苗姑娘首发！
一般线性代数的教科书上，书的开始通过求解二元线性方程组，给出二阶行列式的对角线法则。接着把对角线法则推广到三阶行列式。然后观察二阶、三阶行列式的形式，发现逆序数全排列形式，最后直接给出n 阶行列式的逆序数全排列形式定义。可能会让读者有一种不清晰的感觉。
下面通过降阶求解“可以使用克拉默法则的”‘此类线性方程组’，给出n 阶行列式的逆序数形式定义。
首先明确行列式的引入是为了更加方便的求解线性方程组！或者说行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式！！！
下面是从百度百科上复制的行列式的发展历史！行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为’解伏题之法’的著作，距今已有340年之久！意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。
复制到此为止！
对角线法则是一种帮助人们记忆的法则！就像著名的程大伟的韩信点兵的诗句：‘三子同行七十稀，五树梅花廿一枝七子团圆月正半，除百零五便得知
这就是方便人们记忆，使用这些不是那么直白的公式！当然背后都是有其数学原理的！为了更加方便记住该公式，发现了三阶行列式对角线法，更容易求解三阶行列式。但是接着
发现对角线法推到更高阶时告以失败，接着聪慧的数学家们发现了逆序数全排列的形式！下面是我的马后炮，但是我相信，马后炮放多了，也会放马前炮的！下面谈论证明思路。
说说归纳猜测的方法，首先数学家们凭着自己的慧眼，看到了逆序数全排列的形式，真的很牛叉！
三阶行列式是由二阶行列式变来，四阶行列式由三阶行列式得到，五阶由四阶得到，以此类推，最后归纳！
先说明二阶线性方程组，讲解降阶的方法！然后再递推时主要用到按行展开。声明逆序数全排列定义的算法必然导致按行展开式和如果两行或两列元素一样，则这个行列式为0. 因为行列式遵从逆序数全排列的形式。声明这两点以后，证明递推时将会提供理论依据。由于n 元n 个线性方程组成的线性方程组
a 11×x 1+a 12×x 2=b 1①a 21×x 1+a 22×x 2=b 2②
对上面的二元线性方程组，为了消去未知元x2，方程①的左右两边*方程②中x2的系数a22, 方程②的左右两边*方程①中x2的系数a12,相减，规定则有
a 11a 12b 1a 12
*x =
a 21a 221b 2a 22
其中规定
a 11a 12
=a 11×a 22-a 12×a 21
a 21a 22
下面谈论三元方程组
a 11*x 1+a 12*x 2+a 13*x 3=b 1①a 21*x 1+a 22*x 2+a 23*x 3=b 2②a 31*x 1+a 32*x 2+a 33*x 3=b 3③
下面降阶处理，消去x3, 应用与二元一样的方法！，
a 11a 13a
x 1+12
a 21a 23a 22a 21a 23a 22
x +
a 31a 331a 32
a 13b x 2=1a 23b 2a 23b 2
x =a 332b 3
a 13a 23
注：由方程①②结合消去X3,得到
a 23
a 33注：由方程②③结合消去X3,得到
那么通过上面看得出来此时三元方程组已成功降阶成二元方程组。并且二元方程组的解X1,X2与三元方程组解X1,X2相同。
D =
a 11a 13a 21a 23a 21a 23a 31a 33
a 12a 22a 22a 32
a 13a 23a 23a 33
D 1=
;
b 1b 2b 2b 3
a 13a 23a 23a 33
a 12a 22a 22a 32
a 13a 23a 23a 33
;
则由二元线性方程组的求解法有x1=D1/D;
下面是MATLAB 计算D 和D1; 注意虽然使用的是MATLAB 求解，但必须声明这里计算D 或D1只要用到二阶行列式的计算法则即可。因为不论D 或D1本身而言，均是二阶矩阵，且每一个元素也是二阶矩阵。只用到二阶行列式的定义即可求出D 、D1. 不用引进别的计算法则。为了便于阅读，计算结果与计算过程分开写。
计算结果为：
a 11a 13a 21a 23a 21a 23a 31a 33b 1b 2b 2b 3
a 13a 23a 23a 33
b 1
x 1=D 1/D =b 2
b 3
a 12a 13a 22a 23a 22a 23a 32a 33a 12a 22a 22a 32a 12a 22a 32
a 13a 23a 23a 33a 13
a 11a 12a 13
=a 23×a 21a 22a 23
a 31a 32a 33
D =
；
b 1
=a 23×b 2
b 3
a 11
a 12a 22a 32
a 12a 22a 32a 13a 23a 33
a 13a 23a 33
D 1=
a 23÷a 21a 33a 31
注：论降阶后的系数行列式与降阶前的系数行列式的之间的关系：降阶后/降阶前=f；在三元消去x3转成二元时，用到两次方程②，其中一次为①②，另一次为②③。而注意a23为方程②的x3的系数！本来每一个方程都必须使用一次，像这样才能保证降元后的方程得到的解必是降元前的方程解！对于n 元n 个线性方程组成的线性方程组降成（n-1）元（n-1）个线性方程组成的线性方程组。所需要的方程个数为（n-1）*2个也就是2*n-2个，而除去本来必须使用的n 个，则剩下（n-1）个，这（n-1）个是可以随意选取的。每个方程必须要使用一次，若方程k 除去必须出现的一次以外，又出现使用的次数为t 的话，且若消去的
t
x (a ) m km 元是得情况下，那么将会作为f 的一个乘积因子。
当然这是定义了三阶行列式的逆序数全排列的运算法则的情况下。根据二阶行列式D 的计算结果不妨定义三阶行列式的
a 11a 12a 13
定义a 21a 22a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31−a 11a 23a 32
a 31a 32a 33
计算四元线性方程组：
a 11*x 1+a 12*x 2+a 13*x 3+a 14*x 4=b 1①a 21*x 1+a 22*x 2+a 23*x 3+a 24*x 4=b 2②a 31*x 1+a 32*x 2+a 33*x 3+a 34*x 4=b 3③a 41*x 1+a 42*x 2+a 43*x 3+a 44*x 4=b 4④
①‘’由方程①②消去x4得到；②＇＇由方程②③消去ｘ4得到；③＇＇由方程③④消去ｘ4
a 11a 14a 14b 1a ×x a 12a 14a 13
1+×x 2+
21a 24a 22a 24a 23
a ×x 3=a 14
①'' 242a 24
得到
a 21a 24a ×x a a 24x a a 24b a 24
1+22×2+23×x 23=②''
31a 34a 32a 34a 33a 34b 3a 34a 31a 34×x +a 32a 34×x a
33
a 34a 12+a ×x b a 34
3=3a ③
