三角函数与平面向量综合题的九种类型
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例1】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.
C－3B
（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
2
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】
3π
已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥→b．
2
απ
（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(的值．
23
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
2π
【例3】 已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0
525π
＜α＜sinβsinα的值.
213
题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例4】（2010年高考安徽卷）已知0
π
4
，β为f(x)=cos(2x+
π
8
)的最小正周期，
2cos2α+sin2(α+β)
a=(tan(α+),-1),b=(cosα,2),a⋅b=m，求的值．
4cosα-sinα
β
π→练习：设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(＝2.（Ⅰ）求实数m的值；2（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
1
题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例5】 （浙江卷）如图，函数y=2sin(πx+ϕ),x∈R（其中0≤ϕ≤（Ⅰ）求ϕ的值；
π
2
）的图像与y轴交于点（0，1）。
（Ⅱ）设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，求PM与PN的夹角。
题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例6】（山东卷）在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c
，tanC=． （1）求cosC； （2）若CB⋅CA=
5
，且a+b=9，求c． 2
题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例7】（陕西卷）f(x)=a⋅b，其中向量a=(m,cos2x)，b=(1+sin2x,1)，x∈R，且函数y=f(x)的图象经过点(
π
4
,2)．
（Ⅱ）求函数y=f(x)的最小值及此时x值的集合。
（Ⅰ）求实数m的值；
题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
⎛xπ⎫
【例8】（湖北卷）将y=2cos +⎪的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为
⎝36⎭
⎛xπ⎫⎛xπ⎫
Ａ．y=2cos +⎪-2 Ｂ．y=2cos -⎪+2
⎝34⎭⎝34⎭⎛xπ⎫⎛xπ⎫
Ｃ．y=2cos -⎪-2 Ｄ．y=2cos +⎪+2
⎝312⎭⎝312⎭
题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例9】（湖北卷）设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R，函数f(x)=a⋅(a+b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥
2
3
成立的x的取值集. 2
【专题训练】 一、选择题
→1．已知→a＝(cos40︒，sin40︒)，→b＝(cos20︒，sin20︒)，则→a·b＝
A．1
B3
2
1C．
2
D．
22
（ ）
πππ
2．将函数y＝2sin2x－(，平移后得到图象对应的解析式是
222
A．2cos2x
B．－2cos2x
C．2sin2x
D．－2sin2x
→→→→→→
3．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b＜0，则△ABC是 A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．任意三角形 D．75︒
314．设→a＝(,sinα)，→b＝(cosα,)，且→a∥→b，则锐角α为
23
A．30︒
B．45︒
C．60︒
（ ）
（ ）
（ ）
3π
5．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，，则一定有 （ ）
2
A．→a∥→b B．→a⊥→b C．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b| π6．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋λ→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数λ＝
12
5A．2
3B2
5C．－
2
3D．－
2
→→→
7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2长度的最大值是
（ ）
D．23
（ ）
A．2 B3 C．32 8．若向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，则→a与→b一定满足
A．→a与→b的夹角等于α－β
C．→a∥→b
B．→a⊥→b
D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)
9．已知向量→a＝(cos25︒,sin25︒)，→b＝(sin20︒,cos20︒)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为 A2
B．1
（ ） C．
2
2
1D．
2
→＝OA→＋λ(AB→＋AC)→，λ∈10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 二、填空题
（ ） D．垂心
1
11．已知向量→m＝(sinθ，2cosθ)，→n＝(3,－).若→m∥→n，则sin2θ的值为____________．
2
→＝(2cosα，2sinα)，OB→＝(5cosβ，5sinβ)，若OA·→OB→＝－5，则S△的值12．已知在△OAB(O为原点)中，OAAOB
为_____________.
3π→→→→→→
13．已知向量m＝(1，1)向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1.则向量n＝__________．
4
3
三、解答题
→14．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·n＝1，且A为锐角. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n＝(sinA，1＋cosA)，满π足→m∥→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋的值．
6
16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．
(Ⅰ)求角A的大小；
π
(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋取最大值时，求角B的大小.
6
17．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；
ππ→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
44
18．设函数f(x)=a⋅(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx)，
c=(-cosx,sinx),x∈R．
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数y=f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小
的d．
19．已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-
（Ⅰ）若a⊥b，求θ； （Ⅱ）求a+b的最大值．
4
π
2
π
2
．
【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型
【例1】【解】（Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 33π则sin2A＝A为锐角，所以sinA＝A＝423
π
(π－B)－3B
3C－3B13π
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋＋sin2B
2232231ππππ5ππππ
＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，，∴2B－＝B＝ 2262666623ymax＝2.
