棱柱
一．知识清单
1、 有两个互相平行，其余各面都是平行四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫棱柱。
2、 棱柱按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱、斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。 3、 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，两个底面与平行底面的截面是全等的多边形，
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
4、 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面
体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体。 5、 平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处相互平分。
6、 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 二．强化训练
1、 在正三棱柱ABC -
A 1B 1C 1中，若AB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为
2、 斜四棱柱侧面最多可有 A 1 B 2 C 3 D 4
3、 一个斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，若AB=AC，且∠A 则此三棱柱的侧面中，A C =∠A 1AB ，1矩形的个数为 。 4、 如图，在直四棱柱A 1BC 11D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件有AC 1⊥B 1D 1
5、 如图，已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90 , ∠BAC =30 , BC =1,
AA 1⊥A 1M 1M 是CC 1的中点，求证：AB
6、 如图直棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA =90 , 棱AA 1=2，
M 、N 分别是A 1B 1、A （1）求：BN 的长；（2）求cos 的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M
1
D
A A
B 1
7、 设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，这些集合间的关系是
8、 下列几何体中，一定是长方体的是（ ）
A 直平行六面体 B 对角面为全等矩形的四棱柱 C 底面是矩形的直棱柱 D 侧面是矩形的四棱柱 9、在长方体ABCD -A 底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 11BC 11D 1中，的距离是（ ） A
3843
B C D 8334
10、长方体的对角线为1，若其长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x+y+z的最大值为 11、长方体ABCD -A （1）设对角线D 1B 与D 1出发的三条棱分别成α, β, γ角。 1BC 11D 1中，（2）设D 1B 与自D 1出发的三个侧面分别成α, β, γ角。α+cos 2β+cos 2γ=1；求证：cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2。 求证：cos
' ' '
12、如图，正四棱柱AC 中，对角线AC 的截面是棱形。（1）求证：BD //AEC F ；（2）若
AA =，求截面AEC ' F 的面积及与底面所成的锐二面角的度数。
B' 1 D A
E
C
B
A
'
2
一．基础知识
1、 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱
锥。
2、 底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥。
3、 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
4、 正棱锥的各侧面是全等的等腰三角形，由高、斜高和斜高在地面上的射影 一个直角三
角形，由高、侧棱和斜高在地面上的射影组成一个直角三角形，由高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 二．强化训练
1、 一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4:9，则次棱锥的侧
棱被分成上下两部分之比为 2、 已知正四棱锥侧面和底面的夹角为60，它的底面边长为a ，求棱锥的高、斜高、侧棱
长。
3、 已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等，
且AB =AC BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 于面BCA 为面的二面角的大小是 4、 正四棱锥S -ABCD 的各棱长均相等，E 为SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的角
的余弦值是 5、 在正四棱锥P -ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA 与
BC 所成角的大小等于
6、 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
PD =DC ，E 是PC 的中点。（1）证明：PA//平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。 7、 如图在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC , PA ⊥平面ABCD ，且
PA=AB，点E 是PD 的中点。（1）求证：AC ⊥PB ；（2）求证：PB //平面AEC ；（3）求二面角E -AC -B 的大小。
