第一章 集合
一、內容小结
1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入
了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定
理。
3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点
1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式
上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B 不交。
2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C
必可数。
3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法
4. 肯定方面与否定方面。X ∈B , 与X ∉B
5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其
中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯
坦定理）来进行相应的证明。
7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算
得到可数、第四节定理6.
8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。R , E ∞
三、习题解答
1. 证明：A (B C ) =(A B ) (A C )
证明 设x ∈A (B C ). 若x ∈A , 则x ∈A B , 得x ∈(A B ) (A C ).
n
设x ∈B C , 则同样有x ∈A B 且x ∈A C ，得
x ∈(A B ) (A C ). 因此
A (B C ) ⊂(A B ) (A C )
设x ∈(A B ) (A C ) . 若x ∈A , 则当然有x ∈(A B ) (A C ) ，若. x ∉A , 由x ∈A B 且x ∈A C ，可知. 若x ∈B 且. x ∈c ，所以x ∈B C , 同样有x ∈A (B C ). 因此(A B ) (A C ) ⊂A (B C ) ，
所以A (B C ) =(A B ) (A C )
若
2. 证明
⑴A -B =A -(A B ) =(A B ) -B ⑵A (B -C ) =(A B ) -(A C ) ⑶(A -B ) -C =A -(B C )
⑷A -(B -C ) =(A -B ) (A C ) ⑸(A -B ) (C -D ) =(A C ) -(B D ) ⑹A -(A -B ) =A B . 证明 ⑴
A -(A B ) =A C s (A B )
=A (C s A C s B ) =(A C s A ) (A C s B )=A -B .
(A B ) -B =(A B ) C s B
=(A C s B ) (B C s B ) =A -B ⑵
(A B ) -(A C ) =(A B ) C s (A C )
=(A B ) (C s A C s C )
=(A B (C s A ) (A B (C s C ) =A (B (C s C ) =A (B -C ).
⑶
(A -B ) -C =(A C s B ) C s C
=A C s (B C ) =A -(B C )
⑷
A -(B -C ) =A -(B C s C )
=A C s (B C s C ) =A (C s B C ) =(A C s B ) (A C ) =(A -B ) (A C ).
⑸
(A -B ) (C -D ) =(A C s B ) (C C s D )
=(A C ) C s (B D ) =(A C ) -(B D ).
⑹
A -(A -B ) =A C s (A C s B )
=A (C s A B ) =A B .
3. 证明：(A B ) -C =(A -C ) (B -C ) ；A -(B C ) =(A -B ) (A -C ). 证明：
(A B ) -C =(A B ) C s C
=(A C s C ) (B C s C ) =(A -C ) (B -C ).
(A -B ) (A -C ) =(A C s B ) (A C s C )
=A C s B C s C =A C s (B C ) =A -(B C ).
4. 证明：C s (
A
i =1
∞
i
) = C s A i .
i =1∞
∞
证明 设x ∈C s (
∞
A
i =1
i
) ，则x ∈S ，但x ∉ A i ，因此对任意i ，x ∉A i ，所以
i =1
∞
x ∈C s A i ，因而x ∈ C s A i .
i =1
设x ∈
C
i =1
∞
s
A i . 则任意i ， x ∈C s A i ，即x ∈S ，x ∉A i ，因此则x ∈S ，但x ∉ A i ，
i =1
i
∞
得x ∈C s (
5. 证明：
A
i =1
∞
) ，所以C s ( A i ) = C s A i .
i =1
i =1
∞∞
A α) -B = (A α-B ) ; αα
⑵( A α) -B = (A α-B ) .
αα
证明 ⑴ ( A α) -B =( A α) C B = (A α C B ) = (A α-B )
⑴(
∈Λ
∈Λ
∈Λ
∈Λ
s
s
α∈Λα∈Λα∈Λα∈Λ
⑵ (
α∈Λ
A α) -B =( A α) C B = (A α C B ) = (A α-B ) .
s
s
α∈Λα∈Λα∈Λ
6. 设{A n }是一列集合，作B 1=A 1, B n =A n -(
集，而且
ν=1
A ν), n >1。证明{B }是一列互不相交的
n
n -1
ν=1
A ν= B ν, 1≤n ≤∞.