' 41a 44a 42a 44a 43
44444
则上面的线性方程组成了三元线性方程组。按照上面已定义的三阶行列式去求解。
a 11a 14a 12a 14a 13a 14a
21a 24a 22a 24a 23a 24E
=
a 21a 24a 22a 24a 23a 24a 31a 34a 32a 34a 33a 34a 31a 34a 32a 34a 33a 34a
41
a
44
a
42
a
44
a
43
a
44
b
1a 14a 12a 14a 13a 14b
2a 24a 22a 24a 23a 24E 1
=
b 2a 24a 22a 24a 23a 24b 3a 34a 32a 34a 33a 34b 3a 34a 32a 34a 33a 34b
4
a
4
4
a
42
a
44
a
43
a
4
4
a 11a 14a 21a 24
E =
a 21a 24a 31a 34a 31a 34a 41a 44b 1b 2
则x1=E1/E;计算结果E 1=
a 12a 14a 22a 24a 22a 24a 32a 34a 32a 34a 42a 44a 12a 14a 22a 24a 22a 24a 32a 34a 32a 34a 42a 44a 12a 22a 32a 42
a 13a 23a 33a 43
a 13a 23a 14a 24
a 23a 24a 33a 34a 33a 43a 13a 23
a 34a 44a 14a 24
a 11a
=a 24a 3421
a 31a 41a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a a 34a 44
a 14a 24a 24a 34a 34a 44
b 2b 3b 3b 4
a 23a 24a 33a 34a 33a 43
a 34a 44
b 1b
=a 24a 342
b 3b 4a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a 24a 34a 44
b 1b 2
x 1=E 1/E =
b 3b 4a 14a 11a 12a 13a 14a 24a 21a 22a 23a 24
÷
a 34a 31a 32a 33a 34a 44a 41a 42a 43a 44
这是通过观察三阶行列式E 计算结果结果，不妨定义四阶的逆序数全排列计算法则。注：在四元消去x 4转成三元时，用到两次方程②，其中一次为①②，另一次为②③。
而注意a24为方程②的x4的系数！在四元消去x 4转成三元时，用到两次方程③，其中一次为③②，另一次为③④。注意a34为方程③的x4的系数！
a 11*x 1+a 12*x 2+a 13*x 3+a 14*x 4+a 15*x 5=b 1①a 21*x 1+a 22*x 2+a 23*x 3+a 24*x 4+a 25*x 5=b 2②
计算五元线性方程组：a 31*x 1+a 32*x 2+a 33*x 3+a 34*x 4+a 35*x 5
=
b 3③
a 41*x 1+a 42*x 2+a 43*x 3+a 44*x 4+a 45*x 5=b 4④a 51*x 1+a 52*x 2+a 53*x 3+a 54*x 4+a 55*x 5=b 5⑤
把五元降成四元，这里采取消去x 3, 降好后的四元线性方程组如下：
a 11a 13a 12a 13a 14a 13a 15a 13b 1a 13
x +x +x +x =①②
a 21a 231a 22a 232a 24a 234a 25a 235b 2a a 11a 13a a a a a a b a
x 1+1213x 2+1413x 4+1513x 5=113①③
a 31a 33a 32a 33a 34a 33a 35a 33b 3a 33a 21a 23a a a a a a b
x 1+2223x 2+2423x 4+2523x 5=2
a 41a 43a 42a 43a 44a 43a 45a 43b 4
a 23
②④a 43
a 31a 33a 32a 33a 34a 33a 35a 33b 3a 33
x +x +x +x =③⑤
a 51a 531a 52a 532a 54a 534a 55a 535b 5a 53
则按照已发现的四元计算法则计算：
计算结果为：
a 11a 13a 21a 23a 11a 13a 31a 33a 21a 23a 41a 43a 31a 33a 51a 53b 1b 2b 1b 3b 2b 4b 3b 5
a 13a 23a 13a 33a 23a 43a 33a 53
a 12a 13a 22a 23a 12a 13a 32a 33a 22a 23a 42a 43a 32a 33a 52a 53a 12a 22
a 13a 23
a 14a 13a 24a 23a 14a 13a 34a 33a 24a 23a 44a 43a 34a 33a 54a 53a 14a 24
a 13a 23
a 15a 13a 25a 23a 15a 13a 35a a 25a 23a 45a 43a 35a a 55a a 15a 25
a 13a 23
F =
a 11a 21
=a 13a 23a 33a 31
a 41a 51a 12a 22a 32a 42a 52a 13a 23a 33a 43a 53a 14a 24a 34a 44a 54a 15a 25a 35a 45a 55
F 1=
a 12a 13a 32a 33a 22a 42
a 23a 43
a 14a 13a 34a 33a 24a 44
a 23a 43
a 15a a 35a a 25a 45
a 23a 43
b 1
b 2
=a 13a 23a 33b 3
b 4b 5
a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23a 33a 43a 53
a 14a 15a 24a 34a 44a 54
a 25a 35a 45a 55
a 32a 33a 52a 53a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23a 33a 43a 53
a 34a 33a 54a 53a 35a a 55a a 12a 22a 32a 42a 52
b 1b 2
x 1=F 1/F =b 3
b 4b 5a 14a 15a 11a 24a 25a 21a 34a 35÷a 31a 44a 45a 41a 54a 55a 51a 13a 23a 33a 43a 53a 14a 24a 34a 44a 54a 15a 25a 35a 45a 55
注：观察四阶行列式的计算结果，不妨定义五阶行列式的逆序数全排列的计算法则。（1）. 消去的未知元为x 3。（2）方程①②③都多使用了一次。
则降阶后4阶行列式F 与降阶前的五元线性方程组的系数行列式的关系：降阶后/降阶前=f ；f =a 13a 23a 33.