B
一．基础知识
1、 与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。与定点距离等于定长的
点的集合叫做球面。
2、 用一个平面截球，截面是一个圆面，球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的
距离d 与球的半径R 及截面的半径r
，有下面的关系：r 3、 球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。 4、 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长，我们
把这个弧长叫做两点的球面距离。 二．强化训练
1、 球面上有三个点，任意两点的球面距离等于大圆周长的
1
，经过这三个点的小圆周长为6
4π，那么球半径为
2、 正方体的内切球半径与外接球半径的比是3、 用一个平面去截球面，截得的小圆面积是其大圆面积的
1
，则球心到其截面的距离是 3
（球半径为R ）
4、 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 5、 （06全国）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的
表面积的比为
6、 已知A ，B ，C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且AB=R，那么A ，B
两点的球面距离为 ，球心到平面ABC 的距离为 。 7、 ）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
8、 如图，A ，B ，C 是表面积为48π的球面上的三点，AB=2，BC=4，∠ABC =60，O
为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是 （反三角表示）
9、 如图，已知三棱锥P -ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，三角形ABC ，三角形
PEF 都是正三角形，PF ⊥AB 。（1）证明PC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P -AB -C 的平面角的余弦值；（3）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求三角形ABC 的边长。
C
平面的基本性质
一． 基础知识 1． 判定直线在平面的依据：公理1 2． 判定两平面有交线及交线位置的依据：公理2 3． 确定平面的条件：公理3 4． 直线和平面外一点确定一个平面（推论1） 5． 两条相交或平行直线确定一个平面（推论2、3） 6． 用符号语言来表示点、直线、平面的关系。 二． 基础知识 1． 已知下列四个命题：（1）很平的桌面是一个平面（2）一个平面的面积是4m 2（3）平面是矩形或平行四边形（4）两个平面叠在一起比一个平面厚。其中正确的是 2． 在空间中下列命题正确的是：A. 对边相等的四边形一定是平面图形 B. 四边相等的四边形一定是平面图形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 有一组对角相等的四边形是平行四边形。 3．
给出下列命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点（2）两个平面的
交线可能是一条线段；（3）经过空间任意三点的平面有且只有一个；（4）如果两个平面有三个不共线的
公共点，那么这两个平面就重合为一个平面。其中正确的是 4． 空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ） A 必定有4个 B 4个或1个 C 3个或1 个 D 1个或3个或4个 5． 已知点A ，直线 a ，平面α：（1）A ∈a , a ⊄α⇒A ∉α（2）A ∈a , a ∈α⇒A ∈α（3）A ∉a , a ⊂α⇒A ∉α（4）A ∈a , a ⊂α⇒A ⊂α。正确的命题有
6． 已知三角形ABC 在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于P 、Q 、R 求证：P 、Q 、R 三点共线。 7． 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点，且直线EF 和GH 交于点P ，求证：B ，D ，P 在同一直线上。
6题 7题
8． 三个平面可将空间分成几部分？最多是几部分？
9． 求证：三个平面相交得三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点。 10． 11．
若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β的关系可记作：
三条直线两两相交，可以确定的平面个数是
12． 下列命题正确的是：A 三点确定一个平面 B 两条直线确定一个平面 C 两两相交的三条直线一定在同一平面内 D 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
13． 正方体12条棱可以
14． 给出下面4个命题：（1）一点和一直线确定一个平面。（2）若点（3）空间有3条直线，其中任意两条都相交，则这3A ∈平面α, A ∈平面β，α β=l ，则A ∈l 。
条直线一定共面。（4）空间4点中有3点在一条直线上，则这4点必共面。其中正确的命题个数是：
15． 对空间三条直线，有下列四个条件：（1）三条直线两两相交且不共点（2）三条直线两两平行（3）三条直线共点（4）有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。其中，使三条直线共面的充分条件有
16．如图，AB //CD , AB α=B , CD α=D , AC α=EB ，求证：B 、E 、D 三点共线。
空间的平行直线与异面直线
（一）．空间的平行直线
一．基础知识
1、若a //b , b //c ，则a c
2、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
二．强化训练
