函数极限存在的条件 1

§3 函数极限存在的条件 教学目的与要求：

掌握函数极限存在的判定方法，能熟练运用各种判定方法讨论函数极限的存在性。 教学重点，难点：

各种判定方法的证明和理解，单调有界性定理Cauchy准则的证明 教学内容： 一、归结原则

定理3.8(归结原则) 设f在U0x0;内有定义. limfx存在的充要条件是: 对

xx0

任何含于U0x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.

n

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有

n

limfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的

n

xx0

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

xx0

{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到

n

n

证明.

注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.

xx0

n

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

limf(x)

f(x)xx0

若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim. xx0xx0xx0g(x)limg(x)

xx0

证 已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,且

xx0

xx0

limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任意

n

n

n

数列xn,且limxnx0,xnx0,有lim

n

n

f(xn)A

.再根据海涅定理的充分性,由g(xn)B

limf(x)f(xn)Axf(x)x0

注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为limlim

xx0g(x)ng(x)Blimg(x)n

xx0

证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,

使limfxn不存在,或找到两个都以x0为极限的数列xn与xn,使limf(x'n)与

n

n

)都存在而不相等,则limf(x)不存在. limf(xn

n

xx0

例1 证明极限limsin

x0

1

不存在. x

函数ysin

1

的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其x

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.



对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极

限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例

阐述如下：

定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定



f(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU义.lim(x0),有

xx0

limf(xn)A.

n

注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取



nmin{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.

n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以



这种类型为例叙述如下： xx0

f(x)存在. 定理3.10 设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限lim

xx0

注6 (1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)inf0

若f递减,则f(x00)sup

(2) 设f为定义在U

xU(x0)

f(x);

f(x).

xU(x0)

(x0)上的递增函数,则

xU(x0)

f(x00)supf(x), f(x00)inf0

xU(x0)

f(x)

三 函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0

任给0,存在正数('),使得对任何x',xU(x0;)有f(x')f(x). [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的极限都存在; 2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相等.

注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0

设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x) 不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0

意正数('),存在x',xU(x0;), 有f(x')f(x)0.

如在例1中我们可取0

11

,对任何0,设正整数n,令

2

11

, x',x

nn2

则有x',xU(0;),而sin

111

sin10于是按柯西准则,极限limsin不存在.

x0xx'x

小结

1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1) 用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点.

(2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.

(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.

(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值. (5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在. 2. 证明函数极限不存在的主要方法:

(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.

(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在. (4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

复习思考题、作业题： 1，2，3，5

§3 函数极限存在的条件 教学目的与要求：

掌握函数极限存在的判定方法，能熟练运用各种判定方法讨论函数极限的存在性。 教学重点，难点：

各种判定方法的证明和理解，单调有界性定理Cauchy准则的证明 教学内容： 一、归结原则

定理3.8(归结原则) 设f在U0x0;内有定义. limfx存在的充要条件是: 对

xx0

任何含于U0x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.

n

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有

n

limfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的

n

xx0

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

xx0

{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到

n

n

证明.

注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.

xx0

n

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

limf(x)

f(x)xx0

若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim. xx0xx0xx0g(x)limg(x)

xx0

证 已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,且

xx0

xx0

limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任意

n

n

n

数列xn,且limxnx0,xnx0,有lim

n

n

f(xn)A

.再根据海涅定理的充分性,由g(xn)B

limf(x)f(xn)Axf(x)x0

注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为limlim

xx0g(x)ng(x)Blimg(x)n

xx0

证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,

使limfxn不存在,或找到两个都以x0为极限的数列xn与xn,使limf(x'n)与

n

n

)都存在而不相等,则limf(x)不存在. limf(xn

n

xx0

例1 证明极限limsin

x0

1

不存在. x

函数ysin

1

的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其x

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.



对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极

限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例

阐述如下：

定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定



f(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU义.lim(x0),有

xx0

limf(xn)A.

n

注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取



nmin{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.

n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以



这种类型为例叙述如下： xx0

f(x)存在. 定理3.10 设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限lim

xx0

注6 (1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)inf0

若f递减,则f(x00)sup

(2) 设f为定义在U

xU(x0)

f(x);

f(x).

xU(x0)

(x0)上的递增函数,则

xU(x0)

f(x00)supf(x), f(x00)inf0

xU(x0)

f(x)

三 函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0

任给0,存在正数('),使得对任何x',xU(x0;)有f(x')f(x). [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的极限都存在; 2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相等.

注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0

设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x) 不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0

意正数('),存在x',xU(x0;), 有f(x')f(x)0.

如在例1中我们可取0

11

,对任何0,设正整数n,令

2

11

, x',x

nn2

则有x',xU(0;),而sin

111

sin10于是按柯西准则,极限limsin不存在.

x0xx'x

小结

1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1) 用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点.

(2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.

(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.

(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值. (5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在. 2. 证明函数极限不存在的主要方法:

(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.

(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在. (4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

复习思考题、作业题： 1，2，3，5