第１５卷第５期２０１２年９月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．５
，Ｓｅｔ．２０１２ｐ
关于驻点与拐点的关系
朱志雄，杨树清
（）武汉软件工程职业学院公共课部，湖北武汉４３０２０５
摘
要 通过反例澄清关于驻点与拐点关系的一个错误认识，指出函数的驻点若非极值点，未必就是函数图
象拐点的横坐标，若要对函数图象的拐点做出明确判别，还须借助函数在驻点附近的二阶导数值．文中给出并证明了判别驻点为拐点横坐标的一个条件．
关键词 导数；驻点；极值点；拐点中图分类号 Ｏ１７２．１
文献标识码 Ａ
（）文章编号 １００８１３９９２０１２０５００２７０２－－－
问题１ 对于连续的函数，若其驻点不是极值点就是拐点的横坐标吗？或者，若ｘ的ｘ）０是函数ｆ（
且ｆ连续点，′（′（ｘｘ）在ｘ＝０，ｆ０）０两侧的符号相）是函数ｆ（同，则（ｘｘｘ）的拐点码？ｆ（０，０）
根据部分高等数学教材中相关例题和习题的设
１－２］
，计与解答［人们容易错误地认为上述问题的答
而当ｘ＝０时，有
（）（））＝ｌ′（０ｉｍ＝０．ｆ
ｘ→０ΔｘΔ
可以证明，在ｘ＝０两侧附近ｆ事′（ｘ）的符号相同．实上，因为
ｉｎ－１≤ｓ
ｏｓ≤１， －１≤ｃ≤１，
ｘｘ
然而事实并非如此．案是肯定的．
例１ 考虑函数
５６ｘｘｓｉｎ， ｘ≠０，＋２
ｘ（）ｆｘ＝０，ｘ＝０．
显然，当ｘ≠０时，有ｘ）在ｘ＝０点连续．ｆ（
４５４
′（ｘ）＝５ｘ２ｘｓｉｎ－２ｘｃｏｓ，＋１ｆ
ｘｘ
；收稿日期：修改日期：２０１１０５１２２０１２０８０７－－－－
，作者简介：朱志雄（男，湖南湘潭人，副教授，从事高等数学１９６０－）
：教学与研究．Ｅｍａｉｌｚｚｘｗｈｄｄｉｎａ．ｃｏｍ＠ｓ
，杨树清（男，湖北孝感人，副教授，从事高等数学１９６５－）教学与研究．ａｎｓ６５＠ｍｓｎ．ｃｏｍｙｇｑ
所以，当０＜ｘ＜时，有
４
４５４
′（ｘ）＝５ｘ２ｘｓｉｎ－２ｘｃｏｓ＝＋１ｆ
ｘｘ
４５
ｘ５－２ｃｏｓ２ｘｓｉｎ＞＋１
ｘｘ
４５４
（３ｘ２ｘｘ１－４ｘ）＞０．－１＝２
同理，当－＜ｘ＜０时，有
４
′（ｘ）＞０．ｆ另外由
）（）（）＝ｌ″（０ｉｍ＝０，ｆ
ｘ→０ΔｘΔ
（）
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
），）中特别地取ｘ＝Ｔ，由于ｆ（在式（则Ｔ）＝ｆ（０２得０＝Ａ所以Ａ＝０，可见Ｔ，
）（，ｘ）＝ｆ（０－∞＜ｘ＜＋∞）ｆ（
即ｆ（ｘ）是常数函数．
参考文献
［］张国铭．改进的Ｌ’］１Ｈｏｓｉｔａｌ法则的证明及其应用［Ｊ．ｐ
（）：高等数学研究，２０１０，１３５４５４６．－
’ＯｎｔｈｅＩｍｒｏｖｅｄＬ’ＨｏｓｉｔａｌｓＲｕｌｅ ｐｐ
，ＤＡＩＥｎｈｕａＸｕｅｔａｏ ＹＵ
（，，ＤｏｎｃｈａｎＣｏｌｌｅｅＬｉａｏｃｈｅｎＵｎｉｖｅｒｃｉｔＬｉａｏｃｈｅｎ２５２０００，ＰＲＣ）ｇｇｇｇｙｇ
：，’ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓａｅｒｔｈｅｉｍｒｏｖｅｄＬ’ＨｏｓｉｔａｌｓＲｕｌｅｉｓｒｅｖｉｓｉｔｅｄ．Ａｒｏｏｆａｎｄａｎｅｘａｍｌｅ ｐｐｐｐｐｐ