1、空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A 一定平行 B 一定异面 C 一定相交 D 不能确定 2、在空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是一个
3、∠A 和∠B 的两边分别平行，若∠A =60，则∠B=
4、正方体：ABCD -A 1BC 11D 1中，P 、Q 分别为AA 1, CC 1的中点，则四边形D 1PBQ 是
5、E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若对角线BD=2，AC=4，且AC ⊥BD 则EG 2+HF 2的值是
6、已知空间四边形ABCD ，P 、Q 、R 、S 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则对于下列命题：（1）P 、Q 、R 、S 四点共面；（2）PR 与QS 互相平分；（3）当AC=BD时，PQRS 是一个菱形，（4）当AC ⊥BD 时PQRS 是一个矩形；其中 是正确的。 7、P 是三角形ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是PAB 、PBC 的重心。且DE =
1
AC 。 3
（二）异面直线 一、基础知识
1、空间两条直线的位置关系是：
2、的直线叫异面直线。
3、直线a 、b 是异面直线，经过空间一点O ，作直线a ' , b ' ，使
C
a ' 和b ' 所成的叫做异面直线a 和b 所成的角。 4、如果两条异面直线所成的角是我们就说这两条异面直线垂直，两异面直线所成的角的范围是 。 二、强化训练
1、下列命题中正确的是（ ）
A 若a ⊂α, b ⊂β, 则a , b 是异面直线 B 若a ⊂α, b ⊄β, 则a , b 是异面直线 C 若a b =∅，则a , b 是异面直线 D 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 2、若a , b 是异面直线，b , c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ）
A 异面 B 相交或平行 C 平行或异面 D 相交或平行或异面
3、分别与两条异面直线都相交的两条直线（ ）
A 不可能是平行直线 B 一定是异面直线 C 不可能是相交直线 D 可能是平行直线 4、AA 1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1垂直的棱有 5、已知a , b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）
A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 6、P 是三角形ABC 所在平面外一点，连接PA 、PB 、PC 后，在包括AB ，BC ，CA 的六条棱所在的直线中，异面直线对数共有 对
7、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确命题的序号是
（1）BM 与ED 平行；（2）CN 与BE 是异面直线；（3）CN 与BM 成60角；（4）DM 与BN 垂直。
8、在正方体ABCD -A 求（1）A （2）A 1BC 11D 1中，1B 与CC 1所成的角是多少度？1B 1与B C 所成的角是多少度？（3）A 1C 1与BC 所成的角是多少度？（4）AC 11与D 1C 所成的角是多少
度？（5）在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，与棱B 1B 垂直的棱有几条？
9、在空间四边形ABCD 中，三角形ABC 为等腰直角三角形，∠A =90 ，BC =，DA ⊥AC , DA ⊥AB ，若AD =1且E 是AD 的中点，求异面直线EB 和DC 所成的角。
D
1A1
A
C
B
B
10、在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，求两条异面直线AC 1与B 1D 1所成的角。
1
C ︒
11、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，∠CBC 1=60，∠DCD 1=45，则异面直线
BC 1和CD 1所成角的余弦值。
直线和平面平行
一．基础知识
1、 直线和平面的位置关系有：2、 若a ⊄α, b ⊂α, a //b ，则a α
3、 若a //α, a ⊂β, α β=b , 则4、 直线在平面外是指 二．强化训练 1、 下列命题中：（1）如果一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内所有直线平行（2）
若直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个平面平行（3）直线l 与平面α内无数条直线为异面直线，则l //α（4）若直线l 与平面α有无数条直线为异面直线则l 不在α内。正确的个数是 个 2、 直线a //平面α，直线b //
α，则a 与b 的位置关系是（ ）
A 平行 B 相交 C 异面 D 不能确定
ACE 的位置关系是 3、 正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 为DD 1与平面1的中点，则BD
4、 b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b //α的是（ ）
A b 与α内一条直线不相交 B b 与α内两条直线不相交 C b 与α内无数条直线不相交 D b 与α内任意一条直线不相交 5、 直线a //α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的（ ）
A 至少有一条 B 至多有一条 C 有且只有一条 D 不可能有 6、 若直线m 不平行于平面α，则m ⊄α，则下列结论正确的是（ ）
A α内的所有直线与m 异面 B α内不存在与m 平行的直线 C α内存在唯一的直线与m 平行 D α内的直线与m 都相交
7、 （2004辽宁）已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p :a 与