>>syms a11a12a13a14a15a16a21a22a23a24a25a26a31a32a33a34a35a36a41a42a43a45a46a51a52a53a54a55a56;%定义这么多符号量，是为了后续更高阶行列式的计算。三阶转二阶的计算：
>>D3=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]D3=
[a11, a12, a13][a21, a22, a23][a31, a32, a33]
>>d11=D3(1:2,[13])
d11=[a11, a13][a21, a23]
>>d12=D3(1:2,[23])d12=[a12, a13][a22, a23]
>>d21=D3(2:3,[13])d21=[a21, a23][a31, a33]
>>d22=D3(2:3,[23])d22=[a22, a23][a32, a33]
>>D=[det(d11),det(d12);det(d21),det(d22)]D =
[a11*a23-a13*a21,a12*a23-a13*a22][a21*a33-a23*a31,a22*a33-a23*a32]>>det(D)ans =
a12*a23^2*a31-a11*a23^2*a32+a11*a22*a23*a33-a12*a21*a23*a33+a13*a21*a23*a32-a13*a22*a23*a31>>det(D3)ans =
a11*a22*a33-a11*a23*a32-a12*a21*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31>>simplify(det(D)/det(D3))ans =
a23
四阶转三阶的计算过程：
>>E4=[a11a12a13a14;a21a22a23a24;a31a32a33a34;a41a42a43a44]E4=
[a11, a12, a13, a14][a21, a22, a23, a24][a31, a32, a33, a34][a41, a42, a43, a44]>>e11=E4(1:2,[14])e11=[a11, a14][a21, a24]
>>e12=E4(1:2,[24])e12=[a12, a14][a22, a24]
>>e13=E4(1:2,[34])e13=[a13, a14][a23, a24]
>>e21=E4(2:3,[14])e21=[a21, a24][a31, a34]
>>e22=E4(2:3,[24])e22=[a22, a24][a32, a34]
>>e23=E4(2:3,[34])e23=[a23, a24][a33, a34]
>>e31=E4(3:4,[14])e31=[a31, a34][a41, a44]
>>e32=E4(3:4,[24])e32=[a32, a34][a42, a44]
>>e33=E4(3:4,[34])e33=
[a33, a34][a43, a44]
>>E=[det(e11),det(e12),det(e13);det(e21),det(e22),det(e23);det(e31),det(e32),det(e33)]E =
[a11*a24-a14*a21,a12*a24-a14*a22,a13*a24-a14*a23][a21*a34-a24*a31,a22*a34-a24*a32,a23*a34-a24*a33][a31*a44-a34*a41,a32*a44-a34*a42,a33*a44-a34*a43]>>det(E)
ans =
a11*a23*a24*a34^2*a42
-a11*a22*a24*a34^2*a43
+
a12*a21*a24*a34^2*a43
-++++--
a12*a23*a24*a34^2*a41-a13*a21*a24*a34^2*a42+a13*a22*a24*a34^2*a41a11*a24^2*a32*a34*a43-a11*a24^2*a33*a34*a42-a12*a24^2*a31*a34*a43a12*a24^2*a33*a34*a41+a13*a24^2*a31*a34*a42-a13*a24^2*a32*a34*a41a11*a22*a24*a33*a34*a44-a11*a23*a24*a32*a34*a44-a12*a21*a24*a33*a34*a44a12*a23*a24*a31*a34*a44+a13*a21*a24*a32*a34*a44-a13*a22*a24*a31*a34*a44a14*a21*a24*a32*a34*a43+a14*a21*a24*a33*a34*a42+a14*a22*a24*a31*a34*a43a14*a22*a24*a33*a34*a41-a14*a23*a24*a31*a34*a42+a14*a23*a24*a32*a34*a41>>simplify(det(E)/det(E4))ans =
a24*a34
五元变四元的计算过程：>>F5=[a11,a12,a13,a14,a15;a21,a22,a23,a24,a25;a31,a32,a33,a34,a35;a41,a42,a43,a44,a45;a51,a52,a53,a54,a55]F5=
[a11, a12, a13, a14, a15][a21, a22, a23, a24, a25][a31, a32, a33, a34, a35][a41, a42, a43, a44, a45][a51, a52, a53, a54, a55]>>f11=F5(1:2,[1,3])f11=[a11, a13][a21, a23]
>>f12=F5(1:2,[2,3])f12=[a12, a13][a22, a23]
>>f13=F5(1:2,[4,3])
f13=[a14, a13][a24, a23]
>>f14=F5(1:2,[5,3])f14=[a15, a13][a25, a23]
>>f21=F5([1,3],[1,3])f21=[a11, a13][a31, a33]
>>f22=F5([1,3],[2,3])f22=[a12, a13][a32, a33]
