初中数学知识结构单元详解

① ② ③ ④ ⑤

①

②

③ ④ ⑤ ⑥

图形的认知Ⅲ 全等三角形

性质

1、对应角相等；2、对应线段（边、中线、高线、角平分线）相等 一般三角形 SSS；SAS；ASA；AAS

判定 直角三角形 SSS；SAS；ASA；AAS；HL

性质 等腰三角形 三角形 判定

1、等边对等角；2、三线合一（中线、高线、角平分线）；3、轴对称图形 等角对等边 ∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC

性质 等边三角形 判定

1、具有等腰三角形的所有性质；2、三个角都等于 60°；3、三边相等

1、∠A=∠B=∠C；2、有一个角是 60°的等腰三角形

性质 直角三角形 判定

1、∠C=90°，则∠B＋∠A=90°；2、勾股定理：a 2  b 2  c 2 1、∠A＋∠B=∠C=90°；2、勾股定理逆定理：a 2  b 2  c 2

★ （1）直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 （2）直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半

图形的认知Ⅳ 正弦： sinA  余弦： cosA  正切： tanA 

A的对边 a  斜边 c A的邻边 b  斜边 c A的对边 a  A的邻边 b

45° 60°

锐角三角函数

角度α 特殊角三角函数值 解直角三角形 cosα sinα

30°

1 2

2 2 2 2

1

3 2

1 2

3 2 3 3

tanα

3

解 Rt∆

利用直角三角形已知 2 个条件（除直角外，至少一个为边）求其它边和角的过程

（1）三边关系：勾股定理 a  b  c

2 2

2

（2）锐角关系：∠A+∠B=90° （3）边角关系（锐角三角函数）： sin A=

A的对边 斜边

cos A=

A的邻边 斜边

tan A=

A的对边 A的邻边

特殊的四边形

性质 名称 图形 边 角 对角线 对称性

1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、一组对边平行且相等 4、两组对角分别相等 5、两条对角线相互平分 1、有三个角是直角 2、有一个角是直角的平行四边形 3、两条对角线评分且相等

判定

平行四边形

对边平行且相等

对角相等，邻角互补

互相平分

中心对称

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

相互平分且相等

中心对称 轴对称

菱形

对边平行 四条边都相等

对角相等，邻角互补

相互平分且垂直 每一条对角线平分一组对角

中心对称 轴对称

1、四条边相等 2、一组邻边相等的平行四边形 3、两条对角线平分且垂直

正方形

对边平行 四边都相等 邻边相互垂直

四个角都是直角

相等、相互平分且垂直 每一条对角线平分一组对角

中心对称 轴对称

1、一组邻边相等的矩形 2、有一个角是直角的菱形 3、两条对角线相互平分相等且垂直

等腰梯形

两底平行 两腰相等

同一底上的两角相等

相等

轴对称

1、同一底上两个角相等的梯形 2、对角线相等的梯形

圆

经过不在同一直线上的三点确定一个圆

圆是轴对称图形，也是中心对称图形

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

圆的有关性质

∵MN 是⊙O 的直径，MN⊥AB， ∴AC=BC， AM=BM，AN=BN

圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

圆周角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。∠ BAC=

1 ∠BOC 2

②同弧（或等弧）所对的圆周角相等 ③半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

与圆的有关的位置关系

圆切线（长）判定与应用

图

点与圆位置关系

d 与 r 关系 （d 表示点到圆心距离）

图

直线与圆位置关系

d 与 r 关系 （d 表示圆心到直线的距离）

点在圆内

dr

相交

dr

点在圆上

d r

相切

d r

点在圆外

d r

相离

d r

图

性质

判定

a 为⊙O 的切线，则 OP⊥a

经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的其切线

AP 切⊙O 于 A，BP 切⊙O 于 B

PA=PB，∠APO=∠BPO

图

圆与圆位置关系

d 与 R、r 关系 （d 表示两圆圆心距）

与圆有关的计算

外离

d Rr

弧长公式

l

nr 180

外切

d Rr

扇形面积公式

s

nr 2 1  lr 360 2

相交

Rr d  Rr

圆柱侧面积公式

S 侧  2r  h

S表  S侧  S底

圆柱表面积公式

内切

d  Rr

圆锥侧面积公式

S 侧  ra

S表  S侧  S底

圆锥表面积公式

内含

0d  Rr

轴对称：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、正 n 边形 对称、平移、旋转 中心对称：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正 n 边形（n 为偶数） 基本性质

a c   ad  bc b d

比例线段

和比性质 等比性质

a c ab cd    b d b d a c m a  c   m a     (b  d    n  0)   b d n b  d   n b

AB DE  BC EF

平行线分线段成比例 图 形 与 变 换

1、a//b//c 

2、DE // BC 

AD AE  BD CE

性质 相似三角形 判定

(1)对应角相等；(2)对应边成比例；(3)对应线段（中线、高、角平分线） 比等于相似比；(4)周长比等于相似比；(5)面积比等于相似比的平方 ①两角对应相等；②两边对应成比例，夹角相等；③三边对应成比例

