zsczz.com 本文摘自中学数学教学参考杂志
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“双基”与“双基教学”:认知的观点
郑毓信 谢明初
②
①
注重打好基础, 突出“基础知识”和“基本技能”的掌握和训练, 一直是中国数学教育的一个特点. 近年来, 随着新一轮数学课程改革的深入发展, 人们对于“双基”与“双基教学”又表现出了新的关注. 例如, 这就构成了2002年12月在苏州召开的数学教育高级研讨会的主题. 一般地说, “中国数学教育传统的界定与发展”显然更应被看成课程改革顺利发展的一个重要环节[1], 从而, 就“双基”与“双基教学”的问题而言, 我们也就不应采取简单肯定或绝对否定的态度, 而应从理论高度对各个相关问题做出深入分析, 从而就能在课程改革中很好继承其中的优秀成分并切实克服其原有的局限性.
需要指明的是, 对于“双基”与“双基教学”并可从多种不同角度去开展研究. 即如从历史的角度指明“双基教学”的文化背景、社会基础和教育传统, 从社会需要出发对“双基”概念的内涵和外延做出具体分析, 从比较的角度探讨中国“双基教学”的特点, 等等
[2][3]
识”和“数学基本技能”应当说仍然没有能得到清楚的界定, 在一些基本问题上也还缺乏必要的共识. 从而, 这事实上就应被看成对“双基”和“双基教学”进行自觉反思并做出新的发展的一个必要前提, 即是应从理论高度对“双基”这一概念做出重新审视.
例如, 以下就是对于上述问题的一些不同解答:———数学具有严密的系统, 中小学数学主要为学生后续学习打基础, 数学教材中所有内容都是基础知识;
———在数学教材内容中, 有主要和次要的分别, 在教学时, 应该突出教材中的重点, 使学生把主要内容学得更好;
———“数学基础知识”包括三个方面:知识、方法、思想;
———“数学基本技能”包括:推理、运算、作图; ———数学“双基”就是指传统的三大能力:运算能力、推理能力、空间想象能力.
对以上各种说法进行综合分析, 可以看出, 就“双基”的界定而言, 在总体上存在如下的分歧:第一, 是否应当对“数学基础知识”和“数学基本技能”做出明确的区分? 第二, 是否可以将“双基”等同于某种(些) 能力? 第三, 是否应当将中小学数学教材中的一切内容都看成基础知识(或基本技能) ? 第四, 是否应当对“数学基础知识”和“数学基本技能”的内涵做出较为具体的说明?
笔者在上述问题上的基本看法是:
第一, 由于“知识”和“技能”的学习机制是不一样的, 因此, 如果只是笼统地讲“双基”、而不对“基础知识”与“基本技能”做出较为明确的区分, 就会造成教师在课堂上用相同方法去处理不同的教学内容, 从而也就不可能取得很好的教学效果. 例如, 就“技能”的获得而言, 应当主要采取“学生练习”的方法, 而如果采取“讲授为主”就很不恰当. 从而, 总的来说, 我们就应对“数学基础知识”与“数学基本技能”做出明确区分
.
. 与
此相对照, 以下将主要从认知的角度对“双基”这一概念做出重新审视, 并通过“双基教学”合理性的分析引出关于“双基教学”的一些具体建议, 最后, 还将围绕学生能力的培养对如何克服“双基教学”的局限性做出初步的探讨.
1 “双基”概念的重新审视
这显然是一个应当首先回答的重要问题:“什么是`双基' ? ”或者说,“究竟什么是所说的`数学基础知识' 和`数学基本技能' ? ”
尽管对于“双基”的提倡在很大程度上可以被看成我国数学教育、特别是数学教学最为突出的一个特点, 如早在20世纪50、60年代,“双基”就被当成一个教学目的明确地写进了国家的数学教学大纲, 另外, 随着高考制度的恢复,“双基”在数学教学中的地位又进一步突现出来, 甚至在很大程度上就可被看成全部教学工作的中心所在; 但是, 从总体上说, 对于究竟什么是所说的“数学基础知
① 本文在构思阶段曾得到江苏省教研室李善良同志的很大帮助, 特此表示诚挚的谢意.
② 郑毓信, 南京大学哲学系教授, 博士生导师; 谢明初, 广东教育学院数学系副教授, 现为南京大学哲学系博士研究生.
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图”⑥, 从而, 我们就可以此为依据对什么是相应范围内的“基础知识”做出具体分析.
第二, 我们在此当然不可能对“基础知识”, 特别是“基本技能”与“能力”之间的关系做出全面分析; 但是, 笔者认为, 不应将“双基”简单地等同于某些具体的能力(同样地, 也不应将“能力”简单地等同于“个体已掌握了的知识和技能”) . 因为, 后者事实上就是对于“双基”的一种取消, 而如果以此来指导教学则更易造成严重的消极后果, 即如单纯通过技能训练来培养能力, 不仅达不到培养数学能力的效果, 而且容易使具有丰富思想内容、富有智慧和挑战性的数学学习, 演变成呆板、枯燥的机械训练.
第三, 既然是基础知识(或基本技能) , 就不能被等同于教材中的全部内容, 或者说, 教材中的各个内容并不能被看成具有同样的重要性. 应当指明的是, 如果把教材中的全部内容都视为基础知识(或基本技能) , 不仅会加重教学和学习的负担, 事实上也漠视了学生的个别差异, 并不可能很好地体现课程的弹性. 从而, 总的来说, 我们就不应将“双基”的内容扩大化.
第四, 从实际教学的角度去分析, 对“双基”的内涵做出具体说明显然较为可取; 但是, 后者不应是一种简单的罗列, 毋宁说, 授人以鱼, 不如教之以渔. 这就是说, 尽管我们应从整体上指明“双基”的基本内涵④, 但是, 更为重要的是, 我们又应努力帮助广大教师学会如何就各个具体的教学内容去判定什么是相应的“数学基础知识”或“数学基本技能”.
