抽象函数定义域的类型及求法
函数概念及其定义域 函数的概念：设是A , B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么就称f :A →B 为集合A 到集合B 的函数，记作：y =f (x ), x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 复合函数的定义
一般地：若y =f (u ) ，又u =g (x ) ，且g (x ) 值域与f (u ) 定义域的交集不空，则函数y =f [g (x )]叫x 的复合函数，其中y =f (u ) 叫外层函数，u =g (x ) 叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: f (x ) =3x +5, g (x ) =x 2+1； 复合函数f (g (x )) 即把f (x ) 里面的x 换成g (x ) ，
f (g (x )) =3g (x ) +5=3(x 2+1) +5=3x 2+8
问：函数f (x ) 和函数f (x +5) 所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和x +5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
f [g (x ) ]f (x )
一、已知
的定义域，求
的定义域
其解法是：若f (x ) 的定义域为a ≤x ≤b ，则在f g (x ) 中，a ≤g (x ) ≤b ，从中解得x 的取值范围即为f g (x ) 的定义域．
例1 已知函数f (x ) 的定义域为-15，，求f (3x -5) 的定义域．
分析：该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数，因此这里是已知-1≤u ≤5，即-1≤3x -5≤5，求x 的取值范围． 解： f (x ) 的定义域为-15，，∴-1≤3x -5≤5∴≤x ≤
[]
[]
[]
[]
4
310
．故函数f (3x -5) 的定义域为3
⎡410⎤⎥． ⎢⎣33⎦
⎛17⎤
⎝⎦
练习2. 已知f (x ) 的定义域为(0，3]，求f (x 2+2x ) 定义域。[-3, -2) (0, 1]
练习1. 已知f (x ) 的定义域为-3,5]，求函数f (3x -2) 的定义域； -, ⎥
33
(
二、已知
f [g (x ) ]
的定义域，求f (x ) 的定义域
其解法是：若f g (x ) 的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定的g (x ) 的范围即为f (x ) 的定义域．
[]
3]，求函数f (x ) 的定义域． 例1. 已知函数f (x -2x +2) 的定义域为[0，
2
分析：令u =x 2-2x +2，则f (x -2x +2) =f (u ) ，由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数，因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义域．
2
解：由0≤x ≤3，得1≤x 2-2x +2≤5．令u =x 2-2x +2，则f (x 2-2x +2) =f (u ) ，
1≤u ≤5．
故f (x ) 的定义域为[15，]．
练习1若函数f (3-2x )的定义域为[-1, 2]，求函数f (x )的定义域[-4,11] 例2. 已知f (x +1) 的定义域为[-2，3) ，求f (x -2)的定义域。
解 由f (x +1) 的定义域为[-2，3) 得-2≤x
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
例1. 若f (x ) 的定义域为[-3，5]，求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域． 解：由f (x ) 的定义域为[-3，5]，则ϕ(x ) 必有⎨
所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4，0]
⎧-3≤-x ≤5，
解得-4≤x ≤0．
⎩-3≤2x +5≤5，
例2已知函数f (x )定义域为是[a , b ]，且a +b >0, 求函数h (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域
⎧a ≤x +m ≤b ⎧a -m ≤x ≤b -m
， m >0, ∴a -m
⎩a ≤x -m ≤b ⎩a +m ≤x ≤b +m a -m
b -a
要使函数h (x )的定义域为非空集合，必须且只需a +m ≤b -m ，即0
2
h (x )的定义域为[a +m , b -m ]
解: ⎨
总结解题模板
1. 已知f (x ) 的定义域，求复合函数f [g (x )]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b )，求出f [g (x )]中a
2. 已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x ) 的定义域
方法是：若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b )，则由a
3. 已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f [g (x )]定义域求得
f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。
4. 已知f (x ) 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则
f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2
∴⎨∴f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3 或 ∴⎨⎨
b =1b =3ab +b =3⎩⎩⎩二、
配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成
g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而
是g (x ) 的值域。
11
) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式 x x 1121
解： f (x +) =(x +) -2， x +≥2 ∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2)
x x x
例2 已知f (x +
三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =
x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,
∴f (x ) =x 2-1
∴(x ≥1)
∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y =x +x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M '(x ', y ') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点
2
⎧x '+x
⎪2=-2⎧x '=-x -42
则⎨，解得：⎨ ， 点M '(x ', y ') 在y =g (x ) 上 ∴y '=x '+x '
y '+y ⎩y '=6-y ⎪=3⎩2
⎧x '=-x -422把⎨代入得：6-y =(-x -4) +(-x -4) 整理得y =-x -7x -6 ⎩y '=6-y
∴g (x ) =-x 2-7x -6
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 解 f (x ) -2f () =x ① 显然x ≠0, 将x 换成解① ②联立的方程组，得f (x ) =-
1x
1x 111
，得f () -2f (x ) = ②
x x x
x 2
- 33x
1
, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式 x -1
1 x -1
例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =
解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) 又f (x ) +g (x ) =① ，
11 即f (x ) -g (x ) =-② x +1x +111
解① ②联立的方程组，得f (x ) =2， g (x ) =2
x -1x -x
用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =-
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量
进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f (0) =1，对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，求f (x )
解 对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，不妨令x =0，则有
f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y 2-y +1 再令 -y =x 得函数解
析式为：f (x ) =x +x +1
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭
乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设f (x ) 是定义在N +上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有
2
f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，求f (x )
解
f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，∴不妨令a =x , b =1，得：
f (x ) +f (1) =f (x +1) -x ，
又f (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =x +1 ①
f (2-) f =(1) 2
, 上述各式相加得： 1 得：f (3-) f (=2) 3将
f (n ) -f n (-=1n ) ,
分别令①式中的x =1, 2n -
∴f (n ) =1+2+3+ n =f (n ) -f (1) =2+3+ n ，
n (n +1) 121
∴f (x ) =x +x , x ∈N +2. 222
1．M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
A 、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3
2．求下列函数的定义域:
x 2+1
(1) y =
(2) y = (4) y=ax (a>0,a ≠1) (5) y=x0
x
3． 设函数f (x ) =⎨
⎧x -3,(x ≥10)
，则f (5)＝
f (x +5),(x
4. 求下列函数的解析式:
2
(1)已知f (x+1) =x-3x+2，求f (x ) . (2)已知f (x )+2f (
1
)=3x , 求f (x ) 的解析式 x
反馈型题组
5．.(08年, 全国Ⅰ高考题)
函数y A ．x |x ≥0
）
{}
B ．x |x ≥1
D ．x |0≤x ≤1
{}
C ．x |x ≥1 {0}
{}{}
6. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
7.(08年德州) 对任意整数x,y, 函数f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +xy +1, 若f (x ) =1,那么
f (-8) 等于 ( )
A. -1 B. 1 C. 19 D 43
8. 已知f （x ）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则f （x ）=__________.
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1
例1. 求函数y =
x 的值域。
解：∵x ≠0
1∴x ≠0
显然函数的值域是：(-∞, 0) (0, +∞)