ν=1
n n
证明 若i ≠j ，不妨设i
(1≤i ≤n ).
n
B i B j ⊂A i (A j - A n )
n =1
j -1
=A i A j C s A 1 C s A 2 C s A i C s A j -1=φ.
设x ∈
A
i =1n
n
i
，若x ∈A 1，则x ∈B 1⊂
i n -1
B
i =1
i
，若x ∉A 1，令i n 是最小的自然
i n -1
数使x ∈A i n ，即x ∉
A 而x ∈A
i i =1
i n
，这样x ∈A i n -
A
i =1
i
=B i n ⊂ B i , 所以
i =1
n
A = B
i i =1
i =1
n
i
证毕。
7. 设A 2n -1=(0, ), A 2n =(0, n ), n =1, 2, ，求出集列{A n }的上限集和下限集。 解
1n
lim A
n →∞
n
=(0, ∞) ；
设x ∈(0, ∞) ，则存在N ，使x N 时，0
x ∈lim A n ，又显然lim A n ⊂(0, ∞) ，所以lim A n =(0, ∞) 。
n →∞
n →∞
n →∞
若有x ∈
A
n →∞
n
，则存在N ，使对任意n >N ，有x ∈A n ，因此若2n -1>N 时，
x ∈A 2n -1， 即0
1
，令n →∞，得0
A
n →∞
n
=φ。
∞
∞
8. 证明
A = A
n
n →∞
n =1m =n
m
证明 设x ∈
A
n →∞
n
则存在N ，使对任意n >N ，有x ∈A n ，所以
∞
∞
x ∈
m =n +1
A
∞
m
⊂ A m ，所以A n ⊂ A m ；设x ∈ A m ，则有n ，使
n =1m =n
n →∞
n =1m =n
∞∞∞∞
n =1m =n
即对任意m ≥n ，有x ∈A n ，所以x ∈A n ，因此A n = A m 。 x ∈ A m ，
m =n
n →∞
n →∞
n =1m =n
∞∞∞
9. 作出一个（-1，1）和(-∞, +∞) 的1—1对应，并写出这一一对应的解析表达式 解 ϕ:(-1, 1) →(-∞, ∞) ，对任意x ∈(-1, 1) ，ϕ(x ) =tan
π
2
x
10. 证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对
等的. 证明 只要证明球面S ：x +y +(z -) =() 去掉(0, 0, 1) 点后与xoy 平面M 对等即可.
此可由球极投影来做到；对任意(x , y , z ) ∈S \(0, 0, 1) ， ϕ(x , y , z ) =(
2
2
12
2
12
2
易验证ϕ是1—1的，映上的，因此S 与M 是对等的，证毕。
11. 证明：由直线上某些互不相交的开区间所谓集A 的元素，则A 至多为可数集.
x y , ) ∈M ， 1-z 1-z
开区间，在每一∆z 中任取一点有理 证明 设G =∆z ∆z 是直线上的互不相交的
数r z 使∆z 与r z 对应. 因为∆z 是互不相交的，因此这个对应是1—1的，而G 与
有理数的子集对等，因此G 至多可数。
12. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集. 证明 A n ：n 次有理系数多项式全体所成的集合 A =
{}
A
n =0
∞
n
：所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
A n 由n +1个独立记号所决定，（系数），每个记号（首位不取0）可独立跑遍全
体有理数（可数个）
因此由§4定理6，A n =a ，又由§4定理6，A =a .
13. 设A 是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则
A 是可数集.
证明 任意A 中的圆，由三个独立记号所决定；(x , y , r ) ，其中(x , y ) 是圆心的坐标，
r 是圆半径，x , y 各自跑遍有理数，r 跑遍大于0的有理数，因而都是可数集.
所以A =a .
14. 证明：增函数的不连续点最多只有可数多个.
证明 设f 是(-∞, +∞) 上的增函数，记不连续点全体为E ，由数学分析知： ⑴
∆x →0
任意
x ∈(-∞, +∞)
，
∆x →0
lim f (x +∆x ) =f (x +0)
及
lim f (x -∆x ) =f (x -0) 都存在。
，若x 1, x 2∈E
f (x 1-0)
任
意
⑵ x ∈E 的充分必要条件为f (x +0) >f (x -0). ⑶
15. 试找出使（0，1）和[0, 1]之间1—1对应的一种方法.