位似图形

若两个图形相似，且对应点的连线（或延长线）交于一点，这两个图形又叫位似图形，交点叫位似中心 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作线段垂直平分线； (3)作角平分线； (4)作一个角等于已知角；(5)过一点作已知直线的垂线

五种基本尺规作图 尺规作图

会作特殊三角形、四边形、外接圆、内切圆、圆的切线 视图与投影 三视图：主视图、俯视图、左视图

镶嵌

任意一正三角形、正四边形、或正六边形可以镶嵌平面（镶嵌中心角度和为 360°）

总体与样本

总体：所要考察对象的全部 个体：总体中每一个考察对象 样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本 样本容量：样本中个体的数目 如果有 n 个数 x1 , x2 , xn ， 则它们的平均数为 x 

1 ( x1  x 2    x n ) n

★ 通常用样本平均数估计总体平均数

平均数 加权平均数：如果在 n 个数中， x1出现f1次，x2出现f 2次，xk出现f k 次( f1  f 2  f k  n) ， 那么他们的平均数为 x 

x1  f1  x2  f 2   xk  f k n

众数 概 率 与 统 计 中位数 统计图 表 频率与方差

在一组数据中出现次数最多的数 据 将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 条形图、扇形图、折线图 极差= 最大值-最小值 方差：s 

2

1 ( x1  x) 2  ( x 2  x) 2    ( x n  x) 2 n





标准差： s 

s2

频数：在一个样本中，每一个数据出现的次数 频率=频数/样本容量 （★一个事件中频率的和=1）

概率

0 P P 事件A  1） （事件A） 事件 A 出现次数/所有可能结果数（

必然事件： p(事件A) =1 不可能事件： p(事件A) =0 不确定事件（可能事件）：0≤ p(事件A) ≤1

求概率的方法

①画树状图；②列表

★ 大量重复实验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.

知识点

1、相交线 相交线与平行 线 3、平移

考点

存在问题

1、对图像的分析没有形成思维 2、同位角、内错角、同旁内角混淆不清 3、不能很好利用平行线关系，应用到证明题中 4、对真假命题与定理的判断易出错，分不清题设和结论 5、不能很好的理解平移定理

1、三角形三边关系不能正确分析 2、三角形高线、中线、角平分线应用与证明

分值

3-6 6-9 8-10 3-6 6-8 3-6 8-12 3-6 8-10 10-12 6-9 9-15 6-9 10-12 6-9 10-12 6-9 10-12 8-10 6-9 6-9 6-9 6-9 10-12 5-6 选填题

题型

选填题、解答题 证明题 选填题 解答题、证明题 选填题 作图、证明题 计算、解答题 填空题、解答题 证明题 选填题 选填题 填空题 证明题 选填题 证明题 选填题、解答题 证明题、代几综合题 证明题 选择题、证明题 选填题 选填题 选填题 证明题、代几综合题 选填题 解答题

2、平行线性质及其判定

1、与三角形有关的线段 2、与三角形有关的角 三角形 3、多边形及其内角和 4、全等三角形 1、图形相似 相似三角形 2、相似三角形 3、位似 解直角三角形 1、锐角三角形 2、解直角三角形 1、点、直线、圆和圆的位置关系 圆 2、正多边形和圆 3、弧长和扇形

3、三角形的角度计算 4、多边形的内角和与外角和计算 5、全等三角形边角关系与证明 6、全等三角形的应用 1、用错相似三角形的判定方法 2、找错对应边、错认为相似三角形的面积比等于边之比 3、相似三角形的应用与证明 1、用三角函数计算时易忽视“在直角三角形中” 2、三角函数与圆综合应用证明 1、圆的有关概念混淆不清，理解不正确 2、垂径定理的应用 3、不能正确添加辅助线 4、混淆三角形的内心与外心 5、错用扇形面积公式 6、分不清圆锥底面的半径与侧面展开图中扇形的半径

