海南省 2017 年初中毕业生学业水平考试
数学科试题
（考试时间 100 分钟，满分 120 分） 一．选择题（本大题满分 42 分，每小题 3 分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的 答案的字母代号按要求 用 2B 铅笔涂黑. ．．． 1．2017 的相反数是 A. -2017 B. 2017 C.
1 2017 1 2017
D.
2．已知 a = -2，则代数式 a +1 的值为 A. -3
3 2 5
B.
-2
3 2
C.
-1
3 2 6
D.
1
3 2 9
3. 下列运算正确的是 A. a + a = a B. a ¸ a = a C. a ga = a D . (a ) = a 4. 下图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. A.
主视图 三棱柱
左视图 B. 圆柱 B. 60°
俯视图 C. 圆台 C. 90° y A B C O x
D. D.
圆锥
5. 如图 1，直线 a∥b，c⊥a，则 c 与 b 相交所形成的∠1 的度数为 45° c 1 b 120°
a 图1 图2
6. 如图 2，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（-2，3） ，先把△ABC 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1 关于 x 轴对称的△A2B2C2，则点 A 的对应点 A2 的坐标是 A. （-3，2） B. （2，-3） C. （1，-2） D. （-1，2）
7. 海南省是中国国土面积（含海域）第一大省，其中海域面积约为 2 000 000 平方公里. 数据 2 000 000 用科学记数法表示为 2 ´10n ，则 n 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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8. 若分式 A. -1
x2 - 1 的值为 0，则 x 的值为 x -1
B. 0 年龄（岁） 人数 12 1 13 4 C. 1 14 3 15 5 D. ±1 16 7
9. 今年 3 月 12 日，某学校开展植树活动，某植树小组 20 名同学的年龄情况如下表：
则这 20 名同学年龄的众数和中位数分别是 A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15 10. 如图 3，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向 2 的概率为 A.
1 2
1 1 4 3
图3
B.
1 4
A
C.
1 8
D
D.
1 16
C B O
2
2 3
4
B
O
A
C
图4
图5
11. 如图 4，在菱形 ABCD 中，AC=8，BD=6，则△ABC 的周长为 A．14 A．25° B．16 B．50° C．18 C．60° D．20 D．80° ）条 D．6
12. 如图 5，点 A、B、C 在⊙O 上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC 的度数为 13. 已知△ABC 的三边长分别为 4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成 两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ A．3 B．4 C．5
、B（4，2） 、C（4，4） ．若反比例函数 y = 14. 如图 6，△ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则 k 的取值范围是 A．1≤k≤4 C．2≤k≤16 B．2≤k≤8 D．8≤k≤16
k x
y C A
O
B x
图6
二．填空题（本大题满分 16 分，每小题 4 分） 15. 不等式 2x + 1 > 0 的解集是_______________________.
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16. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y =x-1 的图象经过 P1（x1，y1） 、P2（x2，y2）两点. ， “＜”或“=” ）. 若 x1＜x2，则 y1 ____ y2（填“＞” 17. 如图 7，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 E 在 DC 上. 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cos∠EFC 的值是
A D
N C
．
E
A
O
B
图7 图8 18. 如图 8，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB = 45°. 若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 三．解答题（本大题满分 62 分） 19. (满分 10 分)计算： （1） 16 - -3 + ( -4) ´ 2-1 ； （2） ( x + 1) 2 + x ( x - 2) - ( x + 1)( x - 1) . .
F
C
M
B
20. (满分 8 分) 在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土. 已知 5 辆甲种
车和 2 辆乙种车一次共可运土 64 立方米，3 辆甲种车和 1 辆乙种车一次共可运土 36 立方 米．求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米． “我最喜爱的一项体育活动” 调查， 要求每名学生必选且只能选一项. 现 21. (满分 8 分)某校开展 随机抽查了 m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.
人数 50 40 30 20 10 0 排球 足球 跑步 乒乓球 其他 项目 21 15 乒乓球 39 其他 30% 45 排球 14%
足球 20%
跑步 26%
图 9-1 请结合以上信息解答下列问题： （ 1） m= ；
图 9-2
（ 2） 请 补 全 上 面 的 条 形 统 计 图 ； （ 3 ） 在 图 9-2 中 ， “乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 （ 4 ） 已 知 该 校 共 有 1200 名 学 生 ， 请你估计该校约有
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；
名学生最喜爱足球活动.
