高一数学数列知识总结
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二、知识梳理
①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2
=a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0) ②a n
a m ≥0的项数m 使三、在等差数列｛a n ｝中, 有关S n 的最值问题：(1)当a 1>0,d
⎩a m +1≤0
⎧a m ≤0得s m 取最大值. (2)当a 10时，满足⎨的项数m 使得s m 取最小值。在解含绝对值
a ≥0⎩m +1
的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。 四. 数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项.
S （1n =1) （2）利用公式法求数列的通项：①a n =⎧⎨
⎩S n -S n -1(n ≥2)
；②{a n }等差、等比数列{a n }公式.
（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①a n +1=a n +f (n ) ；②a n +1=a n f (n ). （4）造等差、等比数列求通项：
① a n +1=pa n +q ；②a n +1=pa n +q ；③a n +1=pa n +f (n ) ；④a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n .
n
第一节通项公式常用方法
题型1 利用公式法求通项
例1：1. 已知{an }满足a n+1=an +2，而且a 1=1。求a n 。
2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，求下列数列{a n }的通项公式： ⑴ S n =2n +3n -1； ⑵S n =2+1.
总结:任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n =⎨合a n ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
例2：⑴已知数列{a n }中，a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式；
⑵已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =n ⋅a n ，求数列{a n }的通项公式.
2
2n
⎧S 1(n =1)
若a 1适
⎩S n -S n -1(n ≥2)
总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“a n +1=a n +f (n ) ”； 迭乘法适用于求递推关系形如“a n +1=a n ⋅f (n ) “；⑵迭加法、迭乘法公式：
① a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +(a n -2-a n -3) + +(a 2-a 1) +a 1 ② a n =
a n a n -1a n -2a a
⋅⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1. a n -1a n -2a n -3a 2a 1
题型3 构造等比数列求通项
例3已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.
总结：递推关系形如“a n +1=pa n +q ” 适用于待定系数法或特征根法：
①令a n +1-λ=p (a n -λ) ；
② 在a n +1=pa n +q 中令a n +1=a n =x ⇒x =
q
，∴a n +1-x =p (a n -x ) ； 1-p
③由a n +1=pa n +q 得a n =pa n -1+q ，∴a n +1-a n =p (a n -a n -1) . 例4已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.
n
总结：递推关系形如“a n +1=pa n +q ”通过适当变形可转化为： “a n +1=pa n +q ”或“a n +1=a n +f (n ) 求解.
例5已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{a n }的通项公式.
，通过适当变形转化为可求和的数列. 总结：递推关系形如“a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n ”强化巩固练习
1、已知S n 为数列{a n }的前n 项和， S n =3a n +2(n ∈N +, n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式. 2、已知数列{a n }中，a 1=2, (n +2) a n +1-(n +1) a n =0(n ∈N +) ，求数列{a n }的通项公式. 小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①a n +1=a n +f (n ) ；②a n +1=a n f (n ). （4）构造等差、等比数列求通项：④a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n .
3、数列{a n }中，a 1=1, a n =n (a n +1-a n ) ，则数列{a n }的通项a n =
。
①
n
n
a n +1=pa n +q ；②a n +1=pa n +q n ；③a n +1=pa n +f (n ) ；
4、数列{a n }中，a n +1=3a n +2(n ∈N +) , 且a 10=8，则a 4= 。
5、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1) a n +1-na n +a n +1a n =0(n ∈N +) ，
2
2
则数列{a n }的通项a n = . 6、数列{a n }中，a 1=1, a n +1=
2a n
(n ∈N +) ，则{a n }的通项a n =2+a n
n n
7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a , a n +1=S n +3(n ∈N +) ，设b n =S n -3，求
数列{b n }的通项公式．
第二节数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1
⎪n
2、等比数列求和公式：S n =⎨a 1(1-q ) a 1-a n q
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
n
112
3、 S n =∑k =n (n +1) 4、S n =∑k =(n +1)(2n +1)
62k =1k =1
n
1
S n =∑k 3=[(n +1)]2
2k =1
巩固练习：设S n ＝1+2+3+„+n，n ∈N , 求f (n ) =
*
n
S n
的最大值.
