)p0eit的矢势、磁场和电场表达式

对时谐偶极子,前面求得的电磁势和电磁场表达式中的p应代之以

p0exp[i(tr/c)]p0exp[i(krt)],或p(t)eikr,对时间的导数替换成乘子i从

而写出相关表达式如下:

i0eikr

A(r,t)p,

4r

0ck2eikr1B(erp)1,

4rikr

eikr3(erp)erpk2

E(1ikr)e(ep)rr. 3

40rr

5.5 利用5.4题结果,证明时谐偶极子电磁角动量L的平均辐射率为

dLk3

Im(p*p), dt120

式中k/c,Im表示虚部,*号表示共轭.(提示:利用恒等式

2

4

dnnsindI, 300



式中nerr/r,I为单位张量.)

【证】 电磁角动量平均辐射率由下式表示



式中Tr为平均电磁角动量流密度,



T2Re(wI0EEBB/0),

w为电磁能量密度.被积式可化为

1nTrrnTn1r0(nE)nE0r(nB)nB.

对时谐电偶极子场来说(见5.4题),成立nB0,上式右边第二项为零.由时谐偶极子的

电场表达式



dL

dσ(Tr)dσ[n(Tr)], dt

3(np)npk2(1ikr)n(np), 3

rr

(1ikr)eikr2(np)2ikeikrnp*

得 nE, 

40r340r2k2eikrnpk2

npnp. (1ikr)3

rr40r

代入平均辐射率公式,过半径r的大球面积分,得

eikr

nE

40

eikr

E

40

dLik3

Re(np)pnsindd 2dt160

ik32

Repdnnsind2p 16000k3

Im(pp), 2120

证毕.

5.6 绕z轴作匀速圆周运动电荷的电偶极矩可表为如下复数形式:

pqa0(exi ey)eit

式中q为粒子电量,a0为轨道半径,为转动角频率.由5.5题的结果,计算电磁角动量的平均辐射率,证明它的数值与平均辐射功率之比为1/. 【解】 对由5.5题结果得

222

k3q2a0k3q2a003q2a0dLk3*

Im(pp)Im(exi ey)(exi ey)ezez, dt120120606c

其数值与与平均辐射功率(见5.4节例2)

2

04q2a0

P

6c

之比为1/.

5.7 载有恒定电流的圆线圈绕其直径匀速旋转,半径为a,电流强度为I,角速度为,满足ac,求辐射场和辐射功率.

【解】 设t0时圆线圈的磁矩指向ex方向,则圆线圈的磁矩为

mIa2(cost exsint ey)Re[Ia2( exi ey)eit].

代入磁偶极子辐射场和辐射功率公式求得如下结果:

0eikr0Ia2i(krt)

er)erB(me[(exiey)er]er, 2

4cr4c2r

0Ia2eikri(krt)

EcBer

4cr

e

(exiey)er,

04I2a422

S|me|e|(eie)e|er. rrxyr23252

32cr320cr

iii

由 exi eyesin erecos eie e

得 (exi ey) ere(cos ei e),

i

[(exi ey) er]erei(cos ei e),

代回上述公式,最终求得

B

02Ia2

4c2r

2Ia2i(krt)

Ee(i ecos e),

40c3r

ei(krt)(cos eie),

4I2a42

S(1cos) er. 52

320cr

4I2a4

. PSdσ5

60c

5.8 给定半波天线电流强度分布II0sin[k(0.25z)]eit,计算它的电偶极矩及电偶极

2

辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率P2.440cI0/(8)比较并做出解释.

【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为

p

/4

i

/4

2

|20cI022.670cI02|p

. P

38120c3

I0sin[k(0.25z)]eitdz ez

2icI0

eit ez,

电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽

略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.

第六章 运动电荷的辐射

6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)EcBn,式中nR/R;

(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为





B

0e

an, EcBn. 

4cR

【证】 (1)运动电荷的辐射场为

R1e

ERRRva, BE.

cR40S3c2c

注意,nE0,于是有

cBn(nE)nE(nE)nE,

(2)在非相对论近似下有

0ee

R(Ra)n(na), 32

40Rc4R

0e1e

BnEn[n(na)]an,

c40Rc34Rc

EcBn.

E

证毕.

6.2 电荷q、质量m的非相对论粒子,在有心排斥势场V(r)中做径向运动,自无穷远出发,运动至rmin(该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为

q2

W

30m2c3

mdV

2rmindr

2

dr

.

