第二讲 几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径：2a
外接圆半径：a 三角形面积：a 634正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
2．球的概念：
概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球. ，定长叫球的半径； 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面. 一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或 O ．
概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
3．球的截面：
用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α
的垂线段，O '为垂足，且OO '=d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r 径的一个圆，截面是一个圆面.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.
4．空间几何体外接球、内切球的概念：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球
正方体的内切球
5．外接球和内切球性质：
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
a 2
=+b 2+c 2
长方体的外接球半径公式：R 2，其中a , b , c 分别为长方体共顶点的3条棱长
正棱锥的外接球半径公式：R =a 2
2h , 侧棱2=2R 外⋅h 正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥
的高
正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。
※典型例题：
题型一：球的概念
例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________
（2）已知球的表面积为144πcm 2，那么它的体积为___________
（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________
（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________ 例2. （1）（2012年新课标文科）平面α截球O
的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α
）
A
B ．
C ．
D ．
（2）已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的表面积.
（3）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______．
（4）（2013年高考新课标1（理））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）
A ．500πcm 3 3B ．866πcm 3 3C ．1372π2048πcm 3 D ．cm 3 33
题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题
例3. （1）
，则它的外接球的表面积为（ ） D ．π A ．π B ．2π C ．4π
（2）已知正方体外接球的体积是834332π，那么正方体的棱长等于（ ） 3
A
． B ．23424 C ． D ． 333
例4. （1）（2010年新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2
（2）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为2．
（3）（2013年辽宁数学（理））已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为（ ）
A
13 B
． C ． 2D
．题型三：与正锥体有关的外接球问题
例5．（1）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A
． B
． C
． D
． 43412
（2）（2012年高考辽宁理）已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C
面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．
例6．（1）（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O —ABCD
的体积为，底面边
2
O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
（2）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P -ABCDEF ，
则此正六棱锥的侧面积是________．
题型四：其他柱体、锥体的外接球问题
例7．（1）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120︒，则此球的表面积等于．
（2）四棱锥S -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为2的正方形，SD ⊥平面ABCD ，且SD =AB ，则其外接球的体积为 ．
（3）（2015年新课标2文科）已知A , B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90︒，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π
题型五：柱体、锥体的内切球问题
例8. （1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
A
．1: B ．1:3 C
． D ．1:9
（2）正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
※拓展练习：
2．
四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π B ．4π C
． D ．6π
3．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．16π B ．20π
7．（2012辽宁文）已知点P , A , B , C , D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形 C ．24π D ．32π ABCD
是边长为
PA =∆OAB 的面积为__________．
8．球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB =18，BC =24、AC =30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
第二讲 几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径：2a
外接圆半径：a 三角形面积：a 634正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
2．球的概念：
概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球. ，定长叫球的半径； 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面. 一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或 O ．
概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
3．球的截面：
用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α
的垂线段，O '为垂足，且OO '=d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r 径的一个圆，截面是一个圆面.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.
4．空间几何体外接球、内切球的概念：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球
正方体的内切球
5．外接球和内切球性质：
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
a 2
=+b 2+c 2
长方体的外接球半径公式：R 2，其中a , b , c 分别为长方体共顶点的3条棱长
正棱锥的外接球半径公式：R =a 2
2h , 侧棱2=2R 外⋅h 正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥
的高
正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。
※典型例题：
题型一：球的概念
例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________
（2）已知球的表面积为144πcm 2，那么它的体积为___________
（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________
（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________ 例2. （1）（2012年新课标文科）平面α截球O
的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α
）
A
B ．
C ．
D ．
（2）已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的表面积.
（3）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______．
（4）（2013年高考新课标1（理））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）
A ．500πcm 3 3B ．866πcm 3 3C ．1372π2048πcm 3 D ．cm 3 33
题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题
例3. （1）
，则它的外接球的表面积为（ ） D ．π A ．π B ．2π C ．4π
（2）已知正方体外接球的体积是834332π，那么正方体的棱长等于（ ） 3
A
． B ．23424 C ． D ． 333
例4. （1）（2010年新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2
（2）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为2．
（3）（2013年辽宁数学（理））已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为（ ）
A
13 B
． C ． 2D
．题型三：与正锥体有关的外接球问题
例5．（1）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A
． B
． C
． D
． 43412
（2）（2012年高考辽宁理）已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C
面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．
例6．（1）（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O —ABCD
的体积为，底面边
2
O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
（2）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P -ABCDEF ，
则此正六棱锥的侧面积是________．
题型四：其他柱体、锥体的外接球问题
例7．（1）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120︒，则此球的表面积等于．
（2）四棱锥S -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为2的正方形，SD ⊥平面ABCD ，且SD =AB ，则其外接球的体积为 ．
（3）（2015年新课标2文科）已知A , B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90︒，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π
题型五：柱体、锥体的内切球问题
例8. （1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
A
．1: B ．1:3 C
． D ．1:9
（2）正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
※拓展练习：
2．
四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π B ．4π C
． D ．6π
3．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．16π B ．20π
7．（2012辽宁文）已知点P , A , B , C , D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形 C ．24π D ．32π ABCD
是边长为
PA =∆OAB 的面积为__________．
8．球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB =18，BC =24、AC =30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．