显然, 后者事实上也就直接关系到了“基础知识”与“基本技能”的特征性质, 对此可以具体描述如下:
首先, 按照现代认知心理学的研究, 各个数学概念或命题、公式、法则等在学习者头脑中的表征并不是相互独立、互不相干的, 而是组织成了一定的概念网络或知识网络; 进而, 如果说各个数学概念或命题、公式、法则等都可被看成所说的网络上的结点, 那么, 依据各个结点在网络中的相对地位、亦即联结的广泛程度, 我们就可具体地去判定何者相对而言是较为重要的, 亦即
⑤应当被看成相应的“基础知识”.
③
其次, 如果说知识的重要特点之一是它的静态性:它表明主体对于某些事物的状况有所知悉、了解, 但并未涉及如何具体地去做某件事; 与此相对照, 技能则具有明显的运作性质, 并直接涉及了具体操作的程序或步骤. 具体地说, 按照认知心理学的研究, 技能在人的头脑中是以“产生式系统(production sy stem ) ”这种动态形式来表征的; 进而, 如果说单个的程序或产生式系统可以被用以解决单一的问题, 复杂问题的解决就需要多个程序或产生式系统的联接或组合, 从而, 按照各个程序或产生式系统得到应用的广泛程度, 我们也就可以对各个范围内的基本技能做出具体判断. 例如, 代数式的恒等变形应当被看成是解方程所需要的基本技能, 空间识图则可被看成学习立体几何所需的基本技能.
2 “双基”教学的合理性及其教学含义
重视基础, 强调脚踏实地做学问, 是中国历来的教育传统, “不积跬步, 无以至千里”, “千里之行, 始于足
例如, 按照旅美学者马力平的研究, 以下即是与正整数的减法与有理数的除法分别相对应的“概念
③ 冯忠良. 结构与定向化教学心理学原理[M ]. 北京:北京师范大学出版社, 1999
④ 考虑到社会的发展必然地会对学生的数学素质提出新的不同要求, 我们也就应当清楚地认识到“双基”的内涵并非绝对不变, 而应随着时代的变化做出必要的调整. 例如, 就当前而言, 我们就应认真考虑是否应当将熟练运用计算器也看成一种“数学基本技能”.
⑤ 应当指明, 我国著名数学家徐利治先生早就提出, 可以依据“概念链”中各个结点所引出的“连线”与在这一点处“相聚”的“连线”的多少对各个数学概念的“基本性程度”和“重要性程度”做出具体分析. 这就是所谓的“抽象度分析法”(详可见:徐利治, 郑毓信. 数学抽象的方法与抽象度分析法[M ]. 南京:江苏教育出版社, 1990) . 显然, 这与上述的思想是十分接近的; 两者的区别只是在于“抽象度分析法”所关注的仅仅是数学概念间的逻辑关系, 而认知心理学中所说的概念网络则已超出了这一范围. 对此并可见第二节的论述.
⑥ 详可见L . Ma . Knowing and Teaching El ementary Ma thematics [M ]. Lawrence , 1999
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下”,“冰冻三尺, 非一日之寒”, 这些古训反映前人对学习的基本看法. 但自古至今, 我们关于学习的观念基本上都建立在朴素经验之上, 而很少得到科学的解释. 特殊地, 从20世纪50年代起我们也一直在谈论“双基”, 并把加强“双基教学”当成不证自明的真理落实到数学教育的实践之中, 却很少考虑其合理性问题, 更谈不上做出必要的理论分析. 从而, 作为必要的总结与反思, 我们也就应当对以下两个问题做出深入的分析:
第一, 就知识和技能, 或更特殊地, 就数学知识和技能而言, 是否可以将其分解为若干个成分, 并单独对其中的各个成分进行教学?
第二, 就知识和技能, 或更特殊地, 就数学知识和技能的学习而言, 是否具有一定的可迁移性?
应当指明, 即使在认知心理学研究的范围内, 对上述两个问题也存在一些不同的看法. 例如, 在一篇很有影响的教育论文中, 瑞思尼克(L . Resnick 和D . Resnick ) 就曾对“信息加工方法”作了如下的描述:“……认知的信息加工理论把认知行为视为一些规则的复合体, 但是认知行为却强烈地依赖于这些规则之间的相互作用, ……单个规则是不能离开其他规则而被单独地加以界定的. 一个问题解决系统的潜能就取决于这些规则是怎样结合在一起的……”⑦在一些人看来, 这事实上也就意味着“认知行为的分解是不可能的”. 再例如, 也有一些学者依据认知活动的情境相关性对知识和技能的可迁移性提出了直接的质疑. 例如, 这就正如巴拉布在对所谓的“实习场”, 亦即如何做好“学习情境”的设计进行分析时所指出的:“实习场的主要问题是它们发生在学校里, ……这就导致学习情境脉络从社会生活中隔离出来. ”⑧
笔者对于上述问题的看法是:
第一, 即如前面所已指出的, 对于知识结构整体性的强调正是认知心理学研究的一个基本立场; 但是, 我们显然又应辩证地去看待在认知的个别成分与整体之间所存在的关系, 特别是, 尽管知识网络是一个整体, 亦即在认知的各个成分之间存在着相互作用和联系, 但后者并不是事情的全部, 各个成分仍有一定的相对独立性. 从而, 这事实上就应被看成认知心理学研究之真谛所在:我们既应十分重视各个单个的认知成分的精细分析, 同时则又应当注意研究这些成分在一个更大的知识范围内的相互作用.
显然, 从教学的角度去分析, 这也就十分清楚地表
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明了这样一点:在相关知识内容的教学中, 我们不仅应当注意帮助学生较好地去掌握相应的基础知识, 而且也应十分重视如何将所说的基础知识与其他的知识联系起来, 从而形成整体性的知识网络. 这就是说, 就知识的教学而言, 我们“不应求全, 而应求联”.
另外, 从同样的角度去分析, 在技能的教学中我们也“不应求全, 而应求变”. 这就是说, 相对于一般性技能而言, 我们应当更加注意“基本技能”的教学; 进而, 为了帮助学生很好地掌握所说的基本技能, 我们又不应满足于简单的重复, 而应帮助学生学会在各种变化了的条件下对各个基本技能的辨认和应用. 例如, 在笔者看来, 这事实上也就可以被看成所谓的“变式教学”的本质所在[4].