(rmin)V(r)

(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)

(2)设有心排斥势场为库仑场,即V(r)qQ/(40r),证明总辐射能为

5

W8qmvQc3),式中v0为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: 0/(45



x2dx2

(84x3x2)x

15x

计算定积分.)

【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于rmin处的势能,即

4I2a4

. PSdσ5

60c

5.8 给定半波天线电流强度分布II0sin[k(0.25z)]eit,计算它的电偶极矩及电偶极

2

辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率P2.440cI0/(8)比较并做出解释.

【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为

p

/4

i

/4

2

|20cI022.670cI02|p

. P

38120c3

I0sin[k(0.25z)]eitdz ez

2icI0

eit ez,

电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽

略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.

第六章 运动电荷的辐射

6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)EcBn,式中nR/R;

(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为





B

0e

an, EcBn. 

4cR

【证】 (1)运动电荷的辐射场为

R1e

ERRRva, BE.

cR40S3c2c

注意,nE0,于是有

cBn(nE)nE(nE)nE,

(2)在非相对论近似下有

0ee

R(Ra)n(na), 32

40Rc4R

0e1e

BnEn[n(na)]an,

c40Rc34Rc

EcBn.

E

证毕.

6.2 电荷q、质量m的非相对论粒子,在有心排斥势场V(r)中做径向运动,自无穷远出发,运动至rmin(该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为

q2

W

30m2c3

mdV

2rmindr

2

dr

.

(rmin)V(r)

(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)

(2)设有心排斥势场为库仑场,即V(r)qQ/(40r),证明总辐射能为

5

W8qmvQc3),式中v0为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: 0/(45



x2dx2

(84x3x2)x

15x

计算定积分.)

【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于rmin处的势能,即

12

mv0V(rmin). 2

设粒子抵达r处的速度为v,同样由能量守恒得

12

mvV(rmin), 或 v2/m(rmin)V(r). 21

粒子的加速度为amdV/dr,据此求得粒子的总辐射能量为

V(r)



W2

(2)对库仑场,有

rmin

q2a2drq2

3

60cv30m2c3

mdVdr2rmin

2

dr

.

(rmin)V(r)

V(r)

代入上述辐射能量公式得

dVqQ

, ,2

40rdr40r

2

qQ

q2

W

30m2c3qmv6Qc

5031



mqQ

22rmin40r

40rmin

qQ

2

drrmin/r

503

503

R

dR

4

R1



qmv6Qc

51030



xdxqmv168qmv

,x6Qc1545Qc

证毕.

6.3 两带电粒子电荷同号,电量和质量分别为e1、e2和m1、m2,从较远的距离相互靠近,至某个最近距离相对速度为零,然后在斥力的作用下远离.设初始相对速度为v0(c),沿粒子的连线方向.证明在上述过程中,两粒子发出的总辐射能为

5

e1e28v0m1m2W, 式中. 345ce1e2m1m2m1m2

2

(提示:解题思路与6.2题类似,需利用经典力学有心力场中两体问题的分析结果,在质心参

考系中进行计算比较方便.)

【证】 在质心参考系中,两粒子的位置矢量分别设为r1和r2,成立

r

式中

dVree

123r, drr40r

rr1r2, r1

系统的电偶极矩为

m2rm1rmm

, r2,12.

m1m2m1m2m1m2

pe1r1e2r2

e1e2e1m2re2m1r

mm. m1m221

2

按电偶极子辐射功率公式,求得系统的辐射功率为

|2|p2e1e2P|r|2, 3360c60cm1m2

e1e2dV, 360cm1m2dr

1

式中Ve1e2/(40r).总辐射能量为

2

2

e1e2WPdt30c3mm21

1

2

dV

dr2rmin

2

dr

.

(rmin)V(r)

2

5

e1e28v0

遵循与6.2题几乎完全类似的步骤,可获得最终结果W,证毕. 345ce1e2m1m2

2

6.4 质量为m、电量为q的粒子,受到简谐力m0r和均匀外磁场的磁力qvB.取z轴与B平行,在低速(vc)和粒子回旋频率远小于粒子固有频率0的近似下,给出粒子的运

动规律,确定沿磁场方向和垂直磁场方向上的辐射场的频率和偏振特性.(提示:求粒子运动方程的形如(x,y,z)=(a,b,c)e

it2

的解,由非零解条件确定和振幅比.)

