相交线与平行线
一、知识要点：
1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.
5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.
6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.
7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .
8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________
.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。.
方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。
典型例题：
例1．下列说法正确的有( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 练一练：如图所示,下列说法不正确的是( )
A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段
B
CA
D
例2.已知：如图， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。
G
练一练：.如图，若AB//EF，∠C= 90°，求x+y-z 度数。
例3．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
练一练：
6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？
练一练：光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB
和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°， ∠3=75°，求∠2
例5
.如图所示，∠BOD=45°，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是．
例6.如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？
练一练：如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？
例7．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
练一练：平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？
家庭作业
1.一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 2.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______. 3.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，把长方形纸片沿EF折叠，使D，C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB=65， 则∠AED'等于
AC
E
B
D
5．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？
6. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.
l2ll1
∠BAP+∠APD=180，∠1=∠2 7.已知：如图，
l1
l2l3
求证：∠E=∠F
8.已知：如图，DG⊥BC ，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2 求证：CD⊥AB
A F C
E
B
P
D
9.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等. (1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行, 且∠1=50°,则∠2= °，∠3= °.
(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °. (3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3= °时,可以 使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光 线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?
10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS⊥GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ
＝
11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过
个。
13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B
14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
a3
1m
b
2
n
15．如图，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，
∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA⊥AB
第 15 题
16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？
17．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。
相交线与平行线
一、知识要点：
1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.
5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.
6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.
7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .
8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________
.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。.
方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。
典型例题：
例1．下列说法正确的有( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 练一练：如图所示,下列说法不正确的是( )
A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段
B
CA
D
例2.已知：如图， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。
G
练一练：.如图，若AB//EF，∠C= 90°，求x+y-z 度数。
例3．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
练一练：
6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？
练一练：光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB
和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°， ∠3=75°，求∠2
例5
.如图所示，∠BOD=45°，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是．
例6.如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？
练一练：如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？
例7．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
练一练：平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？
家庭作业
1.一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 2.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______. 3.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，把长方形纸片沿EF折叠，使D，C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB=65， 则∠AED'等于
AC
E
B
D
5．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？
6. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.
l2ll1
∠BAP+∠APD=180，∠1=∠2 7.已知：如图，
l1
l2l3
求证：∠E=∠F
8.已知：如图，DG⊥BC ，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2 求证：CD⊥AB
A F C
E
B
P
D
9.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等. (1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行, 且∠1=50°,则∠2= °，∠3= °.
(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °. (3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3= °时,可以 使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光 线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?
10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS⊥GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ
＝
11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过
个。
13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B
14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
a3
1m
b
2
n
15．如图，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，
∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA⊥AB
第 15 题
16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？
17．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。