几种参数识别的方法
B ．基于多输出时域识别方法 B1 随机衰减
随机衰减方法是一种非常典型的当输入未知识别模态参数方法。由于识别结果，这种方法实际上是一种无参数识别方法，即随机衰减符号差，是对特定的初始条件的自由衰减响应。得到的随机衰减图形可以用来识别系统模态参数。去相关是这一方法的基本理论，一个简单的导数如下：
对于一个单输入单输出的线性系统，任何力输入的系统响应可以这么解释 (0) ⋅V (t ) +x (t ) =x (0) ⋅D (t ) +x
t
⎰h (t -τ) ⋅f (τ) d τ (B-1)
其中D(t)是对单位初始位移的响应，V （t ）是对单位初始电压的响应，h （t ）是脉冲响
应，f （t ）是外部输入的力，假设外部输入力f （t ）是一个定常的零均值的随机过程，可以证实x （t ）也是一个定常的零均值过程，也证明了x （t ）的初始条件为0，考虑到系统响应x(t-ti ) 中的x(ti ) 要满足以下条件：
A ≤x (t i ) ≤A (B-2)
-
+
由于系统假设是线性的，整个系统的响应包含了3部分： 1. x(ti ) 的系统响应
(t i ) 的系统响应 2. x
3.f （t ）的系统响应，其中f （t ）假设是随机的并且是定常的，即：
(t i ) ⋅V (t -t i ) +x (t -t i ) =x (t i ) ⋅D (t -t i ) +x
⎰
t
t i
h (t -τ) ⋅f (τ) d τ (B-3)
假设X 是x(t-ti ) 的随机过程，F 是f(t-ti ) 的随机过程， x （t ）的平均值为：
E [X (t )]=E x (0) |A ≤x (0) ≤A +
[
-+
(0) |A ]+E [x
-
≤x (0) ≤A
+
]
⎰
t
h (t -τ) ⋅E [F (τ)]⋅d τ
(B-4)
(t i ) 也是一个平均值为0的定常随机由于x （t ）是一个平均值为0的定常随机过程，x
系统并且与x （t ）是独立的，因此：
(0)]=E [x (0) |A ≤x ≤A ]=0 (B-5) E [x
-
+
假设
A =E [x (0) |A ≤x (t ) ≤A ]≥A (B-6)
-
+
-
且
b (t ) =
⎰h (t -τ) ⋅E [F (τ)]⋅d τ (B-7)
t
X （t ）的期望值为：
E [x (t )]=A ⋅D (t ) +b (t ) (B-8)
如果f （t ）是零均值、定常、白噪声随机过程，它与x （t ）是相互独立的，因此输入的
力是一个白噪声随机过程：
E [F (t )]=E [f (t )]=0 (B-9)
且E [x (t )]=A ⋅D (t ) (B-10)
理论上来讲，如果输入的力f （t ）不是一个白噪声随机过程，b （t ）不为0，已经证实了如果输入信号时零-意义的定常随机过程，由随机衰减方法产生的自由衰减系统响应的误差在允许的工程限制之内，由于实际的样本数不可能是无穷的，可用数学平均值来产生随机衰减图。
δ(t ) =
1N
N
⋅∑x (t i +τ) (B-11)
i =1
它是E[X(t)]的一个近似值。作为拇指的一个条件（？？）建议平均数N 取值要大，τ至少要比最低系统频率长3倍。由于模态有关的因素由相应模态下的相关幅值所决定，通常是振动模态，模态参与因素越高就越准确，后来的识别也越准确。
多输入多输出的线性系统的随机衰减方法也相同，除了一个测试点要作为一个参照点，平均时间t i ，是：
A ≤x R (t i ) ≤A (B-12)
-
+
其中x R (t)是系统在参照点的响应，得到的随机衰减图，被证明含有对特定初始条件甚至是其他测试点的确定性系统响应。
随机衰减方法并不仅局限于位移，电压和加速度的测量也可以使用，对于转子轴承系统，由于自然的输入信号，随机衰减方法只用于当一个随机外部输入的力是已知的，这可以通过振动器或者电磁轴承作为输入来得到。
B2 yule-walker 方程