例2. 求函数y =3-
x 的值域。
解：∵x ≥0
∴-x ≤0, 3-x ≤3
故函数的值域是：[-∞, 3]
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数
y =x 2
-2x +5, x ∈[-1, 2]的值域。 解：将函数配方得：y =(x -1) 2
+4 ∵x ∈[-1, 2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，y m i n =4，当x =-1时，故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
1+x +x 2 例4. 求函数
y =
1+x 2的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程 (y -1) x 2+(y -1) x =0 （1）当y ≠1时，x ∈R
y m a x =8
∆=(-1) 2-4(y -1)(y -1) ≥0
13≤y ≤
2 解得：2
⎡13⎤
1∈⎢, ⎥
（2）当y=1时，x =0，而⎣22⎦ ⎡13⎤⎢2, 2⎥
故函数的值域为⎣⎦
例5. 求函数y =x +x (2-x ) 的值域。
22
解：两边平方整理得：2x -2(y +1) x +y =0（1） ∵x ∈R
2
∴∆=4(y +1) -8y ≥0 解得：1-2≤y ≤1+2
但此时的函数的定义域由x (2-x ) ≥0，得0≤x ≤2
22
由∆≥0，仅保证关于x 的方程：2x -2(y +1) x +y =0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ∆≥0求出的
⎡13⎤⎢2, 2⎥
范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎣⎦。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0≤x ≤2
∴y =x +x (2-x ) ≥0
∴y min =0, y =1+2代入方程（1）
解得：
x 1=
2+2-242
2
∈[0, 2]
时，
原函数的值域为：[0, 1+2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x +4
例6. 求函数5x +6值域。
2+2-242x 1=
2即当
解：由原函数式可得：则其反函数为：
y =
x =
4-6y 5y -3
4-6y 3
x ≠
5x -3，其定义域为：5
3⎫⎛
-∞, ⎪
5⎭ 故所求函数的值域为：⎝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e x -1y =x
例7. 求函数e +1的值域。
解：由原函数式可得：∵e x >0
y +1
>0y -1∴
e x =
y +1
y -1
解得：-1
故所求函数的值域为(-1, 1)
c o s x
例8. 求函数s i n x -3的值域。
解：由原函数式可得：y sin x -cos x =3y ，可化为：
y =
y 2+1sin x (x +β) =3y sin x (x +β) =
3y y 2+1
即
∵x ∈R
∴sin x (x +β) ∈[-1, 1]
-1≤
3y y +1-
2
≤1
即解得：
22≤y ≤44
⎡22⎤
, ⎢-⎥44⎢⎥⎦ 故函数的值域为⎣
6. 函数单调性法
例9. 求函数y =2+log 3x -1(2≤x ≤10) 的值域。
x -5
y =2, y 2=log 3x -1 1解：令
则y 1, y 2在[2，10]上都是增函数 所以y =y 1+y 2在[2，10]上是增函数
3
当x=2时，
5
y =2+log 3max 当x=10时，
x -5
y m i n =2-3+l o g
2-1=
1
8
=33
⎡1⎤⎢8, 33⎥
故所求函数的值域为：⎣⎦
例10. 求函数y =
x +1-x -1的值域。
y =
2
x +1+x -1 解：原函数可化为：
令y 1=x +1, y 2=x -1，显然y 1, y 2在[1, +∞]上为无上界的增函数 所以y =y 1，y 2在[1, +∞]上也为无上界的增函数
2
所以当x=1时，y =y 1+y 2有最小值2，原函数有最大值显然y >0，故原函数的值域为(0, 2]
2
=2
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y =x +x -1的值域。 解：令x -1=t ，(t ≥0) 则x =t 2+1
13
y =t 2+t +1=(t +) 2+
24 ∵
又t ≥0，由二次函数的性质可知
当t =0时，y m i n =1 当t →0时，y →+∞ 故函数的值域为[1, +∞)
2
y =x +2+-(x +1) 例12. 求函数
的值域。
解：因1-(x +1) ≥0
2
(x +1) ≤1 即
故可令x +1=cos β, β∈[0, π] ∴y =cos β+1+
-cos 2β=sin β+cos β+1
π
=2sin(β+) +1
4
2
∵
0≤β≤π, 0≤β+
π5
≤π44
2π≤sin(β+) ≤124
π
∴0≤2sin(β+) +1≤1+2
4 ∴-
故所求函数的值域为[0, 1+
2]
x 3-x y =4
例13. 求函数x +2x 2+1的值域。 12x 1-x 2y =⨯⨯2
21+x 1+x 2解：原函数可变形为：
2x 1-x 22=sin 2β, =cos β22x =tg β1+x 可令，则有1+x
11
∴y =-sin 2β⨯cos 2β=-sin 4β
24
当
β=β=
k ππ1-y m a x =
4 28时，
k ππ1
+y m i n =-
4 当28时，
而此时tan β有意义。 ⎡11⎤⎢-4, 4⎥
⎦ 故所求函数的值域为⎣
⎡ππ⎤
x ∈⎢-, ⎥
例14. 求函数y =(s i n x +1) (c o s x +1) ，⎣122⎦的值域。
解：y =(s i n x +1) (c o s x +1)
=sin x cos x +sin x +cos x +1
1
s i n x c o s x =(t 2-1)
2令sin x +cos x =t ，则
11
y =(t 2-1) +t +1=(t +1) 2
22
由t =sin x +cos x =
⎡ππ⎤x ∈⎢-, ⎥且⎣122⎦ 2sin(x +π/4) 可得：