(n +32) S n +1
⎧c ⎫
二. 裂项相消法:适用于⎨⎬其中{ a n }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数
a a ⎩n n +1⎭
列、含阶乘的数列等。 例2 求数列
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分
解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）a n =
1
的前n 项和
n (n +1)
111
=-
n (n +1) n n +1
2
(2n ) 111（2）a n ==1+(-) (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
（3）a n
=
1111
=[-]
n (n -1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
=-巩固练习：1. 的前n 项和为
1
n (n +1) 1n 1n +1
s
n
，则
s
99
=
2. 数列的通项公式是
a n =
1
n +n +1, 若前n 项和为10，则项数为
6666, , , , , 1⨯22⨯33⨯4n (n +1) 3. 求数列前n 项和
三. 错位相减法:可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列，
为等比数列.
例1：求和：
.
例2:数列1，3x ，5x 2
, „,(2n-1)xn-1
前n 项的和．
小结：错位相减法类型题均为：
等差数列a n
等比数列b 连续相加。
n
四. 常用结论 1）: 1+2+3+...+n =
n (n +1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n 2
2
3）13
+23
+ +n 3
=⎡⎢1⎣2n (n +1) ⎤
⎥⎦
4） 12+22+32+ +n 2
=1
6
n (n +1)(2n +1) 5）
1n (n +1) =1n -1n +1 1n (n +2) =12(1n -1
n +2
)
单元练习
一、选择题：
1．数列1，3，6，10，„„的一个通项公式是（ ）
A ．n －n+1
2
B ．
n (n -1)
2
C ．n(n－1) D ．
n (n +1)
2
2．已知数列的通项公式为a n =n(n－1), 则下述结论正确的是 （ ）
A ．420是这个数列的第20项 B ．420是这个数列的第21项 C ．420是这个数列的第22项 D ．420不是这个数列中的项 3．在数列{an }中，已知a 1=1,a2=5, an+2=an+1－a n , 则a 2000= （ ） A ．4 B ．5 C ．－4 D ．－5
2
4．设数列{an }的首项为1，对所有的n ≥2，此数列的前n 项之积为n ，则这个数列的第3项与第5项的和是 ( )
A ．
25
9
B ．
21 25
C ．
61 16
D ．
256
275
4、设{a n }是等差数列，若a 2=3, a 7=13, 则数列{a n }前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56
5记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4, S 4=20，则该数列的公差d =（ ）
A 、2 B、3 C、6 D、7 6设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则
A ．2
B ．4
S 4
=（ ） a 2
C ．
15 2
D ．
17 2
7若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=（ ）
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 8知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=
1
，则a 1a 2+a 2a 3+ +a n a n +1=( ) 4
3232-n -n -n -n
（A ）16（1-4） （B ）16（1-2） （C 1-4） （D 1-2）
33
9常数数列{a n }是等差数列，且{a n }的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为
（ ） A．
11
B．5 C．2 D． 52
10等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B．45 C．36 D．27 二、填空题
11．已知{a n }为等差数列，a 3+a 8=22，a 6=7，则a 5=____________
12．设数列{a n }中，a 1=2, a n +1=a n +n +1，则通项a n = ___________。 13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8, S 9=-9, 则S 16=三、解答题
1、设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值
a n ＋a n ＋1
2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝，n ∈N *.
2(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．
3、已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数) ，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；
(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
4、已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
⎧⎪a ⎫⎪
(2)求数列⎨2－⎬的前
⎪⎪⎩⎭
n 项和
111
5、已知数列{a n }是首项为a 1＝4公比q ＝4设b n ＋2＝3log 4a n (n ∈N *) ，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .
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二、知识梳理
①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2
=a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0) ②a n
a m ≥0的项数m 使三、在等差数列｛a n ｝中, 有关S n 的最值问题：(1)当a 1>0,d
⎩a m +1≤0
⎧a m ≤0得s m 取最大值. (2)当a 10时，满足⎨的项数m 使得s m 取最小值。在解含绝对值
a ≥0⎩m +1
的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。 四. 数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项.
S （1n =1) （2）利用公式法求数列的通项：①a n =⎧⎨
⎩S n -S n -1(n ≥2)
；②{a n }等差、等比数列{a n }公式.
（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①a n +1=a n +f (n ) ；②a n +1=a n f (n ). （4）造等差、等比数列求通项：
① a n +1=pa n +q ；②a n +1=pa n +q ；③a n +1=pa n +f (n ) ；④a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n .
n
第一节通项公式常用方法
题型1 利用公式法求通项
例1：1. 已知{an }满足a n+1=an +2，而且a 1=1。求a n 。
2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，求下列数列{a n }的通项公式： ⑴ S n =2n +3n -1； ⑵S n =2+1.
总结:任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n =⎨合a n ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
例2：⑴已知数列{a n }中，a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式；
⑵已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =n ⋅a n ，求数列{a n }的通项公式.
2
2n
⎧S 1(n =1)
若a 1适
⎩S n -S n -1(n ≥2)
总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“a n +1=a n +f (n ) ”； 迭乘法适用于求递推关系形如“a n +1=a n ⋅f (n ) “；⑵迭加法、迭乘法公式：
① a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +(a n -2-a n -3) + +(a 2-a 1) +a 1 ② a n =
a n a n -1a n -2a a
⋅⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1. a n -1a n -2a n -3a 2a 1
题型3 构造等比数列求通项
例3已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.
总结：递推关系形如“a n +1=pa n +q ” 适用于待定系数法或特征根法：
①令a n +1-λ=p (a n -λ) ；
② 在a n +1=pa n +q 中令a n +1=a n =x ⇒x =
q
，∴a n +1-x =p (a n -x ) ； 1-p
③由a n +1=pa n +q 得a n =pa n -1+q ，∴a n +1-a n =p (a n -a n -1) . 例4已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.
n
总结：递推关系形如“a n +1=pa n +q ”通过适当变形可转化为： “a n +1=pa n +q ”或“a n +1=a n +f (n ) 求解.
例5已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{a n }的通项公式.
，通过适当变形转化为可求和的数列. 总结：递推关系形如“a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n ”强化巩固练习
1、已知S n 为数列{a n }的前n 项和， S n =3a n +2(n ∈N +, n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式. 2、已知数列{a n }中，a 1=2, (n +2) a n +1-(n +1) a n =0(n ∈N +) ，求数列{a n }的通项公式. 小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①a n +1=a n +f (n ) ；②a n +1=a n f (n ). （4）构造等差、等比数列求通项：④a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n .
3、数列{a n }中，a 1=1, a n =n (a n +1-a n ) ，则数列{a n }的通项a n =
。
①
n
n
a n +1=pa n +q ；②a n +1=pa n +q n ；③a n +1=pa n +f (n ) ；
4、数列{a n }中，a n +1=3a n +2(n ∈N +) , 且a 10=8，则a 4= 。
5、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1) a n +1-na n +a n +1a n =0(n ∈N +) ，
2
2
则数列{a n }的通项a n = . 6、数列{a n }中，a 1=1, a n +1=
2a n
(n ∈N +) ，则{a n }的通项a n =2+a n
n n
7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a , a n +1=S n +3(n ∈N +) ，设b n =S n -3，求
数列{b n }的通项公式．
第二节数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1
⎪n
2、等比数列求和公式：S n =⎨a 1(1-q ) a 1-a n q
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
n
112
3、 S n =∑k =n (n +1) 4、S n =∑k =(n +1)(2n +1)
62k =1k =1
n
1
S n =∑k 3=[(n +1)]2
2k =1
巩固练习：设S n ＝1+2+3+„+n，n ∈N , 求f (n ) =
*
n
S n
的最大值.