→2、【解】 （Ⅰ）∵→a⊥→b，∴→a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， ＝
4→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα
3
13π14＝．∵α∈（2π），tanα＜0，故tanα＝．∴tanα＝－． 2223
3πα3π4α1αα5α
（Ⅱ）∵α∈（2π），∴π）．由tanα，求得tan，tan2（舍去）．∴＝，cos
2243222252
25152απαπαπ25153
，∴＋)＝cossin－＝－
[**************]→3、【解】 (Ⅰ)∵|→a－→b|＝5，∴→a2－2→a·b＋→b2＝，将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得
543
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)55
34512ππ
(Ⅱ)∵－β＜0＜α0＜α－β＜π，由cos(α－β)sin(α－β)，又sinβ＝－，∴cosβ＝，
22551313
33∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.
654、【解答】因为β为f(x)=cos(2x+又a⋅b=cosα⋅tan(α+
π
8
)的最小正周期，故β=π．因为a⋅b=m，
β
4
)-2，故cosα⋅tan(α+
β
4
)=m+2．
2cos2α+sin2(α+β)2cos2α+sin(2α+2π)
=由于0
4cosα-sinαcosα-sinα
π
1+tanα2cos2α+sin2α2cosα(cosα+sinα)
==2cosα⋅=
cosα-sinα1-tanαcosα-sinα=cosα⋅tan(α+
β
4
)=m+2．
πππ→练习解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1
＋sinx)＋cosx，由＝2，得m(1＋sin)＋cos2，解得m＝1.
222ππ
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，当sin(x＋＝－1时，f(x)的最小值为1－2.
445、【解答】（I）因为函数图像过点(0,1)，所以2sinϕ=1,即sinϕ=
1
. 2
5
因为0≤ϕ≤
π
2
，所以ϕ=
π
6
.
115
)及其图像，得M(-,0),P(,-2),N(,0), 6636
11
所以PM=(-,2),PN=(,-2),从而
22
（II）由函数y=2sin(πx+
π
cos=
6、【解答】（1
）
1515PM⋅PN
=，故
PM,PN>=arccos. 1717|PM|⋅|PN|
sinC1
=,又sin2C+cos
2C=1，解得：cosC=±， cosC81
tanC>0，∴C是锐角，∴cosC=．
8
55
∴a2+b2=41，（2）CB⋅CA=， ∴abcosC=，∴ab=20，又a+b=9，∴a2+2ab+b2=81，
22
tanC=，∴
∴c2=a2+b2-2abcosC=36，∴c=6．
7、【解答】（Ⅰ）f(x)=a⋅b=m(1+sin2x)+cos2x由已知f()=m
(1+sin
ππ
2
4
)+cos
π
2
=2，得m=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+x+
∴当sin(2x
+由sin(2x+
π
4
)
π
4
)=-1时，y=f(x)的最小值为1
π
3π⎧⎫)=-1，得x值的集合为⎨x|x=kπ-,k∈Z⎬． 48⎩⎭
⎛π⎫⎛xππ⎫⎛xπ⎫
8、【解答】∵a= -,-2⎪，∴平移后的解析式为y=2cos ++⎪-2=2cos +⎪-2，选A．
⎝4⎭⎝3612⎭⎝34⎭
9、【解答】（Ⅰ）∵f(x)=a⋅(a+b)=a⋅
a+a⋅b=sinx+cosx+sinxcosx+cosx
222
113π
=1+sin2x+
(cos2x+1)=+x+)
22224
2π3=π
∴f(x)的最大值为+，最小正周期是222
33π3
（Ⅱ）要使f(x)≥成立，当且仅当+x+)≥，
2242
ππ3ππ
,k∈Z, 即sin(2x+)≥0⇔2kπ≤2x+≤2kπ+π⇔kπ-≤x≤kπ+
44883π3π⎧⎫
即f(x)≥成立的x的取值集合是⎨x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z⎬．
288⎩⎭
6
【专题训练】参考答案 一、选择题
3→1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a·b＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝. 2ππππ
2．D 【解析】y＝2sin2x－＝2sin2（x＋y＝－2sin2x.
2222→→→→
AB·ACa·b
3．A 【解析】因为cos∠BAC→→＜0，∴∠BAC为钝角.
→→
|b||AB|·|AC||a|·
31
4．B 【解析】由平行的充要条件得－sinαcosα＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.
233π→→5．B 【解析】→a·b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·b＝0，∴→a⊥→b． 2π5π
6．A →c＝→a＋λ→b＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sin得，－4＋2λ＝sin1，解得λ＝.
12227．C 【解析】|P1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)＋(2－cosθ－sinθ)＝10－8cosθ≤32.
8．D 【解析】→a＋→b＝(cosα＋cosβ,sinα＋sinβ)，→a－→b＝(cosα＋cosβ,sinα－sinβ)，∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝
cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)． 1→9．C 【解析】|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·b＝1＋t2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t2＋2t＋1＝(t)2＋，
22
12 →|→u|2 ＝，∴|u|＝. minmin22
→＋AC→＝2AD→，又由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC)→，AP→＝2λAD→，所以AP→与10．C 【解析】设BC的中点为D，则AB
→共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心． AD二、填空题
312sinθcosθ2tanθ83
11．－ 【解析】由→m∥→n，得－sinθ＝23cosθ,∴tanθ＝－43，∴sin2θ＝． 49249sinθ＋cosθtanθ＋153→OB→＝－5⇒10cosαcoβs＋10sinαsinβ＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－1，∴sin12 【解析】OA·223→＝2，|OB|→＝5，∴S△1×2×353 |OA|AOB
2222
3π→→→→→→→
13．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1 ①，由m与n夹角为，有m·n
4
3π⎧ x=﹣1⎧ x＝0→→→→→
＝|m|·|n|cos|n|＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得⎨或⎨ ∴即n＝(－1，0)或n＝
4⎩ y=0⎩ y＝－1
(0，－1) ． 三、解答题
ππ1→14．【解】(Ⅰ)由题意得→m·n3sinA－cosA＝1，2sin(A－＝1，sin(A－ 662
πππ
由A为锐角得A－，A＝663
113
(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosAf(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，
222
13
因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．
22
∠AOB＝
7
→
3
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，．
2
1
15．【解】(Ⅰ)由→m∥→n，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA＝－1.
2
π
∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A3
3
(Ⅱ)∵b＋c＝3a，由正弦定理，sinB＋sinC3sinA
2
2π2π3
∵B＋C＝sinB＋sin(B)＝，
3323333π
∴sinB＝sin(B＋＝ 22262
→16．【解】(Ⅰ)由→m⊥→n，得→m·n＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
1∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosAA＝23
πππ
(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋＝(1－cos2B)＋cos2Bsin666
31π
＝1＋sin2B cos2B＝1＋sin(2B－).
226
2πππ7π
由(Ⅰ)得，0＜B＜2B
3666
πππ
∴当2B－，即B＝y取最大值2.
62317．【解】（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，
1＋cos2x11－cos2x
∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，sin2x＝0，
222即sin2x＋cos2x＝－3，
ππ
∴＋＝－3，与＋矛盾，
44故向量→a与向量→b不可能平行．
→（Ⅱ）∵f(x)＝→a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x ＝2(
22πsin2x)＝2(sin2x＋， 224
ππππ3ππππ
∵－≤x≤≤2x＋，即x＝时，f(x)有最大值2；
44444428当2x＋x＝－时，f(x)有最小值－1．
444
18．解：(Ⅰ)由题意得，f(x)=a⋅(b+c)=(sinx,-cosx)⋅(sinx-cosx,sinx-
3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2=2+cos2x-sin2x=2+x+
最大值为2=
3π
)， 所以，f(x)的
4
2π
=π. 2
8
（Ⅱ）由sin(2x+
3π3πkπ3π)=0得2x+=kπ，即x=-,k∈Z， 4428
于是d=(
kπ3π-,-
2)，d=k∈Z． 28因为k为整数，要使d最小，则只有k=1，此时d=(-
π
8
,-2)即为所求．
19．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ-cosθ=0，由此得：tanθ=-1,(-所以， θ=-
π
2
π
2
)，
π
4
．
（Ⅱ）由a=
(sinθ,1),b=(1,cosθ),
得：
a+b=
=
=当sin(θ+
π
4
)=1时，a
+b取得最大值，即当θ=
π
4
时，a+b1．
9
三角函数与平面向量综合题的九种类型
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例1】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.