ａｒｅｉｖｅｎｆｏｒｂｅｔｔｅｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎａｎｄｕｓｉｎｔｈｅｒｕｌｅ． ｇｇｇ
：’，ＭＫｅｗｏｒｄｓＨｏｓｉｔａｌｓＲｕｌｅｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ，ｃｏｎｓｔａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｙ Ｌ’ ｐ
２８
高等数学研究２０１２年９月
）是ｆ（似乎也能够判定（如此０，０ｘ）的拐点．不过，得出结论未免有点草率．
）是函数由拐点的定义可知，如果（ｘｘｆ（０，０）拐点，则存在正数δ＞０，当ｘ∈（时ｘ）ｘｘδ，ｆ（０－０）的符号与当ｘ∈（时ｆ的符号″（ｘ）ｘｘ″（ｘ）δ）ｆ０，０＋即函数的曲线在ｘ一侧是凹曲线，而另相异．０两侧，然而对于例１，在ｘ＝０附近却有无一侧是凸曲线．
穷多个ｘ，使ｆ″（ｘ）＝０．这是因为
３３
″（ｘ）＝２０ｘ０ｘｃｏｓ＋－２ｆ
ｘ
４
６０ｘｓｉｎ
还须有严格的逻辑证明．的思维外，
定理１ 如果函数ｆ（在区间［内有连续ｘ）ａ，ｂ］的二阶导数，且满足ｘ）的一个驻点，ξ是ｆ（
（保持恒大于零ｘ）′（ⅰ）在ξ的某去心邻域内ｆ
或恒小于零．
（ｘ）只有有限个零点．″（ⅱ）在ξ的某邻域内ｆ
）是函数ｆ（则（ｘ）图象的拐点．ｆ（ξ，ξ）
证明 由拐点的定义，只要证明，存在正数δ，使当ｘ∈（二阶导数恒小于零或恒大于ξ－δ，ξ）时，
而当ｘ∈（时，二阶导数恒大于零或恒小零，δ）ξ，ξ＋于零，另由连续性，得出ｆ″（ξ）＝０即可．
根据定理所给条件，不妨设存在正数δ＞０，使，有对任意ｘ∈（ａ，ｂ］ξ－δ，ξ）∪（ξ，ξ＋δ） ［
′（ｘ）＞０，″（ｘ）≠０． ｆｆ，根据拉格朗日中值定理，对于任意ｘ∈（存δ，ξ－ξ），在ｃ∈（使ξ－δ，ξ）（）（（））＝）＜０，″（ｃ＝ｆ
ｘ－ξｘ－ξ又由ｆ″（ｘ）在（″（ｘ）≠０ξ－δ，ξ）上的连续性以及ｆ可得
２
ｘｓｉｎ，－２ｘｘ
若取
（…），ｘｎ＝１，２，ｎ＝ｎ２π
则有
″（ｘ＝０．ｆｎ）
由于
，ｌｉｍｘｎ＝０
ｎ→∞
所以，找不到一个正数δ，使ｆ（ｘ）在（０，δ）内是严格又因ｆ若取意义上的凹或凸曲线．″（ｘ）是奇函数，
（…），ｎ＝１，２，ｙｎ＝－ｎ２π
则有
ｘ）＜０（．″（ｆξ－δ＜ｘ＜ξ）
同理可证
″（ｘ）＞０（．ｆξ＜ｘ＜ξ＋δ）
″（″（″（ｘ＝ｆ－ｘ＝－ｆ＝０，ｆｙｎ）ｎ）ｎ）
由于ｆ可得″（ｘ）在（ξ－δ，ξ＋δ）的连续性，
″（ｆξ）＝０．
参考文献
［］同济大学应用数学系．高等数学：上册［北京：１Ｍ］．５版．
高等教育出版社，２００２：１５０．
［］柳重堪．高等数学：上册第一分册［北京：中央广播２Ｍ］．
电视大学出版社，１９９９：２０１２０２．－
）内是所以，也找不到一个正数δ，使ｆ（ｘ）在（０－δ，（）不可能是所给严格意义上的凹凸曲线．总之，０，０函数的拐点．
由于例１所给函数的特殊性，它在ｘ＝０附近有…）使ｆ无数多个点ｘ这样的″（ｎ＝１，２，ｘ＝０，ｎ（ｎ）函数很少被一般的教科书所考虑，因而，片面性的认识难免就会形成．想得出正确的结论，除了要有缜密
ＯｎｔｈｅＳｔａｔｉｏｎａｒａｎｄＩｎｆｌｅｃｔｉｏｎＰｏｉｎｔｓ ｙ
，ＺＨＵＺｈｉｘｉｏｎＳｈｕｉｎ ＹＡＮＧ ｇｑｇ
