2013年高考理科数学试题分类汇编：17几何证明
一、填空题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图, 在 ABC 中, ∠C =900, ∠A =60, AB =20, 过C 作 ABC 的外接圆的切线0
CD , BD ⊥CD , BD 与外接圆交于点E , 则DE 的长为
__________
【答案】5
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为
______.
【答案】8 3
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））(几何证明选讲选做题) 如图, AB 是圆O 的直径, 点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC =CD , 过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若AB =6, ED =2, 则BC =_________.
E
第15题图
【答案】4 ．（2013年高考四川卷（理））设P 1, P 2, , P n 为平面α内的n 个点, 在平面α内的所有点中, 若点P 到P 1, P 2, , P n 点的距离之和最小, 则称点P 为P 1, P 2, , P n 点的一个“中位
点”.例如, 线段AB 上的任意点都是端点A , B 的中位点. 则有下列命题:
① 若A , B , C 三个点共线, C 在线AB 上, 则C 是A , B , C 的中位点;
② ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A , B , C , D 共线, 则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)
【答案】①④
5 ．（2013年高考陕西卷（理））B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于 O 内一
点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD =2DA =2, 则PE =_____.
【答案】6.
6
．（2013年高考湖南卷（理））如图2, 的 O 中, 弦AB , CD 相交于点
P , PA =PB =
2, PD =1, 则圆心O 到弦CD 的距离为____________.
【答案】3 2
7 ．（2013年高考湖北卷（理））如图, 圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D , 点D 在半径OC 上的射影为E . 若AB =3AD , 则
C CE 的值为___________. EO
A B
第15题图
【答案】8
8 ．（2013年高考北京卷（理））如图, AB 为圆O 的直径, PA 为圆O 的切线, PB 与圆O 相交于
D. 若PA=3,PD ：DB =9：16, 则
PD=_________;AB=___________.
【答案】
二、解答题
9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—1
几何证明选讲:如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线CD 于点9;4 5D , E , F 分别为弦AB 与弦AC 上的点, 且BC ⋅AE =DC ⋅AF , B , E , F , C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;
(Ⅱ)若DB =BE =EA , 求过B , E , F , C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.
【答案】
10．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-1:几何证
明选讲
如图, AB 为 O 直径，直线CD 与 O 相切于E . AD 垂直于CD 于D ，BC 垂直于CD 于C ，EF , 垂直于F , 连接AE , BE . 证明:
(I)∠FEB =∠CEB ; (II)EF 2=AD
BC .
【答案】
11．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加
题））A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.
如图, AB 和BC 分别与圆O 相切于点D , C , AC 经过圆心O , 且BC =2OC
求证:AC =2AD
【答案】A 证明:连接OD,∵AB与BC 分别与圆O 相切于点D 与C
∴∠ADO =∠ACB =900, 又∵∠A =∠A
∴RT ∆ADO ~RT ∆ACB ∴BC AC 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD =OD AD
12．（2013年高考新课标1（理））选修4—1:几何证明选讲 如图, 直线AB 为圆的切线, 切
点为B, 点C 在圆上,∠ABC的角平分线BE 交圆于点E,DB 垂直BE 交圆于D.
(Ⅰ) 证明:DB=DC;
(Ⅱ) 设圆的半径为1,BC= ,延长CE 交AB 于点F, 求△BCF外接圆的半径
.
【答案】(Ⅰ) 连结DE, 交BC 与点
G.
由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,
又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=90, 由勾股定理可得DB=DC. (Ⅱ)由(Ⅰ) 0
知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG 是BC
o . o 设DE 中点为O, 连结BO, 则∠BOG=60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30,
∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF
.
2013年高考理科数学试题分类汇编：17几何证明
一、填空题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图, 在 ABC 中, ∠C =900, ∠A =60, AB =20, 过C 作 ABC 的外接圆的切线0
CD , BD ⊥CD , BD 与外接圆交于点E , 则DE 的长为
__________
【答案】5
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为
______.
【答案】8 3
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））(几何证明选讲选做题) 如图, AB 是圆O 的直径, 点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC =CD , 过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若AB =6, ED =2, 则BC =_________.
E
第15题图
【答案】4 ．（2013年高考四川卷（理））设P 1, P 2, , P n 为平面α内的n 个点, 在平面α内的所有点中, 若点P 到P 1, P 2, , P n 点的距离之和最小, 则称点P 为P 1, P 2, , P n 点的一个“中位
点”.例如, 线段AB 上的任意点都是端点A , B 的中位点. 则有下列命题:
① 若A , B , C 三个点共线, C 在线AB 上, 则C 是A , B , C 的中位点;
② ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A , B , C , D 共线, 则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)
【答案】①④
5 ．（2013年高考陕西卷（理））B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于 O 内一
点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD =2DA =2, 则PE =_____.
【答案】6.
6
．（2013年高考湖南卷（理））如图2, 的 O 中, 弦AB , CD 相交于点
P , PA =PB =
2, PD =1, 则圆心O 到弦CD 的距离为____________.
【答案】3 2
7 ．（2013年高考湖北卷（理））如图, 圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D , 点D 在半径OC 上的射影为E . 若AB =3AD , 则
C CE 的值为___________. EO
A B
第15题图
【答案】8
8 ．（2013年高考北京卷（理））如图, AB 为圆O 的直径, PA 为圆O 的切线, PB 与圆O 相交于
D. 若PA=3,PD ：DB =9：16, 则
PD=_________;AB=___________.
【答案】
二、解答题
9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—1
几何证明选讲:如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线CD 于点9;4 5D , E , F 分别为弦AB 与弦AC 上的点, 且BC ⋅AE =DC ⋅AF , B , E , F , C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;
(Ⅱ)若DB =BE =EA , 求过B , E , F , C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.
【答案】
10．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-1:几何证
明选讲
如图, AB 为 O 直径，直线CD 与 O 相切于E . AD 垂直于CD 于D ，BC 垂直于CD 于C ，EF , 垂直于F , 连接AE , BE . 证明:
(I)∠FEB =∠CEB ; (II)EF 2=AD
BC .
【答案】
11．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加
题））A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.
如图, AB 和BC 分别与圆O 相切于点D , C , AC 经过圆心O , 且BC =2OC
求证:AC =2AD
【答案】A 证明:连接OD,∵AB与BC 分别与圆O 相切于点D 与C
∴∠ADO =∠ACB =900, 又∵∠A =∠A
∴RT ∆ADO ~RT ∆ACB ∴BC AC 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD =OD AD
12．（2013年高考新课标1（理））选修4—1:几何证明选讲 如图, 直线AB 为圆的切线, 切
点为B, 点C 在圆上,∠ABC的角平分线BE 交圆于点E,DB 垂直BE 交圆于D.
(Ⅰ) 证明:DB=DC;
(Ⅱ) 设圆的半径为1,BC= ,延长CE 交AB 于点F, 求△BCF外接圆的半径
.
【答案】(Ⅰ) 连结DE, 交BC 与点
G.
由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,
又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=90, 由勾股定理可得DB=DC. (Ⅱ)由(Ⅰ) 0
知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG 是BC
o . o 设DE 中点为O, 连结BO, 则∠BOG=60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30,
∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF
.