带电粒子在匀强电场中的运动
——带电粒子在电场中偏转界点的选择
带电粒子射入加有电压的两平行金属板（即偏转板）之间，在其电场力作用下发生偏转，使之离开电场后打到荧光屏上．有关的物理习题将综合运用电学和力学的基础知识，一般要求学生熟练掌握．但由于不明确带电粒子偏转轨迹界点的选择方法，而在求解偏转板上所加电压的取值范围时，却往往出现谬误．下面将通过对典型例题的分析研讨，找到避免错解的正确选择“界点”的简捷方法．
1典型例题及其常见解答
【例1】．如图1 所示，水平放置且正对的两块平行金属偏转板ab 与a ＇b ＇，板长均为I=10cm，两板间距离为d=1cm．离板右端为 L=45cm处竖直放置一荧光屏PQ ，其宽为D=20cm，屏的中点O ＇恰在两偏转板间的中位线上．有一电子以v 0=4．0×107m/s的水平初速度，沿中位线射入板间的匀强电场内，为使电子离开电场后能够打到荧光屏上，试求两偏转板间所加电压U 的取值范围．（设两偏转板之间为匀强电场，板缘附近的非匀强电场的影响忽略不计．且设整个装置位于真空中．电子的电量和质量分别为 e=－1．6×10-19C ， m=0．91×10-30kg ）．
常见解答：为保证电子打到荧光屏上，应选择屏的端点为电子运动轨迹的界点，即电子恰好打在屏的Q 端（或P 端）．然后依据电子先在匀强电场中所做的类似平抛运动和离开电场后的匀速直线运动的规律来求解，从而得出两偏转板间所加电压的最大值表达式为 代入数据可得U=182V．故所求电压的取值范围是：－182V ≤U ≤182V ．
上述答案是错误的！其根源在于没有考虑带电粒子偏转时的“界点”，“界点”的选择不当．那么，应如何正确选择电子偏转轨迹的界点呢？
2电子出射方向的规律
为了便于分析，先推导电子离开偏转电场时出射方向的一般规律．如同例1，入射电子在偏转电场中做类似平抛运动的情况如图2所示．它的两个分运动是：沿入射初速度v 0方向的匀速直线运动和沿与之垂直方向的在电场力F=eE作用下的初速为零的匀加速直线运动．
显然，对于前一分运动有（设电子在电场中运动时间为t ）
对于后一分运动，电子离开匀强电场时的侧偏位移和相应的分速度分别为[且将（1）式代入
]
设电子离开电场时的出射速度为v ，且设v 相对于初速度v 0的偏角为，见图2．将有
[将（3）式代入]
在图2中，将电子的出射速度v 的方向反向延长，使之与两偏转板间的中位线（实为沿电子入射速度v 0方向的直线）相交于O 点．设其中的水平线段Oc 为x ，在直角三角形Occ ＇中，易得
将（2）、（4）两式代入（5）式，可得
从（6）式可知，电子离开电场时，其出射速度方向的反向延长线，恰好相交于电场区域内入射初速度v 0方向上与偏转板等长线段的中点O ，即1/2（l ）。这一结果有普遍意义。掌握了电子出射偏转时的这一规律，将对解答有如例1等有关问题带来较大方便． 3 有关界点的选择方法
在解答上述典型例题时，要注意电子运动轨迹界点的选择．是选择偏转板的边缘还是选择荧光屏的端点为界点．若忽视这一点，可能陷入谬误．对于这类界点的选择，可采用两种方法，即作图法和计算法．
3．1用作图法来选择界点
可找出相应的中点O ，如图3所示．设电子恰从偏转板的b 缘出射，连结Ob ，再顺向延长Ob （即为出射速度v 的方向），若其延长线刚好抵达光屏的Q 端（相应于屏PQ 的宽D 则
为最大边界宽度）对于这一特殊情形，表明为使电子能打到荧光屏上最远点，既可选择偏转板的右缘b 为界点，也可选择荧光屏的Q 端为界点．
若屏PQ 的竖直宽度小于其最大边界宽度，Ob 的延长线将通过Q 端的下方，这说明只能选择荧光屏的Q 端为界点．
若屏PQ 的竖直宽度大于其最大边界宽度，Ob 的延长线将相交于Q 端的上方屏内，这说明，只能选择偏转板的右缘b 为界点．