yule-walker 等式是一种直接基于假设输入信号是独立的随机过程的一种方法，这个性质直接被用来消除ARMA 模型中的输入信号部分，用最小二乘法来求AR 参数。
在离散时间上输入和输出的关系可表述为：
x (k ) =-a 1⋅x (k -1) - -a p ⋅x (k -p ) +b 0⋅f (k ) +b 1⋅f (k -1) + +b p ⋅f (k -p )
(B-13)
假设输入的力是一个独立的随机过程:
E [f (i ) ⋅f (j )]=0 i ≠j (B-14)
T
从误差公式可以看出，没有参照源：
E [f (k -p +s 1) ⋅x (k -p -1-s 2)]=0 (B-15)
T
当 s 1≥0, s 2≥0时,
⎡⎧
E ⎢⎨x (k ) +⎣⎩
p
∑
i =1
⎤⎫T
a i ⋅x (k -i ) ⎬⋅x (k -p -1-s ) ⎥=0 (B-16)
⎭⎦
当s>0，结合公式16，可以得到yule-walker 等式：
E [R k ]⋅θ=E [T k ] (B-17)
**
其中
θ
T
=a 1⋅I ,
[
a 2⋅I ,
a p ⋅I (B-18)
]
)
⎡x k -p -1⎤⎢⎥*T
R k =⎢ ⎥⋅x k -1
⎢x k -p -p ⎥⎣⎦
(
T
x k -p (B-19)
⎡x k -p -1⎤⎢⎥T *
T k =-⎢ ⎥⋅x k (B-20)
⎢x k -p -p ⎥⎣⎦
公式17中的期望值可以通过求和来近似得到，yule-walker 等式可表示为：
R k ⋅θ=T k (B-21)
其中
k
R k =
∑R
i =2p +1k
*
i
(B-22)
T k =
∑T
i =2p +1
*i
(B-23)
典型的，用最小二乘法来求θ，递归图来求时间变化的AR 参数。
事实上，输入的力不可能是单纯的白噪声或者一个独立的随机系统，这些条件可以通过假设输入的力是一个过滤噪声来缓减，这个滤波器假设是稳定地，典型的系统阶次冗余可用来解释这些寄生极点，这些寄生极点的估计是比较不稳定的具有较高的阻尼比。
几种参数识别方法总结
几种参数识别的方法
B ．基于多输出时域识别方法 B1 随机衰减
随机衰减方法是一种非常典型的当输入未知识别模态参数方法。由于识别结果，这种方法实际上是一种无参数识别方法，即随机衰减符号差，是对特定的初始条件的自由衰减响应。得到的随机衰减图形可以用来识别系统模态参数。去相关是这一方法的基本理论，一个简单的导数如下：
对于一个单输入单输出的线性系统，任何力输入的系统响应可以这么解释 (0) ⋅V (t ) +x (t ) =x (0) ⋅D (t ) +x
t
⎰h (t -τ) ⋅f (τ) d τ (B-1)
其中D(t)是对单位初始位移的响应，V （t ）是对单位初始电压的响应，h （t ）是脉冲响
应，f （t ）是外部输入的力，假设外部输入力f （t ）是一个定常的零均值的随机过程，可以证实x （t ）也是一个定常的零均值过程，也证明了x （t ）的初始条件为0，考虑到系统响应x(t-ti ) 中的x(ti ) 要满足以下条件：
A ≤x (t i ) ≤A (B-2)
-
+
由于系统假设是线性的，整个系统的响应包含了3部分： 1. x(ti ) 的系统响应
(t i ) 的系统响应 2. x
3.f （t ）的系统响应，其中f （t ）假设是随机的并且是定常的，即：
(t i ) ⋅V (t -t i ) +x (t -t i ) =x (t i ) ⋅D (t -t i ) +x
⎰
t
t i
h (t -τ) ⋅f (τ) d τ (B-3)
假设X 是x(t-ti ) 的随机过程，F 是f(t-ti ) 的随机过程， x （t ）的平均值为：
E [X (t )]=E x (0) |A ≤x (0) ≤A +
[
-+
(0) |A ]+E [x
-
≤x (0) ≤A
+
]
⎰
t
h (t -τ) ⋅E [F (τ)]⋅d τ
(B-4)
(t i ) 也是一个平均值为0的定常随机由于x （t ）是一个平均值为0的定常随机过程，x
系统并且与x （t ）是独立的，因此：