0xx【解】 粒子的运动方程为

求~e

it

qBqB22

, 0, 0yyyxzz. mm

时谐运动解,上述方程化为

2

(20)x

iqBiqB2

y0, (20)yx0, mm

2

(20)z0.

上述代数方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零,即 2

20iqB/m022detiqB/m000, 22000

222

据此求得关于满足的代数方程(20)[(20)2c2]0,

式中cqB/m为粒子在磁场中作圆周运动的回旋频率.由上式可解得(限于取正根)

22

0, 2(40cc).

当c0时,有0, 02c.将这些值分别代回粒子运动方程,可求得三组特解(求解过程中同样采用c0近似):

0: xy0, zC1eit;

0c: xiyC2e

12

i(1)tc

, z0; , z0.

i(

01: xiyCe3c

)t

c

将上述三个特解叠加,求得粒子运动方程的通解:

rC1ei0tC2(exiey)e0cC2(exiey)e0c.

沿平行于磁场即z轴方向观测,仅x和y方向的粒子运动对辐射场有贡献,频率分别为

02c和02c,前者为右旋圆偏振波,后者为左旋圆偏振波.沿垂直于磁场方向观测,

三个方向的粒子运动均会产生贡献,但粒子的视运动均为直线运动,对应线偏振波,频率为

1

0、01c和0c. 6.5 对于运动电荷的加速度与速度平行的情况,证明最强辐射方向与粒子运动方向的夹角为

i(1)ti(1)t

maxcos1[(1521)/(3)],

式中v/c,v为粒子速度.进一步,对相对论粒子(1),证明max1/(2),式中

(12)1/2.

【证】 当粒子加速度与速度平行时,辐射功率的角分布为

dPe2a2sin2. 235d160c(1cos)

最强辐射方向满足d

d

sin2

0, 5

(1cos)max

据此求得3cos2max2cosmax50, 从中解得cosmax1(1521),

3

上式即题目给出的答案.对相对论粒子,将上式改写为

cosmax

11, 15113(11/)

1115151

1242112212, 328288

2

对比cosmax11,得max1/(2),证毕. max2

6.6 静止质量质量为m、电荷为q、速度为v的粒子在垂直于均匀磁场B的平面中运动. (1)计算辐射功率,将其表为m、q、((1v2/c2)1/2)和B的函数.

(2)对相对论性粒子,如果粒子的初始能量为E00mc2,证明能量通过辐射损失衰减至

Emc2E0所需要的时间为t60mc

qB

4

2

33

11.



0

(3)对非相对论性粒子（vc）,零时刻粒子动能为T0,计算粒子动量降至T所花费的时间. (4)如果粒子被捕获在地磁场中,沿着某条磁力线旋转,并在南北两个磁镜点之间来回振荡,

试比较在磁镜点处（粒子在该处反射）和赤道处粒子的辐射功率的相对大小.(提示:利用在

2

随空间缓慢变化的磁场中粒子磁矩mv/(2B)守恒的条件.)

【解】 (1)粒子绕磁场作圆周运动,其回旋频率为qm/(m),加速度为

avqmv/(m),与速度垂直,从而辐射功率为

4q4a22q4B2v22q4B21.

P1260c360m2c360m2c

(2)对相对论粒子,其能量为mc,因辐射损失而衰减,满足

d(mc2)2q4B21, P12dt60m2c

242

12q4B2. 即 dqB126m3c3

dt60m3c30

2

由上式积分,求得粒子能量衰减至Emc2所需要的时间为

60m3c3d60m3c311. t24242qBqB00



(3)对非相对论粒子,不作1近似,同样设的始、末值为0和,经历的时间为

60m3c3d60m3c3(1)(01).

t422ln

2q4B2(1)(01)0qB(1)



题目给的是始、末态粒子动能,成立

T(1)mc2, T0(01)mc2,

以至粒子动能由T0经辐射损失衰减至T所需要的时间为

60m3c3(1)T060m3c3T0. tlnln

2q4B22q4B2T(01)T

(4)捕获粒子在沿地磁场磁力线振荡过程中,粒子的磁矩近似守恒,即mv/(2B)常数.通常捕获粒子为非相对论粒子,故辐射功率近似和Bv成正比,即和B成正比.因此,在磁镜

点处和赤道处粒子的辐射功率之比近似等于两处磁场比的三次方.