（，，，）ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＷｕｈａｎＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｅｏｆＳｏｆｅｗａｒｅ＆ＥｎｉｎｅｅｒｉｎＷｕｈａｎ４３０２０５ＰＲＣ ｐｇｇｇ
：，，’ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓａｅｒａｎｅｘａｍｌｅｉｓｉｖｅｎｓｈｏｗｉｎｔｈａｔａｓｔａｎａｔｉｏｎｏｉｎｔｅｖｅｎｉｆｉｔｉｓｎｔ ｐｐｐｇｇｇｐ
，ｅｘｔｒｅｍｅｉｓｎｏｔａｎｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆａｉｔｉｓａｎｏｉｎｔｏｉｎｔ．Ｔｏｏｉｎｔｒａｈ， ｐｐｐｇｐｎｅｃｅｓｓａｒｔｏｅｘａｍｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｎｅａｒｔｈｅｓｔａｎａｔｉｏｎｏｉｎｔ． ｙｇｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｏｆａｓｔａｎａｔｉｏｎｂｅｉｎａｎｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎｉｓｒｅｖｉｓｉｔｅｄ．Ｔｈｅｒｏｏｆｏｉｎｔｏｉｎｔ ｐｇｐｇｐ
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第１５卷第５期２０１２年９月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．５
，Ｓｅｔ．２０１２ｐ
关于驻点与拐点的关系
朱志雄，杨树清
（）武汉软件工程职业学院公共课部，湖北武汉４３０２０５
摘
要 通过反例澄清关于驻点与拐点关系的一个错误认识，指出函数的驻点若非极值点，未必就是函数图
象拐点的横坐标，若要对函数图象的拐点做出明确判别，还须借助函数在驻点附近的二阶导数值．文中给出并证明了判别驻点为拐点横坐标的一个条件．
关键词 导数；驻点；极值点；拐点中图分类号 Ｏ１７２．１
文献标识码 Ａ
（）文章编号 １００８１３９９２０１２０５００２７０２－－－
问题１ 对于连续的函数，若其驻点不是极值点就是拐点的横坐标吗？或者，若ｘ的ｘ）０是函数ｆ（
且ｆ连续点，′（′（ｘｘ）在ｘ＝０，ｆ０）０两侧的符号相）是函数ｆ（同，则（ｘｘｘ）的拐点码？ｆ（０，０）
根据部分高等数学教材中相关例题和习题的设
１－２］
，计与解答［人们容易错误地认为上述问题的答
而当ｘ＝０时，有
（）（））＝ｌ′（０ｉｍ＝０．ｆ
ｘ→０ΔｘΔ
可以证明，在ｘ＝０两侧附近ｆ事′（ｘ）的符号相同．实上，因为
ｉｎ－１≤ｓ
ｏｓ≤１， －１≤ｃ≤１，
ｘｘ
然而事实并非如此．案是肯定的．
例１ 考虑函数
５６ｘｘｓｉｎ， ｘ≠０，＋２
ｘ（）ｆｘ＝０，ｘ＝０．
显然，当ｘ≠０时，有ｘ）在ｘ＝０点连续．ｆ（
４５４
′（ｘ）＝５ｘ２ｘｓｉｎ－２ｘｃｏｓ，＋１ｆ
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；收稿日期：修改日期：２０１１０５１２２０１２０８０７－－－－