(0)]=E [x (0) |A ≤x ≤A ]=0 (B-5) E [x
-
+
假设
A =E [x (0) |A ≤x (t ) ≤A ]≥A (B-6)
-
+
-
且
b (t ) =
⎰h (t -τ) ⋅E [F (τ)]⋅d τ (B-7)
t
X （t ）的期望值为：
E [x (t )]=A ⋅D (t ) +b (t ) (B-8)
如果f （t ）是零均值、定常、白噪声随机过程，它与x （t ）是相互独立的，因此输入的
力是一个白噪声随机过程：
E [F (t )]=E [f (t )]=0 (B-9)
且E [x (t )]=A ⋅D (t ) (B-10)
理论上来讲，如果输入的力f （t ）不是一个白噪声随机过程，b （t ）不为0，已经证实了如果输入信号时零-意义的定常随机过程，由随机衰减方法产生的自由衰减系统响应的误差在允许的工程限制之内，由于实际的样本数不可能是无穷的，可用数学平均值来产生随机衰减图。
δ(t ) =
1N
N
⋅∑x (t i +τ) (B-11)
i =1
它是E[X(t)]的一个近似值。作为拇指的一个条件（？？）建议平均数N 取值要大，τ至少要比最低系统频率长3倍。由于模态有关的因素由相应模态下的相关幅值所决定，通常是振动模态，模态参与因素越高就越准确，后来的识别也越准确。
多输入多输出的线性系统的随机衰减方法也相同，除了一个测试点要作为一个参照点，平均时间t i ，是：
A ≤x R (t i ) ≤A (B-12)
-
+
其中x R (t)是系统在参照点的响应，得到的随机衰减图，被证明含有对特定初始条件甚至是其他测试点的确定性系统响应。
随机衰减方法并不仅局限于位移，电压和加速度的测量也可以使用，对于转子轴承系统，由于自然的输入信号，随机衰减方法只用于当一个随机外部输入的力是已知的，这可以通过振动器或者电磁轴承作为输入来得到。
B2 yule-walker 方程
yule-walker 等式是一种直接基于假设输入信号是独立的随机过程的一种方法，这个性质直接被用来消除ARMA 模型中的输入信号部分，用最小二乘法来求AR 参数。
在离散时间上输入和输出的关系可表述为：
x (k ) =-a 1⋅x (k -1) - -a p ⋅x (k -p ) +b 0⋅f (k ) +b 1⋅f (k -1) + +b p ⋅f (k -p )
(B-13)
假设输入的力是一个独立的随机过程:
E [f (i ) ⋅f (j )]=0 i ≠j (B-14)
T
从误差公式可以看出，没有参照源：
E [f (k -p +s 1) ⋅x (k -p -1-s 2)]=0 (B-15)
T
当 s 1≥0, s 2≥0时,
⎡⎧
E ⎢⎨x (k ) +⎣⎩
p
∑
i =1
⎤⎫T
a i ⋅x (k -i ) ⎬⋅x (k -p -1-s ) ⎥=0 (B-16)
⎭⎦
当s>0，结合公式16，可以得到yule-walker 等式：
E [R k ]⋅θ=E [T k ] (B-17)
**
其中
θ
T
=a 1⋅I ,
[
a 2⋅I ,
a p ⋅I (B-18)
]
)
⎡x k -p -1⎤⎢⎥*T
R k =⎢ ⎥⋅x k -1
⎢x k -p -p ⎥⎣⎦
(
T
x k -p (B-19)
⎡x k -p -1⎤⎢⎥T *
T k =-⎢ ⎥⋅x k (B-20)
⎢x k -p -p ⎥⎣⎦
公式17中的期望值可以通过求和来近似得到，yule-walker 等式可表示为：
R k ⋅θ=T k (B-21)
其中
k
R k =
∑R
i =2p +1k
*
i
(B-22)
T k =
∑T
i =2p +1
*i
(B-23)
典型的，用最小二乘法来求θ，递归图来求时间变化的AR 参数。
事实上，输入的力不可能是单纯的白噪声或者一个独立的随机系统，这些条件可以通过假设输入的力是一个过滤噪声来缓减，这个滤波器假设是稳定地，典型的系统阶次冗余可用来解释这些寄生极点，这些寄生极点的估计是比较不稳定的具有较高的阻尼比。
几种参数识别方法总结