22

3

2

第五章 电磁波的辐射

5.1 对时谐场(~e

it

),证明电场的计算公式EiA和Eic2(B0j)/等

效.

【证】 由BA得

Eic2[(A)0j]/ic2[(A)2A0j]/

112A

[(2)22]iA, 利用delta = ik，a/at = -iw ctct

证毕.

5.2 从三维波动方程

ic2

12

224f(r,t)

ct

2

的推迟势解

f(r,t)|rr|

dV, tt |rr|c

出发,计算脉冲式点激发源f(r,t)(x)(y)(z)(t)、无穷长直线脉冲式激发源f(r,t)(x)(y)(t)和无限大平面脉冲式激发源f(r,t)(x)(t)的推迟势解.你会发现,三维推迟势解的扰动仅限于半径为ct的球面,而二维和一维解则在波前下游长期

(r,t)

维持扰动状态.试对此作出物理解释. 【解】 对脉冲式点激发源有

(r,t)

(x)(y)(z)(t)

|rr|1r

xdydz(t),

rc

迟势解的扰动仅限于半径为ct的球面.

对长直线脉冲式激发源有

(r,t)



(x)(y)(t)

|rr|

2

V



利用函数的如下性质





{t[x2y2(zz)2]/c}

[(xy(zz)2]1/2

1

2

dz.

(f(x))(df/dx)xx

i

i

(xxi),

可将上述积分化为

df(z)

(x,y,t)

idz

式中

1

2

(zzi)dz

2

21/2

zzi[(xy(zzi)]

,

f(z)t[x2y2(zz)2]1/2/c, f(zi)t[x2y2(zzi)2]1/2/c0,

|zzi|df[c2t2x2y2]1/2

. 

dzzzic[x2y2(zzi)2]1/2c2t

注意,f(z)存在两个零点,对积分的贡献相同,总贡献为

2c(ctx2y2)2c(ct)

, (x,y,t)22222

21/221/2

[ctxy][ct]221/2

式中为单位阶跃函数,(xy).

无限面源可由上述线源结果叠加求得:

2c(ctx2y2)

(x,t)(x,y,t)dy22dy 221/2

[ctxy]

c2t2x2



2c(ct|x|)



dy

2c(ct|x|). 22221/2[ctxy]c2t2x2

由线源和面源的结果可见,线源的波前为以源为轴、半径为ct的圆柱面,面源的波前为与源

面平行、距离为ct的平面.对于这两种情况,波前下游长期维持扰动状态.理由在于,源的尺寸无限,在任意时刻t,总会有扰动信号抵达波前下游的任意位置.

5.3 半径为R的理想导电球壳,为过球心的平面切成两半,分别加上交变电势Vcost.在长波近似(Rc)下,求辐射功率角分布和总辐射功率. 【解】 在长波近似下,只需给出系统最低阶矩对辐射场的贡献.由2.9题之结果,系统的最低阶非零矩为偶极矩,且

p60a2Vcost ez,

式中ez为垂直于切割面的单位矢量.经写成复数形式有

p60a2Veit ez.

将上述偶极矩代入偶极子辐射功率角分布和总辐射功率公式得

|2p904a4V2dP0|2

sinsin2, 23d32c8c

|2304a4V2|p

. P33

120cc

5.4 对纯偶极矩电荷系统,其电偶极矩为p(t),电四极矩和更高阶矩,以及各阶磁矩均为零,

其矢势为

(tr/c)0pp(tr/c)

(tr/c), p.

4rt

2

(1由洛伦斯规范条件cA/t0,求对应的标势;

A(r,t)

(2)计算对应的磁场和电场（不作任何近似）;

(3)求时谐偶极子p(t)p0eit的矢势、磁场和电场表达式. 【解】 (1) 由洛伦斯规范条件求标势

0c22

cAt4

1r1r

()ptpt rcrc

1r1r1

tt. er2pp

40rccrc1r1r

t. er2ptp

40rccrc1

将上式对时间积分得



(2)由电磁势求电场和磁场

1rrrr

 ()p(p)()p(p)332240rrcrcr

3(erp)er1p3(erp)erp1

(ep)err, 32240rcrcr

A01

, pp

t4r40c2r

A t

1r3(erp)erp1

, 1e(ep)r32r

40ctrcr

11pp

p02er. BA0p

4rrcr4r

上述诸式中,p(tr/c)被略写为p.