用上述作图法选择界点的优点是，非常简明直观，可谓一目了然，且便于学生理解这类问题的物理情景．但一般题目的附图只是示意图，它并没有严格按已知的各线度比例来描绘，若在原示意图上施用作图法来选择界点，就可能造成失误．若重新绘制正规图，又很不方便．因此，于这类问题界点的选择，宜着重于计算法．
3．2用计算法来选择界点
在图3中，因电子恰从偏转板的右缘b 出射，则它相对于入射方向的出射偏角最大．在直角三角形Ocb 中，相应偏角，即∠cOb 用φ表示．则有
而出射电子又刚好打到屏的下端Q ，在直角三角形OO ＇Q 中，相应偏角，即∠O ＇OQ ，用表示．则有
（7）、（8）两式不必化简，便于联系图示记忆．在图3所示的特殊情形下，因φ=φ＇，故有 tg =tg＇．（9）
易知，为使电子能打到荧光屏上，如果满足（9）式，既可选择偏转板右缘b 为界点，也可选择荧光屏的Q 端为界点．
从（7）、（8）两式可知，若两偏转板间的距离d 、板长l 、荧光屏与偏转板右端距离L 和屏宽D 发生变化，将可能出现 tg ＞tg ＇，（10）
或 tg ＜tg ＇．（11）
联系上述作图法所显示的物理情景，并结合与偏角、＇分别对应的直角三角形，将不难推理，如果满足（10）式，可得＞＇，则选择荧光屏端点Q 为界点；如果满足（11）式，可得
＜＇，则选择偏转板右缘b 为界点．
可见，只要依（ 7）、（ 8）两式算出tg 与tg ＇之值，再依（9）、（10）和（11）三个判别式，就能迅速准确选择电子运动轨迹的界点．掌握了有关界点的选择方法，上述典型例题的错解将易于纠正．
4典型例题的正确解答
前面例1的正确解法如下：首先依据上述判别式来选择电子运动轨迹的界点． 先假设偏转板的右端b 为界点，即依（7）式（且代入数据）可得
再假设屏的下端Q 的界点，即依（8）式可得
可见，tg ＜tg ＇，故宜选择偏转板右缘b 为界点，如图4所示．在此，电子离开电场时的侧偏位移为
再依“类似平抛运动”规律所导出的上述（2）式（在此推导从略）和（12）式，将不难得出加在两偏转板间的临界电压为
将已知量代入（13）式得：U=91V．
当加在两偏转板间电压的正负极性变换后，运动电子将向上偏转．同理可得下板与上板间的临界偏转电压为：U=－91V ．则所求的两偏转板间所加电压的取值范围是－91V ≤U ≤91V ．
可见，此例的“常见解答”由于界点错选在荧光屏的Q 端，所得结果相差甚远．为加深对这类问题的理解，不妨再举两例．
【例2】．在例1中，若荧光屏的竖直宽度变为D=8cm，其余条件不变，其答案将如何？ 解：首先选择电子运动轨迹的界点．分别假设偏转板b 缘和屏的Q 端为界点，即依（7）、
（8）两式可分别得
显然，tg ＞tg ＇，故宜选择荧光屏Q 端为界点，如图5所示．据含偏角＇的两直三角形相似，对应边成比例得
据（2）、（14）两式，可得临界偏转电压为
将已知量代入（15）式得：U=72．8V ．
与例1正解同理，相应于所求电压的取值范围是：－72．8V ≤U ≤72．8V ．
【例3】． 在例1中，若两偏转板间的距离变为d=3cm，且荧光屏的竖直宽度变为D=30cm．其余条件不变，其答案将如何？
解：首先选择电子运动轨迹的界点．分别假设板b 缘与屏Q 端为界点，即据（7）、（8）两式可分别得
可见，tg =tg＇，故可选择b 缘或Q 端为界点．
若选择b 缘为界点，据例1正解中导出的（13）式（且代入数据）可得
若选择Q 端为界点，据例2解答中导出的（15）式（且代入数据）可得
与例1正解同理，可得所求偏转电压的取值范围是：－819V ≤U ≤819V ．
由此可见，掌握了上述电子出射电场的方向规律以及由此而演绎得出的有关界点的选择方法，解答此类问题，真谓轻车熟路．
