第三章作业解答
3.2 沿z 方向传播的平面波相位函数ϕ(z , t ) =ωt −kz ，而球面波ϕ(z , t ) =ωt −kr 。证明相速度v p =
ω
k
。
⎛dz ⎞
证明：相速度即等相位面的传播速度，定义式为v p =⎜⎟，d ϕ=0，表示求相速
⎝dt ⎠d ϕ=0度的时候须保持相位值不变。P45
对于沿z 方向传播的平面波，相位函数为ϕ(z , t ) =ωt −kz ，又因为：
d ϕ=d (ωt −kz ) =ωdt −kdz
所以当相位值保持不变时d ϕ=ωdt −kdz =0，ωdt =kdz ，
ω⎛dz ⎞
相速度为v p =⎜⎟=
⎝dt ⎠d ϕ=0k
而球面波ϕ(z , t ) =ωt −kr ，径向距离为dr ，d ϕ=d (ωt −kr ) =ωdt −kdr 所以当相位值保持不变时d ϕ=ωdt −kdr =0，ωdt =kdr ，
ω⎛dr ⎞
相速度为v p =⎜⎟=
⎝dt ⎠d ϕ=0k
−i (ωt −kz )
+Ce −i (ωt +kz ) ，E y =E z =0 3.3 设单色波电场为E x =Ae
K
（1）解释它代表什么样的电磁波；（2）求相应的磁场H （3）求能流密度的平均值。
K K
解（1）该电磁波的电场强度振动方向沿x 方向，为E =e x E x ，传播方向沿z 方向（从位相因子kz 得出）。
K ∂E x ∂E y ∂E z ∂E x ∂Ae −i (ωt −kz ) +Ce −i (ωt +kz )
=0 ==++∇⋅E =
∂x ∂x ∂z ∂y ∂x
[]
所以它代表无源自由空间内的单色电磁波。 （2）相应的磁场
K K K e x e y e z K K K e x e y e z
K K ∂E ∂∂1K ∂E x 1∂∂11∂∂
（x =0） H =∇×E ===e y i μωi μω∂x ∂y ∂z i μω∂x ∂y ∂z i μω∂z ∂y
E x E y E z
E x 0 0
所以
−i (ωt −kz ) K −ikCe −i (ωt +kz ) K k 1K ∂Ae −i (ωt −kz ) +Ce −i (ωt +kz ) K ikAe
=e y =e y Ae −i (ωt −kz ) −Ce −i (ωt +kz ) H =e y
[]
[]
i μω
∂z i μωμω磁场强度沿y 方向。电场强度、磁场强度与传播方向满足右手螺旋法则
x
E
K k
K H
K
z
y
e K K e K x e y z
（3）能流密度的平均值：S =1{}
K 2Re E K *×H K =12
Re E *0=e z
x 0 Re {E *}
0 H 0
2x H y y S =e K z ⋅k ⋅Re [Ae i (ωt −kz ) +Ce i (ωt +kz ) ]*[Ae −i (ωt −kz ) −Ce −i (ωt +kz )
2μω]
=e K
z ⋅k Re [A 2−ACe −i 2kz +ACe i 2kz −C 2
]
K 2μωK =e z 2⋅k μω[A 2−AC cos(2kz ) +AC cos(2kz ) −C 2]
=e z k 2μω
(A 2−C 2) 能流密度，即坡印廷矢量的方向与电磁波的传播方向（波矢k K
的方向）一致。
第三章作业解答
3.2 沿z 方向传播的平面波相位函数ϕ(z , t ) =ωt −kz ，而球面波ϕ(z , t ) =ωt −kr 。证明相速度v p =
ω
k
。
⎛dz ⎞
证明：相速度即等相位面的传播速度，定义式为v p =⎜⎟，d ϕ=0，表示求相速
⎝dt ⎠d ϕ=0度的时候须保持相位值不变。P45
对于沿z 方向传播的平面波，相位函数为ϕ(z , t ) =ωt −kz ，又因为：
d ϕ=d (ωt −kz ) =ωdt −kdz
所以当相位值保持不变时d ϕ=ωdt −kdz =0，ωdt =kdz ，
ω⎛dz ⎞
相速度为v p =⎜⎟=
⎝dt ⎠d ϕ=0k
而球面波ϕ(z , t ) =ωt −kr ，径向距离为dr ，d ϕ=d (ωt −kr ) =ωdt −kdr 所以当相位值保持不变时d ϕ=ωdt −kdr =0，ωdt =kdr ，
ω⎛dr ⎞
相速度为v p =⎜⎟=
⎝dt ⎠d ϕ=0k
−i (ωt −kz )
+Ce −i (ωt +kz ) ，E y =E z =0 3.3 设单色波电场为E x =Ae
K
（1）解释它代表什么样的电磁波；（2）求相应的磁场H （3）求能流密度的平均值。
K K
解（1）该电磁波的电场强度振动方向沿x 方向，为E =e x E x ，传播方向沿z 方向（从位相因子kz 得出）。
K ∂E x ∂E y ∂E z ∂E x ∂Ae −i (ωt −kz ) +Ce −i (ωt +kz )
=0 ==++∇⋅E =
∂x ∂x ∂z ∂y ∂x
[]
所以它代表无源自由空间内的单色电磁波。 （2）相应的磁场
K K K e x e y e z K K K e x e y e z
K K ∂E ∂∂1K ∂E x 1∂∂11∂∂
（x =0） H =∇×E ===e y i μωi μω∂x ∂y ∂z i μω∂x ∂y ∂z i μω∂z ∂y
E x E y E z
E x 0 0
所以
−i (ωt −kz ) K −ikCe −i (ωt +kz ) K k 1K ∂Ae −i (ωt −kz ) +Ce −i (ωt +kz ) K ikAe
=e y =e y Ae −i (ωt −kz ) −Ce −i (ωt +kz ) H =e y
[]
[]
i μω
∂z i μωμω磁场强度沿y 方向。电场强度、磁场强度与传播方向满足右手螺旋法则
x
E
K k
K H
K
z
y
e K K e K x e y z
（3）能流密度的平均值：S =1{}
K 2Re E K *×H K =12
Re E *0=e z
x 0 Re {E *}
0 H 0
2x H y y S =e K z ⋅k ⋅Re [Ae i (ωt −kz ) +Ce i (ωt +kz ) ]*[Ae −i (ωt −kz ) −Ce −i (ωt +kz )
2μω]
=e K
z ⋅k Re [A 2−ACe −i 2kz +ACe i 2kz −C 2
]
K 2μωK =e z 2⋅k μω[A 2−AC cos(2kz ) +AC cos(2kz ) −C 2]
=e z k 2μω
(A 2−C 2) 能流密度，即坡印廷矢量的方向与电磁波的传播方向（波矢k K
的方向）一致。