与抛物线有关的动点最值问题

【经典例题】：已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），与

y 轴交于点C ，顶点为D 。

① 求点A 、B 、C 、D 的坐标

② 若点P 是x 轴上的一个动点，且PC+PD的和最小，求点P

【变式训练】【变式1】：若点P 是抛物线对称轴上的一个动点，且△PBC 求点P 的坐标。

【方法点析】一、线与对称轴的交点）

解题的秘诀是-------和最小，对称找，连线段，交点好

【变式2】：若点P 是线段AC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE

【变式3】：若点P ① 当点P 运动到何处时，△② 当点P 坐标。

③当点P 运动到何处时，△PAC 的最大面积及此时点P 的坐标。

巩固训练：

1、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.

2、已知：抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点

C ，其中A (-3， 0)、C (0，-2)．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

（第24题图）

3、如图，已知直线y =

x +1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y =x 2+bx +c 与直线22

交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0) 。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM -MC |的值最大，求出点M 的坐标。

4、如图，二次函数的图象经过点D(0，73) ，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线

9段AB 的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD最小，求出点P 的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点

Q ，使△QAB

与△ABC

相似？请说明理

由．