(n +32) S n +1
⎧c ⎫
二. 裂项相消法:适用于⎨⎬其中{ a n }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数
a a ⎩n n +1⎭
列、含阶乘的数列等。 例2 求数列
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分
解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）a n =
1
的前n 项和
n (n +1)
111
=-
n (n +1) n n +1
2
(2n ) 111（2）a n ==1+(-) (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
（3）a n
=
1111
=[-]
n (n -1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
=-巩固练习：1. 的前n 项和为
1
n (n +1) 1n 1n +1
s
n
，则
s
99
=
2. 数列的通项公式是
a n =
1
n +n +1, 若前n 项和为10，则项数为
6666, , , , , 1⨯22⨯33⨯4n (n +1) 3. 求数列前n 项和
三. 错位相减法:可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列，
为等比数列.
例1：求和：
.
例2:数列1，3x ，5x 2
, „,(2n-1)xn-1
前n 项的和．
小结：错位相减法类型题均为：
等差数列a n
等比数列b 连续相加。
n
四. 常用结论 1）: 1+2+3+...+n =
n (n +1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n 2
2
3）13
+23
+ +n 3
=⎡⎢1⎣2n (n +1) ⎤
⎥⎦
4） 12+22+32+ +n 2
=1
6
n (n +1)(2n +1) 5）
1n (n +1) =1n -1n +1 1n (n +2) =12(1n -1
n +2
)
单元练习
一、选择题：
1．数列1，3，6，10，„„的一个通项公式是（ ）
A ．n －n+1
2
B ．
n (n -1)
2
C ．n(n－1) D ．
n (n +1)
2
2．已知数列的通项公式为a n =n(n－1), 则下述结论正确的是 （ ）
A ．420是这个数列的第20项 B ．420是这个数列的第21项 C ．420是这个数列的第22项 D ．420不是这个数列中的项 3．在数列{an }中，已知a 1=1,a2=5, an+2=an+1－a n , 则a 2000= （ ） A ．4 B ．5 C ．－4 D ．－5
2
4．设数列{an }的首项为1，对所有的n ≥2，此数列的前n 项之积为n ，则这个数列的第3项与第5项的和是 ( )
A ．
25
9
B ．
21 25
C ．
61 16
D ．
256
275
4、设{a n }是等差数列，若a 2=3, a 7=13, 则数列{a n }前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56
5记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4, S 4=20，则该数列的公差d =（ ）
A 、2 B、3 C、6 D、7 6设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则
A ．2
B ．4
S 4
=（ ） a 2
C ．
15 2
D ．
17 2
7若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=（ ）
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 8知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=
1
，则a 1a 2+a 2a 3+ +a n a n +1=( ) 4
3232-n -n -n -n
（A ）16（1-4） （B ）16（1-2） （C 1-4） （D 1-2）
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9常数数列{a n }是等差数列，且{a n }的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为
（ ） A．
11
B．5 C．2 D． 52
10等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B．45 C．36 D．27 二、填空题
11．已知{a n }为等差数列，a 3+a 8=22，a 6=7，则a 5=____________
12．设数列{a n }中，a 1=2, a n +1=a n +n +1，则通项a n = ___________。 13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8, S 9=-9, 则S 16=三、解答题
1、设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值
a n ＋a n ＋1
2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝，n ∈N *.
2(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．
3、已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数) ，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；
(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
4、已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
⎧⎪a ⎫⎪
(2)求数列⎨2－⎬的前
⎪⎪⎩⎭
n 项和
111
5、已知数列{a n }是首项为a 1＝4公比q ＝4设b n ＋2＝3log 4a n (n ∈N *) ，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .