Liapunov 函数的构造
摘要：Liapunov 函数是一种判定微分方程零解稳定性的重要方法，所以本文首先介绍了Liapunov 函数以及判断微分方程的稳定性定理，然后着重介绍了Liapunov 函数的几种构造方法，包括常系数线性系统的巴尔巴欣公式、线性类比法. 通过这两种构造方法，我们将初步了解Liapunov 函数的构造在判断微分方程零解稳定性中的重要作用. 关键词：Liapunov 函数；零解；稳定性.
引言
在常微分方程中，稳定性理论研究是很重要的一部分，即研究当时间趋于无穷时，其解的形态将会怎样变化，他在自然科学、工程力学、环境生态、社会经济等方面有着重要的应用。
在本章第一节中介绍了稳定性的相关定义，也介绍了对于可以求得微分方程的解析解时，如何利用定义判断其零解的稳定性。但是在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求得其解析解，这就需要从方程本身来判断零解的稳定性Liapunov 直接方法就是求解这一问题的有效途径。本文先引入Liapunov 函数，即V 函数的定义，以及Liapunov 稳定性的定理，然后介绍几种构造Liapunov 函数方法。
1 Liapunov 稳定性的定理
1.1 V 函数
设函数V (x)在R 中原点的某邻域U 中有定义, V (x)在U 中连续可微，且满足
n
V (0)=0
定义 1.1若除原点外对所有x ∈U 均有V (x)>0(V (x)
例如，V (x)=x 1+x 2+x 3是R 中的正定函数，但在R 中确实半正定函数，而
2
2
2
3
4
V (x)=x 12+x 22-x 32是R 3中的变号函数.
一般V (x)函数的符号判断十分困难，通常把V (x)在原点展开为Taylor 级数
V (x)=V m (x)+V m +1(x)+V m +2(x)+ ,
其中V m (x),Vm +1(x),Vm +2(x)分C 是x 的m 次，m +1，m +2齐次函数，根据V (x)展开式中的最低次项的系数，通常就可以判断V (x)在原点邻域内的符号. 因为再原点附近其他项都
可以视为第一项的高阶无穷小. 1.2 Liapunov 稳定性定理
设n 维自治微分方程
dx (t)
=f (x),f (0)=0（1.1） dt
的解为x (t)=(x1(t),x2(t), x n (t))，为了研究方程（1.1）零解的稳定性，考察随时间变化时V (x(t))的变化情况，将V (x(t))视为t 的复合函数，关于t 求导可得
n dV (x(t))n ∂V dx k ∂V
=∑=∑f k (x) V (x)（1.2） dt ∂x dt ∂x k =1k =1k k
T
式（1.2）称为函数V (x)沿着方程（1.1）轨线的全导数.
介绍了V (x)以及其全导数后，接下来简单介绍下Liapunov 稳定性理论的几个定理. 定理1.1若有原点的邻域U 和一个正定（负定）函数V (x)，使得其全导数V (x)是半负定（半正定），则称系统（1.1）的零解是稳定的；特别地，当V (x)是负定（正定）时，系统（1.1）的零解是渐进稳定的.
定理1.2设在原点的邻域U 内有函数V (x)，它沿着方程（1.1）的轨线的全导数V (x)是正定（负定）的，而V (x)本身不是半负定（半正定）的，则方程（1.1）的零解是不稳定的. 这两个定理是直接通过构造Liapunov 函数，来判断方程的零解是否稳定的，定理在本
章第2节已经详细的证明过，这里不再做证明.
2 Liapunov 函数的构造
第一节中所讨论的两个定理都是一个函数稳定的充分条件，即存在一个V (x )，和它的全导数满足定理1.1时，系统的零解是稳定的. 满足定理1.2的条件时，系统的零解是不稳定的. 在使用Liapunov 函数判定稳定性时应当注意，当找不到满足稳定性定理的条件的函数V (x )时，并无法断言此系统的零解是不稳定的, 并且构造的Liapunov 函数不同时，判断零解是否渐进稳定以及吸引域的大小也会有些差异. 再利用Liapunov 方法判断系统零解稳定性时，需要明确满足一定条件的Liapunov 函数是否存在，即当系统的零解有某种稳定性时，满足这个稳定性定理的V (x )是否存在，这就是上述定理1.1和定理1.2的逆命题. 是否成立. 2.1 Liapunov 函数的存在性
考虑微分方程组
d x
=f (t,x), f (t,0)=0（2.1） dt
记G =
{(t , x )|t ≥t ,
0x ≤h }，设f (t,x ) 在G 连续，关于x 满足Liapunov 条件. 令
x (t)=φ(t,t 0, x 0) 是方程组（2.1）满足φ(t0) =x 0的解.