，作者简介：朱志雄（男，湖南湘潭人，副教授，从事高等数学１９６０－）
：教学与研究．Ｅｍａｉｌｚｚｘｗｈｄｄｉｎａ．ｃｏｍ＠ｓ
，杨树清（男，湖北孝感人，副教授，从事高等数学１９６５－）教学与研究．ａｎｓ６５＠ｍｓｎ．ｃｏｍｙｇｑ
所以，当０＜ｘ＜时，有
４
４５４
′（ｘ）＝５ｘ２ｘｓｉｎ－２ｘｃｏｓ＝＋１ｆ
ｘｘ
４５
ｘ５－２ｃｏｓ２ｘｓｉｎ＞＋１
ｘｘ
４５４
（３ｘ２ｘｘ１－４ｘ）＞０．－１＝２
同理，当－＜ｘ＜０时，有
４
′（ｘ）＞０．ｆ另外由
）（）（）＝ｌ″（０ｉｍ＝０，ｆ
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（）
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），）中特别地取ｘ＝Ｔ，由于ｆ（在式（则Ｔ）＝ｆ（０２得０＝Ａ所以Ａ＝０，可见Ｔ，
）（，ｘ）＝ｆ（０－∞＜ｘ＜＋∞）ｆ（
即ｆ（ｘ）是常数函数．
参考文献
［］张国铭．改进的Ｌ’］１Ｈｏｓｉｔａｌ法则的证明及其应用［Ｊ．ｐ
（）：高等数学研究，２０１０，１３５４５４６．－
’ＯｎｔｈｅＩｍｒｏｖｅｄＬ’ＨｏｓｉｔａｌｓＲｕｌｅ ｐｐ
，ＤＡＩＥｎｈｕａＸｕｅｔａｏ ＹＵ
（，，ＤｏｎｃｈａｎＣｏｌｌｅｅＬｉａｏｃｈｅｎＵｎｉｖｅｒｃｉｔＬｉａｏｃｈｅｎ２５２０００，ＰＲＣ）ｇｇｇｇｙｇ
：，’ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓａｅｒｔｈｅｉｍｒｏｖｅｄＬ’ＨｏｓｉｔａｌｓＲｕｌｅｉｓｒｅｖｉｓｉｔｅｄ．Ａｒｏｏｆａｎｄａｎｅｘａｍｌｅ ｐｐｐｐｐｐ
ａｒｅｉｖｅｎｆｏｒｂｅｔｔｅｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎａｎｄｕｓｉｎｔｈｅｒｕｌｅ． ｇｇｇ
：’，ＭＫｅｗｏｒｄｓＨｏｓｉｔａｌｓＲｕｌｅｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ，ｃｏｎｓｔａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｙ Ｌ’ ｐ
２８
高等数学研究２０１２年９月
）是ｆ（似乎也能够判定（如此０，０ｘ）的拐点．不过，得出结论未免有点草率．
）是函数由拐点的定义可知，如果（ｘｘｆ（０，０）拐点，则存在正数δ＞０，当ｘ∈（时ｘ）ｘｘδ，ｆ（０－０）的符号与当ｘ∈（时ｆ的符号″（ｘ）ｘｘ″（ｘ）δ）ｆ０，０＋即函数的曲线在ｘ一侧是凹曲线，而另相异．０两侧，然而对于例１，在ｘ＝０附近却有无一侧是凸曲线．
穷多个ｘ，使ｆ″（ｘ）＝０．这是因为
３３
″（ｘ）＝２０ｘ０ｘｃｏｓ＋－２ｆ
ｘ
４
６０ｘｓｉｎ
还须有严格的逻辑证明．的思维外，
定理１ 如果函数ｆ（在区间［内有连续ｘ）ａ，ｂ］的二阶导数，且满足ｘ）的一个驻点，ξ是ｆ（
（保持恒大于零ｘ）′（ⅰ）在ξ的某去心邻域内ｆ
或恒小于零．
（ｘ）只有有限个零点．″（ⅱ）在ξ的某邻域内ｆ
）是函数ｆ（则（ｘ）图象的拐点．ｆ（ξ，ξ）
证明 由拐点的定义，只要证明，存在正数δ，使当ｘ∈（二阶导数恒小于零或恒大于ξ－δ，ξ）时，
