九年级数学上学期-----二次函数
26.1 二次函数教学案
学习目标：1. 经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2. 了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 学习重点：二次函数的概念。
学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。 一、复习：
1. 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 我们已经学过的函数有： ，它们的表达式分别是 . 二、创设情境
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡) 与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。 三、归纳提高：
上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。 一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，y 是因变量。
一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 中自变量x 的取值范围是，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 四、例题精讲
例1．当k 为何值时，函数y =(k -1) x k
2
+k
+1为二次函数？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
2
⑴圆的面积y （cm ）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
2
⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm ）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．
例3. 已知二次函数y =ax ，当x =3时，y =-5。当x =-5时，求y 的值．
2
堂清题
1. 考察下列函数：①y =
1232
+3v =t -4t ，②，③，④，⑤（t 是自y =3x (x -1) y =x -3y =2x -5x +12x
变量）中，二次函数是： 。
2
y 2. 若一个边长为x cm 的无盖正方体形纸盒的表面积为cm ，则y =___________，其中x 的取值范围．．
是 。
3. 一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y (㎡) 与路宽x (m)之间的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)
与它与墙平行的边的长
x (m)之间的函数关系式：y = 。 6. 已知函数y =(m -3) x m
2
y =ax 26.1.2二次函数的图象
2
-7
是二次函数，求m 的值．
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y ＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点） 【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、知识链接：
1. 画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。 2. 一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自主学习
（一）画二次函数y ＝x2的图象．
答：
2. 归纳：
2
y =x ① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物
体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
2
y =x ②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； 2
y =x ③的图象开口_______；
2
y =x ④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（ ， ）；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x
y 随x 的增大而 ，x >0时，随x 的增大而 。
1
y =x 222
y =x y =2x 2（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
y =
归纳：抛物线
12x 22
2，y =x ，y =2x 的图象的形状都是 ；
顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
y =-
归纳：抛物线
顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
12
x 22
2，y =-x ，y =-2x 的的图象的形状都是 ；
y =-
例2 请在图（4）中画出函数列表： 12x 22
2，y =-x ，y =-
2x 的图象．
2
三、合作交流：归纳：抛物线
y =ax 的性质
2. 当＞0时，在对称轴的左侧，即 0时，
0时，随x 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
2
y =ax 答： 由此可知, 和抛物线关于x 轴对称的抛物线是 。
y
随的增大而 ；在对称轴的右侧，即x
4．当
a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因
此，越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
a
y =
1．函数
_________值是_________． _________值是_________．
32x
7的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最
2
y =-6x 2. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最2
()y =m -3x 3. 二次函数的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y ＝mx
m 2-2
有最高点，则m ＝___________．
2
5. 二次函数y ＝(k＋1) x 的图象如图所示，则k 的取值范围为___________．
2y =ax 6．若二次函数的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
7. 抛物线①y =-5x
2
②y =-2x
2
③y =5x
2
④y =7x
2
开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）
其
中关于x 轴对称的两条抛物线是____________
和 。
1
2
y =x 28．点A （，b ）是抛物线上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是
( , )。
2y =ax 9．如图，A 、B 分别为上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式
为 。
m -m
y =(m -1) x 10. 当m= 时，抛物线开口向下． 2
y =ax 11. 二次函数与直线y =2x -3交于点P （1，b ）．
2
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
九年级数学上学期-----二次函数
26.1 二次函数教学案
学习目标：1. 经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2. 了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 学习重点：二次函数的概念。
学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。 一、复习：
1. 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 我们已经学过的函数有： ，它们的表达式分别是 . 二、创设情境
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡) 与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。 三、归纳提高：
上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。 一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，y 是因变量。
一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 中自变量x 的取值范围是，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 四、例题精讲
例1．当k 为何值时，函数y =(k -1) x k
2
+k
+1为二次函数？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
2
⑴圆的面积y （cm ）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
2
⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm ）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．
例3. 已知二次函数y =ax ，当x =3时，y =-5。当x =-5时，求y 的值．
2
堂清题
1. 考察下列函数：①y =
1232
+3v =t -4t ，②，③，④，⑤（t 是自y =3x (x -1) y =x -3y =2x -5x +12x
变量）中，二次函数是： 。
2
y 2. 若一个边长为x cm 的无盖正方体形纸盒的表面积为cm ，则y =___________，其中x 的取值范围．．
是 。
3. 一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y (㎡) 与路宽x (m)之间的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)
与它与墙平行的边的长
x (m)之间的函数关系式：y = 。 6. 已知函数y =(m -3) x m
2
y =ax 26.1.2二次函数的图象
2
-7
是二次函数，求m 的值．
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y ＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点） 【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、知识链接：
1. 画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。 2. 一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自主学习
（一）画二次函数y ＝x2的图象．
答：
2. 归纳：
2
y =x ① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物
体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
2
y =x ②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； 2
y =x ③的图象开口_______；
2
y =x ④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（ ， ）；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x
y 随x 的增大而 ，x >0时，随x 的增大而 。
1
y =x 222
y =x y =2x 2（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
y =
归纳：抛物线
12x 22
2，y =x ，y =2x 的图象的形状都是 ；
顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
y =-
归纳：抛物线
顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
12
x 22
2，y =-x ，y =-2x 的的图象的形状都是 ；
y =-
例2 请在图（4）中画出函数列表： 12x 22
2，y =-x ，y =-
2x 的图象．
2
三、合作交流：归纳：抛物线
y =ax 的性质
2. 当＞0时，在对称轴的左侧，即 0时，
0时，随x 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
2
y =ax 答： 由此可知, 和抛物线关于x 轴对称的抛物线是 。
y
随的增大而 ；在对称轴的右侧，即x
4．当
a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因
此，越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
a
y =
1．函数
_________值是_________． _________值是_________．
32x
7的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最
2
y =-6x 2. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最2
()y =m -3x 3. 二次函数的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y ＝mx
m 2-2
有最高点，则m ＝___________．
2
5. 二次函数y ＝(k＋1) x 的图象如图所示，则k 的取值范围为___________．
2y =ax 6．若二次函数的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
7. 抛物线①y =-5x
2
②y =-2x
2
③y =5x
2
④y =7x
2
开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）
其
中关于x 轴对称的两条抛物线是____________
和 。
1
2
y =x 28．点A （，b ）是抛物线上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是
( , )。
2y =ax 9．如图，A 、B 分别为上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式
为 。
m -m
y =(m -1) x 10. 当m= 时，抛物线开口向下． 2
y =ax 11. 二次函数与直线y =2x -3交于点P （1，b ）．
2
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．