几何体外接球精美讲义

第二讲 几何体的外接球和内切球问题

※基础知识:

1.常见平面图形:正方形,长方形,正三角形的外接圆和内切圆

长方形(正方形)的外接圆半径为对角线长的一半,正方形的内切圆半径为边长的一半;

正三角形的内切圆半径:2a

外接圆半径:a 三角形面积:a 634正三角形三心合一,三线合一,心把高分为2:1两部分。

2.球的概念:

概念1:与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球. ,定长叫球的半径; 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面. 一个球或球面用表示它的球心的字母表示,例如球O 或 O .

概念2:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球。

3.球的截面:

用一平面α去截一个球O ,设OO '是平面α

的垂线段,O '为垂足,且OO '=d ,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以r 径的一个圆,截面是一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.

4.空间几何体外接球、内切球的概念:

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。

长方体的外接球

正方体的内切球

5.外接球和内切球性质:

(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合。

(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。

(4)基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。

(5)体积分割是求内切球半径的通用做法。

a 2

=+b 2+c 2

长方体的外接球半径公式:R 2,其中a , b , c 分别为长方体共顶点的3条棱长

正棱锥的外接球半径公式:R =a 2

2h , 侧棱2=2R 外⋅h 正棱锥,其中a 为侧棱长,h 为正棱锥

的高

正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。

※典型例题:

题型一:球的概念

例1. (1)已知球的直径为8cm ,那么它的表面积为__________,体积为___________

(2)已知球的表面积为144πcm 2,那么它的体积为___________

(3)已知球的体积为36π,那么它的表面积为__________

(4)如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为__________ 例2. (1)(2012年新课标文科)平面α截球O

的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α

A

B .

C .

D .

(2)已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且AB =BC =CA =2,求球的表面积.

(3)(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH :HB =1:2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.

(4)(2013年高考新课标1(理))如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )

A .500πcm 3 3B .866πcm 3 3C .1372π2048πcm 3 D .cm 3 33

题型二:与长方体、正方体(柱体)有关的外接球问题

例3. (1)

,则它的外接球的表面积为( ) D .π A .π B .2π C .4π

(2)已知正方体外接球的体积是834332π,那么正方体的棱长等于( ) 3

A

. B .23424 C . D . 333

例4. (1)(2010年新课标文科)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )

A .3πa 2 B .6πa 2 C .12πa 2 D .24πa 2

(2)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为2.

(3)(2013年辽宁数学(理))已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为( )

A

13 B

. C . 2D

.题型三:与正锥体有关的外接球问题

例5.(1)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )

A

. B

. C

. D

. 43412

(2)(2012年高考辽宁理)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C

面上,若P A ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为________.

例6.(1)(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知正四棱锥O —ABCD

的体积为,底面边

2

O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.

(2)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P -ABCDEF ,

则此正六棱锥的侧面积是________.

题型四:其他柱体、锥体的外接球问题

例7.(1)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB =AC =AA 1=2,∠BAC =120︒,则此球的表面积等于.

(2)四棱锥S -ABCD 的五个顶点都在一个球面上,底面是边长为2的正方形,SD ⊥平面ABCD ,且SD =AB ,则其外接球的体积为 .

(3)(2015年新课标2文科)已知A , B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90︒,C 为该球面上的动点.若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )

A .36π B .64π C .144π D .256π

题型五:柱体、锥体的内切球问题

例8. (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

A

.1: B .1:3 C

. D .1:9

(2)正三棱锥的高为1,底面边长为26,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.

※拓展练习:

2.

四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )

A .3π B .4π C

. D .6π

3.一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( )

A .16π B .20π

7.(2012辽宁文)已知点P , A , B , C , D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD ,四边形 C .24π D .32π ABCD

是边长为

PA =∆OAB 的面积为__________.

8.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中AB =18,BC =24、AC =30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.

第二讲 几何体的外接球和内切球问题

※基础知识:

1.常见平面图形:正方形,长方形,正三角形的外接圆和内切圆

长方形(正方形)的外接圆半径为对角线长的一半,正方形的内切圆半径为边长的一半;

正三角形的内切圆半径:2a

外接圆半径:a 三角形面积:a 634正三角形三心合一,三线合一,心把高分为2:1两部分。

2.球的概念:

概念1:与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球. ,定长叫球的半径; 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面. 一个球或球面用表示它的球心的字母表示,例如球O 或 O .

概念2:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球。

3.球的截面:

用一平面α去截一个球O ,设OO '是平面α

的垂线段,O '为垂足,且OO '=d ,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以r 径的一个圆,截面是一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.

4.空间几何体外接球、内切球的概念:

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。

长方体的外接球

正方体的内切球

5.外接球和内切球性质:

(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合。

(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。

(4)基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。

(5)体积分割是求内切球半径的通用做法。

a 2

=+b 2+c 2

长方体的外接球半径公式:R 2,其中a , b , c 分别为长方体共顶点的3条棱长

正棱锥的外接球半径公式:R =a 2

2h , 侧棱2=2R 外⋅h 正棱锥,其中a 为侧棱长,h 为正棱锥

的高

正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。

※典型例题:

题型一:球的概念

例1. (1)已知球的直径为8cm ,那么它的表面积为__________,体积为___________

(2)已知球的表面积为144πcm 2,那么它的体积为___________

(3)已知球的体积为36π,那么它的表面积为__________

(4)如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为__________ 例2. (1)(2012年新课标文科)平面α截球O

的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α

A

B .

C .

D .

(2)已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且AB =BC =CA =2,求球的表面积.

(3)(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH :HB =1:2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.

(4)(2013年高考新课标1(理))如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )

A .500πcm 3 3B .866πcm 3 3C .1372π2048πcm 3 D .cm 3 33

题型二:与长方体、正方体(柱体)有关的外接球问题

例3. (1)

,则它的外接球的表面积为( ) D .π A .π B .2π C .4π

(2)已知正方体外接球的体积是834332π,那么正方体的棱长等于( ) 3

A

. B .23424 C . D . 333

例4. (1)(2010年新课标文科)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )

A .3πa 2 B .6πa 2 C .12πa 2 D .24πa 2

(2)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为2.

(3)(2013年辽宁数学(理))已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为( )

A

13 B

. C . 2D

.题型三:与正锥体有关的外接球问题

例5.(1)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )

A

. B

. C

. D

. 43412

(2)(2012年高考辽宁理)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C

面上,若P A ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为________.

例6.(1)(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知正四棱锥O —ABCD

的体积为,底面边

2

O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.

(2)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P -ABCDEF ,

则此正六棱锥的侧面积是________.

题型四:其他柱体、锥体的外接球问题

例7.(1)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB =AC =AA 1=2,∠BAC =120︒,则此球的表面积等于.

(2)四棱锥S -ABCD 的五个顶点都在一个球面上,底面是边长为2的正方形,SD ⊥平面ABCD ,且SD =AB ,则其外接球的体积为 .

(3)(2015年新课标2文科)已知A , B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90︒,C 为该球面上的动点.若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )

A .36π B .64π C .144π D .256π

题型五:柱体、锥体的内切球问题

例8. (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

A

.1: B .1:3 C

. D .1:9

(2)正三棱锥的高为1,底面边长为26,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.

※拓展练习:

2.

四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )

A .3π B .4π C

. D .6π

3.一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( )

A .16π B .20π

7.(2012辽宁文)已知点P , A , B , C , D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD ,四边形 C .24π D .32π ABCD

是边长为

PA =∆OAB 的面积为__________.

8.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中AB =18,BC =24、AC =30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.


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