高中数学必修4三角与向量专题
同名三角函数之间的关系:
12例1．已知sin α=，并且α是第二象限角，求cos α, tan α,cot α． 13
例2. 已知sin α=2cos α，
sin α-4cos α22求(1) (2)2sin α+2sin αcos α-cos α． 5sin α+2cos α
练习：
思考：
1．已知sin α+cos α=
2、已知sin α=15(0
诱导公式:
π11πsin(2π-α) cos(π+α) +α) -α) 例1．化简：. 9cos(π-α) sin(3π-α) sin(-α-π) +α) 2
练习. 已知sin(π+α) =-，计算：
（1）sin(5π-α) ； （2）sin(
例2. 已知sin(α+π) =
化简: 12π2+α) ； （3）cos(α-π3π) ； （4）tan(-α) . 2242sin(α-π) +3tan(3π-α) , 且sin αcos α
π⎫⎛cos α-⎪tan(360o +α) 2⎭⎝2(1) ⋅sin(α-2π) ⋅cos(2π-α); (2) cos (-α) -. ⎛5π⎫sin(-α) sin +α⎪⎝2⎭
例3. 已知方程2x 2-(3+1) x +m =0的两根分别是sin θ，cos θ， sin θcos θ的值 +11-tan θ1-tan θ
三角函数： 求
例1. 对于函数y ＝3sin(2x ＋π)-3，x ∈R 3
（1）求出对称轴与对称中心，
（2）求出单调区间，
（3）用“五点法”画出简图，并说明此函数图象怎样由y =sin x 变换而来. 练习
1． 要得到函数y=cos(
A ．向左平移x πx -) 的图象，只需将y=sin的图象 （ ） 242ππ个单位 B. 同右平移个单位 22
C ．向左平移ππ个单位 D. 向右平移个单位 44
π1个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =sin x 222．若函数y =f (x ) 的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个 图象沿x 轴向左平移
y =f(x ) 是 （ ）
1π1πsin(2x +) +1 B. y =sin(2x -) +1 2222
1π1πC. y =sin(2x +) +1 D. y =sin(2x -) +1 2424
3．如下图为函数y =A sin(ωx +ϕ) +c (A >0, ω>0, ϕ>0) 图像的一部分 A ．y =
（1）求此函数的周期及最大值和最小值
（2）求与这个函数图像关于直线x =2对称的函数解析式
三角恒等变换：
例1. 已知cos(
的值.
例2. （1）已知cos(α+β) = π3π3ππ5π12-α) =，sin(+β) =-，α∈(, ) ，β∈(0,) ，求sin(α+β) 4544441313，cos(α-β) =，求tan α tan β的值； 55
11（2）已知cos α+cos β=，sin α+sin β=，求cos(α-β) 的值. 23
例3. 已知函数f (x ) =sin(x +) +sin(x -) +cos x +a 的最大值为1. 66
（1）求常数a 的值； （2）求使f (x ) ≥0成立的x 的取值集合.
练习
1. 要得到函数y =2sin 2x 的图像，只需将y =sin 2x -cos 2x 的图像 （ ）
A 、向右平移ππππ个单位 B、向右平移个单位 126
ππ个单位 D、向左平移个单位 126C 、向左平移
2.
函数y =sin
A 、x =x x 的图像的一条对称轴方程是 （ ） 22115π5πππ B 、x = C 、x =- D 、x =- 3333
3. 已知函数y =sin x x +3cos , x ∈R . 22
（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象可以由y =sin x (x ∈R ) 平面向量：
例1．向量=(1, 2), =(x , 1),
+2与2-平行时，求x ；（2）当+2与2-垂直时，求x .
例2．已知向量=2e 1-3e 2, =2e 1+3e 2, 其中e 1与e 2, 不共线向量=2e 1-9e 2, ，问是 （1）当否存在这样的实数λ, μ, 使向量=λ+μ与共线. 例3．已知｜a ｜=4,|b |=3,(2a －3b ) (2a +b ) =61, (1)求a 的值． b 的值； （2）求a 与b 的夹角θ； （3）求｜a +b ｜
ππ例4. 已知向量a =(sinθ,1), b =(1,cosθ), -
例5. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交 直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB =mAM ， AC =nAN ，则m +n 的值为 ．
练习 1. 若a =(2, 3), b =(-4, 7) ，求a 在b 方向上的正射影的数量。
2. 已知△ABC 中，a ＝５，b ＝８，C ＝６０°，求BC ·CA .
3. 已知a =(2,-1) ，
b =(1,3) ，求当向量+λ与λa +b 的夹角为锐
角时，λ的取值范围.