定理2.1 若方程组2.1的零解是稳定的，则有正定函数V (t,x ) ，使得其全导数V (t,x ) 是半负定的.
证 首先根据方程组（2.1）的零解构造出正定函数V (t,x ) ，在验证V (t,x ) 是半负定. 取
V (t,x ) =(1+e -(t-t 0) ) φ(t0, t, x )
2
W (x ) =
t ≥t 0, x y ≤h
(t0, t, y )
2
其中φ(t0, t, x ) 表示方程组（2.1）在t 时刻过x 的解在t 0时刻的位置坐标. 显然有
V (t,0)=(1+e -(t-t 0) ) φ(t0, t,0) =0
因为方程组（2.1）的零解是稳定的，所以对任意的ε>0，有δ>0，使得当x
2
φ(t,t0, x )
于是当ε≤x ≤h 时，对所有的t ≥t 0有以及t 1≥t 0，使得
φ(t0,t, x ) ≥δ>0. 否则就有x 0，ε≤x 0≤h ，
(t0,t 1, x 0)
(t1,t 0, φ(t0,t 1,x 0))
又因为φ(t1,t 0, φ(t0,t 1,x 0)) =φ(t0,t 1,x 0) =x 0, x 0≥ε与式（2.2）矛盾. 由此得W (x)是正定函数，显然有
V (t,x) ≥φ(t0, t 1, x 0) ≥W (x)
即V (t,x) 是正定函数，另一方面
2
V (t,φ(t,t 0, x 0)) =(1+e -(t-t 0) ) (t0, t, φ(t,t 0, x 0)) =(1+e
所以有
-(t-t 0)
2
) x 0
2
dV (t,φ(t,t 0, x 0))
=-e -(t-t 0) x 0
dt
即V (t,x) 是半负定的.
例1研究下述微分方程组零解的稳定性.
2
⎧dx 1
=-x 2
⎪⎪dt
⎨
⎪dx 2=x
1
⎪⎩dt
满足初值问题x 1(t0) =x 10, x 2(t0) =x 20.
解容易解得满足上述初值问题的解为
⎧φ1(t,t 0, x 10, x 20) =x 10cos(t-t 0) -x 20sin(t-t 0),
⎨
⎩φ2(t,t 0, x 10, x 20) =x 10sin(t-t 0) +x 20cos(t-t 0).
所以有定理2.1，可以取函数
V (t,x 1, x 2) =(1+e -(t-t 0) )(φ12(t0,t, x 1, x 2) +φ22(t0,t, x 1, x 2))
=(1+e -(t-t 0) )(x 12+x 22)
显然
V (t,x 1, x 2) =(1+e -(t-t 0) )(x 12+x 22) ≥x 12+x 22
即通过这种方法构造的V (t,x 1, x 2) 是正定函数. 并求得其全导数为：
V (t,x 1, x 2) =-e -(t-t 0) (x 12+x 22)
即V (t,x 1, x 2) 正定，V (t,x 1, x 2) 半负定，所以上述方程组的零解是稳定的. 2.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式
对于常系数线性微分方程组
d x
=Ax , A =(a ij ) n ⨯n , x ∈R n , （2.3） dt
这里可以假设该线性自治系统的Liapunov 函数为一个二次型，不妨设其为V (x ) =x Bx ，则他沿系统（2.3）的全导数为
T
V (x ) =
d T
(x Bx ) =x T (AT B +BA) x . dt
显然其全导数依然是一个二次型. 这样，可以从V (x ) 的二次型出发，利用A B +BA =C 进而来确定二次型V (x ) ，再根据V (x ) 和V (x ) 的符号来判断方程组（2.3）零解的稳定性. 下面就利用这一思想介绍二阶方程组的巴尔巴欣公式.