∴当t =2≤t ≤22 2时，y m a x =23t =+22，当2时，y =32+42
⎡3⎤23+, +2⎢⎥422⎢⎥⎦。 故所求函数的值域为⎣
例15. 求函数y =x +4+5-x 的值域。
解：由5-x 2≥0，可得|x |≤5
故可令x =5cos β, β∈[0, π]
πy =cos β+4+sin β=sin(β+) +44
∵0≤β≤π 2
ππ5π∴≤β+≤444
当β=π/4时，y max =4+
当β=π时，y m i n =4-5
故所求函数的值域为：[4-, 4+]
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22y =(x -2) +(x +8) 例16. 求函数的值域。
解：原函数可化简得：y =|x -2|+|x +8|
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B (-8) 间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，y =|x -2|+|x +8|=|AB |=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，y =|x -2|+|x +8|>|AB |=10 故所求函数的值域为：[10, +∞]
例17. 求函数y =x -6x +13+
解：原函数可变形为： 2x 2+4x +5的值域。
上式可看成x 轴上的点P (x , 0) 到两定点A (3, 2), B (-2, -1) 的距离之和，
22y =|AB |=(3+2) +(2+1) =43， min 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y =(x -3) 2+(0-2) 2+(x +2) 2+(0+1) 2
故所求函数的值域为[43, +∞
]
例18. 求函数y =x 2-6x +13-x 2+4x +5的值域。
2222y =(x -3) +(0-2) -(x +2) +(0-1) 解：将函数变形为：
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点B (-2, 1) 到点P (x , 0) 的距离之差。
即：y =|AP |-|BP |
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ' ，则构成∆A B ' P ，根据三角形两边之差小于第三边，有||AP ' |-|BP ' ||
即：-26
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有||AP |-|BP ||=|AB |=
综上所述，可知函数的值域为：(-
26, 26] 26
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），(-2, -1) ，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），(2, -1) ，在x 轴的同侧。
9. 不等式法
利用基本不等式a +b ≥2ab , a +b +c ≥3(a , b , c ∈R ) ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
解：原函数变形为：
y =(sin2x +cos 2x ) +
=1+ces 2x +sec 2x
=3+tan 2x +cot 2x
≥3tan 2x cot 2x +2
=5+y =(s i n x +1212) +(c o s x +) -4s i n x c o s x 的值域。 11+sin 2x cos 2x
x =k π±当且仅当tan x =cot x π
4时(k ∈z ) ，等号成立 即当
故原函数的值域为：[5, +∞)
例20. 求函数y =2s i n x s i n 2x 的值域。
解：y =4s i n x s i n x c o s x
=4sin 2x cos x
y =16sin 4x cos 2x
=8sin 2x sin 2x (2-2sin 2x )
≤8[(sin2x +sin 2x +2-2sin 2x ) /3]3
=64
27
sin 2x =2
3时，等号成立。 当且仅当sin 2x =2-2sin 2x ，即当
由y 2≤8864-≤y ≤9 27可得：9
⎡88⎤, ⎢-⎥99⎢⎥ ⎦故原函数的值域为：⎣
10. 一一映射法
原理：因为
若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数
y =ax +b (c ≠0) cx +d 在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，y =1-3x 2x +1的值域。
⎧
解：∵定义域为⎨⎩x |x
2或x >-1⎫
2⎬⎭ 1-3x 1-y
由y =x =
2x +1得2y +3 -y
故x =1
2y +3>-1
2或x =1-y
2y +3
2
33
解得y -2
⎛
故函数的值域为 ⎝-∞, -3⎫
2⎪⎭ ⎛ ⎝-3
2, +∞⎫⎪⎭
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数y =x +2
x +3的值域。
解：令t =x +2(t ≥0) ，则x +3=t 2+1
y =t
t 2+1=11
1≤
（1）当t >0时，t +2
t ，当且仅当t=1，
0
2
（2）当t=0时，y=0。
⎡
综上所述，函数的值域为：⎢⎣0, 1⎤
2⎥⎦
注：先换元，后用不等式法
1+x -
例23. 求函数y =2x 2+x 3+x 4
1+2x 2+x 4的值域。
1-2x 2+x 4x +x 3
解：y =1+2x 2+x 4+1+2x 2+x 4
2
=⎛ 1-x 2⎫
1+x 2⎪x ⎝⎪+
⎭1+x 2 ⎛
令x =tan β 1-x 2⎫2
2，则 ⎝1+x 2⎪⎪=c o s 2β
⎭
x
1+x 2=12sin β
∴y =cos 2β+11
2sin β=-sin 2β+2sin β+1
x =-1时取等号，所以即
1⎫17⎛=- sin β-⎪+4⎭16 ⎝2
∴当
当sin β=-1时，y m i n
t a n s i n β=171y max =16 4时，=-2 此时
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
17⎤⎡β-2, ⎢16⎥⎦ 2都存在，故函数的值域为⎣
