第 2 章 相似原理和量纲分析
（ Similarity and Dimensional Analysis)
意义：
减少研究复杂问题时需考虑的变量数设计比原型缩小或放大模型实验
以低成本及少量的时间获得有价值的结果洞悉复杂现象的本质，作出新的科学发现
以成为现代科学与工程应用中一种主要的研究方法
既需要过去的知识积累，也需要直觉的领悟及洞察力。
第 2 章 相似原理和量纲分析
（ Similarity and Dimensional Analysis)
2.1 相似原理
原型/模型
流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则
2.2 模型实验
模型律的选择及模型设计
2.3 量纲分析
基本量纲、导出量纲、无量纲量
量纲分析法：Π 定理（Theorum）、瑞利法（Rayleigh）
2.4 基本方程的无量纲化2.4
2.2 模型实验
2.2.1 模型律的选择
为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。 事实上，很难达到独立准则同时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。
通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。因此，主要作用力则是粘滞力或重力。
若主要作用力是粘滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。
若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。 例如明渠流。
【例 2】求水泵输出功率的表达式。
【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。
（1）找出与水泵输出功率 N 有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg 、流量 Q 、扬程 H ，于是有 f（N, γ , Q, H）= 0
（2）指数积关系式 N= Kγa Qb Hc
（3）量纲式
dim N = dim(γa Q b H c)
（4）用基本量纲表示各物理量量纲
ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c
（5）根据量纲和谐原理求量纲指数
M： 1 = a
L： 2 = -2a+3b+c
T： -3 = -2a-b
解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。
（6） 整理方程得
N = KγQH
K 为由实验确定的常数。
问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立 3 个方程求解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。
（2）Π 定理
Π 定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金汉（Buckingham）定理。
若某一物理过程包含 n 个物理量，f ( q1q2q3…qn )=0其中有 m 个基本量(scaling variables)，则该物理过程可由这 n 个物理量所构成的（n-m）个无量纲量所表达的关系式来描述，即
F (Π 1, Π 2… Π n-m ) = 0
因无量纲量用Π 表示，故得名Π 定理。
1.速度v,长度L，重力加速度g的无因次集合是＿。
a.v/gL b.v2/gL c.Lv/g d.gv/L
2.压强p，密度ρ，长度L,流量Q的无因次集合是＿。
a.pQ2/ρL b.ρQ/pL c.pL4/ρQ2 d.pLQ/ρ
3.进行水力模型试验，要实现有压管流的动力相似，应满足＿。
a.雷诺准则 b.佛汝德准则
c.欧拉准则 d.柯西准则
4.进行水力模型试验，要实现明渠水流的动力相似，应满足＿。
a.雷诺准则 b.佛汝德准则
c.欧拉准则 d.马赫准则
5.压力输水管同种流体的模型试验，已知长度比为4，则两者的流量比为＿。 a.2 b.4 c.8 d.1/4
6.明渠水流模型试验，已知长度比为4，则两者的流量比为＿。
a.16 b.4 c.8 d.32
第 2 章 相似原理和量纲分析
（ Similarity and Dimensional Analysis)
意义：
减少研究复杂问题时需考虑的变量数设计比原型缩小或放大模型实验
以低成本及少量的时间获得有价值的结果洞悉复杂现象的本质，作出新的科学发现
以成为现代科学与工程应用中一种主要的研究方法
既需要过去的知识积累，也需要直觉的领悟及洞察力。
第 2 章 相似原理和量纲分析
（ Similarity and Dimensional Analysis)
2.1 相似原理
原型/模型
流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则
2.2 模型实验
模型律的选择及模型设计
2.3 量纲分析
基本量纲、导出量纲、无量纲量
量纲分析法：Π 定理（Theorum）、瑞利法（Rayleigh）
2.4 基本方程的无量纲化2.4
2.2 模型实验
2.2.1 模型律的选择
为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。 事实上，很难达到独立准则同时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。
通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。因此，主要作用力则是粘滞力或重力。
若主要作用力是粘滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。
若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。 例如明渠流。
【例 2】求水泵输出功率的表达式。
【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。
（1）找出与水泵输出功率 N 有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg 、流量 Q 、扬程 H ，于是有 f（N, γ , Q, H）= 0
（2）指数积关系式 N= Kγa Qb Hc
（3）量纲式
dim N = dim(γa Q b H c)
（4）用基本量纲表示各物理量量纲
ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c
（5）根据量纲和谐原理求量纲指数
M： 1 = a
L： 2 = -2a+3b+c
T： -3 = -2a-b
解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。
（6） 整理方程得
N = KγQH
K 为由实验确定的常数。
问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立 3 个方程求解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。
（2）Π 定理
Π 定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金汉（Buckingham）定理。
若某一物理过程包含 n 个物理量，f ( q1q2q3…qn )=0其中有 m 个基本量(scaling variables)，则该物理过程可由这 n 个物理量所构成的（n-m）个无量纲量所表达的关系式来描述，即
F (Π 1, Π 2… Π n-m ) = 0
因无量纲量用Π 表示，故得名Π 定理。
1.速度v,长度L，重力加速度g的无因次集合是＿。
a.v/gL b.v2/gL c.Lv/g d.gv/L
2.压强p，密度ρ，长度L,流量Q的无因次集合是＿。
a.pQ2/ρL b.ρQ/pL c.pL4/ρQ2 d.pLQ/ρ
3.进行水力模型试验，要实现有压管流的动力相似，应满足＿。
a.雷诺准则 b.佛汝德准则
c.欧拉准则 d.柯西准则
4.进行水力模型试验，要实现明渠水流的动力相似，应满足＿。
a.雷诺准则 b.佛汝德准则
c.欧拉准则 d.马赫准则
5.压力输水管同种流体的模型试验，已知长度比为4，则两者的流量比为＿。 a.2 b.4 c.8 d.1/4
6.明渠水流模型试验，已知长度比为4，则两者的流量比为＿。
a.16 b.4 c.8 d.32