而当ｘ∈（时，二阶导数恒大于零或恒小零，δ）ξ，ξ＋于零，另由连续性，得出ｆ″（ξ）＝０即可．
根据定理所给条件，不妨设存在正数δ＞０，使，有对任意ｘ∈（ａ，ｂ］ξ－δ，ξ）∪（ξ，ξ＋δ） ［
′（ｘ）＞０，″（ｘ）≠０． ｆｆ，根据拉格朗日中值定理，对于任意ｘ∈（存δ，ξ－ξ），在ｃ∈（使ξ－δ，ξ）（）（（））＝）＜０，″（ｃ＝ｆ
ｘ－ξｘ－ξ又由ｆ″（ｘ）在（″（ｘ）≠０ξ－δ，ξ）上的连续性以及ｆ可得
２
ｘｓｉｎ，－２ｘｘ
若取
（…），ｘｎ＝１，２，ｎ＝ｎ２π
则有
″（ｘ＝０．ｆｎ）
由于
，ｌｉｍｘｎ＝０
ｎ→∞
所以，找不到一个正数δ，使ｆ（ｘ）在（０，δ）内是严格又因ｆ若取意义上的凹或凸曲线．″（ｘ）是奇函数，
（…），ｎ＝１，２，ｙｎ＝－ｎ２π
则有
ｘ）＜０（．″（ｆξ－δ＜ｘ＜ξ）
同理可证
″（ｘ）＞０（．ｆξ＜ｘ＜ξ＋δ）
″（″（″（ｘ＝ｆ－ｘ＝－ｆ＝０，ｆｙｎ）ｎ）ｎ）
由于ｆ可得″（ｘ）在（ξ－δ，ξ＋δ）的连续性，
″（ｆξ）＝０．
参考文献
［］同济大学应用数学系．高等数学：上册［北京：１Ｍ］．５版．
高等教育出版社，２００２：１５０．
［］柳重堪．高等数学：上册第一分册［北京：中央广播２Ｍ］．
电视大学出版社，１９９９：２０１２０２．－
）内是所以，也找不到一个正数δ，使ｆ（ｘ）在（０－δ，（）不可能是所给严格意义上的凹凸曲线．总之，０，０函数的拐点．
由于例１所给函数的特殊性，它在ｘ＝０附近有…）使ｆ无数多个点ｘ这样的″（ｎ＝１，２，ｘ＝０，ｎ（ｎ）函数很少被一般的教科书所考虑，因而，片面性的认识难免就会形成．想得出正确的结论，除了要有缜密
ＯｎｔｈｅＳｔａｔｉｏｎａｒａｎｄＩｎｆｌｅｃｔｉｏｎＰｏｉｎｔｓ ｙ
，ＺＨＵＺｈｉｘｉｏｎＳｈｕｉｎ ＹＡＮＧ ｇｑｇ
（，，，）ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＷｕｈａｎＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｅｏｆＳｏｆｅｗａｒｅ＆ＥｎｉｎｅｅｒｉｎＷｕｈａｎ４３０２０５ＰＲＣ ｐｇｇｇ
：，，’ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓａｅｒａｎｅｘａｍｌｅｉｓｉｖｅｎｓｈｏｗｉｎｔｈａｔａｓｔａｎａｔｉｏｎｏｉｎｔｅｖｅｎｉｆｉｔｉｓｎｔ ｐｐｐｇｇｇｐ
，ｅｘｔｒｅｍｅｉｓｎｏｔａｎｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆａｉｔｉｓａｎｏｉｎｔｏｉｎｔ．Ｔｏｏｉｎｔｒａｈ， ｐｐｐｇｐｎｅｃｅｓｓａｒｔｏｅｘａｍｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｎｅａｒｔｈｅｓｔａｎａｔｉｏｎｏｉｎｔ． ｙｇｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｏｆａｓｔａｎａｔｉｏｎｂｅｉｎａｎｉｎｆｌｅｃｔｉｏｎｉｓｒｅｖｉｓｉｔｅｄ．Ｔｈｅｒｏｏｆｏｉｎｔｏｉｎｔ ｐｇｐｇｐ
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