带电粒子在匀强电场中的运动
——带电粒子在电场中偏转界点的选择
带电粒子射入加有电压的两平行金属板（即偏转板）之间，在其电场力作用下发生偏转，使之离开电场后打到荧光屏上．有关的物理习题将综合运用电学和力学的基础知识，一般要求学生熟练掌握．但由于不明确带电粒子偏转轨迹界点的选择方法，而在求解偏转板上所加电压的取值范围时，却往往出现谬误．下面将通过对典型例题的分析研讨，找到避免错解的正确选择“界点”的简捷方法．
1典型例题及其常见解答
【例1】．如图1 所示，水平放置且正对的两块平行金属偏转板ab 与a ＇b ＇，板长均为I=10cm，两板间距离为d=1cm．离板右端为 L=45cm处竖直放置一荧光屏PQ ，其宽为D=20cm，屏的中点O ＇恰在两偏转板间的中位线上．有一电子以v 0=4．0×107m/s的水平初速度，沿中位线射入板间的匀强电场内，为使电子离开电场后能够打到荧光屏上，试求两偏转板间所加电压U 的取值范围．（设两偏转板之间为匀强电场，板缘附近的非匀强电场的影响忽略不计．且设整个装置位于真空中．电子的电量和质量分别为 e=－1．6×10-19C ， m=0．91×10-30kg ）．
常见解答：为保证电子打到荧光屏上，应选择屏的端点为电子运动轨迹的界点，即电子恰好打在屏的Q 端（或P 端）．然后依据电子先在匀强电场中所做的类似平抛运动和离开电场后的匀速直线运动的规律来求解，从而得出两偏转板间所加电压的最大值表达式为 代入数据可得U=182V．故所求电压的取值范围是：－182V ≤U ≤182V ．
上述答案是错误的！其根源在于没有考虑带电粒子偏转时的“界点”，“界点”的选择不当．那么，应如何正确选择电子偏转轨迹的界点呢？
2电子出射方向的规律
为了便于分析，先推导电子离开偏转电场时出射方向的一般规律．如同例1，入射电子在偏转电场中做类似平抛运动的情况如图2所示．它的两个分运动是：沿入射初速度v 0方向的匀速直线运动和沿与之垂直方向的在电场力F=eE作用下的初速为零的匀加速直线运动．
显然，对于前一分运动有（设电子在电场中运动时间为t ）
对于后一分运动，电子离开匀强电场时的侧偏位移和相应的分速度分别为[且将（1）式代入
]
设电子离开电场时的出射速度为v ，且设v 相对于初速度v 0的偏角为，见图2．将有
[将（3）式代入]
在图2中，将电子的出射速度v 的方向反向延长，使之与两偏转板间的中位线（实为沿电子入射速度v 0方向的直线）相交于O 点．设其中的水平线段Oc 为x ，在直角三角形Occ ＇中，易得
将（2）、（4）两式代入（5）式，可得
从（6）式可知，电子离开电场时，其出射速度方向的反向延长线，恰好相交于电场区域内入射初速度v 0方向上与偏转板等长线段的中点O ，即1/2（l ）。这一结果有普遍意义。掌握了电子出射偏转时的这一规律，将对解答有如例1等有关问题带来较大方便． 3 有关界点的选择方法
在解答上述典型例题时，要注意电子运动轨迹界点的选择．是选择偏转板的边缘还是选择荧光屏的端点为界点．若忽视这一点，可能陷入谬误．对于这类界点的选择，可采用两种方法，即作图法和计算法．
3．1用作图法来选择界点
可找出相应的中点O ，如图3所示．设电子恰从偏转板的b 缘出射，连结Ob ，再顺向延长Ob （即为出射速度v 的方向），若其延长线刚好抵达光屏的Q 端（相应于屏PQ 的宽D 则
为最大边界宽度）对于这一特殊情形，表明为使电子能打到荧光屏上最远点，既可选择偏转板的右缘b 为界点，也可选择荧光屏的Q 端为界点．
若屏PQ 的竖直宽度小于其最大边界宽度，Ob 的延长线将通过Q 端的下方，这说明只能选择荧光屏的Q 端为界点．
若屏PQ 的竖直宽度大于其最大边界宽度，Ob 的延长线将相交于Q 端的上方屏内，这说明，只能选择偏转板的右缘b 为界点．