第二, 我们应当明确肯定知识的情境相关性. 特殊地, 后者事实上并就构成了现今在数学教育界中得到人们广泛重视的“民俗数学”研究的直接出发点和基本立场, 即人们可以通过日常生活与工作学到一定的数学知识和技能, 后者并在很大程度上不同于学校中所教学的数学知识和技能[5]. 例如, 以下就是这方面的两个著名事例:美国的一些家庭主妇们在超市购物中算账算得非常好, 但她们对同样的在学校里用纸笔来算的算术问题却做得十分糟糕(Lave , 1918) ; 类似地, 一些巴西街头儿童在兜售货物时能够熟练地进行数学计算, 但却不能回答学校情境中提出的类似问题(Car -rahr , 1986) .
但是, 应当强调的是, 上述的研究并不能被认为即是表明了应当用“日常数学”的学习去代替“学校数学”的学习, 因为, 这也正是相关研究的一个直接结论, 即越是局限于单一的情景, 所学到的知识就越不具有可迁移性, 而“学校数学”与“日常数学”相比在这一方面却有着较大的优越性[6]. 从而, 从整体上说, 关于知识情境性的研究就不能被看成表明了学校中所学到的知识和技能不具有一定的可迁移性, 毋宁说, 这即是从一个角度更为清楚地表明了正确处理“日常数学”与“学校数学”之间关系的重要性, 包括如何由“日常数学”上升到“学校数学”, 以及由“学校数学”向日常生活的复归.
就“数学基础知识”与“数学基本技能”的教学而言, 笔者以为, 这并就表明了在教学中我们应当十分注意以下的两个环节:
首先, 应对知识原型予以特别的重视. 具体地说,
⑦ L . Resnick , D . Resnic k . Asse ssing the Thinking Curriculum :New tools for e ducational reform [A ]. B . Gifford , M . O ' connor . Changing assess -ments :Alternative vi ews of aptifude , ac hie v e m ent and instruction [C ]. Boston MA :kluwe r , 1992
[A ]; [C ]. :, 2002
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倾向, 即认为所谓的“双基原理”构成了中国数学教学最为基本的原理, 我们甚至就可围绕这一原理对中国数学教学的各个主要特征做出全面总结, 包括教学过程, 教师的“主导作用”, 强调知识技能的掌握, 强调教学的效率, 等等; 特殊地, 以下的各个具体教学方法或措施又都可以被看成是与“双基教学”直接相联系的, 或者说, 即是构成了“双基教学”的必然要求:背诵定义、公式, 重复操练, 重视形式化演绎证明, 变式练习, “讲深讲透”,“精讲多练”,“熟能生巧”, 等等.
以下围绕学生能力的培养对“双基教学”的局限性做出具体分析, 而笔者所主要关注的则是如何才能突破“双基教学”的传统局限性并取得新的进展.
具体地说, 我们在此所涉及的主要是这样一个问题:应当如何去看待“双基教学”与学生能力培养之间的关系? 由于第一节中已经表明, 我们既不应将“双基”与某些具体能力简单地等同起来, 也不应将“能力”简单地归结为“所已掌握的知识与技能”, 因此, 从这样的角度去分析, 对于上述问题我们就应做出如下的细化:“双基教学”对于学生能力, 特别是创新能力的培养究竟具有一定的积极作用, 还是一定的消极作用?
应当首先指明, 我们不应将所谓的中国学生的“高分低能”看成“双基教学”的一个必然后果, 特别是, 以下更应说是一种简单化的认识, 即是认为“双基教学”必然地是与“填鸭式教学”、机械训练直接相联系的, 从而, 强调“双基教学”也就必然地不利于学生能力的培养. 事实上, 正如第二节中所已指明的, 即如在基础知识的教学中强调从原型出发上升到抽象的数学概念, 这显然是暴露思维、让学生体验数学化的正确措施, 又如关于技能的变式训练, 事实上也就是通过变换习题表面形式让学生抓住知识的深层结构, 因此也就是一种积极的教学方法. 从而, 总的来说, 我们就不能简单地断言取消“双基教学”会利于学生的能力培养.
然而, 作为问题的另一方面, 我们又应看到,“双基教学”主要地确应被看成属于规范性的范围, 由于后者事实上就可被看成中国数学教育传统, 特别是“中国数学教学法”的主要特征, [1]因此, 从这样的角度去分析, “双基教学”之所以能在中国数学教育界中得到特别提倡也就十分自然了. 当然, 后者事实上也就表明了在充分肯定“双基教学”的合理性的同时, 我们又应十分注意防止教学中过强的规范性, 乃至完全抹杀了学生的个体特殊性, 以及在很大程度上抑制了学生创新能力的发展.
例如, 依据这样的分析, 我们显然就应对以下的事
就数学概念或命题、公式、法则等的教学而言, 我们应当清楚地认识到其中即已包括了由具体、特殊到抽象、一般的重要过渡, 我们并应注意对各个相关概念或命题、公式、法则等之间的逻辑关系做出具体的分析; 但是, 除此之外, 我们又应十分重视帮助学生认识这些概念或命题、公式、法则等的典型现实原型, 以及相应的“数学抽象”过程. 值得指出的是, 这事实上也就是认知心理学研究的一个重要结果, 即就概念或命题、公式、法则等在学习者头脑中的心理表征而言, 并不仅仅是由相关的定义或逻辑关系所组成的, 恰恰相反, 一些典型实例在其中也占有了十分重要的地位, 特别是, 就只有借助所说的实例相应的概念或命题、公式、法则等对于主体而言才会变得丰富和生动起来, 也即真正成为直观明了和有意义的, 而不再是一种空洞的“词汇游戏”; 进而, 又只有借助具体的抽象过程我们才能帮助学生很好地把握相关概念或命题、公式、法则等的本质, 并能顺利实现由后者向具体情境的复归.
其次, 帮助学生学会在各种不同的情境中成功应用所已学到的知识和技能, 显然是“变式教学”的一个基本涵义. 但是, 就上述目标的实现而言, 关键则又并非应当无一遗漏地去列举出各种可能的“变式”, 恰恰相反, 最为重要的即是应当很好地去掌握变化中的不变因素. 特殊地, 就数学基本技能的学习而言, 这也就是所谓的“条件优化”, 即是应当致力于培养学生对相应的(产生式系统的) 条件模式和条件线索的辨认能力, 从而就能很好地去判定在什么情况下可以以及应当如何去运用相关的技能. 进而, 也正是在这样的意义上, 我们并可将“变式教学”推广于概念和知识的教学. 例如, 为了帮助学生很好地掌握各个数学概念的实质, 我们就不仅应当向学生呈现各种类型的正例, 而且也应向学生提供各种类型的反例, 特别是那些表面相似, 但本质不同的事例, 让学生区别其相同点和不同点, 从而真正把握“变化之中的不变因素”.
3 “双基教学”与能力培养
以上主要是从认知角度对“双基教学”的合理性进行了分析, 这就是指, 我们应当十分重视“数学基础知识”与“数学基本技能”的教学, 并以此来带动全部数学知识与技能的教学. 然而, 在做出上述肯定的同时, 我们又应看到“双基教学”也具有明显的局限性, 特别是, 我们不应认为抓好了“双基教学”, 数学教育中的各个问题就都获得了解决.
例如, 在笔者看来, 以下的做法就多少带有上述的
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实予以特别的重视, 即“概念图”并不能被认为指明了“唯一正确的认识途径”; 恰恰相反,“概念图使我们可安排自己的计划以达致任何一个新概念. 有人会提议制订一条路线, 但在概念图中并无一条独一而正确的路线, 反而会有多条不同的路线. ”⑨进而,“我们(又) 必须牢记这样一点:结构分析只是为研究提供了一个理论框架, 而不能被认为实际地描述了学生的思维过程. ”⑩特别是, 我们即应十分重视在各个学生间所必然存在的个别差异.
进而, 又如前面所已指出的, 与对于各个具体的“基础知识”与“基本技能”的片面强调相比, 我们又应更加注意帮助学生建立整体性的知识网络, 并能根据环境或需要灵活地在网络的不同成分之间做出转换, 包括由概念的严格定义转移到相应的直观形象, 或是由直观形象转移到概念定义, 以及由特例转向一般, 或由一般转向特例, 等等. 值得指出的是, 这种思维的灵活性事实上也就是数学思维的一个重要特点, 并就显然构成了创新思维的一个重要特征.
再则, 尽管数学学习心理学的现代研究可以被看成已在一定程度上表明了“熟能生巧”这一传统的学习方法具有一定的合理性[7]; 但是, “熟”可能“生巧”, 却并非一定“生巧”, 恰恰相反, 我国的数学教学在很多情况下往往就是在机械的练习这一层面上花费了太多的精力, 而完全忽视了应当促进学生积极地去进行必要的“反省”, 从而, 在这样的情况下,“熟而生巧”往往就只是一种“事倍功半”的不自觉行为, 甚至就根本没有发生. 因此, 与对于“熟能生巧”的片面强调相比, 我们在此事实上就应更加重视如何才能更好地促进由“熟”至“巧”的转变, 特别是, 我们即应努力实现由“熟能生巧”这样一种“不自觉”状态向更为自觉的状态的重要转变应当经常问及(或反思) 以下的问题:
为什么要从事这些练习? 如何去从事练习? 实际效果如何?
这样, 我们就不仅能够较好地实现由单纯练习向自觉学习的转变, 而且也能较好地实现技能训练与理解学习的适当平衡. 事实上, 除去具体知识与技能的学习以外, 所说的转变还有着更为重要的意义:上述的由不自觉状态向自觉状态的转变事实上就应被看成“学
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会学习”的一个基本涵义, 而后者与具体知识与技能的学习相比显然更为重要, 并就应当被看成最为基本的一种能力.
从而, 总的来说,“双基教学”就不应被理解成某种
按照事先指定的步骤或程序机械地予以实施的过程, 恰恰相反, 我们应当坚持教学工作的创造性与开放性; 另外, 我们又不应追求任何一种强制的统一, 亦即应当明确反对任何一种过分的规范, 恰恰相反, 我们应当努力拓宽学生的“学习空间”, 即如在教学中鼓励学生积极地去进行探索, 并应给各种不同意见以充分的表达机会, 包括让其他学生对所说的不同看法能有一个理解和评价的机会; 我们又应努力帮助学生在学习上逐步实现更大的自觉性和主动性; 等等[9]. 另外, 在认真做好“双基教学”的同时, 我们又应始终牢牢记住这样一点:双基教学只是整个数学教育、乃至一般教育的一个部分. 从而, 这事实上也就可以被看成为广大数学教育工作者包括广大教师积极地去开展教育教学研究提供了一个重要的课题, 即是应当如何去处理好“双基教学”与其他方面之间的关系, 特别是, 如何才能通过“数学基础知识”和“数学基本技能”的教学促进学生能力的发展以及情感、态度、价值观的培养. 显然, 后者事实上也就直接关系到了数学教育短期目标与长期目标的相互渗透与密切结合. 参考文献
1 郑毓信. 文化视角下的中国数学教育[J ]. 课程·教材·教
法, 2002, 10
2 张奠宙, 李士钅奇. 数学“双基教学”研讨的学术综述[J ]. 中
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海:华东师范大学出版社, 2002
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5 郑毓信. 民俗数学与数学教育[J ]. 贵州师范大学学报,
1999, 4
6 戴维·乔纳森. 学习环境的理论基础[C ]. 上海:华东师范大
学出版社, 2002
7 李士钅奇. 熟能生巧吗? [J ]. 数学教育学报, 1996, 38 郑毓信. 由“熟能生巧”到自觉学习:搞好数学教育的一个
关键问题[J ]. 数学教育学报, 1999, 2
9 郑毓信. 开放题与开放式教学[A ]. 载:郑毓信. 数学教育:
从理论到实践[C ]. 上海:上海教育出版社, 2001
.
例如, 就加强练习而言, 无论是教师或是学生就都
⑨ 斯根普(R . Skem p ) . 小学数学教育———智性学习[M ]. 香港:香港公开进修学院出版社, 1995. 值得指出的是, 这一著作中也包括了关于正
整数减法的一个“概念图”, 这并是与第一节中所介绍的“概念图”(图1) 很不相同的. 从而, 这一事实就从又一角度表明了这样一点, 即在基础知识的教学中我们确应防止过强的规范性.