E

(3) 求时谐偶极子p(t)p0eit的矢势、磁场和电场表达式

对时谐偶极子,前面求得的电磁势和电磁场表达式中的p应代之以

p0exp[i(tr/c)]p0exp[i(krt)],或p(t)eikr,对时间的导数替换成乘子i从

而写出相关表达式如下:

i0eikr

A(r,t)p,

4r

0ck2eikr1B(erp)1,

4rikr

eikr3(erp)erpk2

E(1ikr)e(ep)rr. 3

40rr

5.5 利用5.4题结果,证明时谐偶极子电磁角动量L的平均辐射率为

dLk3

Im(p*p), dt120

式中k/c,Im表示虚部,*号表示共轭.(提示:利用恒等式

2

4

dnnsindI, 300



式中nerr/r,I为单位张量.)

【证】 电磁角动量平均辐射率由下式表示



式中Tr为平均电磁角动量流密度,



T2Re(wI0EEBB/0),

w为电磁能量密度.被积式可化为

1nTrrnTn1r0(nE)nE0r(nB)nB.

对时谐电偶极子场来说(见5.4题),成立nB0,上式右边第二项为零.由时谐偶极子的

电场表达式



dL

dσ(Tr)dσ[n(Tr)], dt

3(np)npk2(1ikr)n(np), 3

rr

(1ikr)eikr2(np)2ikeikrnp*

得 nE, 

40r340r2k2eikrnpk2

npnp. (1ikr)3

rr40r

代入平均辐射率公式,过半径r的大球面积分,得

eikr

nE

40

eikr

E

40

dLik3

Re(np)pnsindd 2dt160

ik32

Repdnnsind2p 16000k3

Im(pp), 2120

证毕.

5.6 绕z轴作匀速圆周运动电荷的电偶极矩可表为如下复数形式:

pqa0(exi ey)eit

式中q为粒子电量,a0为轨道半径,为转动角频率.由5.5题的结果,计算电磁角动量的平均辐射率,证明它的数值与平均辐射功率之比为1/. 【解】 对由5.5题结果得

222

k3q2a0k3q2a003q2a0dLk3*

Im(pp)Im(exi ey)(exi ey)ezez, dt120120606c

其数值与与平均辐射功率(见5.4节例2)

2

04q2a0

P

6c

之比为1/.

5.7 载有恒定电流的圆线圈绕其直径匀速旋转,半径为a,电流强度为I,角速度为,满足ac,求辐射场和辐射功率.

【解】 设t0时圆线圈的磁矩指向ex方向,则圆线圈的磁矩为

mIa2(cost exsint ey)Re[Ia2( exi ey)eit].

代入磁偶极子辐射场和辐射功率公式求得如下结果:

0eikr0Ia2i(krt)

er)erB(me[(exiey)er]er, 2

4cr4c2r

0Ia2eikri(krt)

EcBer

4cr

e

(exiey)er,

04I2a422

S|me|e|(eie)e|er. rrxyr23252

32cr320cr

iii

由 exi eyesin erecos eie e

得 (exi ey) ere(cos ei e),

i

[(exi ey) er]erei(cos ei e),

代回上述公式,最终求得

B

02Ia2

4c2r

2Ia2i(krt)

Ee(i ecos e),

40c3r

ei(krt)(cos eie),

4I2a42

S(1cos) er. 52

320cr

4I2a4

. PSdσ5

60c

5.8 给定半波天线电流强度分布II0sin[k(0.25z)]eit,计算它的电偶极矩及电偶极

2

辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率P2.440cI0/(8)比较并做出解释.

【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为

p

/4

i

/4

2

|20cI022.670cI02|p

. P

38120c3

I0sin[k(0.25z)]eitdz ez

2icI0

eit ez,

电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽

略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.

第六章 运动电荷的辐射

6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)EcBn,式中nR/R;

(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为





B

0e

an, EcBn. 

4cR

【证】 (1)运动电荷的辐射场为

R1e

ERRRva, BE.

cR40S3c2c

注意,nE0,于是有

cBn(nE)nE(nE)nE,

(2)在非相对论近似下有

0ee

R(Ra)n(na), 32

40Rc4R

0e1e

BnEn[n(na)]an,

c40Rc34Rc

EcBn.

E

证毕.

6.2 电荷q、质量m的非相对论粒子,在有心排斥势场V(r)中做径向运动,自无穷远出发,运动至rmin(该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为

q2

W

30m2c3

mdV

2rmindr

2

dr

.