>>f23=F5([1,3],[4,3])f23=[a14, a13][a34, a33]
>>f24=F5([1,3],[5,3])f24=[a15, a13][a35, a33]
>>f31=F5([2,4],[1,3])f31=
[a21, a23][a41, a43]
>>f32=F5([2,4],[2,3])f32=[a22, a23][a42, a43]
>>f33=F5([2,4],[4,3])f33=[a24, a23][a44, a43]
>>f34=F5([2,4],[5,3])f34=[a25, a23][a45, a43]
>>f41=F5([3,5],[1,3])f41=[a31, a33][a51, a53]
>>f42=F5([3,5],[2,3])f42=[a32, a33][a52, a53]
>>f43=F5([3,5],[4,3])f43=[a34, a33]
[a54, a53]
>>f44=F5([3,5],[5,3])f44=[a35, a33][a55, a53]
>>
F=[det(f11),det(f12),det(f13),det(f14);det(f21),det(f22),det(f23),det(f24);det(f31),det(f32),det(f33),det(f34);det(f41),det(f42),det(f43),det(f44);]F =
[a11*a23-a13*a21,a12*a23-a13*a22,a14*a23-a13*a24,a15*a23-a13*a25][a11*a33-a13*a31,a12*a33-a13*a32,a14*a33-a13*a34,a15*a33-a13*a35][a21*a43-a23*a41,a22*a43-a23*a42,a24*a43-a23*a44,a25*a43-a23*a45][a31*a53-a33*a51,a32*a53-a33*a52,a34*a53-a33*a54,a35*a53-a33*a55]>>det(F)ans =
a11*a13*a22*a23*a33^2*a44*a55a11*a13*a23*a24*a33^2*a42*a55a11*a13*a23*a25*a33^2*a42*a54a12*a13*a21*a23*a33^2*a44*a55a12*a13*a23*a24*a33^2*a41*a55a12*a13*a23*a25*a33^2*a41*a54a13*a14*a21*a23*a33^2*a42*a55a13*a14*a22*a23*a33^2*a41*a55a13*a14*a23*a25*a33^2*a41*a52a13*a15*a21*a23*a33^2*a42*a54a13*a15*a22*a23*a33^2*a41*a54a13*a15*a23*a24*a33^2*a41*a52a11*a13*a23^2*a32*a33*a44*a55a11*a13*a23^2*a33*a34*a42*a55a11*a13*a23^2*a33*a35*a42*a54a12*a13*a23^2*a31*a33*a44*a55a12*a13*a23^2*a33*a34*a41*a55a12*a13*a23^2*a33*a35*a41*a54a13*a14*a23^2*a31*a33*a42*a55a13*a14*a23^2*a32*a33*a41*a55
-+-+-+-+-+-++-+-+-+-a11*a13*a22*a23*a33^2*a45*a54a11*a13*a23*a24*a33^2*a45*a52a11*a13*a23*a25*a33^2*a44*a52a12*a13*a21*a23*a33^2*a45*a54a12*a13*a23*a24*a33^2*a45*a51a12*a13*a23*a25*a33^2*a44*a51a13*a14*a21*a23*a33^2*a45*a52a13*a14*a22*a23*a33^2*a45*a51a13*a14*a23*a25*a33^2*a42*a51a13*a15*a21*a23*a33^2*a44*a52a13*a15*a22*a23*a33^2*a44*a51a13*a15*a23*a24*a33^2*a42*a51a11*a13*a23^2*a32*a33*a45*a54a11*a13*a23^2*a33*a34*a45*a52a11*a13*a23^2*a33*a35*a44*a52a12*a13*a23^2*a31*a33*a45*a54a12*a13*a23^2*a33*a34*a45*a51a12*a13*a23^2*a33*a35*a44*a51a13*a14*a23^2*a31*a33*a45*a52a13*a14*a23^2*a32*a33*a45*a51
-+-+-+-+-+--+-+-+-+-
a13*a14*a23^2*a33*a35*a41*a52+a13*a14*a23^2*a33*a35*a42*a51a13*a15*a23^2*a31*a33*a42*a54-a13*a15*a23^2*a31*a33*a44*a52a13*a15*a23^2*a32*a33*a41*a54+a13*a15*a23^2*a32*a33*a44*a51a13*a15*a23^2*a33*a34*a41*a52-a13*a15*a23^2*a33*a34*a42*a51a13^2*a21*a23*a32*a33*a44*a55-a13^2*a21*a23*a32*a33*a45*a54a13^2*a21*a23*a33*a34*a42*a55+a13^2*a21*a23*a33*a34*a45*a52a13^2*a21*a23*a33*a35*a42*a54-a13^2*a21*a23*a33*a35*a44*a52a13^2*a22*a23*a31*a33*a44*a55+a13^2*a22*a23*a31*a33*a45*a54a13^2*a22*a23*a33*a34*a41*a55-a13^2*a22*a23*a33*a34*a45*a51a13^2*a22*a23*a33*a35*a41*a54+a13^