C－3B
（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
2
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】
3π
已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥→b．
2
απ
（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(的值．
23
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
2π
【例3】 已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0
525π
＜α＜sinβsinα的值.
213
题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例4】（2010年高考安徽卷）已知0
π
4
，β为f(x)=cos(2x+
π
8
)的最小正周期，
2cos2α+sin2(α+β)
a=(tan(α+),-1),b=(cosα,2),a⋅b=m，求的值．
4cosα-sinα
β
π→练习：设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(＝2.（Ⅰ）求实数m的值；2（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
1
题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例5】 （浙江卷）如图，函数y=2sin(πx+ϕ),x∈R（其中0≤ϕ≤（Ⅰ）求ϕ的值；
π
2
）的图像与y轴交于点（0，1）。
（Ⅱ）设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，求PM与PN的夹角。
题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例6】（山东卷）在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c
，tanC=． （1）求cosC； （2）若CB⋅CA=
5
，且a+b=9，求c． 2
题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例7】（陕西卷）f(x)=a⋅b，其中向量a=(m,cos2x)，b=(1+sin2x,1)，x∈R，且函数y=f(x)的图象经过点(
π
4
,2)．
（Ⅱ）求函数y=f(x)的最小值及此时x值的集合。
（Ⅰ）求实数m的值；
题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
⎛xπ⎫
【例8】（湖北卷）将y=2cos +⎪的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为
⎝36⎭
⎛xπ⎫⎛xπ⎫
Ａ．y=2cos +⎪-2 Ｂ．y=2cos -⎪+2
⎝34⎭⎝34⎭⎛xπ⎫⎛xπ⎫
Ｃ．y=2cos -⎪-2 Ｄ．y=2cos +⎪+2
⎝312⎭⎝312⎭
题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例9】（湖北卷）设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R，函数f(x)=a⋅(a+b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥
2
3
成立的x的取值集. 2
【专题训练】 一、选择题
→1．已知→a＝(cos40︒，sin40︒)，→b＝(cos20︒，sin20︒)，则→a·b＝
A．1
B3
2
1C．
2
D．
22
（ ）
πππ
2．将函数y＝2sin2x－(，平移后得到图象对应的解析式是
222
A．2cos2x
B．－2cos2x
C．2sin2x
D．－2sin2x
→→→→→→
3．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b＜0，则△ABC是 A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．任意三角形 D．75︒
314．设→a＝(,sinα)，→b＝(cosα,)，且→a∥→b，则锐角α为
23
A．30︒
B．45︒
C．60︒
（ ）
（ ）
（ ）
3π
5．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，，则一定有 （ ）
2
A．→a∥→b B．→a⊥→b C．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b| π6．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋λ→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数λ＝
12
5A．2
3B2
5C．－
2
3D．－
2
→→→
7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2长度的最大值是
（ ）
D．23
（ ）
A．2 B3 C．32 8．若向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，则→a与→b一定满足
A．→a与→b的夹角等于α－β
C．→a∥→b
B．→a⊥→b
D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)
9．已知向量→a＝(cos25︒,sin25︒)，→b＝(sin20︒,cos20︒)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为 A2
B．1
（ ） C．
2
2
1D．
2
→＝OA→＋λ(AB→＋AC)→，λ∈10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 二、填空题
（ ） D．垂心
1
11．已知向量→m＝(sinθ，2cosθ)，→n＝(3,－).若→m∥→n，则sin2θ的值为____________．
2
→＝(2cosα，2sinα)，OB→＝(5cosβ，5sinβ)，若OA·→OB→＝－5，则S△的值12．已知在△OAB(O为原点)中，OAAOB
为_____________.
3π→→→→→→
13．已知向量m＝(1，1)向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1.则向量n＝__________．
4
3
三、解答题
→14．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·n＝1，且A为锐角. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n＝(sinA，1＋cosA)，满π足→m∥→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋的值．
6
16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．
(Ⅰ)求角A的大小；
π
(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋取最大值时，求角B的大小.
6
17．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；
ππ→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
44
18．设函数f(x)=a⋅(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx)，
c=(-cosx,sinx),x∈R．
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数y=f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小
的d．
19．已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-
（Ⅰ）若a⊥b，求θ； （Ⅱ）求a+b的最大值．
4
π
2
π
2
．
【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型
【例1】【解】（Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 33π则sin2A＝A为锐角，所以sinA＝A＝423
π
(π－B)－3B
3C－3B13π
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋＋sin2B
2232231ππππ5ππππ
＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，，∴2B－＝B＝ 2262666623ymax＝2.
