复变函数与积分变换试题及答案7

复变函数与积分变换试题与答案

一、填空（每题2分）

1．z=i的三角表示式是：。指数表示式是 2．|z-1|=4在复平面上表示的曲线是一个 3．8的全部单根是： 。 。 其中。

4．函数在f(z)=|z|2在z平面上是否解析 5．设C是正向圆周|z|=1，积分6．函数f(z)1

2

dz

cz2

e

的弧立奇点是(1z)2

是极点，是本性奇点。

。

7．级数1zz2zn在|z|

1．零的辐角是零。 2．i

（ （ （ （ （ （ （

） ） ） ） ） ） ）

3．如果f(z)在z0连续，那么f(z0)存在。 4．如果f(z0)存在，那f(z)在z0解析。 5．e2ez

6．解析函数的导函数仍为解析函数

7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。

8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1

9．单位脉冲函数(t)与常数1构成一个傅氏变换对。 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 三、计算题（每题6分） 1．c

21

2．|z|4dz（积分沿正向圆周进行）

z1z3

sinz

dz（其中C为正向圆周|z|=1） z3

（ （

） ）

3．|z|2

4．求函数f(z)

zez

dz（积分沿正向圆周进行） z21

1

在无穷远点处的留数

(zi)10(z2)

四、求解题（每题6分）

1． 求函数u(x,y)x2y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数

f(z)，使f（0）=0。

2． 求函数f(z)

1

在0|z1|1内的罗朗展开式。 2

z(1z)

五、解答题（每题6分）

0

1．求函数f(t)t0的傅氏变换F()。

et

t0

2．求方程

y2y3yet满足初始条件yt01，

yt00的解。

参考答案

一、1． cos

i

2

2

isin



2

，e 2. 圆 3. 1-3i 4. 否

5. 0

6. 1，∞，1，∞

8. 保角性，保圆性，保对称性

二、1．×

2. × 3. × 4. × 5. 7.√

8. √

9. √

10. √

1+3i 7

1

1z

．

6. √2

×

三、1．解：原式=

2i

(sinz)z0 4分=sinzz0=0 2!

3分

2．解：原式=（2分）3．解：（2dz2

6i |z|4z1|z|4z3dz（3分）=2i4i（1分）

z1

111z1

edz（3分）[ez|z|222z1z1

ez

z1

]2i（1分）=2ich1

11

4．解：Res[f,]（2分）Resf2,0

zz



9

11zRes,0（1分）Res,02(1zi)10(12z)0（2分） 1101z

i2

zz

四、解：∵

u

2x xu

2y y

（1分）

∴f(z)

uvuvii2z xxxx

2

（3分）

∴f(z)=z

2

∴f(z)zc

∵f(0)=0 （1分）

（1分）



11

(1)n(z1)n 2．解：

z1z1n0

（4分）

∴f(z)五、解：

(1)(z1)

n

n0



n2

（2分）

it

F()(2分）(t)edt





（2分）



0

eteitdt=（2分）

-t

1

i

2．解：∵F [y2y3y]=F [e]

∴S2Y（S）SY（0）Y（0）2[SY（S）Y（0）]3Y（S）∴(S22S3)Y（S）

∴Y（S）

1

S1

(2分)

2 S1

S2

(S1)(S1)(S3)

∴y(t)Res[Y（S）est,Sk]

S2est

(S1)(S3)

S2est

(S1)(S3)s1

(S2)est



(S1)(S1)s3

s1

（2分）

311

=etete3t 848

（1分）

复变函数与积分变换试题与答案

一、填空（每题2分）

1．z=i的三角表示式是：。指数表示式是 2．|z-1|=4在复平面上表示的曲线是一个 3．8的全部单根是： 。 。 其中。

4．函数在f(z)=|z|2在z平面上是否解析 5．设C是正向圆周|z|=1，积分6．函数f(z)1

2

dz

cz2

e

的弧立奇点是(1z)2

是极点，是本性奇点。

。

7．级数1zz2zn在|z|

1．零的辐角是零。 2．i

（ （ （ （ （ （ （

） ） ） ） ） ） ）

3．如果f(z)在z0连续，那么f(z0)存在。 4．如果f(z0)存在，那f(z)在z0解析。 5．e2ez

6．解析函数的导函数仍为解析函数

7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。

8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1

9．单位脉冲函数(t)与常数1构成一个傅氏变换对。 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 三、计算题（每题6分） 1．c

21

2．|z|4dz（积分沿正向圆周进行）

z1z3

sinz

dz（其中C为正向圆周|z|=1） z3

（ （

） ）

3．|z|2

4．求函数f(z)

zez

dz（积分沿正向圆周进行） z21

1

在无穷远点处的留数

(zi)10(z2)

四、求解题（每题6分）

1． 求函数u(x,y)x2y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数

f(z)，使f（0）=0。

2． 求函数f(z)

1

在0|z1|1内的罗朗展开式。 2

z(1z)

五、解答题（每题6分）

0

1．求函数f(t)t0的傅氏变换F()。

et

t0

2．求方程

y2y3yet满足初始条件yt01，

yt00的解。

参考答案

一、1． cos

i

2

2

isin



2

，e 2. 圆 3. 1-3i 4. 否

5. 0

6. 1，∞，1，∞

8. 保角性，保圆性，保对称性

二、1．×

2. × 3. × 4. × 5. 7.√

8. √

9. √

10. √

1+3i 7

1

1z

．

6. √2

×

三、1．解：原式=

2i

(sinz)z0 4分=sinzz0=0 2!

3分

2．解：原式=（2分）3．解：（2dz2

6i |z|4z1|z|4z3dz（3分）=2i4i（1分）

z1

111z1

edz（3分）[ez|z|222z1z1

ez

z1

]2i（1分）=2ich1

11

4．解：Res[f,]（2分）Resf2,0

zz



9

11zRes,0（1分）Res,02(1zi)10(12z)0（2分） 1101z

i2

zz

四、解：∵

u

2x xu

2y y

（1分）

∴f(z)

uvuvii2z xxxx

2

（3分）

∴f(z)=z

2

∴f(z)zc

∵f(0)=0 （1分）

（1分）



11

(1)n(z1)n 2．解：

z1z1n0

（4分）

∴f(z)五、解：

(1)(z1)

n

n0



n2

（2分）

it

F()(2分）(t)edt





（2分）



0

eteitdt=（2分）

-t

1

i

2．解：∵F [y2y3y]=F [e]

∴S2Y（S）SY（0）Y（0）2[SY（S）Y（0）]3Y（S）∴(S22S3)Y（S）

∴Y（S）

1

S1

(2分)

2 S1

S2

(S1)(S1)(S3)

∴y(t)Res[Y（S）est,Sk]

S2est

(S1)(S3)

S2est

(S1)(S3)s1

(S2)est



(S1)(S1)s3

s1

（2分）

311

=etete3t 848

（1分）