22. (满分 8 分)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的
，背水坡 DE 的坡度 i =1:1（即 DB:EB = 1:1） ，如 方案是：水坝加高 2 米（即 CD=2 米） 图 10 所示. 已知 AE=4 米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度 BC. （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） D D C
C
E
130°
G B
图 10
E
A
A
图 11
B
F
23. (满分 12 分)如图 11，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 在 AD 边上运动，且不与点
A 和点 D 重合，连结 CE，过点 C 作 CF⊥CE 交 AB 的延长线于点 F，EF 交 BC 于点 G.
（1）求证：△CDE≌△CBF； （2）当 DE=
1 时，求 CG 的长； 2
（3）连结 AG，在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时 DE 的长；若不能，说明理由.
24. (满分 16 分) 抛物线 y = ax + bx + 3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0）.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线 y =
2
3 x + 3 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下 5
方. 直线 PM //y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N . ①连结 PC、PD，如图 12-1. 在点 P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若 存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结 PB，过点 C 作 CQ⊥PM，垂足为点 Q，如图 12-2. 是否存在点 P，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由. y y D D
N C M B P
图 12-1
N C M P
图 12-2
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Q B x
O A
x
O A
海南省 2017 年初中毕业生学业水平考试数学科参考答案及评分标准
一．选择题（本大题满分 42 分，每小题 3 分） ACBDC BBADD CBBC 二．填空题(本大题满分 16 分，每小题 4 分) 15. x > −
22. （满分 8 分）
D C
1 3 5 2 ； 16.
130°
E
A
B
图 10
三．解答题（本大题满分 62 分） 19.（满分 10 分，每小题 5 分） (1)原式= 4 - 3 + ( - 4)
1 …………3 分 2
…………4 分 …………5 分
解：设 BC = x 米， 在 Rt△ABC 中， ∠CAB=180°-∠EAC=50°
………1 分
=4- 3- 2 =-1 （2）原式
AB =
BC BC 5 BC 5 ≈ = = x …3 分 tan 50D 1.2 6 6
= x 2 + 2 x +1 + x 2 - 2 x - ( x 2 - 1) …3 分 = x + 2 x +1 + x - 2 x - x +1 …4 分 = x +2
2
在 Rt△EBD 中， ∵ i =DB:EB=1:1 ∴ BD=EB ∴CD+BC=AE+AB 即 2+x=4+
………5 分
2
2
2
5 x， 6
………6 分
………5 分
20. （满分 8 分）解：设甲种车每辆一次 可运土 x 立方米，乙种车每辆一次可运土 y 立方米，依题意得： ………1 分
⎧5 x + 2 y = 64 ⎨ ⎩3x + y = 36 ⎧x = 8 解得： ⎨ ⎩ y = 12 ………5 分
解得：x=12 ………7 分 ∴BC=12 答：水坝原来的高度 BC 为 12 米。…8 分 23. D C 1 2 3
E G F A B (1)证明：在正方形 ABCD 中 DC=BC， ∠D=∠ABC=∠DCB=90°…1 分 ∴∠CBF=180°-∠ABC =90° ∠1+∠2=∠DCB=90° ∵CF⊥CE ∴∠ECF=90°， ………2 分 ∴∠3+∠2=∠ECF=90° ∴∠1=∠3 ………3 分 在△CDE 和△CBF 中
⎧∠D = ∠CBF ⎪ ⎨ DC = BC ⎪∠1 = ∠3 ⎩
………7 分
答：甲种车每辆一次可运土 8 立方米，乙 种车每辆一次可运土 12 立方米. ……8 分 21．(满分 8 分) （1）150； （2）如图所示； （3）36 ； （4）240
人数 50 40 30 20 10 0 排球 足球 跑步 乒乓球 其他 项目 21 15 39 45