⑩ B . Gre e r . Multipl ication and Divisi o n as Models of Situa t io ns [A ]. D . Grouws . Handbook of Research on Mathematical Teaching and Learning [C
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注重打好基础, 突出“基础知识”和“基本技能”的掌握和训练, 一直是中国数学教育的一个特点. 近年来, 随着新一轮数学课程改革的深入发展, 人们对于“双基”与“双基教学”又表现出了新的关注. 例如, 这就构成了2002年12月在苏州召开的数学教育高级研讨会的主题. 一般地说, “中国数学教育传统的界定与发展”显然更应被看成课程改革顺利发展的一个重要环节[1], 从而, 就“双基”与“双基教学”的问题而言, 我们也就不应采取简单肯定或绝对否定的态度, 而应从理论高度对各个相关问题做出深入分析, 从而就能在课程改革中很好继承其中的优秀成分并切实克服其原有的局限性.
需要指明的是, 对于“双基”与“双基教学”并可从多种不同角度去开展研究. 即如从历史的角度指明“双基教学”的文化背景、社会基础和教育传统, 从社会需要出发对“双基”概念的内涵和外延做出具体分析, 从比较的角度探讨中国“双基教学”的特点, 等等
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识”和“数学基本技能”应当说仍然没有能得到清楚的界定, 在一些基本问题上也还缺乏必要的共识. 从而, 这事实上就应被看成对“双基”和“双基教学”进行自觉反思并做出新的发展的一个必要前提, 即是应从理论高度对“双基”这一概念做出重新审视.
例如, 以下就是对于上述问题的一些不同解答:———数学具有严密的系统, 中小学数学主要为学生后续学习打基础, 数学教材中所有内容都是基础知识;
———在数学教材内容中, 有主要和次要的分别, 在教学时, 应该突出教材中的重点, 使学生把主要内容学得更好;
———“数学基础知识”包括三个方面:知识、方法、思想;
———“数学基本技能”包括:推理、运算、作图; ———数学“双基”就是指传统的三大能力:运算能力、推理能力、空间想象能力.
对以上各种说法进行综合分析, 可以看出, 就“双基”的界定而言, 在总体上存在如下的分歧:第一, 是否应当对“数学基础知识”和“数学基本技能”做出明确的区分? 第二, 是否可以将“双基”等同于某种(些) 能力? 第三, 是否应当将中小学数学教材中的一切内容都看成基础知识(或基本技能) ? 第四, 是否应当对“数学基础知识”和“数学基本技能”的内涵做出较为具体的说明?
笔者在上述问题上的基本看法是:
第一, 由于“知识”和“技能”的学习机制是不一样的, 因此, 如果只是笼统地讲“双基”、而不对“基础知识”与“基本技能”做出较为明确的区分, 就会造成教师在课堂上用相同方法去处理不同的教学内容, 从而也就不可能取得很好的教学效果. 例如, 就“技能”的获得而言, 应当主要采取“学生练习”的方法, 而如果采取“讲授为主”就很不恰当. 从而, 总的来说, 我们就应对“数学基础知识”与“数学基本技能”做出明确区分
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此相对照, 以下将主要从认知的角度对“双基”这一概念做出重新审视, 并通过“双基教学”合理性的分析引出关于“双基教学”的一些具体建议, 最后, 还将围绕学生能力的培养对如何克服“双基教学”的局限性做出初步的探讨.
1 “双基”概念的重新审视
这显然是一个应当首先回答的重要问题:“什么是`双基' ? ”或者说,“究竟什么是所说的`数学基础知识' 和`数学基本技能' ? ”
尽管对于“双基”的提倡在很大程度上可以被看成我国数学教育、特别是数学教学最为突出的一个特点, 如早在20世纪50、60年代,“双基”就被当成一个教学目的明确地写进了国家的数学教学大纲, 另外, 随着高考制度的恢复,“双基”在数学教学中的地位又进一步突现出来, 甚至在很大程度上就可被看成全部教学工作的中心所在; 但是, 从总体上说, 对于究竟什么是所说的“数学基础知
① 本文在构思阶段曾得到江苏省教研室李善良同志的很大帮助, 特此表示诚挚的谢意.
② 郑毓信, 南京大学哲学系教授, 博士生导师; 谢明初, 广东教育学院数学系副教授, 现为南京大学哲学系博士研究生.
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本刊专稿
中学数学教学参考
2004年第6期
图”⑥, 从而, 我们就可以此为依据对什么是相应范围内的“基础知识”做出具体分析.
第二, 我们在此当然不可能对“基础知识”, 特别是“基本技能”与“能力”之间的关系做出全面分析; 但是, 笔者认为, 不应将“双基”简单地等同于某些具体的能力(同样地, 也不应将“能力”简单地等同于“个体已掌握了的知识和技能”) . 因为, 后者事实上就是对于“双基”的一种取消, 而如果以此来指导教学则更易造成严重的消极后果, 即如单纯通过技能训练来培养能力, 不仅达不到培养数学能力的效果, 而且容易使具有丰富思想内容、富有智慧和挑战性的数学学习, 演变成呆板、枯燥的机械训练.
第三, 既然是基础知识(或基本技能) , 就不能被等同于教材中的全部内容, 或者说, 教材中的各个内容并不能被看成具有同样的重要性. 应当指明的是, 如果把教材中的全部内容都视为基础知识(或基本技能) , 不仅会加重教学和学习的负担, 事实上也漠视了学生的个别差异, 并不可能很好地体现课程的弹性. 从而, 总的来说, 我们就不应将“双基”的内容扩大化.
第四, 从实际教学的角度去分析, 对“双基”的内涵做出具体说明显然较为可取; 但是, 后者不应是一种简单的罗列, 毋宁说, 授人以鱼, 不如教之以渔. 这就是说, 尽管我们应从整体上指明“双基”的基本内涵④, 但是, 更为重要的是, 我们又应努力帮助广大教师学会如何就各个具体的教学内容去判定什么是相应的“数学基础知识”或“数学基本技能”.
