《植树问题》教学案例解读
汪灵杰
《植树问题》是人教版教材五年级上册数学广角里的内容，本课旨在向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。在小学数学教学中一直属于典型应用题范畴，因其内容相对独立、数量关系典型、类型变化多端、蕴含丰富的数学思想方法，而受到人们的重视。本文试图从阐述“植树问题”的数学本质入手，通过对《植树问题》典型教学片断的解读，体现“在解决问题的过程中渗透数学思想方法”的观点。
一、植树问题的数学本质究竟是什么？
“植树问题”通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树的要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。所以教材将植树问题分为几个层次——两端都栽；两端都不栽；只栽一端；环形情况等。
在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为“植树问题”。所以，“植树问题”尽管有着良好的现实原型，但在教学中又必须超出这一特定情境以引出普遍性的数学模式，也就是平时通俗说的“数学来自生活，又高于生活的含义”。这里的数学模式，可以理解为从数学模型的角度来本质理解“植树问题”。
“植树问题”的实质究竟是什么？“植树问题”是研究“树的棵树”与“两棵树之间间隔数”之间的数量关系问题，其实质就是点与段的对应问题。点段模型就是把“植树”这件事，根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，在简化后得到的一个抽象结构———点与段的一一对应关系。点段模型同样适合于设置车站，路灯、台阶、敲钟、锯木头、求经过日期等等问题，“树，路灯，车站，锯几下，钟的响声”等等可以抽象看成“点”，“各种（树，路灯，车站，两次敲钟）间隔”可以抽象看成“段”，点数与段数之间的数量关系结构都一样。
二、教学设计和教学实践中要注意什么？（以林了子老师执教的植树问题为例解析教学） “植树问题”的实质分析告诉我们，在“植树问题”的教学实践中，我们应明确这样的教学要求：第一，要让学生明白植树问题类型的特殊性，即是一种“点段模型”教学。如何引导学生以“植树问题”原型为背景建立起“点段模型”，是有效教学的关键所在。第二，深刻理解“点”和“段”之间的一一对应关系。将求棵树的问题转化成求点段图中的点的个数问题再转化为求段数的问题：段数 = 总长度÷间距。第三，运用点段模型解决其他问题，实现同类模型结构的识别。当我们运用点段模型解决其他问题时，首先引导学生要对实际问题的背景进行深入的了解，通过画图、符号抽象表示出实际问题中对应植树问题的“点”和“段”，再利用具体的“点”“段”对应关系解决问题，这也是学生理解植树问题的真正困难所在。
【片断一】让学生自然地认识到一一对应的重要性
师：小朋友排成20米长的一列队伍，每隔5米站一个人，共有多少人？
生1：20÷5+1
生2：20÷5+2
生3：20÷5
师：谁上黑板来摆一摆，这个队伍多长？你是怎么看出是20米的呢？你能上来画一画吗？（教师给学生提供了教具）
师：你对他画的还有什么补充吗？
那这三位同学的算式，都有什么共同的特征？
生：都有个20÷5。
师：这20÷5表示什么意思？
生：把20米长的队伍，每5米分成一段，可以分成4段。
师：板书（段，间隔），那为什么要20÷5+1呢？
生1：头站尾不站。
生2：每2个人之间有一个间隔。
生3：人数比间隔数多1。
师：你能上来画一画吗？让我们一眼就能看出来人数比间隔数多1。
生上黑板画图圈一圈。
师：一个人对应一个间隔，这样一一对应后，人数比间隔数怎么样？
生：多1。
师：再次强调一一对应的关系。
【解读：一线教师都会认同，“植树问题”一课需要渗透一一对应的数学思想，可如何无痕渗透，而不是简单生硬地灌输，确实不是件容易的事。同时，学生只有理解了一一对应，才能真正明白数量关系中的+1、-1 和不加不减的含义，才能做到知其然，知其所以然。片断一教学中，通过学生排队站立的人数问题情境，再让学生动手操作圈一圈这一环节，可以让学生对一一对应的理解更自然，也更合理，为理解抽象的点段模型打下基础。】
【片断二】让学生经历数学建模的抽象过程
课件呈现问题：在一条20米的小路一边植树，路的末尾有一幢房子（只种一端情况），每隔5米栽一棵，共栽几棵？
教师引导学生独立思考，解答（引导学生自己尝试用画图或实物等多种方法，
多途径来
解决植树问题，学生在练习纸上画图完成。）
反馈学生作品。
师：20÷5=4，唉，你们刚才说的，求出来的4为段数，能不能作为棵树？
生1：能，因为20÷5+1-1=4
生2：棵树与段数相对应。
师：很好，她有个词我很喜欢... （相对应）
生：棵树与段数一一对应起来，所以一棵不多，一棵不少，棵数就等于段数。
师：好，只种一端搞清楚了，那如果这条路的两端都有一幢房子呢？（两端都不种情况） 生：那就段数减去1。
教师小结三种种树的情况，并PPT 出示线段图表示的种树情况。
师：可数学课不像美术课，美术课我们画出精美的图，而数学要求简洁，请看PPT ，你觉得树种哪里？他们共同的地方在哪里？树与马路之间有什么关系？
生说出线段图表示的植树问题，点数与段数之间的关系。
教师结合学生说的并板书（板书：路长÷间隔=段数，段数+1 =棵数）
师：如果这条马路变得很长很长，若要在全长2000米的小路一边植树（三种种法），每隔10米种一棵树，一共要准备多少棵树苗？你还会吗？
两端都种：生1：2000÷10+1
只种一端：生2：2000÷10
两端都不种：生3：2000÷10-1
【解读：从“植树问题”到“植树模型”的建构，需要让学生经历一个抽象的建模过程。在引导学生经历数学建模的过程中，教师自身要明白模型思想的含义，理解植树问题的实质，并能通过直观的“线段图”帮助学生建构解决问题的模型。片断二教学中，教师引导学生通过对问题进行分析，剥离其无关的背景因素，保留其最核心的数学关系，在画图解决问题的过程中不仅经历了数学建模的抽象过程，而且积累了数学活动经验, 这一过程演绎得非常完美。】
【片断三】让学生在解决问题中感悟点段模型的抽象性
师：刚才我们理解了植树问题中蕴含的点段对应关系，知道了通过一一对应归纳出了数量关系。生活中植树问题，真的就只有植树问题吗？你能举一举吗，像这样的植树问题在生活中还有很多。比如你身上就有…
生1：手指。
生2：衣服上面的纽扣。
生3…
教师PPT 出示生活中的植树问题…
问题 1：台州国际马拉松比赛，全程长42.195公里，每隔2公里就有一个服务站，一共有多少个服务站？
问题 2：把一根木头锯成5段，每锯一次用2分钟，一共要锯多少分钟？
问题 3：两幢教学楼长100米，在两教学楼之间每隔5米种一棵树，共要种几棵树？
1. 分别指导学生说出各种情况下“点段”的意义，属于哪一种情型。
2. 寻找这些问题的共同点：都是可以理解为“植树问题的点段模型”。
师：请选择其中一个问题分析其中点段的对应关系并列式计算。
【解读：建好的“模型”，可以用来解决一类具有不同实际背景的但具有相同的数学结构的“植树问题”。片断三教学中，教师引导学生运用点段模型解决“植树问题”中的其他问题，实现了同类模型结构的识别问题。同时，学生在利用模型思想解决问题的过程中，真正理解了“植树问题”，真正感悟到点段模型的抽象性，此环节教学对于学生的抽象思维提升有较大的作用。】
《植树问题》教学案例解读
汪灵杰
《植树问题》是人教版教材五年级上册数学广角里的内容，本课旨在向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。在小学数学教学中一直属于典型应用题范畴，因其内容相对独立、数量关系典型、类型变化多端、蕴含丰富的数学思想方法，而受到人们的重视。本文试图从阐述“植树问题”的数学本质入手，通过对《植树问题》典型教学片断的解读，体现“在解决问题的过程中渗透数学思想方法”的观点。
一、植树问题的数学本质究竟是什么？
“植树问题”通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树的要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。所以教材将植树问题分为几个层次——两端都栽；两端都不栽；只栽一端；环形情况等。
在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为“植树问题”。所以，“植树问题”尽管有着良好的现实原型，但在教学中又必须超出这一特定情境以引出普遍性的数学模式，也就是平时通俗说的“数学来自生活，又高于生活的含义”。这里的数学模式，可以理解为从数学模型的角度来本质理解“植树问题”。
“植树问题”的实质究竟是什么？“植树问题”是研究“树的棵树”与“两棵树之间间隔数”之间的数量关系问题，其实质就是点与段的对应问题。点段模型就是把“植树”这件事，根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，在简化后得到的一个抽象结构———点与段的一一对应关系。点段模型同样适合于设置车站，路灯、台阶、敲钟、锯木头、求经过日期等等问题，“树，路灯，车站，锯几下，钟的响声”等等可以抽象看成“点”，“各种（树，路灯，车站，两次敲钟）间隔”可以抽象看成“段”，点数与段数之间的数量关系结构都一样。
二、教学设计和教学实践中要注意什么？（以林了子老师执教的植树问题为例解析教学） “植树问题”的实质分析告诉我们，在“植树问题”的教学实践中，我们应明确这样的教学要求：第一，要让学生明白植树问题类型的特殊性，即是一种“点段模型”教学。如何引导学生以“植树问题”原型为背景建立起“点段模型”，是有效教学的关键所在。第二，深刻理解“点”和“段”之间的一一对应关系。将求棵树的问题转化成求点段图中的点的个数问题再转化为求段数的问题：段数 = 总长度÷间距。第三，运用点段模型解决其他问题，实现同类模型结构的识别。当我们运用点段模型解决其他问题时，首先引导学生要对实际问题的背景进行深入的了解，通过画图、符号抽象表示出实际问题中对应植树问题的“点”和“段”，再利用具体的“点”“段”对应关系解决问题，这也是学生理解植树问题的真正困难所在。
