3.3 闭区间上连续函数的性质
3.3.1 有界性
定理3.3.1 若函数
在闭区间
连续，则
在闭区间
有界，即
使得
恒有
图3-3-1是上述定理的直观描述，一般说来，在开区间（或半开区间）的连续函数不一定有界. 例如：在半开区间
，连续函数
无界（如图3-3-2）.
3.3.2最大值和最小值定理
定理3.3.2 若
在闭区间
上连续，则在
至少存在两点
、
，使得对
上的一切
，都有
(
)
(
其中
(
和
(
分别称为
在
上的最小值和最大值
注意：
(1) 定理3.3.2中，如果把闭区间
改为开区间
，则定理的结论不一定成立. 例如：函数
=
在
连续，但在
内，既不能取得最大值，也不能取得最小值．
(2) 定理3.3.1中，若把
在
连续改为不连续，则定理的结论不一定成立的．例如：
=
3.3.3 介值定理
定理3.3.3 设
在
上连续，且
，则对于介于
与
之间的任何数
，都存在
，使得
.
推论（零点存在定理） 设
在
连续且
，则存在
，使得
.
这个推论的几何解释如图3-3-4所示，即：
若点
与
)在
轴的上下两侧，则连接
、
两点的连续曲线至少与x轴相交一次．因而可以用这个推论来证明方程
在某区间上根的存在性，即若连续曲线
在区间端点
、
的值
异号，则方程
在区间
内至少有一个根，推论中的
即为方程的根．
必须注意：若定理3.3.2及其推论中的区间不是闭的，或者函数在区间上有间断点，则定理的结论不一定成立．
典型例题：
例3.3.1 证明：
在区间
内有一个实根．
证 因为
在[0,1]上连续，且
所以由推论可知，在
内至少存在一点
，使得
.
这个
就是
的一个根．
例3.3.2 证明：方程
在区间
内至少有一个根．
证：设
=
在
上连续，且
由零点存在定理
，使得
故
是
在
内的一个根．
例3.3.3 证明：方程
必有一个不超过
的正根．
证：设
=
，
在区间
上连续，且
若
，则
，由零点存在定理，即
，使得
即
若
，则
的不超过
的正根
所以
有不超过
的正根．
3.3 闭区间上连续函数的性质
3.3.1 有界性
定理3.3.1 若函数
在闭区间
连续，则
在闭区间
有界，即
使得
恒有
图3-3-1是上述定理的直观描述，一般说来，在开区间（或半开区间）的连续函数不一定有界. 例如：在半开区间
，连续函数
无界（如图3-3-2）.
3.3.2最大值和最小值定理
定理3.3.2 若
在闭区间
上连续，则在
至少存在两点
、
，使得对
上的一切
，都有
(
)
(
其中
(
和
(
分别称为
在
上的最小值和最大值
注意：
(1) 定理3.3.2中，如果把闭区间
改为开区间
，则定理的结论不一定成立. 例如：函数
=
在
连续，但在
内，既不能取得最大值，也不能取得最小值．
(2) 定理3.3.1中，若把
在
连续改为不连续，则定理的结论不一定成立的．例如：
=
3.3.3 介值定理
定理3.3.3 设
在
上连续，且
，则对于介于
与
之间的任何数
，都存在
，使得
.
推论（零点存在定理） 设
在
连续且
，则存在
，使得
.
这个推论的几何解释如图3-3-4所示，即：
若点
与
)在
轴的上下两侧，则连接
、
两点的连续曲线至少与x轴相交一次．因而可以用这个推论来证明方程
在某区间上根的存在性，即若连续曲线
在区间端点
、
的值
异号，则方程
在区间
内至少有一个根，推论中的
即为方程的根．
必须注意：若定理3.3.2及其推论中的区间不是闭的，或者函数在区间上有间断点，则定理的结论不一定成立．
典型例题：
例3.3.1 证明：
在区间
内有一个实根．
证 因为
在[0,1]上连续，且
所以由推论可知，在
内至少存在一点
，使得
.
这个
就是
的一个根．
例3.3.2 证明：方程
在区间
内至少有一个根．
证：设
=
在
上连续，且
由零点存在定理
，使得
故
是
在
内的一个根．
例3.3.3 证明：方程
必有一个不超过
的正根．
证：设
=
，
在区间
上连续，且
若
，则
，由零点存在定理，即
，使得
即
若
，则
的不超过
的正根
所以
有不超过
的正根．