解 记（0，1）中有理数全体R ={r 1, r 2,
x 1
，则
}
⎧ϕ(0) =r 1⎪ϕ(1) =r ⎪2
令 ⎨
ϕ(r ) =r , n =1, 2, n +2⎪n ⎪1]中无理数，⎩ϕ(x ) =x , x 为[0，
显然ϕ是（0，1）和[0, 1]之间的1—1映射。
16. 设A 是一可数集合，则A 的所有 有限子集所成的集合亦必可数.
~
证明 设A ={x 1, x 2, }，A 的有限子集的全体为A , A n ={x 1, x 2, , x n }，A n 的子
~~~∞~~n
集全体为A n ，易计算A n 中共有2个元素，而A = A n ，因此A 至多为可
~
数的. 又A 中一个元素组成的集合是可数的，因而A 是可数的.
17. 证明：[0, 1]上的全体无理数做成的集合其基数为C.
n =1
证明 记[0, 1]上的无理数全体为A ，[0, 1]上的有理数全体为{r 1, r 2,
}，显然
⎧22⎫2
, , , , ⎬⊂A B =⎨23n ⎩⎭
令 ϕ(
22) =, n =1, 2, 2n n +1
2
) =r n , n =1, 2, 2n +1
ϕ(x ) =x , x ∉B .
则ϕ是A 到[0, 1]的1—1对应，由[0, 1]的基数为C ，可知A 的基数也是C 。
ϕ(
18. 若集A 中每个元素，由互相独立的可数个指标决定，即A =a x 1, x 2, ，而每个x i 取遍
{}
一个基数为C 的集，
则A 的基数也是C 。
证明 设x i ∈A i ，A i =c ，i =1, 2, ，因而有A i 到实数集R 的1—1映射ϕi . 令ϕ是
A 到E ∞的 一映射，对任意a x 1, x 2, ∈A 。ϕ(a x 1, x 2, ) =(ϕ1(x 1), ϕ2(x 2), ) ，下面证明ϕ是1—1映射.
若ϕ(a x 1, x 2, ) =ϕ(a x 1', x '2, ) ，则对任意i ，ϕi (x i ) =ϕi (x i ') ，由于ϕi 是一对一
的
，
因
此
x i =x i '
，
所
，所以
以有
a x 1, x 2, =a x 1', x '2,
a x 1, x 2,
，对，
任意使
(a 1, a 2, a 3, ) ∈E ∞, a i ∈R , i =1, 2, ，因为ϕi 是映上的，必有x i ∈A i ，使
ϕi (x i ) =a i
1
2
∈A
ϕ(a x , x , ) =(ϕ1(x 1), ϕ2(x 2), )(a 1, a 2, a 3, ) ，即ϕ是1—1映射. 所以A 与E ∞
的基数相同，等于C 。
19. 若
∞
A
n =0
n
的基数为C ，证明：存在n 0使A n 0的基数也是C.
证明 由于E ∞=c ，我们不妨设
A
n =0
∞
n
=E ∞，用反证法，若A n
设P i 为E ∞到R 中如下定义的映射：若x =(x 1, x 2, ) ∈E ∞则p i (x ) =x i ，令
x i ∈P i (A i ) ，i =1, 2,
**
则A i ≤A i
ξ=(ξ1, ξ2, ) ∈E ∞. 下证ξ∉ A n . 事实上，若ξ∈ A n ，则存在i 使ξ∈A i ，于是
n =0
n =0
∞∞
ξi =P i (ξ) ∈P i (A i ) =A i ，这与ξi ∈R \A i 矛盾，所以ξ∉ A n =E ∞，这又与
*
*
∞
n =0
ξ=(ξ1, ξ2, ) ∈E ∞矛盾，因此至少存在某个i 0使A i 的基数也是C.
20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T ，求证T 的基数为C.
ξ1, ξ2, i =0或1, i =1, 2, 证明 设T ={
作T 到E ∞的映射ϕ:(ξ1, ξ2, ) →(ξ1, ξ2, ) ，则ϕ是T 到E ∞的子集ϕ(T ) 的
{}
1—1映射，所以A
每个x ∈(0, 1]都可唯一的写成x =0. ξ1ξ2 ，其中每个ξi =0或1，令f (x ) ={ξ1, ξ2, }，
第一章 集合
一、內容小结
1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入
了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定
理。
3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点
1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式
上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B 不交。
2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C
必可数。
3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法
4. 肯定方面与否定方面。X ∈B , 与X ∉B
5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其
中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯
坦定理）来进行相应的证明。
7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算
得到可数、第四节定理6.