抽象函数定义域的类型及求法
函数概念及其定义域 函数的概念：设是A , B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么就称f :A →B 为集合A 到集合B 的函数，记作：y =f (x ), x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 复合函数的定义
一般地：若y =f (u ) ，又u =g (x ) ，且g (x ) 值域与f (u ) 定义域的交集不空，则函数y =f [g (x )]叫x 的复合函数，其中y =f (u ) 叫外层函数，u =g (x ) 叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: f (x ) =3x +5, g (x ) =x 2+1； 复合函数f (g (x )) 即把f (x ) 里面的x 换成g (x ) ，
f (g (x )) =3g (x ) +5=3(x 2+1) +5=3x 2+8
问：函数f (x ) 和函数f (x +5) 所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和x +5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
f [g (x ) ]f (x )
一、已知
的定义域，求
的定义域
其解法是：若f (x ) 的定义域为a ≤x ≤b ，则在f g (x ) 中，a ≤g (x ) ≤b ，从中解得x 的取值范围即为f g (x ) 的定义域．
例1 已知函数f (x ) 的定义域为-15，，求f (3x -5) 的定义域．
分析：该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数，因此这里是已知-1≤u ≤5，即-1≤3x -5≤5，求x 的取值范围． 解： f (x ) 的定义域为-15，，∴-1≤3x -5≤5∴≤x ≤
[]
[]
[]
[]
4
310
．故函数f (3x -5) 的定义域为3
⎡410⎤⎥． ⎢⎣33⎦
⎛17⎤
⎝⎦
练习2. 已知f (x ) 的定义域为(0，3]，求f (x 2+2x ) 定义域。[-3, -2) (0, 1]
练习1. 已知f (x ) 的定义域为-3,5]，求函数f (3x -2) 的定义域； -, ⎥
33
(
二、已知
f [g (x ) ]
的定义域，求f (x ) 的定义域
其解法是：若f g (x ) 的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定的g (x ) 的范围即为f (x ) 的定义域．
[]
3]，求函数f (x ) 的定义域． 例1. 已知函数f (x -2x +2) 的定义域为[0，
2
分析：令u =x 2-2x +2，则f (x -2x +2) =f (u ) ，由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数，因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义域．
2
解：由0≤x ≤3，得1≤x 2-2x +2≤5．令u =x 2-2x +2，则f (x 2-2x +2) =f (u ) ，
1≤u ≤5．
故f (x ) 的定义域为[15，]．
练习1若函数f (3-2x )的定义域为[-1, 2]，求函数f (x )的定义域[-4,11] 例2. 已知f (x +1) 的定义域为[-2，3) ，求f (x -2)的定义域。
解 由f (x +1) 的定义域为[-2，3) 得-2≤x
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
例1. 若f (x ) 的定义域为[-3，5]，求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域． 解：由f (x ) 的定义域为[-3，5]，则ϕ(x ) 必有⎨
所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4，0]
⎧-3≤-x ≤5，
解得-4≤x ≤0．
⎩-3≤2x +5≤5，
例2已知函数f (x )定义域为是[a , b ]，且a +b >0, 求函数h (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域
⎧a ≤x +m ≤b ⎧a -m ≤x ≤b -m
， m >0, ∴a -m
⎩a ≤x -m ≤b ⎩a +m ≤x ≤b +m a -m
b -a
要使函数h (x )的定义域为非空集合，必须且只需a +m ≤b -m ，即0
2
h (x )的定义域为[a +m , b -m ]
解: ⎨
总结解题模板
1. 已知f (x ) 的定义域，求复合函数f [g (x )]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b )，求出f [g (x )]中a
2. 已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x ) 的定义域
方法是：若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b )，则由a
3. 已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f [g (x )]定义域求得
f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。
4. 已知f (x ) 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则
f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2
∴⎨∴f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3 或 ∴⎨⎨
b =1b =3ab +b =3⎩⎩⎩二、
配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成
g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而
是g (x ) 的值域。
11
) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式 x x 1121
解： f (x +) =(x +) -2， x +≥2 ∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2)
x x x
例2 已知f (x +
三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =
x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,
∴f (x ) =x 2-1
∴(x ≥1)
∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y =x +x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M '(x ', y ') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点
2
⎧x '+x
⎪2=-2⎧x '=-x -42
则⎨，解得：⎨ ， 点M '(x ', y ') 在y =g (x ) 上 ∴y '=x '+x '
y '+y ⎩y '=6-y ⎪=3⎩2
⎧x '=-x -422把⎨代入得：6-y =(-x -4) +(-x -4) 整理得y =-x -7x -6 ⎩y '=6-y
∴g (x ) =-x 2-7x -6
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 解 f (x ) -2f () =x ① 显然x ≠0, 将x 换成解① ②联立的方程组，得f (x ) =-
1x
1x 111
，得f () -2f (x ) = ②
x x x
x 2
- 33x
1
, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式 x -1
1 x -1
例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =
解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) 又f (x ) +g (x ) =① ，
11 即f (x ) -g (x ) =-② x +1x +111
解① ②联立的方程组，得f (x ) =2， g (x ) =2
x -1x -x
用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =-
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量
进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f (0) =1，对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，求f (x )
解 对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，不妨令x =0，则有
f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y 2-y +1 再令 -y =x 得函数解
析式为：f (x ) =x +x +1
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭
乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设f (x ) 是定义在N +上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有
2
f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，求f (x )
解
f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，∴不妨令a =x , b =1，得：
f (x ) +f (1) =f (x +1) -x ，
又f (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =x +1 ①
f (2-) f =(1) 2
, 上述各式相加得： 1 得：f (3-) f (=2) 3将
f (n ) -f n (-=1n ) ,
分别令①式中的x =1, 2n -
∴f (n ) =1+2+3+ n =f (n ) -f (1) =2+3+ n ，
n (n +1) 121
∴f (x ) =x +x , x ∈N +2. 222
1．M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
A 、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3
2．求下列函数的定义域:
x 2+1
(1) y =
(2) y = (4) y=ax (a>0,a ≠1) (5) y=x0
x
3． 设函数f (x ) =⎨
⎧x -3,(x ≥10)
，则f (5)＝
f (x +5),(x
4. 求下列函数的解析式:
2
(1)已知f (x+1) =x-3x+2，求f (x ) . (2)已知f (x )+2f (
1
)=3x , 求f (x ) 的解析式 x
反馈型题组
5．.(08年, 全国Ⅰ高考题)
函数y A ．x |x ≥0
）
{}
B ．x |x ≥1
D ．x |0≤x ≤1
{}
C ．x |x ≥1 {0}
{}{}
6. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
7.(08年德州) 对任意整数x,y, 函数f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +xy +1, 若f (x ) =1,那么
f (-8) 等于 ( )
A. -1 B. 1 C. 19 D 43
8. 已知f （x ）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则f （x ）=__________.
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1
例1. 求函数y =
x 的值域。
解：∵x ≠0
1∴x ≠0
显然函数的值域是：(-∞, 0) (0, +∞)
