关于化简2阶线性偏微分方程的一些直观想法
课本第一章谈到化简2阶2元线性偏微分方程，以便更好的分类进而方便其求解，个人认为其方法稍显突兀，并且难以向高维情况推广，以下讨论一些对于课本方法的改进。
2阶半线性偏微分方程的一般形式是：
∑a (x ) u
ij i , j
其二次的主部为：
x i x j
+∑a i (x ) u x i +F (u , x 1,..., x n ) =0
i
L 0u =∑a ij u x i x j
i , j
化简的实质是做变换，而现阶段我们能够使用的仅有2种：①自变量变换 ；②未知函数变换
第一部分：过程推导
§1
首先我们知道，二阶方程困难之处是在于它的主部，于是我们单独就L 0u 进行讨论。受到二次型理论的启发，我们利用算子复合的概念将L 0写成二次型的形式：
⎛∂
L 0=
⎝∂x 1
∂∂x 2
⎛a 11 ∂⎫ a 21
... ⎪
∂x n ⎭ ...
⎝a n 1
a 12a 22... a n 2
⎛∂⎫ ∂x ⎪
... a 1n ⎫ 1⎪
⎪ ∂⎪... a 2n ⎪ ⎪∂x 1⎪... ... ⎪
⎪ ... ⎪.. a nn ⎭ ⎪
∂ ⎪ ∂x ⎪⎝1⎭
在这里要注意的一点的是，虽然a ij 是x 的函数，但在这个二次型里只当作系数，即不能理解为：
∂∂∂∂∂2
(a ij ) ，而应该理解为a ij =a ij ∂x i ∂x i ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j
，这一点在后面仍会碰到。
§2
接下来，首先我们看一般的自变量的光滑变换会产生什么效果。令y i =y i (x ) i=1,2,...,n
⎛∂记 ⎝∂x 1
∂∂x 2
⎛a 11a 12
T ⎫∂∂ a 21a 22
... = ， ⎪ ... ... ∂x n ⎭∂x
⎝a n 1a n 2
⎛∂y 1 ∂x 1... a n ⎫1
∂y 1⎪
... a n ⎪ 2
=A ， J = ∂x 2
... ... ⎪
... ⎪
.. a nn ⎭
∂y 1 ∂x ⎝n
∂y 2∂x 1∂y 2∂x 2... ∂y 2∂x n
∂y n ⎫∂x 1⎪⎪∂y n ⎪...
∂x 2⎪⎪ ... ... ⎪
⎪∂y n ⎪..
∂x n ⎪⎭...
当然我们可以要求A 是对称阵。
然后我们计算新参数下的L 0(应用爱因斯坦求和约定)
∂2∂∂∂∂∂y k
=() =() ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j ∂x i ∂y k ∂x j ∂∂∂y k ∂∂2y k =() +
∂x i ∂y k ∂x j ∂y k ∂x j ∂x i ∂y k ∂2y k ∂∂2∂y l
=() +
∂x j ∂y k ∂y l ∂x i ∂x j ∂x i ∂y k ∂y k ∂y l ∂2∂2y k ∂
=+
∂x j ∂x i ∂y k ∂y l ∂x j ∂x i ∂y k
∂y k ∂y l ∂∂∂2∂∂y k ∂
L 0=a ij =a ij +a ij ()
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i ∂y k ∂y l ∂x j ∂x i ∂y k
∂T T ∂∂T ∂
L =() [J AJ ]+[() AJ ]
写成等价的矩阵形式：0
∂y ∂y ∂x ∂y
注：在第二项[ ]中，同样要将A 的元素看作二次型系数，即
∂
只作用在J 的元素上 ∂x
§3
现在利用二次型理论，将中间的矩阵化简。
我们首先讨论的是2元2阶的方程，令n=2，x 1=x , x 2=y 变换后的二阶主部可以直接写出来：
∂∂∂∂T T
L 0' =(, )[J AJ ](, )
∂ξ∂η∂ξ∂η∂∂⎛ξx ξy ⎫⎛a 11
=(, ) ⎪
∂ξ∂η⎝ηx ηy ⎭⎝a 21
a 12⎫⎛ξx ηx ⎫∂∂T
⎪ ξη⎪(, ) a 22⎭⎝y y ⎭∂ξ∂η
a 11ξx ηx +a 12(ξx ηy +ξy ηx ) +a 22ξx ηy ⎫∂∂T