2*a22*a23*a33*a35*a44*a51a13^2*a23*a24*a31*a33*a42*a55-a13^2*a23*a24*a31*a33*a45*a52a13^2*a23*a24*a32*a33*a41*a55+a13^2*a23*a24*a32*a33*a45*a51a13^2*a23*a24*a33*a35*a41*a52-a13^2*a23*a24*a33*a35*a42*a51a13^2*a23*a25*a31*a33*a42*a54+a13^2*a23*a25*a31*a33*a44*a52a13^2*a23*a25*a32*a33*a41*a54-a13^2*a23*a25*a32*a33*a44*a51a13^2*a23*a25*a33*a34*a41*a52+a13^2*a23*a25*a33*a34*a42*a51a11*a13*a22*a23*a33*a34*a43*a55+a11*a13*a22*a23*a33*a34*a45*a53a11*a13*a22*a23*a33*a35*a43*a54-a11*a13*a22*a23*a33*a35*a44*a53a11*a13*a23*a24*a32*a33*a43*a55-a11*a13*a23*a24*a32*a33*a45*a53a11*a13*a23*a24*a33*a35*a42*a53-a11*a13*a23*a24*a33*a35*a43*a52a11*a13*a23*a25*a32*a33*a43*a54+a11*a13*a23*a25*a32*a33*a44*a53a11*a13*a23*a25*a33*a34*a42*a53+a11*a13*a23*a25*a33*a34*a43*a52a12*a13*a21*a23*a33*a34*a43*a55-a12*a13*a21*a23*a33*a34*a45*a53a12*a13*a21*a23*a33*a35*a43*a54+a12*a13*a21*a23*a33*a35*a44*a53a12*a13*a23*a24*a31*a33*a43*a55+a12*a13*a23*a24*a31*a33*a45*a53a12*a13*a23*a24*a33*a35*a41*a53+a12*a13*a23*a24*a33*a35*a43*a51a12*a13*a23*a25*a31*a33*a43*a54-a12*a13*a23*a25*a31*a33*a44*a53a12*a13*a23*a25*a33*a34*a41*a53-a12*a13*a23*a25*a33*a34*a43*a51a13*a14*a21*a23*a32*a33*a43*a55+a13*a14*a21*a23*a32*a33*a45*a53a13*a14*a21*a23*a33*a35*a42*a53+a13*a14*a21*a23*a33*a35*a43*a52a13*a14*a22*a23*a31*a33*a43*a55-a13*a14*a22*a23*a31*a33*a45*a53a13*a14*a22*a23*a33*a35*a41*a53
-
a13*a14*a22*a23*a33*a35*a43*a51
a13*a14*a23*a25*a31*a33*a42*a53-a13*a14*a23*a25*a31*a33*a43*a52a13*a14*a23*a25*a32*a33*a41*a53+a13*a14*a23*a25*a32*a33*a43*a51a13*a15*a21*a23*a32*a33*a43*a54-a13*a15*a21*a23*a32*a33*a44*a53a13*a15*a21*a23*a33*a34*a42*a53-a13*a15*a21*a23*a33*a34*a43*a52a13*a15*a22*a23*a31*a33*a43*a54+a13*a15*a22*a23*a31*a33*a44*a53a13*a15*a22*a23*a33*a34*a41*a53+a13*a15*a22*a23*a33*a34*a43*a51a13*a15*a23*a24*a31*a33*a42*a53+a13*a15*a23*a24*a31*a33*a43*a52a13*a15*a23*a24*a32*a33*a41*a53-a13*a15*a23*a24*a32*a33*a43*a51>>simplify(det(F)/det(F5))ans =
+-++-+-+-+-+-+--+++--+---++--+++-++---+
a13*a23*a33
苗姑娘首发！
一般线性代数的教科书上，书的开始通过求解二元线性方程组，给出二阶行列式的对角线法则。接着把对角线法则推广到三阶行列式。然后观察二阶、三阶行列式的形式，发现逆序数全排列形式，最后直接给出n 阶行列式的逆序数全排列形式定义。可能会让读者有一种不清晰的感觉。
下面通过降阶求解“可以使用克拉默法则的”‘此类线性方程组’，给出n 阶行列式的逆序数形式定义。
首先明确行列式的引入是为了更加方便的求解线性方程组！或者说行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式！！！
下面是从百度百科上复制的行列式的发展历史！行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为’解伏题之法’的著作，距今已有340年之久！意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。
复制到此为止！
对角线法则是一种帮助人们记忆的法则！就像著名的程大伟的韩信点兵的诗句：‘三子同行七十稀，五树梅花廿一枝七子团圆月正半，除百零五便得知
这就是方便人们记忆，使用这些不是那么直白的公式！当然背后都是有其数学原理的！为了更加方便记住该公式，发现了三阶行列式对角线法，更容易求解三阶行列式。但是接着
发现对角线法推到更高阶时告以失败，接着聪慧的数学家们发现了逆序数全排列的形式！下面是我的马后炮，但是我相信，马后炮放多了，也会放马前炮的！下面谈论证明思路。
说说归纳猜测的方法，首先数学家们凭着自己的慧眼，看到了逆序数全排列的形式，真的很牛叉！
