分式恒等变形（竞赛部分）
例题精讲
一、化分式为部分分式的和
【例1】 若
【巩固】已知正整数a , b 满足
【例2】 已知
【例3】 若关于x 的恒等式
求N .
【例4】 将
【例5】 化
2x -1为部分分式． (x -1)(x -2) 1-3a M N ，求M 、N 的值. =+2a -1a -1a +1111+=，则a +b 的最小值是． a b 4a b 4x 与的和等于2，求a ，b . x +2x -2x -4Mx +N 2c Mx +N 中，为最简分式，且有a >b ，a +b =c ， =-x 2+x -2x +a x +b x 2+x -26化为部分分式. x 2-9
【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：3x +4. x 2-x -2
2x 3-3x 2+6x +1【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：. (x 2+1)(x 2+3)
x 4+x 3+3x 2-1【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：2. (x +1) 2(x -1)
二、分式的恒等证明
⎛22a 3⎫⎛22a 3⎫222222【例8】 求证： a +ab +b -⎪a -ab +b -⎪=(a +ab +b )(a -ab +b ) a -b ⎭⎝a +b ⎭⎝
a c a 2+b 2+c 2+d 2
-2-2-2-2【例9】 已知：=，求证：a +b +c +d =. b d abcd
a -b b -c c -a 【例10】 若x =，y =，z =，求证：(1+x )(1+y )(1+z ) =(1-x )(1-y )(1-z ) a +b b +c c +a
a b c 【例11】 若abc =1，求证：++=1. 1+a +ab 1+b +bc 1+c +ca
a b c 【巩固】已知++=1，求证：abc =1. 1+a +ab 1+b +bc 1+c +ca
a b c a b c ++=0. 【例12】 已知++=0，求证：(b -c ) 2(c -a ) 2(a -b ) 2b -c c -a a -b
ab =1，c +d =4，cd =2， 【例13】 已知a +b =3，
a b c d 且+++=B 。求证： b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
a 2b 2c 2d 2
（1）+++=7B -7 b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
a 3b 3c 3d 3
（2）+++=49B -68 b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
a b c a b c 【巩固】已知，求证：++=0 ++=0222222bc -a 2ac -b 2ab -c 2(bc -a )(ac -b )(ab -c )
三、分式与数论
【例14】 将a b a b -写成两个因式的积，使它们的和为+，求这两个式子。 b a b a
【例15】 求最大的正整数n ，使得n 3+100能被n +10整除。
n 2+2【巩固】在12009这2009个正整数中，使不是既约分式的n 共有多少个？ n +1
课后作业
1. 若对于±3以外的一切数，
m n 8x 均成立，求mn . -=2x +3x -3x -9
2. 4x 3-13x 2+3x +8将下列分式写成部分分式的和的形式：. (x +1)(x -2)(x -1) 2
111已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且x +=y +=z +，求证：x 2y 2z 2=1. y z x 3.
4. 已知
a b a b a b a b a b +=32+2=73+3=164+4=42，求证：5+5=20。 x y x y x x x y x y
分式恒等变形（竞赛部分）
例题精讲
一、化分式为部分分式的和
【例1】 若
【巩固】已知正整数a , b 满足
【例2】 已知
【例3】 若关于x 的恒等式
求N .
【例4】 将
【例5】 化
2x -1为部分分式． (x -1)(x -2) 1-3a M N ，求M 、N 的值. =+2a -1a -1a +1111+=，则a +b 的最小值是． a b 4a b 4x 与的和等于2，求a ，b . x +2x -2x -4Mx +N 2c Mx +N 中，为最简分式，且有a >b ，a +b =c ， =-x 2+x -2x +a x +b x 2+x -26化为部分分式. x 2-9
【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：3x +4. x 2-x -2
2x 3-3x 2+6x +1【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：. (x 2+1)(x 2+3)
x 4+x 3+3x 2-1【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：2. (x +1) 2(x -1)
二、分式的恒等证明
⎛22a 3⎫⎛22a 3⎫222222【例8】 求证： a +ab +b -⎪a -ab +b -⎪=(a +ab +b )(a -ab +b ) a -b ⎭⎝a +b ⎭⎝
a c a 2+b 2+c 2+d 2
-2-2-2-2【例9】 已知：=，求证：a +b +c +d =. b d abcd
a -b b -c c -a 【例10】 若x =，y =，z =，求证：(1+x )(1+y )(1+z ) =(1-x )(1-y )(1-z ) a +b b +c c +a
a b c 【例11】 若abc =1，求证：++=1. 1+a +ab 1+b +bc 1+c +ca
a b c 【巩固】已知++=1，求证：abc =1. 1+a +ab 1+b +bc 1+c +ca
a b c a b c ++=0. 【例12】 已知++=0，求证：(b -c ) 2(c -a ) 2(a -b ) 2b -c c -a a -b
ab =1，c +d =4，cd =2， 【例13】 已知a +b =3，
a b c d 且+++=B 。求证： b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
a 2b 2c 2d 2
（1）+++=7B -7 b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
a 3b 3c 3d 3
（2）+++=49B -68 b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
a b c a b c 【巩固】已知，求证：++=0 ++=0222222bc -a 2ac -b 2ab -c 2(bc -a )(ac -b )(ab -c )
三、分式与数论
【例14】 将a b a b -写成两个因式的积，使它们的和为+，求这两个式子。 b a b a
【例15】 求最大的正整数n ，使得n 3+100能被n +10整除。
n 2+2【巩固】在12009这2009个正整数中，使不是既约分式的n 共有多少个？ n +1
课后作业
1. 若对于±3以外的一切数，
m n 8x 均成立，求mn . -=2x +3x -3x -9
2. 4x 3-13x 2+3x +8将下列分式写成部分分式的和的形式：. (x +1)(x -2)(x -1) 2
111已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且x +=y +=z +，求证：x 2y 2z 2=1. y z x 3.
4. 已知
a b a b a b a b a b +=32+2=73+3=164+4=42，求证：5+5=20。 x y x y x x x y x y