(, ) ⎪22⎪a 11ηx +2a 12ηx ηy +a 22ηy
⎭∂ξ∂η
a 11ξx 2+2a 12ξx ξy +a 22ξy 2∂∂⎛
=(, ) ∂ξ∂η ⎝a 11ξx ηx +a 12(ξx ηy +ξy ηx ) +a 22ξx ηy
若解出满足一阶方程a 11ξx ηx +a 12(ξx ηy +ξy ηx ) +a 22ξx ηy =0的ξ, η，就可以使得方程对角化，然而这里有2个未知函数，一起求解可能非常复杂，好在我们要求的仅仅是一个特解，不妨令η=x ，这样一来，就化成了a 11ξx +a 12ξy ηx =0，而这个方程是很好解的。 于是，我们便完成了方程主部的对角化。
§4
由上面的理论，总可以设：
a 11u xx +a 22u yy +a 1u x +a 2u y +F (u , x , y ) =0
再做未知函数的变换：
v =ue
⎰
a 1a
dx +2dy 2a 112a 22
，便可以将一阶导数项消去，化成
a 11v xx +a 22v yy +F *(v , x , y ) =0
便是标准型了。
第二部分：推广
就课本的方法而言，其对于2个自变量的处理方法自有其可取之处，因为它巧妙的利用了特征曲线法将偏微分方程a 11ξx +2a 12ξx ξy +a 22ξy =0约化到常微分方程a 11dy 2-2a 12dxdy +a 22dx 2=0的求解，由此显得简洁，然而其弊端也是显而易见的，即对于自变量大于等于3个的情况就没有这么好的事了。而采用我们刚刚讨论的方法，我们仍然可以在多自变量的情况下化简方程。
2
2
§1
⎛a 11 a 21
考虑主部矩阵：
... ⎝a n 1a 12... a 1n ⎫⎧y 1=ξ(x ) ⎛ξ10...
⎪ ⎪y =x a 22... a 2n ⎪ξ21... ⎪22 ，令变换⎨，则J =
... ... ... ... ... ... ⎪........... ⎪⎪ ⎪a n 2.. a nn ⎭y =x ⎝ξn 0.. n ⎩n 0⎫
⎪0⎪∂ξ 其中ξi = ⎪... ∂x i ⎪1⎭
⎛a 11* *a 12 变换后的主部为：
... a *⎝1n a 12*... a 1n *⎫
⎪
a 22... a n 2⎪*
，其中a 1j =
... ... ... ⎪
⎪
a n 2.. a nn ⎪⎭
∑a ξ j =2,3,..., n
ij i i
⎛a 12*⎫⎛a 12
⎪ 于是，我们要解一阶线性偏微分方程组： ... ⎪=0⇔...
a a 1n *⎪
⎝1n ⎝⎭
a 22... a 2n
a 32⎫⎛ξ1⎫
⎪⎪... ⎪... ⎪=0
⎪a nn ⎪⎭⎝ξn ⎭
⎛a 11*
用课本第7章的知识可以求出它的特解，于是，主部化为
... 0⎝
然后重复这一过程，直到主部矩阵成为对角的即可。
0a 22... a n 2
0⎫⎪... a n 2⎪
⎪... ... ⎪.. a nn ⎪⎭...
§2
⎛∂
⎝∂x
∂∂y
⎛∂⎫ ⎪
⎛111⎫ ∂x ⎪∂⎫ ⎪ ∂⎪
111=0 ⎪ ⎪⎪∂x ⎭ ⎪ ∂y ⎪111⎝⎭
∂⎪ ⎪⎝∂x ⎭
为了形象起见，我们举个简单的例子，考虑方程：
⎛a 12a 22
首先解方程组
⎝a 13a 13
⎛ξ⎫⎛000⎫a 32⎫ x ⎪ ⎪
ξ=0011，取特解，主部化为ξ=2x -y -z ⎪y ⎪ ⎪ a 13⎭ 011⎪ ξ⎪
⎝⎭⎝z ⎭
类似的再取(a 23
⎛000⎫
⎛η⎫ ⎪a 33) y ⎪=0的特解，η=y -z ，主部化为 000⎪
⎝ηz ⎭ 001⎪
⎝⎭
⎧ξ=2x -y -z
⎪
所以总的变换是⎨η=y -z
⎪ζ=z ⎩
§3
我在与同学讨论这个问题的时候，有同学指出，不存在统一的自变量变换能将方程在区域Ω上化成同一种类型，因此将方程在Ω上对角化可能是办不到的。但从结果来看是办得到的，因为它变化后的主部系数a ii *仍
⎛a 11* 0 然与x 有关，这并不妨碍 ... 0⎝
实上，u xx y sin 0a 22*... 0
0⎫⎪
... 0⎪
在不论多小的区域上不定，即不能确定其正负惯性指数，事
... ... ⎪
⎪
.. a nn *⎪⎭...