三阶行列式是由二阶行列式变来，四阶行列式由三阶行列式得到，五阶由四阶得到，以此类推，最后归纳！
先说明二阶线性方程组，讲解降阶的方法！然后再递推时主要用到按行展开。声明逆序数全排列定义的算法必然导致按行展开式和如果两行或两列元素一样，则这个行列式为0. 因为行列式遵从逆序数全排列的形式。声明这两点以后，证明递推时将会提供理论依据。由于n 元n 个线性方程组成的线性方程组
a 11×x 1+a 12×x 2=b 1①a 21×x 1+a 22×x 2=b 2②
对上面的二元线性方程组，为了消去未知元x2，方程①的左右两边*方程②中x2的系数a22, 方程②的左右两边*方程①中x2的系数a12,相减，规定则有
a 11a 12b 1a 12
*x =
a 21a 221b 2a 22
其中规定
a 11a 12
=a 11×a 22-a 12×a 21
a 21a 22
下面谈论三元方程组
a 11*x 1+a 12*x 2+a 13*x 3=b 1①a 21*x 1+a 22*x 2+a 23*x 3=b 2②a 31*x 1+a 32*x 2+a 33*x 3=b 3③
下面降阶处理，消去x3, 应用与二元一样的方法！，
a 11a 13a
x 1+12
a 21a 23a 22a 21a 23a 22
x +
a 31a 331a 32
a 13b x 2=1a 23b 2a 23b 2
x =a 332b 3
a 13a 23
注：由方程①②结合消去X3,得到
a 23
a 33注：由方程②③结合消去X3,得到
那么通过上面看得出来此时三元方程组已成功降阶成二元方程组。并且二元方程组的解X1,X2与三元方程组解X1,X2相同。
D =
a 11a 13a 21a 23a 21a 23a 31a 33
a 12a 22a 22a 32
a 13a 23a 23a 33
D 1=
;
b 1b 2b 2b 3
a 13a 23a 23a 33
a 12a 22a 22a 32
a 13a 23a 23a 33
;
则由二元线性方程组的求解法有x1=D1/D;
下面是MATLAB 计算D 和D1; 注意虽然使用的是MATLAB 求解，但必须声明这里计算D 或D1只要用到二阶行列式的计算法则即可。因为不论D 或D1本身而言，均是二阶矩阵，且每一个元素也是二阶矩阵。只用到二阶行列式的定义即可求出D 、D1. 不用引进别的计算法则。为了便于阅读，计算结果与计算过程分开写。
计算结果为：
a 11a 13a 21a 23a 21a 23a 31a 33b 1b 2b 2b 3
a 13a 23a 23a 33
b 1
x 1=D 1/D =b 2
b 3
a 12a 13a 22a 23a 22a 23a 32a 33a 12a 22a 22a 32a 12a 22a 32
a 13a 23a 23a 33a 13
a 11a 12a 13
=a 23×a 21a 22a 23
a 31a 32a 33
D =
；
b 1
=a 23×b 2
b 3
a 11
a 12a 22a 32
a 12a 22a 32a 13a 23a 33
a 13a 23a 33
D 1=
a 23÷a 21a 33a 31
注：论降阶后的系数行列式与降阶前的系数行列式的之间的关系：降阶后/降阶前=f；在三元消去x3转成二元时，用到两次方程②，其中一次为①②，另一次为②③。而注意a23为方程②的x3的系数！本来每一个方程都必须使用一次，像这样才能保证降元后的方程得到的解必是降元前的方程解！对于n 元n 个线性方程组成的线性方程组降成（n-1）元（n-1）个线性方程组成的线性方程组。所需要的方程个数为（n-1）*2个也就是2*n-2个，而除去本来必须使用的n 个，则剩下（n-1）个，这（n-1）个是可以随意选取的。每个方程必须要使用一次，若方程k 除去必须出现的一次以外，又出现使用的次数为t 的话，且若消去的
t
x (a ) m km 元是得情况下，那么将会作为f 的一个乘积因子。
当然这是定义了三阶行列式的逆序数全排列的运算法则的情况下。根据二阶行列式D 的计算结果不妨定义三阶行列式的
a 11a 12a 13
定义a 21a 22a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31−a 11a 23a 32
a 31a 32a 33
计算四元线性方程组：
a 11*x 1+a 12*x 2+a 13*x 3+a 14*x 4=b 1①a 21*x 1+a 22*x 2+a 23*x 3+a 24*x 4=b 2②a 31*x 1+a 32*x 2+a 33*x 3+a 34*x 4=b 3③a 41*x 1+a 42*x 2+a 43*x 3+a 44*x 4=b 4④
①‘’由方程①②消去x4得到；②＇＇由方程②③消去ｘ4得到；③＇＇由方程③④消去ｘ4
a 11a 14a 14b 1a ×x a 12a 14a 13
1+×x 2+
21a 24a 22a 24a 23
a ×x 3=a 14
①'' 242a 24
得到
a 21a 24a ×x a a 24x a a 24b a 24
1+22×2+23×x 23=②''
31a 34a 32a 34a 33a 34b 3a 34a 31a 34×x +a 32a 34×x a
33
a 34a 12+a ×x b a 34
3=3a ③
' 41a 44a 42a 44a 43
44444
则上面的线性方程组成了三元线性方程组。按照上面已定义的三阶行列式去求解。
a 11a 14a 12a 14a 13a 14a
21a 24a 22a 24a 23a 24E
=
a 21a 24a 22a 24a 23a 24a 31a 34a 32a 34a 33a 34a 31a 34a 32a 34a 33a 34a
41
a
44
a
42
a
44
a
43
a
44
b
1a 14a 12a 14a 13a 14b
2a 24a 22a 24a 23a 24E 1
=
b 2a 24a 22a 24a 23a 24b 3a 34a 32a 34a 33a 34b 3a 34a 32a 34a 33a 34b
4
a
4
4
a
42
a
44
a
43
a
4
4
a 11a 14a 21a 24
E =
a 21a 24a 31a 34a 31a 34a 41a 44b 1b 2
则x1=E1/E;计算结果E 1=
a 12a 14a 22a 24a 22a 24a 32a 34a 32a 34a 42a 44a 12a 14a 22a 24a 22a 24a 32a 34a 32a 34a 42a 44a 12a 22a 32a 42
a 13a 23a 33a 43
a 13a 23a 14a 24
a 23a 24a 33a 34a 33a 43a 13a 23
a 34a 44a 14a 24
a 11a
=a 24a 3421
a 31a 41a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a a 34a 44
a 14a 24a 24a 34a 34a 44
b 2b 3b 3b 4
a 23a 24a 33a 34a 33a 43
a 34a 44
b 1b
=a 24a 342
b 3b 4a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a 24a 34a 44
b 1b 2
x 1=E 1/E =
b 3b 4a 14a 11a 12a 13a 14a 24a 21a 22a 23a 24
÷
a 34a 31a 32a 33a 34a 44a 41a 42a 43a 44
这是通过观察三阶行列式E 计算结果结果，不妨定义四阶的逆序数全排列计算法则。注：在四元消去x 4转成三元时，用到两次方程②，其中一次为①②，另一次为②③。
而注意a24为方程②的x4的系数！在四元消去x 4转成三元时，用到两次方程③，其中一次为③②，另一次为③④。注意a34为方程③的x4的系数！
a 11*x 1+a 12*x 2+a 13*x 3+a 14*x 4+a 15*x 5=b 1①a 21*x 1+a 22*x 2+a 23*x 3+a 24*x 4+a 25*x 5=b 2②
计算五元线性方程组：a 31*x 1+a 32*x 2+a 33*x 3+a 34*x 4+a 35*x 5
=
b 3③
a 41*x 1+a 42*x 2+a 43*x 3+a 44*x 4+a 45*x 5=b 4④a 51*x 1+a 52*x 2+a 53*x 3+a 54*x 4+a 55*x 5=b 5⑤
把五元降成四元，这里采取消去x 3, 降好后的四元线性方程组如下：
a 11a 13a 12a 13a 14a 13a 15a 13b 1a 13
x +x +x +x =①②
a 21a 231a 22a 232a 24a 234a 25a 235b 2a a 11a 13a a a a a a b a
x 1+1213x 2+1413x 4+1513x 5=113①③
a 31a 33a 32a 33a 34a 33a 35a 33b 3a 33a 21a 23a a a a a a b
x 1+2223x 2+2423x 4+2523x 5=2
a 41a 43a 42a 43a 44a 43a 45a 43b 4
a 23
②④a 43
a 31a 33a 32a 33a 34a 33a 35a 33b 3a 33
x +x +x +x =③⑤
a 51a 531a 52a 532a 54a 534a 55a 535b 5a 53
则按照已发现的四元计算法则计算：
计算结果为：
a 11a 13a 21a 23a 11a 13a 31a 33a 21a 23a 41a 43a 31a 33a 51a 53b 1b 2b 1b 3b 2b 4b 3b 5
a 13a 23a 13a 33a 23a 43a 33a 53
a 12a 13a 22a 23a 12a 13a 32a 33a 22a 23a 42a 43a 32a 33a 52a 53a 12a 22
a 13a 23
a 14a 13a 24a 23a 14a 13a 34a 33a 24a 23a 44a 43a 34a 33a 54a 53a 14a 24
a 13a 23
a 15a 13a 25a 23a 15a 13a 35a a 25a 23a 45a 43a 35a a 55a a 15a 25
a 13a 23
F =
a 11a 21
=a 13a 23a 33a 31
a 41a 51a 12a 22a 32a 42a 52a 13a 23a 33a 43a 53a 14a 24a 34a 44a 54a 15a 25a 35a 45a 55
F 1=
a 12a 13a 32a 33a 22a 42
a 23a 43
a 14a 13a 34a 33a 24a 44
a 23a 43
a 15a a 35a a 25a 45
a 23a 43
b 1
b 2
=a 13a 23a 33b 3
b 4b 5
a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23a 33a 43a 53
a 14a 15a 24a 34a 44a 54
a 25a 35a 45a 55
a 32a 33a 52a 53a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23a 33a 43a 53
a 34a 33a 54a 53a 35a a 55a a 12a 22a 32a 42a 52
b 1b 2
x 1=F 1/F =b 3
b 4b 5a 14a 15a 11a 24a 25a 21a 34a 35÷a 31a 44a 45a 41a 54a 55a 51a 13a 23a 33a 43a 53a 14a 24a 34a 44a 54a 15a 25a 35a 45a 55
注：观察四阶行列式的计算结果，不妨定义五阶行列式的逆序数全排列的计算法则。（1）. 消去的未知元为x 3。（2）方程①②③都多使用了一次。
则降阶后4阶行列式F 与降阶前的五元线性方程组的系数行列式的关系：降阶后/降阶前=f ；f =a 13a 23a 33.