例2. 求函数y =3-
x 的值域。
解：∵x ≥0
∴-x ≤0, 3-x ≤3
故函数的值域是：[-∞, 3]
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数
y =x 2
-2x +5, x ∈[-1, 2]的值域。 解：将函数配方得：y =(x -1) 2
+4 ∵x ∈[-1, 2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，y m i n =4，当x =-1时，故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
1+x +x 2 例4. 求函数
y =
1+x 2的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程 (y -1) x 2+(y -1) x =0 （1）当y ≠1时，x ∈R
y m a x =8
∆=(-1) 2-4(y -1)(y -1) ≥0
13≤y ≤
2 解得：2
⎡13⎤
1∈⎢, ⎥
（2）当y=1时，x =0，而⎣22⎦ ⎡13⎤⎢2, 2⎥
故函数的值域为⎣⎦
例5. 求函数y =x +x (2-x ) 的值域。
22
解：两边平方整理得：2x -2(y +1) x +y =0（1） ∵x ∈R
2
∴∆=4(y +1) -8y ≥0 解得：1-2≤y ≤1+2
但此时的函数的定义域由x (2-x ) ≥0，得0≤x ≤2
22
由∆≥0，仅保证关于x 的方程：2x -2(y +1) x +y =0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ∆≥0求出的
⎡13⎤⎢2, 2⎥
范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎣⎦。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0≤x ≤2
∴y =x +x (2-x ) ≥0
∴y min =0, y =1+2代入方程（1）
解得：
x 1=
2+2-242
2
∈[0, 2]
时，
原函数的值域为：[0, 1+2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x +4
例6. 求函数5x +6值域。
2+2-242x 1=
2即当
解：由原函数式可得：则其反函数为：
y =
x =
4-6y 5y -3
4-6y 3
x ≠
5x -3，其定义域为：5
3⎫⎛
-∞, ⎪
5⎭ 故所求函数的值域为：⎝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e x -1y =x
例7. 求函数e +1的值域。
解：由原函数式可得：∵e x >0
y +1
>0y -1∴
e x =
y +1
y -1
解得：-1
故所求函数的值域为(-1, 1)
c o s x
例8. 求函数s i n x -3的值域。
解：由原函数式可得：y sin x -cos x =3y ，可化为：
y =
y 2+1sin x (x +β) =3y sin x (x +β) =
3y y 2+1
即
∵x ∈R
∴sin x (x +β) ∈[-1, 1]
-1≤
3y y +1-
2
≤1
即解得：
22≤y ≤44
⎡22⎤
, ⎢-⎥44⎢⎥⎦ 故函数的值域为⎣
6. 函数单调性法
例9. 求函数y =2+log 3x -1(2≤x ≤10) 的值域。
x -5
y =2, y 2=log 3x -1 1解：令
则y 1, y 2在[2，10]上都是增函数 所以y =y 1+y 2在[2，10]上是增函数
3
当x=2时，
5
y =2+log 3max 当x=10时，
x -5
y m i n =2-3+l o g
2-1=
1
8
=33
⎡1⎤⎢8, 33⎥
故所求函数的值域为：⎣⎦
例10. 求函数y =
x +1-x -1的值域。
y =
2
x +1+x -1 解：原函数可化为：
令y 1=x +1, y 2=x -1，显然y 1, y 2在[1, +∞]上为无上界的增函数 所以y =y 1，y 2在[1, +∞]上也为无上界的增函数
2
所以当x=1时，y =y 1+y 2有最小值2，原函数有最大值显然y >0，故原函数的值域为(0, 2]
2
=2
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y =x +x -1的值域。 解：令x -1=t ，(t ≥0) 则x =t 2+1
13
y =t 2+t +1=(t +) 2+
24 ∵
又t ≥0，由二次函数的性质可知
当t =0时，y m i n =1 当t →0时，y →+∞ 故函数的值域为[1, +∞)
2
y =x +2+-(x +1) 例12. 求函数
的值域。
解：因1-(x +1) ≥0
2
(x +1) ≤1 即
故可令x +1=cos β, β∈[0, π] ∴y =cos β+1+
-cos 2β=sin β+cos β+1
π
=2sin(β+) +1
4
2
∵
0≤β≤π, 0≤β+
π5
≤π44
2π≤sin(β+) ≤124
π
∴0≤2sin(β+) +1≤1+2
4 ∴-
故所求函数的值域为[0, 1+
2]
x 3-x y =4
例13. 求函数x +2x 2+1的值域。 12x 1-x 2y =⨯⨯2
21+x 1+x 2解：原函数可变形为：
2x 1-x 22=sin 2β, =cos β22x =tg β1+x 可令，则有1+x
11
∴y =-sin 2β⨯cos 2β=-sin 4β
24
当
β=β=
k ππ1-y m a x =
4 28时，
k ππ1
+y m i n =-
4 当28时，
而此时tan β有意义。 ⎡11⎤⎢-4, 4⎥
⎦ 故所求函数的值域为⎣
⎡ππ⎤
x ∈⎢-, ⎥
例14. 求函数y =(s i n x +1) (c o s x +1) ，⎣122⎦的值域。
解：y =(s i n x +1) (c o s x +1)
=sin x cos x +sin x +cos x +1
1
s i n x c o s x =(t 2-1)
2令sin x +cos x =t ，则
11
y =(t 2-1) +t +1=(t +1) 2
22
由t =sin x +cos x =
⎡ππ⎤x ∈⎢-, ⎥且⎣122⎦ 2sin(x +π/4) 可得：