平行旋转

图形的旋转、中心对称 1、随机事件与概率

1、旋转角易找错 2、与圆、二次函数综合 1、列表或树状图列出所有结果，易重复或漏掉 2、缺少描述性语言 对物体三视图的认识

概率初步 2、用列举法求概率 投影与视图 投影、三视图

3-6

选填题

① ② ③ ④ ⑤

①

②

③ ④ ⑤ ⑥

图形的认知Ⅲ 全等三角形

性质

1、对应角相等；2、对应线段（边、中线、高线、角平分线）相等 一般三角形 SSS；SAS；ASA；AAS

判定 直角三角形 SSS；SAS；ASA；AAS；HL

性质 等腰三角形 三角形 判定

1、等边对等角；2、三线合一（中线、高线、角平分线）；3、轴对称图形 等角对等边 ∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC

性质 等边三角形 判定

1、具有等腰三角形的所有性质；2、三个角都等于 60°；3、三边相等

1、∠A=∠B=∠C；2、有一个角是 60°的等腰三角形

性质 直角三角形 判定

1、∠C=90°，则∠B＋∠A=90°；2、勾股定理：a 2  b 2  c 2 1、∠A＋∠B=∠C=90°；2、勾股定理逆定理：a 2  b 2  c 2

★ （1）直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 （2）直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半

图形的认知Ⅳ 正弦： sinA  余弦： cosA  正切： tanA 

A的对边 a  斜边 c A的邻边 b  斜边 c A的对边 a  A的邻边 b

45° 60°

锐角三角函数

角度α 特殊角三角函数值 解直角三角形 cosα sinα

30°

1 2

2 2 2 2

1

3 2

1 2

3 2 3 3

tanα

3

解 Rt∆

利用直角三角形已知 2 个条件（除直角外，至少一个为边）求其它边和角的过程

（1）三边关系：勾股定理 a  b  c

2 2

2

（2）锐角关系：∠A+∠B=90° （3）边角关系（锐角三角函数）： sin A=

A的对边 斜边

cos A=

A的邻边 斜边

tan A=

A的对边 A的邻边

特殊的四边形

性质 名称 图形 边 角 对角线 对称性

1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、一组对边平行且相等 4、两组对角分别相等 5、两条对角线相互平分 1、有三个角是直角 2、有一个角是直角的平行四边形 3、两条对角线评分且相等

判定

平行四边形

对边平行且相等

对角相等，邻角互补

互相平分

中心对称

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

相互平分且相等

中心对称 轴对称

菱形

对边平行 四条边都相等

对角相等，邻角互补

相互平分且垂直 每一条对角线平分一组对角

中心对称 轴对称

1、四条边相等 2、一组邻边相等的平行四边形 3、两条对角线平分且垂直

正方形

对边平行 四边都相等 邻边相互垂直

四个角都是直角

相等、相互平分且垂直 每一条对角线平分一组对角

中心对称 轴对称

1、一组邻边相等的矩形 2、有一个角是直角的菱形 3、两条对角线相互平分相等且垂直

等腰梯形

两底平行 两腰相等

同一底上的两角相等

相等

轴对称

1、同一底上两个角相等的梯形 2、对角线相等的梯形

圆

经过不在同一直线上的三点确定一个圆

圆是轴对称图形，也是中心对称图形

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

圆的有关性质

∵MN 是⊙O 的直径，MN⊥AB， ∴AC=BC， AM=BM，AN=BN

圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

圆周角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。∠ BAC=

1 ∠BOC 2

②同弧（或等弧）所对的圆周角相等 ③半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

与圆的有关的位置关系

圆切线（长）判定与应用

图

点与圆位置关系

d 与 r 关系 （d 表示点到圆心距离）

图

直线与圆位置关系

d 与 r 关系 （d 表示圆心到直线的距离）

点在圆内

dr

相交

dr

点在圆上

d r

相切

d r

点在圆外

d r

相离

d r

图

性质

判定

a 为⊙O 的切线，则 OP⊥a

经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的其切线

AP 切⊙O 于 A，BP 切⊙O 于 B

PA=PB，∠APO=∠BPO

图

圆与圆位置关系

d 与 R、r 关系 （d 表示两圆圆心距）

与圆有关的计算

外离

d Rr

弧长公式

l

nr 180

外切

d Rr

扇形面积公式

s

nr 2 1  lr 360 2

相交

Rr d  Rr

圆柱侧面积公式

S 侧  2r  h

S表  S侧  S底

圆柱表面积公式

内切

d  Rr

圆锥侧面积公式

S 侧  ra

S表  S侧  S底

圆锥表面积公式

内含

0d  Rr

轴对称：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、正 n 边形 对称、平移、旋转 中心对称：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正 n 边形（n 为偶数） 基本性质

a c   ad  bc b d

比例线段

和比性质 等比性质

a c ab cd    b d b d a c m a  c   m a     (b  d    n  0)   b d n b  d   n b

AB DE  BC EF

平行线分线段成比例 图 形 与 变 换

1、a//b//c 

2、DE // BC 

AD AE  BD CE

性质 相似三角形 判定

(1)对应角相等；(2)对应边成比例；(3)对应线段（中线、高、角平分线） 比等于相似比；(4)周长比等于相似比；(5)面积比等于相似比的平方 ①两角对应相等；②两边对应成比例，夹角相等；③三边对应成比例