8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。R , E ∞
三、习题解答
1. 证明：A (B C ) =(A B ) (A C )
证明 设x ∈A (B C ). 若x ∈A , 则x ∈A B , 得x ∈(A B ) (A C ).
n
设x ∈B C , 则同样有x ∈A B 且x ∈A C ，得
x ∈(A B ) (A C ). 因此
A (B C ) ⊂(A B ) (A C )
设x ∈(A B ) (A C ) . 若x ∈A , 则当然有x ∈(A B ) (A C ) ，若. x ∉A , 由x ∈A B 且x ∈A C ，可知. 若x ∈B 且. x ∈c ，所以x ∈B C , 同样有x ∈A (B C ). 因此(A B ) (A C ) ⊂A (B C ) ，
所以A (B C ) =(A B ) (A C )
若
2. 证明
⑴A -B =A -(A B ) =(A B ) -B ⑵A (B -C ) =(A B ) -(A C ) ⑶(A -B ) -C =A -(B C )
⑷A -(B -C ) =(A -B ) (A C ) ⑸(A -B ) (C -D ) =(A C ) -(B D ) ⑹A -(A -B ) =A B . 证明 ⑴
A -(A B ) =A C s (A B )
=A (C s A C s B ) =(A C s A ) (A C s B )=A -B .
(A B ) -B =(A B ) C s B
=(A C s B ) (B C s B ) =A -B ⑵
(A B ) -(A C ) =(A B ) C s (A C )
=(A B ) (C s A C s C )
=(A B (C s A ) (A B (C s C ) =A (B (C s C ) =A (B -C ).
⑶
(A -B ) -C =(A C s B ) C s C
=A C s (B C ) =A -(B C )
⑷
A -(B -C ) =A -(B C s C )
=A C s (B C s C ) =A (C s B C ) =(A C s B ) (A C ) =(A -B ) (A C ).
⑸
(A -B ) (C -D ) =(A C s B ) (C C s D )
=(A C ) C s (B D ) =(A C ) -(B D ).
⑹
A -(A -B ) =A C s (A C s B )
=A (C s A B ) =A B .
3. 证明：(A B ) -C =(A -C ) (B -C ) ；A -(B C ) =(A -B ) (A -C ). 证明：
(A B ) -C =(A B ) C s C
=(A C s C ) (B C s C ) =(A -C ) (B -C ).
(A -B ) (A -C ) =(A C s B ) (A C s C )
=A C s B C s C =A C s (B C ) =A -(B C ).
4. 证明：C s (
A
i =1
∞
i
) = C s A i .
i =1∞
∞
证明 设x ∈C s (
∞
A
i =1
i
) ，则x ∈S ，但x ∉ A i ，因此对任意i ，x ∉A i ，所以
i =1
∞
x ∈C s A i ，因而x ∈ C s A i .
i =1
设x ∈
C
i =1
∞
s
A i . 则任意i ， x ∈C s A i ，即x ∈S ，x ∉A i ，因此则x ∈S ，但x ∉ A i ，
i =1
i
∞
得x ∈C s (
5. 证明：
A
i =1
∞
) ，所以C s ( A i ) = C s A i .
i =1
i =1
∞∞
A α) -B = (A α-B ) ; αα
⑵( A α) -B = (A α-B ) .
αα
证明 ⑴ ( A α) -B =( A α) C B = (A α C B ) = (A α-B )
⑴(
∈Λ
∈Λ
∈Λ
∈Λ
s
s
α∈Λα∈Λα∈Λα∈Λ
⑵ (
α∈Λ
A α) -B =( A α) C B = (A α C B ) = (A α-B ) .
s
s
α∈Λα∈Λα∈Λ
6. 设{A n }是一列集合，作B 1=A 1, B n =A n -(
集，而且
ν=1
A ν), n >1。证明{B }是一列互不相交的
n
n -1
ν=1
A ν= B ν, 1≤n ≤∞.