∴当t =2≤t ≤22 2时，y m a x =23t =+22，当2时，y =32+42
⎡3⎤23+, +2⎢⎥422⎢⎥⎦。 故所求函数的值域为⎣
例15. 求函数y =x +4+5-x 的值域。
解：由5-x 2≥0，可得|x |≤5
故可令x =5cos β, β∈[0, π]
πy =cos β+4+sin β=sin(β+) +44
∵0≤β≤π 2
ππ5π∴≤β+≤444
当β=π/4时，y max =4+
当β=π时，y m i n =4-5
故所求函数的值域为：[4-, 4+]
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22y =(x -2) +(x +8) 例16. 求函数的值域。
解：原函数可化简得：y =|x -2|+|x +8|
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B (-8) 间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，y =|x -2|+|x +8|=|AB |=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，y =|x -2|+|x +8|>|AB |=10 故所求函数的值域为：[10, +∞]
例17. 求函数y =x -6x +13+
解：原函数可变形为： 2x 2+4x +5的值域。
上式可看成x 轴上的点P (x , 0) 到两定点A (3, 2), B (-2, -1) 的距离之和，
22y =|AB |=(3+2) +(2+1) =43， min 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y =(x -3) 2+(0-2) 2+(x +2) 2+(0+1) 2
故所求函数的值域为[43, +∞
]
例18. 求函数y =x 2-6x +13-x 2+4x +5的值域。
2222y =(x -3) +(0-2) -(x +2) +(0-1) 解：将函数变形为：
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点B (-2, 1) 到点P (x , 0) 的距离之差。
即：y =|AP |-|BP |
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ' ，则构成∆A B ' P ，根据三角形两边之差小于第三边，有||AP ' |-|BP ' ||
即：-26
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有||AP |-|BP ||=|AB |=
综上所述，可知函数的值域为：(-
26, 26] 26
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），(-2, -1) ，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），(2, -1) ，在x 轴的同侧。
9. 不等式法
利用基本不等式a +b ≥2ab , a +b +c ≥3(a , b , c ∈R ) ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
解：原函数变形为：
y =(sin2x +cos 2x ) +
=1+ces 2x +sec 2x
=3+tan 2x +cot 2x
≥3tan 2x cot 2x +2
=5+y =(s i n x +1212) +(c o s x +) -4s i n x c o s x 的值域。 11+sin 2x cos 2x
x =k π±当且仅当tan x =cot x π
4时(k ∈z ) ，等号成立 即当
故原函数的值域为：[5, +∞)
例20. 求函数y =2s i n x s i n 2x 的值域。
解：y =4s i n x s i n x c o s x
=4sin 2x cos x
y =16sin 4x cos 2x
=8sin 2x sin 2x (2-2sin 2x )
≤8[(sin2x +sin 2x +2-2sin 2x ) /3]3
=64
27
sin 2x =2
3时，等号成立。 当且仅当sin 2x =2-2sin 2x ，即当
由y 2≤8864-≤y ≤9 27可得：9
⎡88⎤, ⎢-⎥99⎢⎥ ⎦故原函数的值域为：⎣
10. 一一映射法
原理：因为
若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数
y =ax +b (c ≠0) cx +d 在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，y =1-3x 2x +1的值域。
⎧
解：∵定义域为⎨⎩x |x
2或x >-1⎫
2⎬⎭ 1-3x 1-y
由y =x =
2x +1得2y +3 -y
故x =1
2y +3>-1
2或x =1-y
2y +3
2
33
解得y -2
⎛
故函数的值域为 ⎝-∞, -3⎫
2⎪⎭ ⎛ ⎝-3
2, +∞⎫⎪⎭
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数y =x +2
x +3的值域。
解：令t =x +2(t ≥0) ，则x +3=t 2+1
y =t
t 2+1=11
1≤
（1）当t >0时，t +2
t ，当且仅当t=1，
0
2
（2）当t=0时，y=0。
⎡
综上所述，函数的值域为：⎢⎣0, 1⎤
2⎥⎦
注：先换元，后用不等式法
1+x -
例23. 求函数y =2x 2+x 3+x 4
1+2x 2+x 4的值域。
1-2x 2+x 4x +x 3
解：y =1+2x 2+x 4+1+2x 2+x 4
2
=⎛ 1-x 2⎫
1+x 2⎪x ⎝⎪+
⎭1+x 2 ⎛
令x =tan β 1-x 2⎫2
2，则 ⎝1+x 2⎪⎪=c o s 2β
⎭
x
1+x 2=12sin β
∴y =cos 2β+11
2sin β=-sin 2β+2sin β+1
x =-1时取等号，所以即
1⎫17⎛=- sin β-⎪+4⎭16 ⎝2
∴当
当sin β=-1时，y m i n
t a n s i n β=171y max =16 4时，=-2 此时
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
17⎤⎡β-2, ⎢16⎥⎦ 2都存在，故函数的值域为⎣