近世代数期末试卷
一、填空题（共20分）
1. 设G ＝（a ）是6阶循环群，则G 的子群有。
2. 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
－3. 在4次对称群S 4中，（24）（231）＝ ，（4321）1＝ ，
（132）的阶为 。
4. 环Z 6的全部零因子是 。
5. 整环Z 中的单位有
6. 设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为 ，子群H=的在G 中的指数是 。
2. （ ）设G 是群，H 1是G 的不变子群，H 2是H 1的不变子群，则H 2是G 的不变子群。
1. 设H ＝｛（1），（12）｝是对称群S 3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S 3的不变子群？为什么
2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z 中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。
1. 设I 1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：
（1） I 1,I 2都是整数环Z 的理想。 （2）I 1∩I 2=(6)是Z 的一个主理想。
2. 设φ是群G 到群H 的同态满射, H 1是H 的子群。证明：G 1= {x|x∈G 且φ（x ）∈H 1}是G 的子群。
3. 设环（R ，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
近世代数期末试卷
一、填空题（共20分）
1. 设G ＝（a ）是6阶循环群，则G 的子群有。
2. 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
－3. 在4次对称群S 4中，（24）（231）＝ ，（4321）1＝ ，
（132）的阶为 。
4. 环Z 6的全部零因子是 。
5. 整环Z 中的单位有
6. 设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为 ，子群H=的在G 中的指数是 。
2. （ ）设G 是群，H 1是G 的不变子群，H 2是H 1的不变子群，则H 2是G 的不变子群。
1. 设H ＝｛（1），（12）｝是对称群S 3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S 3的不变子群？为什么
2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z 中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。
1. 设I 1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：
（1） I 1,I 2都是整数环Z 的理想。 （2）I 1∩I 2=(6)是Z 的一个主理想。
2. 设φ是群G 到群H 的同态满射, H 1是H 的子群。证明：G 1= {x|x∈G 且φ（x ）∈H 1}是G 的子群。
3. 设环（R ，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。