位似图形

若两个图形相似，且对应点的连线（或延长线）交于一点，这两个图形又叫位似图形，交点叫位似中心 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作线段垂直平分线； (3)作角平分线； (4)作一个角等于已知角；(5)过一点作已知直线的垂线

五种基本尺规作图 尺规作图

会作特殊三角形、四边形、外接圆、内切圆、圆的切线 视图与投影 三视图：主视图、俯视图、左视图

镶嵌

任意一正三角形、正四边形、或正六边形可以镶嵌平面（镶嵌中心角度和为 360°）

总体与样本

总体：所要考察对象的全部 个体：总体中每一个考察对象 样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本 样本容量：样本中个体的数目 如果有 n 个数 x1 , x2 , xn ， 则它们的平均数为 x 

1 ( x1  x 2    x n ) n

★ 通常用样本平均数估计总体平均数

平均数 加权平均数：如果在 n 个数中， x1出现f1次，x2出现f 2次，xk出现f k 次( f1  f 2  f k  n) ， 那么他们的平均数为 x 

x1  f1  x2  f 2   xk  f k n

众数 概 率 与 统 计 中位数 统计图 表 频率与方差

在一组数据中出现次数最多的数 据 将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 条形图、扇形图、折线图 极差= 最大值-最小值 方差：s 

2

1 ( x1  x) 2  ( x 2  x) 2    ( x n  x) 2 n





标准差： s 

s2

频数：在一个样本中，每一个数据出现的次数 频率=频数/样本容量 （★一个事件中频率的和=1）

概率

0 P P 事件A  1） （事件A） 事件 A 出现次数/所有可能结果数（

必然事件： p(事件A) =1 不可能事件： p(事件A) =0 不确定事件（可能事件）：0≤ p(事件A) ≤1

求概率的方法

①画树状图；②列表

★ 大量重复实验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.

知识点

1、相交线 相交线与平行 线 3、平移

考点

存在问题

1、对图像的分析没有形成思维 2、同位角、内错角、同旁内角混淆不清 3、不能很好利用平行线关系，应用到证明题中 4、对真假命题与定理的判断易出错，分不清题设和结论 5、不能很好的理解平移定理

1、三角形三边关系不能正确分析 2、三角形高线、中线、角平分线应用与证明

分值

3-6 6-9 8-10 3-6 6-8 3-6 8-12 3-6 8-10 10-12 6-9 9-15 6-9 10-12 6-9 10-12 6-9 10-12 8-10 6-9 6-9 6-9 6-9 10-12 5-6 选填题

题型

选填题、解答题 证明题 选填题 解答题、证明题 选填题 作图、证明题 计算、解答题 填空题、解答题 证明题 选填题 选填题 填空题 证明题 选填题 证明题 选填题、解答题 证明题、代几综合题 证明题 选择题、证明题 选填题 选填题 选填题 证明题、代几综合题 选填题 解答题

2、平行线性质及其判定

1、与三角形有关的线段 2、与三角形有关的角 三角形 3、多边形及其内角和 4、全等三角形 1、图形相似 相似三角形 2、相似三角形 3、位似 解直角三角形 1、锐角三角形 2、解直角三角形 1、点、直线、圆和圆的位置关系 圆 2、正多边形和圆 3、弧长和扇形

3、三角形的角度计算 4、多边形的内角和与外角和计算 5、全等三角形边角关系与证明 6、全等三角形的应用 1、用错相似三角形的判定方法 2、找错对应边、错认为相似三角形的面积比等于边之比 3、相似三角形的应用与证明 1、用三角函数计算时易忽视“在直角三角形中” 2、三角函数与圆综合应用证明 1、圆的有关概念混淆不清，理解不正确 2、垂径定理的应用 3、不能正确添加辅助线 4、混淆三角形的内心与外心 5、错用扇形面积公式 6、分不清圆锥底面的半径与侧面展开图中扇形的半径

平行旋转

图形的旋转、中心对称 1、随机事件与概率

1、旋转角易找错 2、与圆、二次函数综合 1、列表或树状图列出所有结果，易重复或漏掉 2、缺少描述性语言 对物体三视图的认识

概率初步 2、用列举法求概率 投影与视图 投影、三视图

3-6

选填题