>>syms a11a12a13a14a15a16a21a22a23a24a25a26a31a32a33a34a35a36a41a42a43a45a46a51a52a53a54a55a56;%定义这么多符号量，是为了后续更高阶行列式的计算。三阶转二阶的计算：
>>D3=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]D3=
[a11, a12, a13][a21, a22, a23][a31, a32, a33]
>>d11=D3(1:2,[13])
d11=[a11, a13][a21, a23]
>>d12=D3(1:2,[23])d12=[a12, a13][a22, a23]
>>d21=D3(2:3,[13])d21=[a21, a23][a31, a33]
>>d22=D3(2:3,[23])d22=[a22, a23][a32, a33]
>>D=[det(d11),det(d12);det(d21),det(d22)]D =
[a11*a23-a13*a21,a12*a23-a13*a22][a21*a33-a23*a31,a22*a33-a23*a32]>>det(D)ans =
a12*a23^2*a31-a11*a23^2*a32+a11*a22*a23*a33-a12*a21*a23*a33+a13*a21*a23*a32-a13*a22*a23*a31>>det(D3)ans =
a11*a22*a33-a11*a23*a32-a12*a21*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31>>simplify(det(D)/det(D3))ans =
a23
四阶转三阶的计算过程：
>>E4=[a11a12a13a14;a21a22a23a24;a31a32a33a34;a41a42a43a44]E4=
[a11, a12, a13, a14][a21, a22, a23, a24][a31, a32, a33, a34][a41, a42, a43, a44]>>e11=E4(1:2,[14])e11=[a11, a14][a21, a24]
>>e12=E4(1:2,[24])e12=[a12, a14][a22, a24]
>>e13=E4(1:2,[34])e13=[a13, a14][a23, a24]
>>e21=E4(2:3,[14])e21=[a21, a24][a31, a34]
>>e22=E4(2:3,[24])e22=[a22, a24][a32, a34]
>>e23=E4(2:3,[34])e23=[a23, a24][a33, a34]
>>e31=E4(3:4,[14])e31=[a31, a34][a41, a44]
>>e32=E4(3:4,[24])e32=[a32, a34][a42, a44]
>>e33=E4(3:4,[34])e33=
[a33, a34][a43, a44]
>>E=[det(e11),det(e12),det(e13);det(e21),det(e22),det(e23);det(e31),det(e32),det(e33)]E =
[a11*a24-a14*a21,a12*a24-a14*a22,a13*a24-a14*a23][a21*a34-a24*a31,a22*a34-a24*a32,a23*a34-a24*a33][a31*a44-a34*a41,a32*a44-a34*a42,a33*a44-a34*a43]>>det(E)
ans =
a11*a23*a24*a34^2*a42
-a11*a22*a24*a34^2*a43
+
a12*a21*a24*a34^2*a43
-++++--
a12*a23*a24*a34^2*a41-a13*a21*a24*a34^2*a42+a13*a22*a24*a34^2*a41a11*a24^2*a32*a34*a43-a11*a24^2*a33*a34*a42-a12*a24^2*a31*a34*a43a12*a24^2*a33*a34*a41+a13*a24^2*a31*a34*a42-a13*a24^2*a32*a34*a41a11*a22*a24*a33*a34*a44-a11*a23*a24*a32*a34*a44-a12*a21*a24*a33*a34*a44a12*a23*a24*a31*a34*a44+a13*a21*a24*a32*a34*a44-a13*a22*a24*a31*a34*a44a14*a21*a24*a32*a34*a43+a14*a21*a24*a33*a34*a42+a14*a22*a24*a31*a34*a43a14*a22*a24*a33*a34*a41-a14*a23*a24*a31*a34*a42+a14*a23*a24*a32*a34*a41>>simplify(det(E)/det(E4))ans =
a24*a34
五元变四元的计算过程：>>F5=[a11,a12,a13,a14,a15;a21,a22,a23,a24,a25;a31,a32,a33,a34,a35;a41,a42,a43,a44,a45;a51,a52,a53,a54,a55]F5=
[a11, a12, a13, a14, a15][a21, a22, a23, a24, a25][a31, a32, a33, a34, a35][a41, a42, a43, a44, a45][a51, a52, a53, a54, a55]>>f11=F5(1:2,[1,3])f11=[a11, a13][a21, a23]
>>f12=F5(1:2,[2,3])f12=[a12, a13][a22, a23]
>>f13=F5(1:2,[4,3])
f13=[a14, a13][a24, a23]
>>f14=F5(1:2,[5,3])f14=[a15, a13][a25, a23]
>>f21=F5([1,3],[1,3])f21=[a11, a13][a31, a33]
>>f22=F5([1,3],[2,3])f22=[a12, a13][a32, a33]
>>f23=F5([1,3],[4,3])f23=[a14, a13][a34, a33]
>>f24=F5([1,3],[5,3])f24=[a15, a13][a35, a33]
>>f31=F5([2,4],[1,3])f31=
[a21, a23][a41, a43]
>>f32=F5([2,4],[2,3])f32=[a22, a23][a42, a43]
>>f33=F5([2,4],[4,3])f33=[a24, a23][a44, a43]
>>f34=F5([2,4],[5,3])f34=[a25, a23][a45, a43]
>>f41=F5([3,5],[1,3])f41=[a31, a33][a51, a53]
>>f42=F5([3,5],[2,3])f42=[a32, a33][a52, a53]
>>f43=F5([3,5],[4,3])f43=[a34, a33]
[a54, a53]
>>f44=F5([3,5],[5,3])f44=[a35, a33][a55, a53]
>>
F=[det(f11),det(f12),det(f13),det(f14);det(f21),det(f22),det(f23),det(f24);det(f31),det(f32),det(f33),det(f34);det(f41),det(f42),det(f43),det(f44);]F =
[a11*a23-a13*a21,a12*a23-a13*a22,a14*a23-a13*a24,a15*a23-a13*a25][a11*a33-a13*a31,a12*a33-a13*a32,a14*a33-a13*a34,a15*a33-a13*a35][a21*a43-a23*a41,a22*a43-a23*a42,a24*a43-a23*a44,a25*a43-a23*a45][a31*a53-a33*a51,a32*a53-a33*a52,a34*a53-a33*a54,a35*a53-a33*a55]>>det(F)ans =
a11*a13*a22*a23*a33^2*a44*a55a11*a13*a23*a24*a33^2*a42*a55a11*a13*a23*a25*a33^2*a42*a54a12*a13*a21*a23*a33^2*a44*a55a12*a13*a23*a24*a33^2*a41*a55a12*a13*a23*a25*a33^2*a41*a54a13*a14*a21*a23*a33^2*a42*a55a13*a14*a22*a23*a33^2*a41*a55a13*a14*a23*a25*a33^2*a41*a52a13*a15*a21*a23*a33^2*a42*a54a13*a15*a22*a23*a33^2*a41*a54a13*a15*a23*a24*a33^2*a41*a52a11*a13*a23^2*a32*a33*a44*a55a11*a13*a23^2*a33*a34*a42*a55a11*a13*a23^2*a33*a35*a42*a54a12*a13*a23^2*a31*a33*a44*a55a12*a13*a23^2*a33*a34*a41*a55a12*a13*a23^2*a33*a35*a41*a54a13*a14*a23^2*a31*a33*a42*a55a13*a14*a23^2*a32*a33*a41*a55
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