x y z
+u yy z sin +u zz x sin =0在原点附近便是一个例子。 y z x
关于化简2阶线性偏微分方程的一些直观想法
课本第一章谈到化简2阶2元线性偏微分方程，以便更好的分类进而方便其求解，个人认为其方法稍显突兀，并且难以向高维情况推广，以下讨论一些对于课本方法的改进。
2阶半线性偏微分方程的一般形式是：
∑a (x ) u
ij i , j
其二次的主部为：
x i x j
+∑a i (x ) u x i +F (u , x 1,..., x n ) =0
i
L 0u =∑a ij u x i x j
i , j
化简的实质是做变换，而现阶段我们能够使用的仅有2种：①自变量变换 ；②未知函数变换
第一部分：过程推导
§1
首先我们知道，二阶方程困难之处是在于它的主部，于是我们单独就L 0u 进行讨论。受到二次型理论的启发，我们利用算子复合的概念将L 0写成二次型的形式：
⎛∂
L 0=
⎝∂x 1
∂∂x 2
⎛a 11 ∂⎫ a 21
... ⎪
∂x n ⎭ ...
⎝a n 1
a 12a 22... a n 2
⎛∂⎫ ∂x ⎪
... a 1n ⎫ 1⎪
⎪ ∂⎪... a 2n ⎪ ⎪∂x 1⎪... ... ⎪
⎪ ... ⎪.. a nn ⎭ ⎪
∂ ⎪ ∂x ⎪⎝1⎭
在这里要注意的一点的是，虽然a ij 是x 的函数，但在这个二次型里只当作系数，即不能理解为：
∂∂∂∂∂2
(a ij ) ，而应该理解为a ij =a ij ∂x i ∂x i ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j
，这一点在后面仍会碰到。
§2
接下来，首先我们看一般的自变量的光滑变换会产生什么效果。令y i =y i (x ) i=1,2,...,n
⎛∂记 ⎝∂x 1
∂∂x 2
⎛a 11a 12
T ⎫∂∂ a 21a 22
... = ， ⎪ ... ... ∂x n ⎭∂x
⎝a n 1a n 2
⎛∂y 1 ∂x 1... a n ⎫1
∂y 1⎪
... a n ⎪ 2
=A ， J = ∂x 2
... ... ⎪
... ⎪
.. a nn ⎭
∂y 1 ∂x ⎝n
∂y 2∂x 1∂y 2∂x 2... ∂y 2∂x n
∂y n ⎫∂x 1⎪⎪∂y n ⎪...
∂x 2⎪⎪ ... ... ⎪
⎪∂y n ⎪..
∂x n ⎪⎭...
当然我们可以要求A 是对称阵。
然后我们计算新参数下的L 0(应用爱因斯坦求和约定)
∂2∂∂∂∂∂y k
=() =() ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j ∂x i ∂y k ∂x j ∂∂∂y k ∂∂2y k =() +
∂x i ∂y k ∂x j ∂y k ∂x j ∂x i ∂y k ∂2y k ∂∂2∂y l
=() +
∂x j ∂y k ∂y l ∂x i ∂x j ∂x i ∂y k ∂y k ∂y l ∂2∂2y k ∂
=+
∂x j ∂x i ∂y k ∂y l ∂x j ∂x i ∂y k
∂y k ∂y l ∂∂∂2∂∂y k ∂
L 0=a ij =a ij +a ij ()
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i ∂y k ∂y l ∂x j ∂x i ∂y k
∂T T ∂∂T ∂
L =() [J AJ ]+[() AJ ]
写成等价的矩阵形式：0
∂y ∂y ∂x ∂y
注：在第二项[ ]中，同样要将A 的元素看作二次型系数，即
∂
只作用在J 的元素上 ∂x
§3
现在利用二次型理论，将中间的矩阵化简。
我们首先讨论的是2元2阶的方程，令n=2，x 1=x , x 2=y 变换后的二阶主部可以直接写出来：
∂∂∂∂T T
L 0' =(, )[J AJ ](, )
∂ξ∂η∂ξ∂η∂∂⎛ξx ξy ⎫⎛a 11
=(, ) ⎪
∂ξ∂η⎝ηx ηy ⎭⎝a 21
a 12⎫⎛ξx ηx ⎫∂∂T
⎪ ξη⎪(, ) a 22⎭⎝y y ⎭∂ξ∂η
a 11ξx ηx +a 12(ξx ηy +ξy ηx ) +a 22ξx ηy ⎫∂∂T