30
∴△CDE≌△CBF（ASA） ………4 分 (2)在正方形 ABCD 中，AD//BC ∴△GBF∽△EAF ………5 分 ∴
BG BF ① = AE AF
………6 分
注：每小题 2 分。
1
由(1)知△CDE≌△CBF
∴BF = DE =
1 2
3 ，AE= AD-DE= 1 2 2
轴下方
∵正方形 ABCD 的边长为 1 ∴AF=AB+BF=
3 18 ∴可设点 P(t , t 2 t + 3) ，1＜t＜5； 5 5
分别与 x 轴和直线 CD 相交 ∵PM ∥y 轴， 于点 M、 N
代入①式得
1 BG 2 = 1 3 2 2
………7 分
3 ∴ M ( t , 0 ) ， N (t , t + 3) 5
①∵点 C，D 是直线与抛物线的交点
∴BG=
1 6 5 6
………8 分
3 18 3 ∴令 x 2 x +3 = x +3 5 5 5
解得：x1=0，x2=7
∴CG=BC-BG=
3 当 x=0 时， y = x + 3 = 3 5 3 36 当 x=7 时， y = x + 3 = 5 5
∴点 C ( 0,3) ， D(7,
（3）不能.理由如下： ………9 分 若四边形 CEAG 为平行四边形，则必须满 足 AE∥CG 且 AE = CG ………10 分 则 AD-AE=BC-CG 即 DE=BG 由（1）知△CDE≌△CBF ∴DE=BF，CE=CF ∴BG=BF ∴△GBF 和△ECF 都是等腰直角三角形 ………11 分 ∴∠GFB=45°，∠CFE=45° ∴∠CFA=∠GFB +∠CFE =90° 此时点 F 与点 B 重合，点 D 与点 E 重合， 与题目条件不符。 故在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 不能 为平行四边形。 ………12 分 24.解:（1）∵抛物线 y = ax + bx + 3 经 过点 A（1，0）和点 B（5，0）
2
36 ) 5
………6 分
分别过点 C 和点 D 作直线 PN 的垂线，垂 足分别为 E、F， 则 CE=t，DF=7-t
S△PCD = S△PCN + S△PDN
1 1 = PN ⋅ CE + PN ⋅ DF 2 2 1 1 = PN ( CE + DF ) = PN × 7 2 2
∴当 PN 最大时，△PCD 的面积最大‥8 分
3 3 18 ∵ PN = t + 3 - ( t 2 t + 3) 5 5 5 =∴当 t =
3 7 147 (t - ) 2 + 5 2 20
⎧a + b + 3 = 0 ∴⎨ ⎩25a + 5b + 3 = 0
3 ⎧ a= ⎪ ⎪ 5 解得 ⎨ ⎪b = − 18 ⎪ 5 ⎩
7 147 时，PN 最大值为 …‥9 分 2 20
………2 分
此时，△PCD 的面积最大，且为
1 147 1029 = ×7× 2 20 40
y F N C E M O A P B D
.
………10 分
， ∴该抛物线对应的函数
解析式为 y = 3 x 2 - 18 x + 3 ………4 分 5 5
x
（2）∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x
2
（2）②存在。 ∵∠CQN=∠PMB=90° NQ PM NQ BM ∴当 或 时， = = CQ BM CQ PM △CNQ 与△PBM 相似 ∵CQ⊥PM，垂足为点 Q ∴ Q ( t ,3)
y D N C M O A P B x Q
3 又∵ C ( 0,3) ， N (t , t + 3) 5
3 ⎛3 ⎞ ∴ CQ = t , NQ = ⎜ t + 3 ⎟ − 3 = t 5 ⎝5 ⎠ NQ 3 ∴ = CQ 5 3 18 ∵ P(t , t 2 t + 3) ， M ( t , 0 ) ， B（5，0） 5 5 3 18 ∴ BM = 5 − t , PM = − t 2 + t − 3 5 5 NQ PM 情况 1. 当 时， PM = 3 BM = CQ BM 5
3 18 3 即 − t 2 + t − 3 = (5 − t ) 5 5 5
解得 t1 = 2 ， t2 = 5 （舍去）
9⎞ ⎛ ………13 分 此时， P ⎜ 2, − ⎟ 5⎠ ⎝ NQ BM 时， BM = 3 PM 情况 2. 当 = CQ PM 5 3 3 18 即 5 − t = (− t 2 + t − 3) 5 5 5
解得 t1 =
34 ， t2 = 5 （舍去） 9 ⎛ 34 55 ⎞ 此时， P ⎜ , − ⎟ 27 ⎠ ⎝ 9
9⎞ ⎛ 综上所述，存在点 P ⎜ 2, − ⎟ 或者 5⎠ ⎝ ⎛ 34 55 ⎞ P ⎜ , − ⎟ 使得△CNQ 与△PBM 相似. 27 ⎠ ⎝ 9
………16 分
3
海南省 2017 年初中毕业生学业水平考试
数学科试题
（考试时间 100 分钟，满分 120 分） 一．选择题（本大题满分 42 分，每小题 3 分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的 答案的字母代号按要求 用 2B 铅笔涂黑. ．．． 1．2017 的相反数是 A. -2017 B. 2017 C.