对于二维微分方程组
T
⎧dx 1
=a 11x 1+a 12x 2
⎪⎪dt
（2.4） ⎨
⎪dx 2=a x +a x
211222
⎪⎩dt
可以给出一个二次型
W (x ) =w 11x 12+2w 12x 1x 2+w 22x 22
进而来求这样的二次型
V (x ) =v 11x 12+2v 12x 1x 2+v 22x 22
使得V (x ) 沿着方程组（2.4）解曲线的全导数满足
dV (x )
=2W (x )
dt (2.4)
这里的W (x ) 是选取的，因此w 11, w 12, w 22可视为已知量，利用W (x ) ，V (x ) 的定义和上述全导数的等式可以求得未知量v 11, v 12, v 22满足下述方程组：
a 11v 11+a 21v 12=w 11⎧
⎪
⎨a 12v 11+(a 11+a 22) v 12+a 21v 22=w 12⎪a 12v 12+a 22v 22=w 22⎩
当∆=(a 11+a 22)(a 11a 22-a 12a 21) ≠0时，可以求解出v 11, v 12, v 22，即可得出V (x )
V (x ) =-
1w 11
∆2w 12
w 22
x 12a 11a 120
2x 1x 2a 21a 11+a 22
a 12
2x 2
0a 21a 22
通过这个过程，可知构造出了一个Liapunov 函数V (x ) ，并求出其沿着自治系统（2.4）解曲线的全导数V (x ) =2W (x ) ，从而可以根据V (x ) 和W (x ) 的符号来判断系统（2.4）零解的稳定性.
例2 讨论微分方程组
⎧dx 1
=-4x 1+4x 2
⎪⎪dt
⎨
⎪dx 1=2x -6x
12
⎪⎩dt
解取W (x 1, x 2) =-(x 1+x 2) ，利用上述的巴尔巴欣公式可得
2
2
0x 122x 1x 2
21-1-4
V (x ) =
16004-10
-1
4
2x 20
2-6
=
11222
(7x 12+8x 1x 2+6x 2) ==(3x 12+2x 2+(x 1+x 2)) 2020
显然V (x ) 是正定的，V (x ) =2W (x ) 是负定的，故上述方程组的零解是渐进稳定的. 2.3 线性类比法
线性类比法是将一些非线性系统当作线性系统，用类比的方法构造出需要的Liapunov 函数.
例3设f (x 1) 连续可导，f (0)=0，讨论微分方程组
⎧dx 1
=f (x 1) +a 12x 2
⎪⎪dt
（2.5） ⎨
dx ⎪2=a x +a x
211222
⎪⎩dt
零解的稳定性.
解当f (x 1) =a 11x 1时，上述非线性系统（2.5）就是线性系统
⎧dx 1
=a 11x 1+a 12x 2
⎪⎪dt
（2.6） ⎨
dx ⎪2=a x +a x
211222
⎪⎩dt
线性系统（2.6）的特征方程为
λ2-(a 11+a 22) λ+a 11a 22-a 12a 21=0
容易看出，当a 11+a 220时，特征方程有两个根都有负实部，线性系统（2.6）的零解是渐进稳定的. 非线性系统（2.5）的零解稳定性无法用特征根的方法来判断，
但可以用类似于线性系统的Liapunov 函数去判断其稳定性. 事实上，对线性系统（2.6）取
V (x 1, x 2) =(a 11+a 22)(a 11a 22-a 12a 21) x 12
则V (x 1, x 2) 是半负定的函数，利用巴尔巴欣公式得
11
V (x 1, x 2) =(a 11a 22-a 12a 21) x 12+(a 22x 1-a 12x 2) 2
22
V (x 1, x 2) 是正定函数，所以线性系统（2.6）的零解是稳定的. 对比非线性系统（2.5）和线性
系统（2.6），线性系统（2.6）中的a 11相当于非线性系统（2.5）中的猜想，当
f (x 1)
. 所以很自然地x 1
f (x 1) f (x 1)
+a 220（2.7） x 1x 1
成立时，非线性系统（2.5）的零解很可能是稳定的，注意到
x 11
(a 11a 22-a 12a 21) x 12=⎰(a 11a 22-a 12a 21) x 1dx 1
02
由此类比构造与线性系统类似的V 函数
V (x 1, x 2) =⎰(
x 1
f (x 1) 1
a 22-a 12a 21) x 1dx 1+(a 22x 1-a 12x 2) 2 x 12
当式（2.7）的条件成立时，V (x 1, x 2) 正定，计算全导数得
V (x 1, x 2)
(2.5)
=(a 22f (x 1) -a 12a 21x 1)(f (x 1) +a 12x 2) +
(a 22x 1-a 12x 2)(a 22(f (x 1) +a 12x 2) -a 12(a 21x 1+a 22x 2))
=(
f (x 1) f (x 1)
a 22-a 12a 21)(+a 22) x 12≤0 x 1x 1
所以，非线性系统（2.5）的零解是稳定的.