(, ) ⎪22⎪a 11ηx +2a 12ηx ηy +a 22ηy
⎭∂ξ∂η
a 11ξx 2+2a 12ξx ξy +a 22ξy 2∂∂⎛
=(, ) ∂ξ∂η ⎝a 11ξx ηx +a 12(ξx ηy +ξy ηx ) +a 22ξx ηy
若解出满足一阶方程a 11ξx ηx +a 12(ξx ηy +ξy ηx ) +a 22ξx ηy =0的ξ, η，就可以使得方程对角化，然而这里有2个未知函数，一起求解可能非常复杂，好在我们要求的仅仅是一个特解，不妨令η=x ，这样一来，就化成了a 11ξx +a 12ξy ηx =0，而这个方程是很好解的。 于是，我们便完成了方程主部的对角化。
§4
由上面的理论，总可以设：
a 11u xx +a 22u yy +a 1u x +a 2u y +F (u , x , y ) =0
再做未知函数的变换：
v =ue
⎰
a 1a
dx +2dy 2a 112a 22
，便可以将一阶导数项消去，化成
a 11v xx +a 22v yy +F *(v , x , y ) =0
便是标准型了。
第二部分：推广
就课本的方法而言，其对于2个自变量的处理方法自有其可取之处，因为它巧妙的利用了特征曲线法将偏微分方程a 11ξx +2a 12ξx ξy +a 22ξy =0约化到常微分方程a 11dy 2-2a 12dxdy +a 22dx 2=0的求解，由此显得简洁，然而其弊端也是显而易见的，即对于自变量大于等于3个的情况就没有这么好的事了。而采用我们刚刚讨论的方法，我们仍然可以在多自变量的情况下化简方程。
2
2
§1
⎛a 11 a 21
考虑主部矩阵：
... ⎝a n 1a 12... a 1n ⎫⎧y 1=ξ(x ) ⎛ξ10...
⎪ ⎪y =x a 22... a 2n ⎪ξ21... ⎪22 ，令变换⎨，则J =
... ... ... ... ... ... ⎪........... ⎪⎪ ⎪a n 2.. a nn ⎭y =x ⎝ξn 0.. n ⎩n 0⎫
⎪0⎪∂ξ 其中ξi = ⎪... ∂x i ⎪1⎭
⎛a 11* *a 12 变换后的主部为：
... a *⎝1n a 12*... a 1n *⎫
⎪
a 22... a n 2⎪*
，其中a 1j =
... ... ... ⎪
⎪
a n 2.. a nn ⎪⎭
∑a ξ j =2,3,..., n
ij i i
⎛a 12*⎫⎛a 12
⎪ 于是，我们要解一阶线性偏微分方程组： ... ⎪=0⇔...
a a 1n *⎪
⎝1n ⎝⎭
a 22... a 2n
a 32⎫⎛ξ1⎫
⎪⎪... ⎪... ⎪=0
⎪a nn ⎪⎭⎝ξn ⎭
⎛a 11*
用课本第7章的知识可以求出它的特解，于是，主部化为
... 0⎝
然后重复这一过程，直到主部矩阵成为对角的即可。
0a 22... a n 2
0⎫⎪... a n 2⎪
⎪... ... ⎪.. a nn ⎪⎭...
§2
⎛∂
⎝∂x
∂∂y
⎛∂⎫ ⎪
⎛111⎫ ∂x ⎪∂⎫ ⎪ ∂⎪
111=0 ⎪ ⎪⎪∂x ⎭ ⎪ ∂y ⎪111⎝⎭
∂⎪ ⎪⎝∂x ⎭
为了形象起见，我们举个简单的例子，考虑方程：
⎛a 12a 22
首先解方程组
⎝a 13a 13
⎛ξ⎫⎛000⎫a 32⎫ x ⎪ ⎪
ξ=0011，取特解，主部化为ξ=2x -y -z ⎪y ⎪ ⎪ a 13⎭ 011⎪ ξ⎪
⎝⎭⎝z ⎭
类似的再取(a 23
⎛000⎫
⎛η⎫ ⎪a 33) y ⎪=0的特解，η=y -z ，主部化为 000⎪
⎝ηz ⎭ 001⎪
⎝⎭
⎧ξ=2x -y -z
⎪
所以总的变换是⎨η=y -z
⎪ζ=z ⎩
§3
我在与同学讨论这个问题的时候，有同学指出，不存在统一的自变量变换能将方程在区域Ω上化成同一种类型，因此将方程在Ω上对角化可能是办不到的。但从结果来看是办得到的，因为它变化后的主部系数a ii *仍
⎛a 11* 0 然与x 有关，这并不妨碍 ... 0⎝
实上，u xx y sin 0a 22*... 0
0⎫⎪
... 0⎪
在不论多小的区域上不定，即不能确定其正负惯性指数，事
... ... ⎪
⎪
.. a nn *⎪⎭...
x y z
+u yy z sin +u zz x sin =0在原点附近便是一个例子。 y z x