1 2017 1 2017
D.
2．已知 a = -2，则代数式 a +1 的值为 A. -3
3 2 5
B.
-2
3 2
C.
-1
3 2 6
D.
1
3 2 9
3. 下列运算正确的是 A. a + a = a B. a ¸ a = a C. a ga = a D . (a ) = a 4. 下图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. A.
主视图 三棱柱
左视图 B. 圆柱 B. 60°
俯视图 C. 圆台 C. 90° y A B C O x
D. D.
圆锥
5. 如图 1，直线 a∥b，c⊥a，则 c 与 b 相交所形成的∠1 的度数为 45° c 1 b 120°
a 图1 图2
6. 如图 2，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（-2，3） ，先把△ABC 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1 关于 x 轴对称的△A2B2C2，则点 A 的对应点 A2 的坐标是 A. （-3，2） B. （2，-3） C. （1，-2） D. （-1，2）
7. 海南省是中国国土面积（含海域）第一大省，其中海域面积约为 2 000 000 平方公里. 数据 2 000 000 用科学记数法表示为 2 ´10n ，则 n 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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8. 若分式 A. -1
x2 - 1 的值为 0，则 x 的值为 x -1
B. 0 年龄（岁） 人数 12 1 13 4 C. 1 14 3 15 5 D. ±1 16 7
9. 今年 3 月 12 日，某学校开展植树活动，某植树小组 20 名同学的年龄情况如下表：
则这 20 名同学年龄的众数和中位数分别是 A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15 10. 如图 3，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向 2 的概率为 A.
1 2
1 1 4 3
图3
B.
1 4
A
C.
1 8
D
D.
1 16
C B O
2
2 3
4
B
O
A
C
图4
图5
11. 如图 4，在菱形 ABCD 中，AC=8，BD=6，则△ABC 的周长为 A．14 A．25° B．16 B．50° C．18 C．60° D．20 D．80° ）条 D．6
12. 如图 5，点 A、B、C 在⊙O 上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC 的度数为 13. 已知△ABC 的三边长分别为 4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成 两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ A．3 B．4 C．5
、B（4，2） 、C（4，4） ．若反比例函数 y = 14. 如图 6，△ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则 k 的取值范围是 A．1≤k≤4 C．2≤k≤16 B．2≤k≤8 D．8≤k≤16
k x
y C A
O
B x
图6
二．填空题（本大题满分 16 分，每小题 4 分） 15. 不等式 2x + 1 > 0 的解集是_______________________.
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16. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y =x-1 的图象经过 P1（x1，y1） 、P2（x2，y2）两点. ， “＜”或“=” ）. 若 x1＜x2，则 y1 ____ y2（填“＞” 17. 如图 7，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 E 在 DC 上. 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cos∠EFC 的值是
A D
N C
．
E
A
O
B
图7 图8 18. 如图 8，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB = 45°. 若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 三．解答题（本大题满分 62 分） 19. (满分 10 分)计算： （1） 16 - -3 + ( -4) ´ 2-1 ； （2） ( x + 1) 2 + x ( x - 2) - ( x + 1)( x - 1) . .
F
C
M
B
20. (满分 8 分) 在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土. 已知 5 辆甲种
车和 2 辆乙种车一次共可运土 64 立方米，3 辆甲种车和 1 辆乙种车一次共可运土 36 立方 米．求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米． “我最喜爱的一项体育活动” 调查， 要求每名学生必选且只能选一项. 现 21. (满分 8 分)某校开展 随机抽查了 m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.
人数 50 40 30 20 10 0 排球 足球 跑步 乒乓球 其他 项目 21 15 乒乓球 39 其他 30% 45 排球 14%
足球 20%
跑步 26%
图 9-1 请结合以上信息解答下列问题： （ 1） m= ；
图 9-2
（ 2） 请 补 全 上 面 的 条 形 统 计 图 ； （ 3 ） 在 图 9-2 中 ， “乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 （ 4 ） 已 知 该 校 共 有 1200 名 学 生 ， 请你估计该校约有
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；
名学生最喜爱足球活动.