3 总结
本文中我们仅仅给出了两种构造Liapunov 函数的方法，也很容易看出即便是这两种发
放也都有其局限性. 仅仅对于常系数线性系统才可以使用巴尔巴欣公式，并且当微分方程组的阶数太大时，利用巴尔巴欣公式将会产生巨大的计算量. 线性类比法需要我们先找到非线性系统对应的线性系统的Liapunov 函数，然后类比构造出非线性系统的Liapunov 函数，但是在实际问题中，往往很难进行类比，更多的要靠个人的经验总结. 在教材上还介绍了能量函数法、分离变量法、变梯度法，微分方程组的形式结构不同，就要用不同的方法，遗憾的是至今仍未形成构造Liapunov 函数的通用方法，找到通用方法最大的困难是依赖于一个未知的V 函数的存在，然而构造这种V 函数又没有一般的规律可循，这是一种技巧性问题，更大的可能只能靠个人的经验. 但是，我相信随着学科的发展，数学家们会继续研究构造Liapunov 函数的一般方法，Liapunov 函数的构造定会取得重大突破.
4 参考文献
[1]马知恩，周义仓，李承治. 常微分方程定性与稳定性方法[M]. 北京:科学出版社,2015.6. [2]张志芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜. 微分方程定性理论[M]. 北京: 科学出版社,1985. [3]王高雄，周之铭，朱思铭等. 常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,2006.7.
Liapunov 函数的构造
摘要：Liapunov 函数是一种判定微分方程零解稳定性的重要方法，所以本文首先介绍了Liapunov 函数以及判断微分方程的稳定性定理，然后着重介绍了Liapunov 函数的几种构造方法，包括常系数线性系统的巴尔巴欣公式、线性类比法. 通过这两种构造方法，我们将初步了解Liapunov 函数的构造在判断微分方程零解稳定性中的重要作用. 关键词：Liapunov 函数；零解；稳定性.
引言
在常微分方程中，稳定性理论研究是很重要的一部分，即研究当时间趋于无穷时，其解的形态将会怎样变化，他在自然科学、工程力学、环境生态、社会经济等方面有着重要的应用。
在本章第一节中介绍了稳定性的相关定义，也介绍了对于可以求得微分方程的解析解时，如何利用定义判断其零解的稳定性。但是在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求得其解析解，这就需要从方程本身来判断零解的稳定性Liapunov 直接方法就是求解这一问题的有效途径。本文先引入Liapunov 函数，即V 函数的定义，以及Liapunov 稳定性的定理，然后介绍几种构造Liapunov 函数方法。
1 Liapunov 稳定性的定理
1.1 V 函数
设函数V (x)在R 中原点的某邻域U 中有定义, V (x)在U 中连续可微，且满足
n
V (0)=0
定义 1.1若除原点外对所有x ∈U 均有V (x)>0(V (x)
例如，V (x)=x 1+x 2+x 3是R 中的正定函数，但在R 中确实半正定函数，而
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V (x)=x 12+x 22-x 32是R 3中的变号函数.
一般V (x)函数的符号判断十分困难，通常把V (x)在原点展开为Taylor 级数
V (x)=V m (x)+V m +1(x)+V m +2(x)+ ,
其中V m (x),Vm +1(x),Vm +2(x)分C 是x 的m 次，m +1，m +2齐次函数，根据V (x)展开式中的最低次项的系数，通常就可以判断V (x)在原点邻域内的符号. 因为再原点附近其他项都
可以视为第一项的高阶无穷小. 1.2 Liapunov 稳定性定理
设n 维自治微分方程
dx (t)
=f (x),f (0)=0（1.1） dt
的解为x (t)=(x1(t),x2(t), x n (t))，为了研究方程（1.1）零解的稳定性，考察随时间变化时V (x(t))的变化情况，将V (x(t))视为t 的复合函数，关于t 求导可得
n dV (x(t))n ∂V dx k ∂V
=∑=∑f k (x) V (x)（1.2） dt ∂x dt ∂x k =1k =1k k
T
式（1.2）称为函数V (x)沿着方程（1.1）轨线的全导数.
介绍了V (x)以及其全导数后，接下来简单介绍下Liapunov 稳定性理论的几个定理. 定理1.1若有原点的邻域U 和一个正定（负定）函数V (x)，使得其全导数V (x)是半负定（半正定），则称系统（1.1）的零解是稳定的；特别地，当V (x)是负定（正定）时，系统（1.1）的零解是渐进稳定的.
定理1.2设在原点的邻域U 内有函数V (x)，它沿着方程（1.1）的轨线的全导数V (x)是正定（负定）的，而V (x)本身不是半负定（半正定）的，则方程（1.1）的零解是不稳定的. 这两个定理是直接通过构造Liapunov 函数，来判断方程的零解是否稳定的，定理在本
章第2节已经详细的证明过，这里不再做证明.
2 Liapunov 函数的构造
第一节中所讨论的两个定理都是一个函数稳定的充分条件，即存在一个V (x )，和它的全导数满足定理1.1时，系统的零解是稳定的. 满足定理1.2的条件时，系统的零解是不稳定的. 在使用Liapunov 函数判定稳定性时应当注意，当找不到满足稳定性定理的条件的函数V (x )时，并无法断言此系统的零解是不稳定的, 并且构造的Liapunov 函数不同时，判断零解是否渐进稳定以及吸引域的大小也会有些差异. 再利用Liapunov 方法判断系统零解稳定性时，需要明确满足一定条件的Liapunov 函数是否存在，即当系统的零解有某种稳定性时，满足这个稳定性定理的V (x )是否存在，这就是上述定理1.1和定理1.2的逆命题. 是否成立. 2.1 Liapunov 函数的存在性
考虑微分方程组
d x
=f (t,x), f (t,0)=0（2.1） dt
记G =
{(t , x )|t ≥t ,
0x ≤h }，设f (t,x ) 在G 连续，关于x 满足Liapunov 条件. 令
x (t)=φ(t,t 0, x 0) 是方程组（2.1）满足φ(t0) =x 0的解.
定理2.1 若方程组2.1的零解是稳定的，则有正定函数V (t,x ) ，使得其全导数V (t,x ) 是半负定的.
证 首先根据方程组（2.1）的零解构造出正定函数V (t,x ) ，在验证V (t,x ) 是半负定. 取
V (t,x ) =(1+e -(t-t 0) ) φ(t0, t, x )
2
W (x ) =
t ≥t 0, x y ≤h
(t0, t, y )
2
其中φ(t0, t, x ) 表示方程组（2.1）在t 时刻过x 的解在t 0时刻的位置坐标. 显然有
V (t,0)=(1+e -(t-t 0) ) φ(t0, t,0) =0
因为方程组（2.1）的零解是稳定的，所以对任意的ε>0，有δ>0，使得当x
2
φ(t,t0, x )
于是当ε≤x ≤h 时，对所有的t ≥t 0有以及t 1≥t 0，使得
φ(t0,t, x ) ≥δ>0. 否则就有x 0，ε≤x 0≤h ，
(t0,t 1, x 0)
(t1,t 0, φ(t0,t 1,x 0))
又因为φ(t1,t 0, φ(t0,t 1,x 0)) =φ(t0,t 1,x 0) =x 0, x 0≥ε与式（2.2）矛盾. 由此得W (x)是正定函数，显然有
V (t,x) ≥φ(t0, t 1, x 0) ≥W (x)
即V (t,x) 是正定函数，另一方面
2
V (t,φ(t,t 0, x 0)) =(1+e -(t-t 0) ) (t0, t, φ(t,t 0, x 0)) =(1+e
所以有
-(t-t 0)
2
) x 0
2
dV (t,φ(t,t 0, x 0))
=-e -(t-t 0) x 0
dt
即V (t,x) 是半负定的.