用上述作图法选择界点的优点是，非常简明直观，可谓一目了然，且便于学生理解这类问题的物理情景．但一般题目的附图只是示意图，它并没有严格按已知的各线度比例来描绘，若在原示意图上施用作图法来选择界点，就可能造成失误．若重新绘制正规图，又很不方便．因此，于这类问题界点的选择，宜着重于计算法．
3．2用计算法来选择界点
在图3中，因电子恰从偏转板的右缘b 出射，则它相对于入射方向的出射偏角最大．在直角三角形Ocb 中，相应偏角，即∠cOb 用φ表示．则有
而出射电子又刚好打到屏的下端Q ，在直角三角形OO ＇Q 中，相应偏角，即∠O ＇OQ ，用表示．则有
（7）、（8）两式不必化简，便于联系图示记忆．在图3所示的特殊情形下，因φ=φ＇，故有 tg =tg＇．（9）
易知，为使电子能打到荧光屏上，如果满足（9）式，既可选择偏转板右缘b 为界点，也可选择荧光屏的Q 端为界点．
从（7）、（8）两式可知，若两偏转板间的距离d 、板长l 、荧光屏与偏转板右端距离L 和屏宽D 发生变化，将可能出现 tg ＞tg ＇，（10）
或 tg ＜tg ＇．（11）
联系上述作图法所显示的物理情景，并结合与偏角、＇分别对应的直角三角形，将不难推理，如果满足（10）式，可得＞＇，则选择荧光屏端点Q 为界点；如果满足（11）式，可得
＜＇，则选择偏转板右缘b 为界点．
可见，只要依（ 7）、（ 8）两式算出tg 与tg ＇之值，再依（9）、（10）和（11）三个判别式，就能迅速准确选择电子运动轨迹的界点．掌握了有关界点的选择方法，上述典型例题的错解将易于纠正．
4典型例题的正确解答
前面例1的正确解法如下：首先依据上述判别式来选择电子运动轨迹的界点． 先假设偏转板的右端b 为界点，即依（7）式（且代入数据）可得
再假设屏的下端Q 的界点，即依（8）式可得
可见，tg ＜tg ＇，故宜选择偏转板右缘b 为界点，如图4所示．在此，电子离开电场时的侧偏位移为
再依“类似平抛运动”规律所导出的上述（2）式（在此推导从略）和（12）式，将不难得出加在两偏转板间的临界电压为
将已知量代入（13）式得：U=91V．
当加在两偏转板间电压的正负极性变换后，运动电子将向上偏转．同理可得下板与上板间的临界偏转电压为：U=－91V ．则所求的两偏转板间所加电压的取值范围是－91V ≤U ≤91V ．
可见，此例的“常见解答”由于界点错选在荧光屏的Q 端，所得结果相差甚远．为加深对这类问题的理解，不妨再举两例．
【例2】．在例1中，若荧光屏的竖直宽度变为D=8cm，其余条件不变，其答案将如何？ 解：首先选择电子运动轨迹的界点．分别假设偏转板b 缘和屏的Q 端为界点，即依（7）、
（8）两式可分别得
显然，tg ＞tg ＇，故宜选择荧光屏Q 端为界点，如图5所示．据含偏角＇的两直三角形相似，对应边成比例得
据（2）、（14）两式，可得临界偏转电压为
将已知量代入（15）式得：U=72．8V ．
与例1正解同理，相应于所求电压的取值范围是：－72．8V ≤U ≤72．8V ．
【例3】． 在例1中，若两偏转板间的距离变为d=3cm，且荧光屏的竖直宽度变为D=30cm．其余条件不变，其答案将如何？
解：首先选择电子运动轨迹的界点．分别假设板b 缘与屏Q 端为界点，即据（7）、（8）两式可分别得
可见，tg =tg＇，故可选择b 缘或Q 端为界点．
若选择b 缘为界点，据例1正解中导出的（13）式（且代入数据）可得
若选择Q 端为界点，据例2解答中导出的（15）式（且代入数据）可得
与例1正解同理，可得所求偏转电压的取值范围是：－819V ≤U ≤819V ．
由此可见，掌握了上述电子出射电场的方向规律以及由此而演绎得出的有关界点的选择方法，解答此类问题，真谓轻车熟路．