22. (满分 8 分)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的
，背水坡 DE 的坡度 i =1:1（即 DB:EB = 1:1） ，如 方案是：水坝加高 2 米（即 CD=2 米） 图 10 所示. 已知 AE=4 米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度 BC. （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） D D C
C
E
130°
G B
图 10
E
A
A
图 11
B
F
23. (满分 12 分)如图 11，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 在 AD 边上运动，且不与点
A 和点 D 重合，连结 CE，过点 C 作 CF⊥CE 交 AB 的延长线于点 F，EF 交 BC 于点 G.
（1）求证：△CDE≌△CBF； （2）当 DE=
1 时，求 CG 的长； 2
（3）连结 AG，在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时 DE 的长；若不能，说明理由.
24. (满分 16 分) 抛物线 y = ax + bx + 3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0）.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线 y =
2
3 x + 3 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下 5
方. 直线 PM //y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N . ①连结 PC、PD，如图 12-1. 在点 P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若 存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结 PB，过点 C 作 CQ⊥PM，垂足为点 Q，如图 12-2. 是否存在点 P，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由. y y D D
N C M B P
图 12-1
N C M P
图 12-2
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Q B x
O A
x
O A
海南省 2017 年初中毕业生学业水平考试数学科参考答案及评分标准
一．选择题（本大题满分 42 分，每小题 3 分） ACBDC BBADD CBBC 二．填空题(本大题满分 16 分，每小题 4 分) 15. x > −
22. （满分 8 分）
D C
1 3 5 2 ； 16.
130°
E
A
B
图 10
三．解答题（本大题满分 62 分） 19.（满分 10 分，每小题 5 分） (1)原式= 4 - 3 + ( - 4)
1 …………3 分 2
…………4 分 …………5 分
解：设 BC = x 米， 在 Rt△ABC 中， ∠CAB=180°-∠EAC=50°
………1 分
=4- 3- 2 =-1 （2）原式
AB =
BC BC 5 BC 5 ≈ = = x …3 分 tan 50D 1.2 6 6
= x 2 + 2 x +1 + x 2 - 2 x - ( x 2 - 1) …3 分 = x + 2 x +1 + x - 2 x - x +1 …4 分 = x +2
2
在 Rt△EBD 中， ∵ i =DB:EB=1:1 ∴ BD=EB ∴CD+BC=AE+AB 即 2+x=4+
………5 分
2
2
2
5 x， 6
………6 分
………5 分
20. （满分 8 分）解：设甲种车每辆一次 可运土 x 立方米，乙种车每辆一次可运土 y 立方米，依题意得： ………1 分
⎧5 x + 2 y = 64 ⎨ ⎩3x + y = 36 ⎧x = 8 解得： ⎨ ⎩ y = 12 ………5 分
解得：x=12 ………7 分 ∴BC=12 答：水坝原来的高度 BC 为 12 米。…8 分 23. D C 1 2 3
E G F A B (1)证明：在正方形 ABCD 中 DC=BC， ∠D=∠ABC=∠DCB=90°…1 分 ∴∠CBF=180°-∠ABC =90° ∠1+∠2=∠DCB=90° ∵CF⊥CE ∴∠ECF=90°， ………2 分 ∴∠3+∠2=∠ECF=90° ∴∠1=∠3 ………3 分 在△CDE 和△CBF 中
⎧∠D = ∠CBF ⎪ ⎨ DC = BC ⎪∠1 = ∠3 ⎩
………7 分