【片断一】让学生自然地认识到一一对应的重要性
师：小朋友排成20米长的一列队伍，每隔5米站一个人，共有多少人？
生1：20÷5+1
生2：20÷5+2
生3：20÷5
师：谁上黑板来摆一摆，这个队伍多长？你是怎么看出是20米的呢？你能上来画一画吗？（教师给学生提供了教具）
师：你对他画的还有什么补充吗？
那这三位同学的算式，都有什么共同的特征？
生：都有个20÷5。
师：这20÷5表示什么意思？
生：把20米长的队伍，每5米分成一段，可以分成4段。
师：板书（段，间隔），那为什么要20÷5+1呢？
生1：头站尾不站。
生2：每2个人之间有一个间隔。
生3：人数比间隔数多1。
师：你能上来画一画吗？让我们一眼就能看出来人数比间隔数多1。
生上黑板画图圈一圈。
师：一个人对应一个间隔，这样一一对应后，人数比间隔数怎么样？
生：多1。
师：再次强调一一对应的关系。
【解读：一线教师都会认同，“植树问题”一课需要渗透一一对应的数学思想，可如何无痕渗透，而不是简单生硬地灌输，确实不是件容易的事。同时，学生只有理解了一一对应，才能真正明白数量关系中的+1、-1 和不加不减的含义，才能做到知其然，知其所以然。片断一教学中，通过学生排队站立的人数问题情境，再让学生动手操作圈一圈这一环节，可以让学生对一一对应的理解更自然，也更合理，为理解抽象的点段模型打下基础。】
【片断二】让学生经历数学建模的抽象过程
课件呈现问题：在一条20米的小路一边植树，路的末尾有一幢房子（只种一端情况），每隔5米栽一棵，共栽几棵？
教师引导学生独立思考，解答（引导学生自己尝试用画图或实物等多种方法，
多途径来
解决植树问题，学生在练习纸上画图完成。）
反馈学生作品。
师：20÷5=4，唉，你们刚才说的，求出来的4为段数，能不能作为棵树？
生1：能，因为20÷5+1-1=4
生2：棵树与段数相对应。
师：很好，她有个词我很喜欢... （相对应）
生：棵树与段数一一对应起来，所以一棵不多，一棵不少，棵数就等于段数。
师：好，只种一端搞清楚了，那如果这条路的两端都有一幢房子呢？（两端都不种情况） 生：那就段数减去1。
教师小结三种种树的情况，并PPT 出示线段图表示的种树情况。
师：可数学课不像美术课，美术课我们画出精美的图，而数学要求简洁，请看PPT ，你觉得树种哪里？他们共同的地方在哪里？树与马路之间有什么关系？
生说出线段图表示的植树问题，点数与段数之间的关系。
教师结合学生说的并板书（板书：路长÷间隔=段数，段数+1 =棵数）
师：如果这条马路变得很长很长，若要在全长2000米的小路一边植树（三种种法），每隔10米种一棵树，一共要准备多少棵树苗？你还会吗？
两端都种：生1：2000÷10+1
只种一端：生2：2000÷10
两端都不种：生3：2000÷10-1
【解读：从“植树问题”到“植树模型”的建构，需要让学生经历一个抽象的建模过程。在引导学生经历数学建模的过程中，教师自身要明白模型思想的含义，理解植树问题的实质，并能通过直观的“线段图”帮助学生建构解决问题的模型。片断二教学中，教师引导学生通过对问题进行分析，剥离其无关的背景因素，保留其最核心的数学关系，在画图解决问题的过程中不仅经历了数学建模的抽象过程，而且积累了数学活动经验, 这一过程演绎得非常完美。】
【片断三】让学生在解决问题中感悟点段模型的抽象性
师：刚才我们理解了植树问题中蕴含的点段对应关系，知道了通过一一对应归纳出了数量关系。生活中植树问题，真的就只有植树问题吗？你能举一举吗，像这样的植树问题在生活中还有很多。比如你身上就有…
生1：手指。
生2：衣服上面的纽扣。
生3…
教师PPT 出示生活中的植树问题…
问题 1：台州国际马拉松比赛，全程长42.195公里，每隔2公里就有一个服务站，一共有多少个服务站？
问题 2：把一根木头锯成5段，每锯一次用2分钟，一共要锯多少分钟？
问题 3：两幢教学楼长100米，在两教学楼之间每隔5米种一棵树，共要种几棵树？
1. 分别指导学生说出各种情况下“点段”的意义，属于哪一种情型。
2. 寻找这些问题的共同点：都是可以理解为“植树问题的点段模型”。
师：请选择其中一个问题分析其中点段的对应关系并列式计算。
【解读：建好的“模型”，可以用来解决一类具有不同实际背景的但具有相同的数学结构的“植树问题”。片断三教学中，教师引导学生运用点段模型解决“植树问题”中的其他问题，实现了同类模型结构的识别问题。同时，学生在利用模型思想解决问题的过程中，真正理解了“植树问题”，真正感悟到点段模型的抽象性，此环节教学对于学生的抽象思维提升有较大的作用。】