(rmin)V(r)

(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)

(2)设有心排斥势场为库仑场,即V(r)qQ/(40r),证明总辐射能为

5

W8qmvQc3),式中v0为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: 0/(45



x2dx2

(84x3x2)x

15x

计算定积分.)

【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于rmin处的势能,即

4I2a4

. PSdσ5

60c

5.8 给定半波天线电流强度分布II0sin[k(0.25z)]eit,计算它的电偶极矩及电偶极

2

辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率P2.440cI0/(8)比较并做出解释.

【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为

p

/4

i

/4

2

|20cI022.670cI02|p

. P

38120c3

I0sin[k(0.25z)]eitdz ez

2icI0

eit ez,

电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽

略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.

第六章 运动电荷的辐射

6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)EcBn,式中nR/R;

(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为





B

0e

an, EcBn. 

4cR

【证】 (1)运动电荷的辐射场为

R1e

ERRRva, BE.

cR40S3c2c

注意,nE0,于是有

cBn(nE)nE(nE)nE,

(2)在非相对论近似下有

0ee

R(Ra)n(na), 32

40Rc4R

0e1e

BnEn[n(na)]an,

c40Rc34Rc

EcBn.

E

证毕.

6.2 电荷q、质量m的非相对论粒子,在有心排斥势场V(r)中做径向运动,自无穷远出发,运动至rmin(该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为

q2

W

30m2c3

mdV

2rmindr

2

dr

.

(rmin)V(r)

(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)

(2)设有心排斥势场为库仑场,即V(r)qQ/(40r),证明总辐射能为

5

W8qmvQc3),式中v0为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: 0/(45



x2dx2

(84x3x2)x

15x

计算定积分.)

【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于rmin处的势能,即

12

mv0V(rmin). 2

设粒子抵达r处的速度为v,同样由能量守恒得

12

mvV(rmin), 或 v2/m(rmin)V(r). 21

粒子的加速度为amdV/dr,据此求得粒子的总辐射能量为

V(r)



W2

(2)对库仑场,有

rmin

q2a2drq2

3

60cv30m2c3

mdVdr2rmin

2

dr

.

(rmin)V(r)

V(r)

代入上述辐射能量公式得

dVqQ

, ,2

40rdr40r

2

qQ

q2

W

30m2c3qmv6Qc

5031



mqQ

22rmin40r

40rmin

qQ

2

drrmin/r

503

503

R

dR

4

R1



qmv6Qc

51030



xdxqmv168qmv

,x6Qc1545Qc

证毕.

6.3 两带电粒子电荷同号,电量和质量分别为e1、e2和m1、m2,从较远的距离相互靠近,至某个最近距离相对速度为零,然后在斥力的作用下远离.设初始相对速度为v0(c),沿粒子的连线方向.证明在上述过程中,两粒子发出的总辐射能为

5

e1e28v0m1m2W, 式中. 345ce1e2m1m2m1m2

2

(提示:解题思路与6.2题类似,需利用经典力学有心力场中两体问题的分析结果,在质心参

考系中进行计算比较方便.)

【证】 在质心参考系中,两粒子的位置矢量分别设为r1和r2,成立

r

式中

dVree

123r, drr40r

rr1r2, r1

系统的电偶极矩为

m2rm1rmm

, r2,12.

m1m2m1m2m1m2

pe1r1e2r2

e1e2e1m2re2m1r

mm. m1m221

2

按电偶极子辐射功率公式,求得系统的辐射功率为

|2|p2e1e2P|r|2, 3360c60cm1m2

e1e2dV, 360cm1m2dr

1

式中Ve1e2/(40r).总辐射能量为

2

2

e1e2WPdt30c3mm21

1

2

dV

dr2rmin

2

dr

.

(rmin)V(r)

2

5

e1e28v0

遵循与6.2题几乎完全类似的步骤,可获得最终结果W,证毕. 345ce1e2m1m2

2

6.4 质量为m、电量为q的粒子,受到简谐力m0r和均匀外磁场的磁力qvB.取z轴与B平行,在低速(vc)和粒子回旋频率远小于粒子固有频率0的近似下,给出粒子的运

动规律,确定沿磁场方向和垂直磁场方向上的辐射场的频率和偏振特性.(提示:求粒子运动方程的形如(x,y,z)=(a,b,c)e

it2

的解,由非零解条件确定和振幅比.)