显然, 后者事实上也就直接关系到了“基础知识”与“基本技能”的特征性质, 对此可以具体描述如下:
首先, 按照现代认知心理学的研究, 各个数学概念或命题、公式、法则等在学习者头脑中的表征并不是相互独立、互不相干的, 而是组织成了一定的概念网络或知识网络; 进而, 如果说各个数学概念或命题、公式、法则等都可被看成所说的网络上的结点, 那么, 依据各个结点在网络中的相对地位、亦即联结的广泛程度, 我们就可具体地去判定何者相对而言是较为重要的, 亦即
⑤应当被看成相应的“基础知识”.
③
其次, 如果说知识的重要特点之一是它的静态性:它表明主体对于某些事物的状况有所知悉、了解, 但并未涉及如何具体地去做某件事; 与此相对照, 技能则具有明显的运作性质, 并直接涉及了具体操作的程序或步骤. 具体地说, 按照认知心理学的研究, 技能在人的头脑中是以“产生式系统(production sy stem ) ”这种动态形式来表征的; 进而, 如果说单个的程序或产生式系统可以被用以解决单一的问题, 复杂问题的解决就需要多个程序或产生式系统的联接或组合, 从而, 按照各个程序或产生式系统得到应用的广泛程度, 我们也就可以对各个范围内的基本技能做出具体判断. 例如, 代数式的恒等变形应当被看成是解方程所需要的基本技能, 空间识图则可被看成学习立体几何所需的基本技能.
2 “双基”教学的合理性及其教学含义
重视基础, 强调脚踏实地做学问, 是中国历来的教育传统, “不积跬步, 无以至千里”, “千里之行, 始于足
例如, 按照旅美学者马力平的研究, 以下即是与正整数的减法与有理数的除法分别相对应的“概念
③ 冯忠良. 结构与定向化教学心理学原理[M ]. 北京:北京师范大学出版社, 1999
④ 考虑到社会的发展必然地会对学生的数学素质提出新的不同要求, 我们也就应当清楚地认识到“双基”的内涵并非绝对不变, 而应随着时代的变化做出必要的调整. 例如, 就当前而言, 我们就应认真考虑是否应当将熟练运用计算器也看成一种“数学基本技能”.
⑤ 应当指明, 我国著名数学家徐利治先生早就提出, 可以依据“概念链”中各个结点所引出的“连线”与在这一点处“相聚”的“连线”的多少对各个数学概念的“基本性程度”和“重要性程度”做出具体分析. 这就是所谓的“抽象度分析法”(详可见:徐利治, 郑毓信. 数学抽象的方法与抽象度分析法[M ]. 南京:江苏教育出版社, 1990) . 显然, 这与上述的思想是十分接近的; 两者的区别只是在于“抽象度分析法”所关注的仅仅是数学概念间的逻辑关系, 而认知心理学中所说的概念网络则已超出了这一范围. 对此并可见第二节的论述.
⑥ 详可见L . Ma . Knowing and Teaching El ementary Ma thematics [M ]. Lawrence , 1999
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下”,“冰冻三尺, 非一日之寒”, 这些古训反映前人对学习的基本看法. 但自古至今, 我们关于学习的观念基本上都建立在朴素经验之上, 而很少得到科学的解释. 特殊地, 从20世纪50年代起我们也一直在谈论“双基”, 并把加强“双基教学”当成不证自明的真理落实到数学教育的实践之中, 却很少考虑其合理性问题, 更谈不上做出必要的理论分析. 从而, 作为必要的总结与反思, 我们也就应当对以下两个问题做出深入的分析:
第一, 就知识和技能, 或更特殊地, 就数学知识和技能而言, 是否可以将其分解为若干个成分, 并单独对其中的各个成分进行教学?
第二, 就知识和技能, 或更特殊地, 就数学知识和技能的学习而言, 是否具有一定的可迁移性?
应当指明, 即使在认知心理学研究的范围内, 对上述两个问题也存在一些不同的看法. 例如, 在一篇很有影响的教育论文中, 瑞思尼克(L . Resnick 和D . Resnick ) 就曾对“信息加工方法”作了如下的描述:“……认知的信息加工理论把认知行为视为一些规则的复合体, 但是认知行为却强烈地依赖于这些规则之间的相互作用, ……单个规则是不能离开其他规则而被单独地加以界定的. 一个问题解决系统的潜能就取决于这些规则是怎样结合在一起的……”⑦在一些人看来, 这事实上也就意味着“认知行为的分解是不可能的”. 再例如, 也有一些学者依据认知活动的情境相关性对知识和技能的可迁移性提出了直接的质疑. 例如, 这就正如巴拉布在对所谓的“实习场”, 亦即如何做好“学习情境”的设计进行分析时所指出的:“实习场的主要问题是它们发生在学校里, ……这就导致学习情境脉络从社会生活中隔离出来. ”⑧
笔者对于上述问题的看法是:
第一, 即如前面所已指出的, 对于知识结构整体性的强调正是认知心理学研究的一个基本立场; 但是, 我们显然又应辩证地去看待在认知的个别成分与整体之间所存在的关系, 特别是, 尽管知识网络是一个整体, 亦即在认知的各个成分之间存在着相互作用和联系, 但后者并不是事情的全部, 各个成分仍有一定的相对独立性. 从而, 这事实上就应被看成认知心理学研究之真谛所在:我们既应十分重视各个单个的认知成分的精细分析, 同时则又应当注意研究这些成分在一个更大的知识范围内的相互作用.
显然, 从教学的角度去分析, 这也就十分清楚地表
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明了这样一点:在相关知识内容的教学中, 我们不仅应当注意帮助学生较好地去掌握相应的基础知识, 而且也应十分重视如何将所说的基础知识与其他的知识联系起来, 从而形成整体性的知识网络. 这就是说, 就知识的教学而言, 我们“不应求全, 而应求联”.
另外, 从同样的角度去分析, 在技能的教学中我们也“不应求全, 而应求变”. 这就是说, 相对于一般性技能而言, 我们应当更加注意“基本技能”的教学; 进而, 为了帮助学生很好地掌握所说的基本技能, 我们又不应满足于简单的重复, 而应帮助学生学会在各种变化了的条件下对各个基本技能的辨认和应用. 例如, 在笔者看来, 这事实上也就可以被看成所谓的“变式教学”的本质所在[4].