→2、【解】 （Ⅰ）∵→a⊥→b，∴→a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， ＝
4→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα
3
13π14＝．∵α∈（2π），tanα＜0，故tanα＝．∴tanα＝－． 2223
3πα3π4α1αα5α
（Ⅱ）∵α∈（2π），∴π）．由tanα，求得tan，tan2（舍去）．∴＝，cos
2243222252
25152απαπαπ25153
，∴＋)＝cossin－＝－
[**************]→3、【解】 (Ⅰ)∵|→a－→b|＝5，∴→a2－2→a·b＋→b2＝，将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得
543
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)55
34512ππ
(Ⅱ)∵－β＜0＜α0＜α－β＜π，由cos(α－β)sin(α－β)，又sinβ＝－，∴cosβ＝，
22551313
33∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.
654、【解答】因为β为f(x)=cos(2x+又a⋅b=cosα⋅tan(α+
π
8
)的最小正周期，故β=π．因为a⋅b=m，
β
4
)-2，故cosα⋅tan(α+
β
4
)=m+2．
2cos2α+sin2(α+β)2cos2α+sin(2α+2π)
=由于0
4cosα-sinαcosα-sinα
π
1+tanα2cos2α+sin2α2cosα(cosα+sinα)
==2cosα⋅=
cosα-sinα1-tanαcosα-sinα=cosα⋅tan(α+
β
4
)=m+2．
πππ→练习解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1
＋sinx)＋cosx，由＝2，得m(1＋sin)＋cos2，解得m＝1.
222ππ
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，当sin(x＋＝－1时，f(x)的最小值为1－2.
445、【解答】（I）因为函数图像过点(0,1)，所以2sinϕ=1,即sinϕ=
1
. 2
5
因为0≤ϕ≤
π
2
，所以ϕ=
π
6
.
115
)及其图像，得M(-,0),P(,-2),N(,0), 6636
11
所以PM=(-,2),PN=(,-2),从而
22
（II）由函数y=2sin(πx+
π
cos=
6、【解答】（1
）
1515PM⋅PN
=，故
PM,PN>=arccos. 1717|PM|⋅|PN|
sinC1
=,又sin2C+cos
2C=1，解得：cosC=±， cosC81
tanC>0，∴C是锐角，∴cosC=．
8
55
∴a2+b2=41，（2）CB⋅CA=， ∴abcosC=，∴ab=20，又a+b=9，∴a2+2ab+b2=81，
22
tanC=，∴
∴c2=a2+b2-2abcosC=36，∴c=6．
7、【解答】（Ⅰ）f(x)=a⋅b=m(1+sin2x)+cos2x由已知f()=m
(1+sin
ππ
2
4
)+cos
π
2
=2，得m=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+x+
∴当sin(2x
+由sin(2x+
π
4
)
π
4
)=-1时，y=f(x)的最小值为1
π
3π⎧⎫)=-1，得x值的集合为⎨x|x=kπ-,k∈Z⎬． 48⎩⎭
⎛π⎫⎛xππ⎫⎛xπ⎫
8、【解答】∵a= -,-2⎪，∴平移后的解析式为y=2cos ++⎪-2=2cos +⎪-2，选A．
⎝4⎭⎝3612⎭⎝34⎭
9、【解答】（Ⅰ）∵f(x)=a⋅(a+b)=a⋅
a+a⋅b=sinx+cosx+sinxcosx+cosx
222
113π
=1+sin2x+
(cos2x+1)=+x+)
22224
2π3=π
∴f(x)的最大值为+，最小正周期是222
33π3
（Ⅱ）要使f(x)≥成立，当且仅当+x+)≥，
2242
ππ3ππ
,k∈Z, 即sin(2x+)≥0⇔2kπ≤2x+≤2kπ+π⇔kπ-≤x≤kπ+
44883π3π⎧⎫
即f(x)≥成立的x的取值集合是⎨x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z⎬．
288⎩⎭
6
【专题训练】参考答案 一、选择题
3→1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a·b＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝. 2ππππ
2．D 【解析】y＝2sin2x－＝2sin2（x＋y＝－2sin2x.