例1研究下述微分方程组零解的稳定性.
2
⎧dx 1
=-x 2
⎪⎪dt
⎨
⎪dx 2=x
1
⎪⎩dt
满足初值问题x 1(t0) =x 10, x 2(t0) =x 20.
解容易解得满足上述初值问题的解为
⎧φ1(t,t 0, x 10, x 20) =x 10cos(t-t 0) -x 20sin(t-t 0),
⎨
⎩φ2(t,t 0, x 10, x 20) =x 10sin(t-t 0) +x 20cos(t-t 0).
所以有定理2.1，可以取函数
V (t,x 1, x 2) =(1+e -(t-t 0) )(φ12(t0,t, x 1, x 2) +φ22(t0,t, x 1, x 2))
=(1+e -(t-t 0) )(x 12+x 22)
显然
V (t,x 1, x 2) =(1+e -(t-t 0) )(x 12+x 22) ≥x 12+x 22
即通过这种方法构造的V (t,x 1, x 2) 是正定函数. 并求得其全导数为：
V (t,x 1, x 2) =-e -(t-t 0) (x 12+x 22)
即V (t,x 1, x 2) 正定，V (t,x 1, x 2) 半负定，所以上述方程组的零解是稳定的. 2.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式
对于常系数线性微分方程组
d x
=Ax , A =(a ij ) n ⨯n , x ∈R n , （2.3） dt
这里可以假设该线性自治系统的Liapunov 函数为一个二次型，不妨设其为V (x ) =x Bx ，则他沿系统（2.3）的全导数为
T
V (x ) =
d T
(x Bx ) =x T (AT B +BA) x . dt
显然其全导数依然是一个二次型. 这样，可以从V (x ) 的二次型出发，利用A B +BA =C 进而来确定二次型V (x ) ，再根据V (x ) 和V (x ) 的符号来判断方程组（2.3）零解的稳定性. 下面就利用这一思想介绍二阶方程组的巴尔巴欣公式.
对于二维微分方程组
T
⎧dx 1
=a 11x 1+a 12x 2
⎪⎪dt
（2.4） ⎨
⎪dx 2=a x +a x
211222
⎪⎩dt
可以给出一个二次型
W (x ) =w 11x 12+2w 12x 1x 2+w 22x 22
进而来求这样的二次型
V (x ) =v 11x 12+2v 12x 1x 2+v 22x 22
使得V (x ) 沿着方程组（2.4）解曲线的全导数满足
dV (x )
=2W (x )
dt (2.4)
这里的W (x ) 是选取的，因此w 11, w 12, w 22可视为已知量，利用W (x ) ，V (x ) 的定义和上述全导数的等式可以求得未知量v 11, v 12, v 22满足下述方程组：
a 11v 11+a 21v 12=w 11⎧
⎪
⎨a 12v 11+(a 11+a 22) v 12+a 21v 22=w 12⎪a 12v 12+a 22v 22=w 22⎩
当∆=(a 11+a 22)(a 11a 22-a 12a 21) ≠0时，可以求解出v 11, v 12, v 22，即可得出V (x )
V (x ) =-
1w 11
∆2w 12
w 22
x 12a 11a 120
2x 1x 2a 21a 11+a 22
a 12
2x 2
0a 21a 22
通过这个过程，可知构造出了一个Liapunov 函数V (x ) ，并求出其沿着自治系统（2.4）解曲线的全导数V (x ) =2W (x ) ，从而可以根据V (x ) 和W (x ) 的符号来判断系统（2.4）零解的稳定性.
例2 讨论微分方程组
⎧dx 1
=-4x 1+4x 2
⎪⎪dt
⎨
⎪dx 1=2x -6x
12
⎪⎩dt
解取W (x 1, x 2) =-(x 1+x 2) ，利用上述的巴尔巴欣公式可得
2
2
0x 122x 1x 2
21-1-4
V (x ) =
16004-10
-1
4
2x 20
2-6
=
11222
(7x 12+8x 1x 2+6x 2) ==(3x 12+2x 2+(x 1+x 2)) 2020
显然V (x ) 是正定的，V (x ) =2W (x ) 是负定的，故上述方程组的零解是渐进稳定的. 2.3 线性类比法
线性类比法是将一些非线性系统当作线性系统，用类比的方法构造出需要的Liapunov 函数.