第二, 我们应当明确肯定知识的情境相关性. 特殊地, 后者事实上并就构成了现今在数学教育界中得到人们广泛重视的“民俗数学”研究的直接出发点和基本立场, 即人们可以通过日常生活与工作学到一定的数学知识和技能, 后者并在很大程度上不同于学校中所教学的数学知识和技能[5]. 例如, 以下就是这方面的两个著名事例:美国的一些家庭主妇们在超市购物中算账算得非常好, 但她们对同样的在学校里用纸笔来算的算术问题却做得十分糟糕(Lave , 1918) ; 类似地, 一些巴西街头儿童在兜售货物时能够熟练地进行数学计算, 但却不能回答学校情境中提出的类似问题(Car -rahr , 1986) .
但是, 应当强调的是, 上述的研究并不能被认为即是表明了应当用“日常数学”的学习去代替“学校数学”的学习, 因为, 这也正是相关研究的一个直接结论, 即越是局限于单一的情景, 所学到的知识就越不具有可迁移性, 而“学校数学”与“日常数学”相比在这一方面却有着较大的优越性[6]. 从而, 从整体上说, 关于知识情境性的研究就不能被看成表明了学校中所学到的知识和技能不具有一定的可迁移性, 毋宁说, 这即是从一个角度更为清楚地表明了正确处理“日常数学”与“学校数学”之间关系的重要性, 包括如何由“日常数学”上升到“学校数学”, 以及由“学校数学”向日常生活的复归.
就“数学基础知识”与“数学基本技能”的教学而言, 笔者以为, 这并就表明了在教学中我们应当十分注意以下的两个环节:
首先, 应对知识原型予以特别的重视. 具体地说,
⑦ L . Resnick , D . Resnic k . Asse ssing the Thinking Curriculum :New tools for e ducational reform [A ]. B . Gifford , M . O ' connor . Changing assess -ments :Alternative vi ews of aptifude , ac hie v e m ent and instruction [C ]. Boston MA :kluwe r , 1992
[A ]; [C ]. :, 2002
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倾向, 即认为所谓的“双基原理”构成了中国数学教学最为基本的原理, 我们甚至就可围绕这一原理对中国数学教学的各个主要特征做出全面总结, 包括教学过程, 教师的“主导作用”, 强调知识技能的掌握, 强调教学的效率, 等等; 特殊地, 以下的各个具体教学方法或措施又都可以被看成是与“双基教学”直接相联系的, 或者说, 即是构成了“双基教学”的必然要求:背诵定义、公式, 重复操练, 重视形式化演绎证明, 变式练习, “讲深讲透”,“精讲多练”,“熟能生巧”, 等等.
以下围绕学生能力的培养对“双基教学”的局限性做出具体分析, 而笔者所主要关注的则是如何才能突破“双基教学”的传统局限性并取得新的进展.
具体地说, 我们在此所涉及的主要是这样一个问题:应当如何去看待“双基教学”与学生能力培养之间的关系? 由于第一节中已经表明, 我们既不应将“双基”与某些具体能力简单地等同起来, 也不应将“能力”简单地归结为“所已掌握的知识与技能”, 因此, 从这样的角度去分析, 对于上述问题我们就应做出如下的细化:“双基教学”对于学生能力, 特别是创新能力的培养究竟具有一定的积极作用, 还是一定的消极作用?
应当首先指明, 我们不应将所谓的中国学生的“高分低能”看成“双基教学”的一个必然后果, 特别是, 以下更应说是一种简单化的认识, 即是认为“双基教学”必然地是与“填鸭式教学”、机械训练直接相联系的, 从而, 强调“双基教学”也就必然地不利于学生能力的培养. 事实上, 正如第二节中所已指明的, 即如在基础知识的教学中强调从原型出发上升到抽象的数学概念, 这显然是暴露思维、让学生体验数学化的正确措施, 又如关于技能的变式训练, 事实上也就是通过变换习题表面形式让学生抓住知识的深层结构, 因此也就是一种积极的教学方法. 从而, 总的来说, 我们就不能简单地断言取消“双基教学”会利于学生的能力培养.
然而, 作为问题的另一方面, 我们又应看到,“双基教学”主要地确应被看成属于规范性的范围, 由于后者事实上就可被看成中国数学教育传统, 特别是“中国数学教学法”的主要特征, [1]因此, 从这样的角度去分析, “双基教学”之所以能在中国数学教育界中得到特别提倡也就十分自然了. 当然, 后者事实上也就表明了在充分肯定“双基教学”的合理性的同时, 我们又应十分注意防止教学中过强的规范性, 乃至完全抹杀了学生的个体特殊性, 以及在很大程度上抑制了学生创新能力的发展.
例如, 依据这样的分析, 我们显然就应对以下的事
就数学概念或命题、公式、法则等的教学而言, 我们应当清楚地认识到其中即已包括了由具体、特殊到抽象、一般的重要过渡, 我们并应注意对各个相关概念或命题、公式、法则等之间的逻辑关系做出具体的分析; 但是, 除此之外, 我们又应十分重视帮助学生认识这些概念或命题、公式、法则等的典型现实原型, 以及相应的“数学抽象”过程. 值得指出的是, 这事实上也就是认知心理学研究的一个重要结果, 即就概念或命题、公式、法则等在学习者头脑中的心理表征而言, 并不仅仅是由相关的定义或逻辑关系所组成的, 恰恰相反, 一些典型实例在其中也占有了十分重要的地位, 特别是, 就只有借助所说的实例相应的概念或命题、公式、法则等对于主体而言才会变得丰富和生动起来, 也即真正成为直观明了和有意义的, 而不再是一种空洞的“词汇游戏”; 进而, 又只有借助具体的抽象过程我们才能帮助学生很好地把握相关概念或命题、公式、法则等的本质, 并能顺利实现由后者向具体情境的复归.