0xx【解】 粒子的运动方程为

求~e

it

qBqB22

, 0, 0yyyxzz. mm

时谐运动解,上述方程化为

2

(20)x

iqBiqB2

y0, (20)yx0, mm

2

(20)z0.

上述代数方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零,即 2

20iqB/m022detiqB/m000, 22000

222

据此求得关于满足的代数方程(20)[(20)2c2]0,

式中cqB/m为粒子在磁场中作圆周运动的回旋频率.由上式可解得(限于取正根)

22

0, 2(40cc).

当c0时,有0, 02c.将这些值分别代回粒子运动方程,可求得三组特解(求解过程中同样采用c0近似):

0: xy0, zC1eit;

0c: xiyC2e

12

i(1)tc

, z0; , z0.

i(

01: xiyCe3c

)t

c

将上述三个特解叠加,求得粒子运动方程的通解:

rC1ei0tC2(exiey)e0cC2(exiey)e0c.

沿平行于磁场即z轴方向观测,仅x和y方向的粒子运动对辐射场有贡献,频率分别为

02c和02c,前者为右旋圆偏振波,后者为左旋圆偏振波.沿垂直于磁场方向观测,

三个方向的粒子运动均会产生贡献,但粒子的视运动均为直线运动,对应线偏振波,频率为

1

0、01c和0c. 6.5 对于运动电荷的加速度与速度平行的情况,证明最强辐射方向与粒子运动方向的夹角为

i(1)ti(1)t

maxcos1[(1521)/(3)],

式中v/c,v为粒子速度.进一步,对相对论粒子(1),证明max1/(2),式中

(12)1/2.

【证】 当粒子加速度与速度平行时,辐射功率的角分布为

dPe2a2sin2. 235d160c(1cos)

最强辐射方向满足d

d

sin2

0, 5

(1cos)max

据此求得3cos2max2cosmax50, 从中解得cosmax1(1521),

3

上式即题目给出的答案.对相对论粒子,将上式改写为

cosmax

11, 15113(11/)

1115151

1242112212, 328288

2

对比cosmax11,得max1/(2),证毕. max2

6.6 静止质量质量为m、电荷为q、速度为v的粒子在垂直于均匀磁场B的平面中运动. (1)计算辐射功率,将其表为m、q、((1v2/c2)1/2)和B的函数.

(2)对相对论性粒子,如果粒子的初始能量为E00mc2,证明能量通过辐射损失衰减至

Emc2E0所需要的时间为t60mc

qB

4

2

33

11.



0

(3)对非相对论性粒子（vc）,零时刻粒子动能为T0,计算粒子动量降至T所花费的时间. (4)如果粒子被捕获在地磁场中,沿着某条磁力线旋转,并在南北两个磁镜点之间来回振荡,

试比较在磁镜点处（粒子在该处反射）和赤道处粒子的辐射功率的相对大小.(提示:利用在

2

随空间缓慢变化的磁场中粒子磁矩mv/(2B)守恒的条件.)

【解】 (1)粒子绕磁场作圆周运动,其回旋频率为qm/(m),加速度为

avqmv/(m),与速度垂直,从而辐射功率为

4q4a22q4B2v22q4B21.

P1260c360m2c360m2c

(2)对相对论粒子,其能量为mc,因辐射损失而衰减,满足

d(mc2)2q4B21, P12dt60m2c

242

12q4B2. 即 dqB126m3c3

dt60m3c30

2

由上式积分,求得粒子能量衰减至Emc2所需要的时间为

60m3c3d60m3c311. t24242qBqB00



(3)对非相对论粒子,不作1近似,同样设的始、末值为0和,经历的时间为

60m3c3d60m3c3(1)(01).

t422ln

2q4B2(1)(01)0qB(1)



题目给的是始、末态粒子动能,成立

T(1)mc2, T0(01)mc2,

以至粒子动能由T0经辐射损失衰减至T所需要的时间为

60m3c3(1)T060m3c3T0. tlnln

2q4B22q4B2T(01)T

(4)捕获粒子在沿地磁场磁力线振荡过程中,粒子的磁矩近似守恒,即mv/(2B)常数.通常捕获粒子为非相对论粒子,故辐射功率近似和Bv成正比,即和B成正比.因此,在磁镜

点处和赤道处粒子的辐射功率之比近似等于两处磁场比的三次方.

22

3

2