例3设f (x 1) 连续可导，f (0)=0，讨论微分方程组
⎧dx 1
=f (x 1) +a 12x 2
⎪⎪dt
（2.5） ⎨
dx ⎪2=a x +a x
211222
⎪⎩dt
零解的稳定性.
解当f (x 1) =a 11x 1时，上述非线性系统（2.5）就是线性系统
⎧dx 1
=a 11x 1+a 12x 2
⎪⎪dt
（2.6） ⎨
dx ⎪2=a x +a x
211222
⎪⎩dt
线性系统（2.6）的特征方程为
λ2-(a 11+a 22) λ+a 11a 22-a 12a 21=0
容易看出，当a 11+a 220时，特征方程有两个根都有负实部，线性系统（2.6）的零解是渐进稳定的. 非线性系统（2.5）的零解稳定性无法用特征根的方法来判断，
但可以用类似于线性系统的Liapunov 函数去判断其稳定性. 事实上，对线性系统（2.6）取
V (x 1, x 2) =(a 11+a 22)(a 11a 22-a 12a 21) x 12
则V (x 1, x 2) 是半负定的函数，利用巴尔巴欣公式得
11
V (x 1, x 2) =(a 11a 22-a 12a 21) x 12+(a 22x 1-a 12x 2) 2
22
V (x 1, x 2) 是正定函数，所以线性系统（2.6）的零解是稳定的. 对比非线性系统（2.5）和线性
系统（2.6），线性系统（2.6）中的a 11相当于非线性系统（2.5）中的猜想，当
f (x 1)
. 所以很自然地x 1
f (x 1) f (x 1)
+a 220（2.7） x 1x 1
成立时，非线性系统（2.5）的零解很可能是稳定的，注意到
x 11
(a 11a 22-a 12a 21) x 12=⎰(a 11a 22-a 12a 21) x 1dx 1
02
由此类比构造与线性系统类似的V 函数
V (x 1, x 2) =⎰(
x 1
f (x 1) 1
a 22-a 12a 21) x 1dx 1+(a 22x 1-a 12x 2) 2 x 12
当式（2.7）的条件成立时，V (x 1, x 2) 正定，计算全导数得
V (x 1, x 2)
(2.5)
=(a 22f (x 1) -a 12a 21x 1)(f (x 1) +a 12x 2) +
(a 22x 1-a 12x 2)(a 22(f (x 1) +a 12x 2) -a 12(a 21x 1+a 22x 2))
=(
f (x 1) f (x 1)
a 22-a 12a 21)(+a 22) x 12≤0 x 1x 1
所以，非线性系统（2.5）的零解是稳定的.
3 总结
本文中我们仅仅给出了两种构造Liapunov 函数的方法，也很容易看出即便是这两种发
放也都有其局限性. 仅仅对于常系数线性系统才可以使用巴尔巴欣公式，并且当微分方程组的阶数太大时，利用巴尔巴欣公式将会产生巨大的计算量. 线性类比法需要我们先找到非线性系统对应的线性系统的Liapunov 函数，然后类比构造出非线性系统的Liapunov 函数，但是在实际问题中，往往很难进行类比，更多的要靠个人的经验总结. 在教材上还介绍了能量函数法、分离变量法、变梯度法，微分方程组的形式结构不同，就要用不同的方法，遗憾的是至今仍未形成构造Liapunov 函数的通用方法，找到通用方法最大的困难是依赖于一个未知的V 函数的存在，然而构造这种V 函数又没有一般的规律可循，这是一种技巧性问题，更大的可能只能靠个人的经验. 但是，我相信随着学科的发展，数学家们会继续研究构造Liapunov 函数的一般方法，Liapunov 函数的构造定会取得重大突破.
4 参考文献
[1]马知恩，周义仓，李承治. 常微分方程定性与稳定性方法[M]. 北京:科学出版社,2015.6. [2]张志芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜. 微分方程定性理论[M]. 北京: 科学出版社,1985. [3]王高雄，周之铭，朱思铭等. 常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,2006.7.