2222→→→→
AB·ACa·b
3．A 【解析】因为cos∠BAC→→＜0，∴∠BAC为钝角.
→→
|b||AB|·|AC||a|·
31
4．B 【解析】由平行的充要条件得－sinαcosα＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.
233π→→5．B 【解析】→a·b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·b＝0，∴→a⊥→b． 2π5π
6．A →c＝→a＋λ→b＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sin得，－4＋2λ＝sin1，解得λ＝.
12227．C 【解析】|P1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)＋(2－cosθ－sinθ)＝10－8cosθ≤32.
8．D 【解析】→a＋→b＝(cosα＋cosβ,sinα＋sinβ)，→a－→b＝(cosα＋cosβ,sinα－sinβ)，∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝
cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)． 1→9．C 【解析】|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·b＝1＋t2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t2＋2t＋1＝(t)2＋，
22
12 →|→u|2 ＝，∴|u|＝. minmin22
→＋AC→＝2AD→，又由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC)→，AP→＝2λAD→，所以AP→与10．C 【解析】设BC的中点为D，则AB
→共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心． AD二、填空题
312sinθcosθ2tanθ83
11．－ 【解析】由→m∥→n，得－sinθ＝23cosθ,∴tanθ＝－43，∴sin2θ＝． 49249sinθ＋cosθtanθ＋153→OB→＝－5⇒10cosαcoβs＋10sinαsinβ＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－1，∴sin12 【解析】OA·223→＝2，|OB|→＝5，∴S△1×2×353 |OA|AOB
2222
3π→→→→→→→
13．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1 ①，由m与n夹角为，有m·n
4
3π⎧ x=﹣1⎧ x＝0→→→→→
＝|m|·|n|cos|n|＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得⎨或⎨ ∴即n＝(－1，0)或n＝
4⎩ y=0⎩ y＝－1
(0，－1) ． 三、解答题
ππ1→14．【解】(Ⅰ)由题意得→m·n3sinA－cosA＝1，2sin(A－＝1，sin(A－ 662
πππ
由A为锐角得A－，A＝663
113
(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosAf(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，
222
13
因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．
22
∠AOB＝
7
→
3
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，．
2
1
15．【解】(Ⅰ)由→m∥→n，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA＝－1.
2
π
∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A3
3
(Ⅱ)∵b＋c＝3a，由正弦定理，sinB＋sinC3sinA
2
2π2π3
∵B＋C＝sinB＋sin(B)＝，
3323333π
∴sinB＝sin(B＋＝ 22262
→16．【解】(Ⅰ)由→m⊥→n，得→m·n＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
1∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosAA＝23
πππ
(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋＝(1－cos2B)＋cos2Bsin666
31π
＝1＋sin2B cos2B＝1＋sin(2B－).
226
2πππ7π
由(Ⅰ)得，0＜B＜2B
3666
πππ
∴当2B－，即B＝y取最大值2.
62317．【解】（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，
1＋cos2x11－cos2x
∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，sin2x＝0，
222即sin2x＋cos2x＝－3，
ππ
∴＋＝－3，与＋矛盾，
44故向量→a与向量→b不可能平行．
→（Ⅱ）∵f(x)＝→a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x ＝2(
22πsin2x)＝2(sin2x＋， 224
ππππ3ππππ
∵－≤x≤≤2x＋，即x＝时，f(x)有最大值2；
44444428当2x＋x＝－时，f(x)有最小值－1．
444
18．解：(Ⅰ)由题意得，f(x)=a⋅(b+c)=(sinx,-cosx)⋅(sinx-cosx,sinx-
3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2=2+cos2x-sin2x=2+x+
最大值为2=
3π
)， 所以，f(x)的
4
2π
=π. 2
8
（Ⅱ）由sin(2x+
3π3πkπ3π)=0得2x+=kπ，即x=-,k∈Z， 4428
于是d=(
kπ3π-,-
2)，d=k∈Z． 28因为k为整数，要使d最小，则只有k=1，此时d=(-
π
8
,-2)即为所求．
19．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ-cosθ=0，由此得：tanθ=-1,(-所以， θ=-
π
2
π
2
)，
π
4
．
（Ⅱ）由a=
(sinθ,1),b=(1,cosθ),
得：
a+b=
=
=当sin(θ+
π
4
)=1时，a
+b取得最大值，即当θ=
π
4
时，a+b1．
9