其次, 帮助学生学会在各种不同的情境中成功应用所已学到的知识和技能, 显然是“变式教学”的一个基本涵义. 但是, 就上述目标的实现而言, 关键则又并非应当无一遗漏地去列举出各种可能的“变式”, 恰恰相反, 最为重要的即是应当很好地去掌握变化中的不变因素. 特殊地, 就数学基本技能的学习而言, 这也就是所谓的“条件优化”, 即是应当致力于培养学生对相应的(产生式系统的) 条件模式和条件线索的辨认能力, 从而就能很好地去判定在什么情况下可以以及应当如何去运用相关的技能. 进而, 也正是在这样的意义上, 我们并可将“变式教学”推广于概念和知识的教学. 例如, 为了帮助学生很好地掌握各个数学概念的实质, 我们就不仅应当向学生呈现各种类型的正例, 而且也应向学生提供各种类型的反例, 特别是那些表面相似, 但本质不同的事例, 让学生区别其相同点和不同点, 从而真正把握“变化之中的不变因素”.
3 “双基教学”与能力培养
以上主要是从认知角度对“双基教学”的合理性进行了分析, 这就是指, 我们应当十分重视“数学基础知识”与“数学基本技能”的教学, 并以此来带动全部数学知识与技能的教学. 然而, 在做出上述肯定的同时, 我们又应看到“双基教学”也具有明显的局限性, 特别是, 我们不应认为抓好了“双基教学”, 数学教育中的各个问题就都获得了解决.
例如, 在笔者看来, 以下的做法就多少带有上述的
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实予以特别的重视, 即“概念图”并不能被认为指明了“唯一正确的认识途径”; 恰恰相反,“概念图使我们可安排自己的计划以达致任何一个新概念. 有人会提议制订一条路线, 但在概念图中并无一条独一而正确的路线, 反而会有多条不同的路线. ”⑨进而,“我们(又) 必须牢记这样一点:结构分析只是为研究提供了一个理论框架, 而不能被认为实际地描述了学生的思维过程. ”⑩特别是, 我们即应十分重视在各个学生间所必然存在的个别差异.
进而, 又如前面所已指出的, 与对于各个具体的“基础知识”与“基本技能”的片面强调相比, 我们又应更加注意帮助学生建立整体性的知识网络, 并能根据环境或需要灵活地在网络的不同成分之间做出转换, 包括由概念的严格定义转移到相应的直观形象, 或是由直观形象转移到概念定义, 以及由特例转向一般, 或由一般转向特例, 等等. 值得指出的是, 这种思维的灵活性事实上也就是数学思维的一个重要特点, 并就显然构成了创新思维的一个重要特征.
再则, 尽管数学学习心理学的现代研究可以被看成已在一定程度上表明了“熟能生巧”这一传统的学习方法具有一定的合理性[7]; 但是, “熟”可能“生巧”, 却并非一定“生巧”, 恰恰相反, 我国的数学教学在很多情况下往往就是在机械的练习这一层面上花费了太多的精力, 而完全忽视了应当促进学生积极地去进行必要的“反省”, 从而, 在这样的情况下,“熟而生巧”往往就只是一种“事倍功半”的不自觉行为, 甚至就根本没有发生. 因此, 与对于“熟能生巧”的片面强调相比, 我们在此事实上就应更加重视如何才能更好地促进由“熟”至“巧”的转变, 特别是, 我们即应努力实现由“熟能生巧”这样一种“不自觉”状态向更为自觉的状态的重要转变应当经常问及(或反思) 以下的问题:
为什么要从事这些练习? 如何去从事练习? 实际效果如何?
这样, 我们就不仅能够较好地实现由单纯练习向自觉学习的转变, 而且也能较好地实现技能训练与理解学习的适当平衡. 事实上, 除去具体知识与技能的学习以外, 所说的转变还有着更为重要的意义:上述的由不自觉状态向自觉状态的转变事实上就应被看成“学
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会学习”的一个基本涵义, 而后者与具体知识与技能的学习相比显然更为重要, 并就应当被看成最为基本的一种能力.
从而, 总的来说,“双基教学”就不应被理解成某种
按照事先指定的步骤或程序机械地予以实施的过程, 恰恰相反, 我们应当坚持教学工作的创造性与开放性; 另外, 我们又不应追求任何一种强制的统一, 亦即应当明确反对任何一种过分的规范, 恰恰相反, 我们应当努力拓宽学生的“学习空间”, 即如在教学中鼓励学生积极地去进行探索, 并应给各种不同意见以充分的表达机会, 包括让其他学生对所说的不同看法能有一个理解和评价的机会; 我们又应努力帮助学生在学习上逐步实现更大的自觉性和主动性; 等等[9]. 另外, 在认真做好“双基教学”的同时, 我们又应始终牢牢记住这样一点:双基教学只是整个数学教育、乃至一般教育的一个部分. 从而, 这事实上也就可以被看成为广大数学教育工作者包括广大教师积极地去开展教育教学研究提供了一个重要的课题, 即是应当如何去处理好“双基教学”与其他方面之间的关系, 特别是, 如何才能通过“数学基础知识”和“数学基本技能”的教学促进学生能力的发展以及情感、态度、价值观的培养. 显然, 后者事实上也就直接关系到了数学教育短期目标与长期目标的相互渗透与密切结合. 参考文献
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7 李士钅奇. 熟能生巧吗? [J ]. 数学教育学报, 1996, 38 郑毓信. 由“熟能生巧”到自觉学习:搞好数学教育的一个
关键问题[J ]. 数学教育学报, 1999, 2
9 郑毓信. 开放题与开放式教学[A ]. 载:郑毓信. 数学教育:
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.
例如, 就加强练习而言, 无论是教师或是学生就都
⑨ 斯根普(R . Skem p ) . 小学数学教育———智性学习[M ]. 香港:香港公开进修学院出版社, 1995. 值得指出的是, 这一著作中也包括了关于正
整数减法的一个“概念图”, 这并是与第一节中所介绍的“概念图”(图1) 很不相同的. 从而, 这一事实就从又一角度表明了这样一点, 即在基础知识的教学中我们确应防止过强的规范性.
⑩ B . Gre e r . Multipl ication and Divisi o n as Models of Situa t io ns [A ]. D . Grouws . Handbook of Research on Mathematical Teaching and Learning [C
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