ν=1
n n
证明 若i ≠j ，不妨设i
(1≤i ≤n ).
n
B i B j ⊂A i (A j - A n )
n =1
j -1
=A i A j C s A 1 C s A 2 C s A i C s A j -1=φ.
设x ∈
A
i =1n
n
i
，若x ∈A 1，则x ∈B 1⊂
i n -1
B
i =1
i
，若x ∉A 1，令i n 是最小的自然
i n -1
数使x ∈A i n ，即x ∉
A 而x ∈A
i i =1
i n
，这样x ∈A i n -
A
i =1
i
=B i n ⊂ B i , 所以
i =1
n
A = B
i i =1
i =1
n
i
证毕。
7. 设A 2n -1=(0, ), A 2n =(0, n ), n =1, 2, ，求出集列{A n }的上限集和下限集。 解
1n
lim A
n →∞
n
=(0, ∞) ；
设x ∈(0, ∞) ，则存在N ，使x N 时，0
x ∈lim A n ，又显然lim A n ⊂(0, ∞) ，所以lim A n =(0, ∞) 。
n →∞
n →∞
n →∞
若有x ∈
A
n →∞
n
，则存在N ，使对任意n >N ，有x ∈A n ，因此若2n -1>N 时，
x ∈A 2n -1， 即0
1
，令n →∞，得0
A
n →∞
n
=φ。
∞
∞
8. 证明
A = A
n
n →∞
n =1m =n
m
证明 设x ∈
A
n →∞
n
则存在N ，使对任意n >N ，有x ∈A n ，所以
∞
∞
x ∈
m =n +1
A
∞
m
⊂ A m ，所以A n ⊂ A m ；设x ∈ A m ，则有n ，使
n =1m =n
n →∞
n =1m =n
∞∞∞∞
n =1m =n
即对任意m ≥n ，有x ∈A n ，所以x ∈A n ，因此A n = A m 。 x ∈ A m ，
m =n
n →∞
n →∞
n =1m =n
∞∞∞
9. 作出一个（-1，1）和(-∞, +∞) 的1—1对应，并写出这一一对应的解析表达式 解 ϕ:(-1, 1) →(-∞, ∞) ，对任意x ∈(-1, 1) ，ϕ(x ) =tan
π
2
x
10. 证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对
等的. 证明 只要证明球面S ：x +y +(z -) =() 去掉(0, 0, 1) 点后与xoy 平面M 对等即可.
此可由球极投影来做到；对任意(x , y , z ) ∈S \(0, 0, 1) ， ϕ(x , y , z ) =(
2
2
12
2
12
2
易验证ϕ是1—1的，映上的，因此S 与M 是对等的，证毕。
11. 证明：由直线上某些互不相交的开区间所谓集A 的元素，则A 至多为可数集.
x y , ) ∈M ， 1-z 1-z
开区间，在每一∆z 中任取一点有理 证明 设G =∆z ∆z 是直线上的互不相交的
数r z 使∆z 与r z 对应. 因为∆z 是互不相交的，因此这个对应是1—1的，而G 与
有理数的子集对等，因此G 至多可数。
12. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集. 证明 A n ：n 次有理系数多项式全体所成的集合 A =
{}
A
n =0
∞
n
：所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
A n 由n +1个独立记号所决定，（系数），每个记号（首位不取0）可独立跑遍全
体有理数（可数个）
因此由§4定理6，A n =a ，又由§4定理6，A =a .
13. 设A 是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则
A 是可数集.
证明 任意A 中的圆，由三个独立记号所决定；(x , y , r ) ，其中(x , y ) 是圆心的坐标，
r 是圆半径，x , y 各自跑遍有理数，r 跑遍大于0的有理数，因而都是可数集.
所以A =a .
14. 证明：增函数的不连续点最多只有可数多个.
证明 设f 是(-∞, +∞) 上的增函数，记不连续点全体为E ，由数学分析知： ⑴
∆x →0
任意
x ∈(-∞, +∞)
，
∆x →0
lim f (x +∆x ) =f (x +0)
及
lim f (x -∆x ) =f (x -0) 都存在。
，若x 1, x 2∈E
f (x 1-0)
任
意
⑵ x ∈E 的充分必要条件为f (x +0) >f (x -0). ⑶
15. 试找出使（0，1）和[0, 1]之间1—1对应的一种方法.