答：甲种车每辆一次可运土 8 立方米，乙 种车每辆一次可运土 12 立方米. ……8 分 21．(满分 8 分) （1）150； （2）如图所示； （3）36 ； （4）240
人数 50 40 30 20 10 0 排球 足球 跑步 乒乓球 其他 项目 21 15 39 45
30
∴△CDE≌△CBF（ASA） ………4 分 (2)在正方形 ABCD 中，AD//BC ∴△GBF∽△EAF ………5 分 ∴
BG BF ① = AE AF
………6 分
注：每小题 2 分。
1
由(1)知△CDE≌△CBF
∴BF = DE =
1 2
3 ，AE= AD-DE= 1 2 2
轴下方
∵正方形 ABCD 的边长为 1 ∴AF=AB+BF=
3 18 ∴可设点 P(t , t 2 t + 3) ，1＜t＜5； 5 5
分别与 x 轴和直线 CD 相交 ∵PM ∥y 轴， 于点 M、 N
代入①式得
1 BG 2 = 1 3 2 2
………7 分
3 ∴ M ( t , 0 ) ， N (t , t + 3) 5
①∵点 C，D 是直线与抛物线的交点
∴BG=
1 6 5 6
………8 分
3 18 3 ∴令 x 2 x +3 = x +3 5 5 5
解得：x1=0，x2=7
∴CG=BC-BG=
3 当 x=0 时， y = x + 3 = 3 5 3 36 当 x=7 时， y = x + 3 = 5 5
∴点 C ( 0,3) ， D(7,
（3）不能.理由如下： ………9 分 若四边形 CEAG 为平行四边形，则必须满 足 AE∥CG 且 AE = CG ………10 分 则 AD-AE=BC-CG 即 DE=BG 由（1）知△CDE≌△CBF ∴DE=BF，CE=CF ∴BG=BF ∴△GBF 和△ECF 都是等腰直角三角形 ………11 分 ∴∠GFB=45°，∠CFE=45° ∴∠CFA=∠GFB +∠CFE =90° 此时点 F 与点 B 重合，点 D 与点 E 重合， 与题目条件不符。 故在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 不能 为平行四边形。 ………12 分 24.解:（1）∵抛物线 y = ax + bx + 3 经 过点 A（1，0）和点 B（5，0）
2
36 ) 5
………6 分
分别过点 C 和点 D 作直线 PN 的垂线，垂 足分别为 E、F， 则 CE=t，DF=7-t
S△PCD = S△PCN + S△PDN
1 1 = PN ⋅ CE + PN ⋅ DF 2 2 1 1 = PN ( CE + DF ) = PN × 7 2 2
∴当 PN 最大时，△PCD 的面积最大‥8 分
3 3 18 ∵ PN = t + 3 - ( t 2 t + 3) 5 5 5 =∴当 t =
3 7 147 (t - ) 2 + 5 2 20
⎧a + b + 3 = 0 ∴⎨ ⎩25a + 5b + 3 = 0
3 ⎧ a= ⎪ ⎪ 5 解得 ⎨ ⎪b = − 18 ⎪ 5 ⎩
7 147 时，PN 最大值为 …‥9 分 2 20
………2 分
此时，△PCD 的面积最大，且为
1 147 1029 = ×7× 2 20 40
y F N C E M O A P B D
.
………10 分
， ∴该抛物线对应的函数
解析式为 y = 3 x 2 - 18 x + 3 ………4 分 5 5
x
（2）∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x
2
（2）②存在。 ∵∠CQN=∠PMB=90° NQ PM NQ BM ∴当 或 时， = = CQ BM CQ PM △CNQ 与△PBM 相似 ∵CQ⊥PM，垂足为点 Q ∴ Q ( t ,3)
y D N C M O A P B x Q
3 又∵ C ( 0,3) ， N (t , t + 3) 5
3 ⎛3 ⎞ ∴ CQ = t , NQ = ⎜ t + 3 ⎟ − 3 = t 5 ⎝5 ⎠ NQ 3 ∴ = CQ 5 3 18 ∵ P(t , t 2 t + 3) ， M ( t , 0 ) ， B（5，0） 5 5 3 18 ∴ BM = 5 − t , PM = − t 2 + t − 3 5 5 NQ PM 情况 1. 当 时， PM = 3 BM = CQ BM 5
3 18 3 即 − t 2 + t − 3 = (5 − t ) 5 5 5
解得 t1 = 2 ， t2 = 5 （舍去）
9⎞ ⎛ ………13 分 此时， P ⎜ 2, − ⎟ 5⎠ ⎝ NQ BM 时， BM = 3 PM 情况 2. 当 = CQ PM 5 3 3 18 即 5 − t = (− t 2 + t − 3) 5 5 5
解得 t1 =
34 ， t2 = 5 （舍去） 9 ⎛ 34 55 ⎞ 此时， P ⎜ , − ⎟ 27 ⎠ ⎝ 9
9⎞ ⎛ 综上所述，存在点 P ⎜ 2, − ⎟ 或者 5⎠ ⎝ ⎛ 34 55 ⎞ P ⎜ , − ⎟ 使得△CNQ 与△PBM 相似. 27 ⎠ ⎝ 9
………16 分
3