高中数学必修4三角与向量专题
同名三角函数之间的关系:
12例1．已知sin α=，并且α是第二象限角，求cos α, tan α,cot α． 13
例2. 已知sin α=2cos α，
sin α-4cos α22求(1) (2)2sin α+2sin αcos α-cos α． 5sin α+2cos α
练习：
思考：
1．已知sin α+cos α=
2、已知sin α=15(0
诱导公式:
π11πsin(2π-α) cos(π+α) +α) -α) 例1．化简：. 9cos(π-α) sin(3π-α) sin(-α-π) +α) 2
练习. 已知sin(π+α) =-，计算：
（1）sin(5π-α) ； （2）sin(
例2. 已知sin(α+π) =
化简: 12π2+α) ； （3）cos(α-π3π) ； （4）tan(-α) . 2242sin(α-π) +3tan(3π-α) , 且sin αcos α
π⎫⎛cos α-⎪tan(360o +α) 2⎭⎝2(1) ⋅sin(α-2π) ⋅cos(2π-α); (2) cos (-α) -. ⎛5π⎫sin(-α) sin +α⎪⎝2⎭
例3. 已知方程2x 2-(3+1) x +m =0的两根分别是sin θ，cos θ， sin θcos θ的值 +11-tan θ1-tan θ
三角函数： 求
例1. 对于函数y ＝3sin(2x ＋π)-3，x ∈R 3
（1）求出对称轴与对称中心，
（2）求出单调区间，
（3）用“五点法”画出简图，并说明此函数图象怎样由y =sin x 变换而来. 练习
1． 要得到函数y=cos(
A ．向左平移x πx -) 的图象，只需将y=sin的图象 （ ） 242ππ个单位 B. 同右平移个单位 22
C ．向左平移ππ个单位 D. 向右平移个单位 44
π1个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =sin x 222．若函数y =f (x ) 的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个 图象沿x 轴向左平移
y =f(x ) 是 （ ）
1π1πsin(2x +) +1 B. y =sin(2x -) +1 2222
1π1πC. y =sin(2x +) +1 D. y =sin(2x -) +1 2424
3．如下图为函数y =A sin(ωx +ϕ) +c (A >0, ω>0, ϕ>0) 图像的一部分 A ．y =
（1）求此函数的周期及最大值和最小值
（2）求与这个函数图像关于直线x =2对称的函数解析式
三角恒等变换：
例1. 已知cos(
的值.
例2. （1）已知cos(α+β) = π3π3ππ5π12-α) =，sin(+β) =-，α∈(, ) ，β∈(0,) ，求sin(α+β) 4544441313，cos(α-β) =，求tan α tan β的值； 55
11（2）已知cos α+cos β=，sin α+sin β=，求cos(α-β) 的值. 23
例3. 已知函数f (x ) =sin(x +) +sin(x -) +cos x +a 的最大值为1. 66
（1）求常数a 的值； （2）求使f (x ) ≥0成立的x 的取值集合.
练习
1. 要得到函数y =2sin 2x 的图像，只需将y =sin 2x -cos 2x 的图像 （ ）
A 、向右平移ππππ个单位 B、向右平移个单位 126
ππ个单位 D、向左平移个单位 126C 、向左平移
2.
函数y =sin
A 、x =x x 的图像的一条对称轴方程是 （ ） 22115π5πππ B 、x = C 、x =- D 、x =- 3333
3. 已知函数y =sin x x +3cos , x ∈R . 22
（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象可以由y =sin x (x ∈R ) 平面向量：
例1．向量=(1, 2), =(x , 1),
+2与2-平行时，求x ；（2）当+2与2-垂直时，求x .
例2．已知向量=2e 1-3e 2, =2e 1+3e 2, 其中e 1与e 2, 不共线向量=2e 1-9e 2, ，问是 （1）当否存在这样的实数λ, μ, 使向量=λ+μ与共线. 例3．已知｜a ｜=4,|b |=3,(2a －3b ) (2a +b ) =61, (1)求a 的值． b 的值； （2）求a 与b 的夹角θ； （3）求｜a +b ｜
ππ例4. 已知向量a =(sinθ,1), b =(1,cosθ), -
例5. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交 直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB =mAM ， AC =nAN ，则m +n 的值为 ．
练习 1. 若a =(2, 3), b =(-4, 7) ，求a 在b 方向上的正射影的数量。
2. 已知△ABC 中，a ＝５，b ＝８，C ＝６０°，求BC ·CA .
3. 已知a =(2,-1) ，
b =(1,3) ，求当向量+λ与λa +b 的夹角为锐
角时，λ的取值范围.