解 记（0，1）中有理数全体R ={r 1, r 2,
x 1
，则
}
⎧ϕ(0) =r 1⎪ϕ(1) =r ⎪2
令 ⎨
ϕ(r ) =r , n =1, 2, n +2⎪n ⎪1]中无理数，⎩ϕ(x ) =x , x 为[0，
显然ϕ是（0，1）和[0, 1]之间的1—1映射。
16. 设A 是一可数集合，则A 的所有 有限子集所成的集合亦必可数.
~
证明 设A ={x 1, x 2, }，A 的有限子集的全体为A , A n ={x 1, x 2, , x n }，A n 的子
~~~∞~~n
集全体为A n ，易计算A n 中共有2个元素，而A = A n ，因此A 至多为可
~
数的. 又A 中一个元素组成的集合是可数的，因而A 是可数的.
17. 证明：[0, 1]上的全体无理数做成的集合其基数为C.
n =1
证明 记[0, 1]上的无理数全体为A ，[0, 1]上的有理数全体为{r 1, r 2,
}，显然
⎧22⎫2
, , , , ⎬⊂A B =⎨23n ⎩⎭
令 ϕ(
22) =, n =1, 2, 2n n +1
2
) =r n , n =1, 2, 2n +1
ϕ(x ) =x , x ∉B .
则ϕ是A 到[0, 1]的1—1对应，由[0, 1]的基数为C ，可知A 的基数也是C 。
ϕ(
18. 若集A 中每个元素，由互相独立的可数个指标决定，即A =a x 1, x 2, ，而每个x i 取遍
{}
一个基数为C 的集，
则A 的基数也是C 。
证明 设x i ∈A i ，A i =c ，i =1, 2, ，因而有A i 到实数集R 的1—1映射ϕi . 令ϕ是
A 到E ∞的 一映射，对任意a x 1, x 2, ∈A 。ϕ(a x 1, x 2, ) =(ϕ1(x 1), ϕ2(x 2), ) ，下面证明ϕ是1—1映射.
若ϕ(a x 1, x 2, ) =ϕ(a x 1', x '2, ) ，则对任意i ，ϕi (x i ) =ϕi (x i ') ，由于ϕi 是一对一
的
，
因
此
x i =x i '
，
所
，所以
以有
a x 1, x 2, =a x 1', x '2,
a x 1, x 2,
，对，
任意使
(a 1, a 2, a 3, ) ∈E ∞, a i ∈R , i =1, 2, ，因为ϕi 是映上的，必有x i ∈A i ，使
ϕi (x i ) =a i
1
2
∈A
ϕ(a x , x , ) =(ϕ1(x 1), ϕ2(x 2), )(a 1, a 2, a 3, ) ，即ϕ是1—1映射. 所以A 与E ∞
的基数相同，等于C 。
19. 若
∞
A
n =0
n
的基数为C ，证明：存在n 0使A n 0的基数也是C.
证明 由于E ∞=c ，我们不妨设
A
n =0
∞
n
=E ∞，用反证法，若A n
设P i 为E ∞到R 中如下定义的映射：若x =(x 1, x 2, ) ∈E ∞则p i (x ) =x i ，令
x i ∈P i (A i ) ，i =1, 2,
**
则A i ≤A i
ξ=(ξ1, ξ2, ) ∈E ∞. 下证ξ∉ A n . 事实上，若ξ∈ A n ，则存在i 使ξ∈A i ，于是
n =0
n =0
∞∞
ξi =P i (ξ) ∈P i (A i ) =A i ，这与ξi ∈R \A i 矛盾，所以ξ∉ A n =E ∞，这又与
*
*
∞
n =0
ξ=(ξ1, ξ2, ) ∈E ∞矛盾，因此至少存在某个i 0使A i 的基数也是C.
20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T ，求证T 的基数为C.
ξ1, ξ2, i =0或1, i =1, 2, 证明 设T ={
作T 到E ∞的映射ϕ:(ξ1, ξ2, ) →(ξ1, ξ2, ) ，则ϕ是T 到E ∞的子集ϕ(T ) 的
{}
1—1映射，所以A
每个x ∈(0, 1]都可唯一的写成x =0. ξ1ξ2 ，其中每个ξi =0或1，令f (x ) ={ξ1, ξ2, }，