b 无公共点；命题q :α//β，则p 是q 的（ ）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8、 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证PC//平面BDQ
9、 在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面ACD 、面BCD 的重心，则四面体的四个面中与
MN 平行的是
平面和平面平行
一．基础知识
1、 两个平面的位置关系有
2、 如果一个平面内有两条于另一个平面，那么这两个平面平行
3、 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面
平行。
4、 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 二．强化训练
1、 给出下列命题：（1）m ⊂α，n ⊂α，m //β，n //β⇒α//β（2）α//β，m
⊂α，n ⊂β⇒m //n （3）α//β，l ⊂α⇒l //β（4）α内的任一直线都平行
于β⇒α//β其中命题正确的是
2、 平面α//平面β，直线a ⊂α，b ⊂β，下列四种情形：（1）a //b （2）a ⊥b （3）
a 与b 异面（4）a 、b 相交，其中可能出现的情形有3、 给定下列命题中，（1）平行于同一条直线的两个平面平行，（2）平行于同一个平面的两
个平面平行，（3）平行于同一个平面的两条直线平行，（4）平面α内两条直线都平行于
β，则α//平面β。其中，正确命题的序号是
4、 α、β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α//β的是（ ）
A α、β都平行于直线a 、b B a 、b 是相交直线，且a //α，b //β
a ，b 是α内的两条直线，且α//β，b //β
D a ，b 是两条异面直线，且a //α，b //α，a //β，b //β
C
5、 下列四个命题：（1）平行于同一条直线的两平面平行（2）平行于同一个平面的两平面
平行（3）都平行于相交直线a , b 的两平面平行（4）一平面中有无数条直线与另一平面平行，则这两平面平行。其中正确的是（ ） A （1），（2） B （2），（3） C （3），（4） D （2），（3），（4） 6、 平面α与平面β平行的充要条件是（ ）
A
α内有两条直线与β平行 B α内有无数条直线与β不相交 C α内的任意
α内的某一条直线与β内的无数条直线平行
一条直线都在β内有其平行线 D
7、 平面α//β，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，直线AB 、CD 相交于P ，已知AP=8，BP=9，
CD=34，则
' ' ' ' ' ' ' '
8、 已知正方体ABCD -A B C D 中，面对角线AB , BC 上分别有E 、F 且B E =C F
' ' '
求证：（1）EF //平面AC （2）平面ACD //平面A BC
C '
C
9、 在棱长为
a 的正方体A B C D
1
中A 1B 1C 1D ，设M 、N 、E 、F 分别是棱
的中点。求证（1）E 、F 、B 、D 四点共面（2）平面AMN//平面A 1B 1, A 1D , 1C 1D , 1B 1C
1
C
A
EFBD
直线和平面垂直
一．基础知识
1、 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直
线和这个平面互相垂直，直线l 和平面α互相垂直，记作l ⊥α。
2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 3、 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。 4、 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。 二．强化训练
1、下列命题中正确的个数是
（1）如果一条直线垂直于一个平面内无数条直线，那么这条直线就垂直于这个平面，（2）如果一条直线平行于一个平面，那么它和这个平面的垂线垂直，（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面的平行线垂直，（4）如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么它和这个平面平行
2、设α表示平面，a ，b 表示直线，给出以下命题正确的是：（1）a ⊥
（2）a ⊥α，a ⊥b ⇒b //α；（3）a //α，a ⊥b ⇒α，b ⊥α⇒a //b ；
b ⊥α；（4）a //b ，a ⊥α⇒b ⊥α
3、空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（ ） A 垂直且相交 B 相交但不一定垂直 C 垂直但不相交 D 不垂直也不相交 4、下列命题中正确的是（ ） A C
a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥α B a ⊥α，b //α⇒a ⊥b a ⊥α，a ⊥b ⇒b //α D a //α，a ⊥b ⇒b ⊥α
5、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任一点，PA ⊥平面ABC 。 （1）图中有多少个直角三角形？（2）若AH ⊥PC ，且AH 与PC 交于H ，求证：AH ⊥平面PBC
' ' ' ' '
6、正方体ABCD -A B C D 中，P 为DD 中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：
' BO ⊥平面PAC
7、已知H 为三角形ABC 的垂心，P 是三角形ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，求证：PH ⊥平面ABC 。
B
B
A B 一．基础知识 C 1．如果直线和平面垂直，那么这条直线垂直平面内的任一直线。 2．垂直于同一平面的两条直线平行。 3．垂直于同一直线的两个平面平行。 二．强化训练
1、空间四边形的四边相等，则它们各边中点的连线所组成的几何图形是2、a 、b 、c 表示直线，α表示平面，若a ⊄α，b 、c ⊂α，a ⊥b ，a ⊥
c ，以下五
个结论：（1）a 一定不垂直于平面α（2）a 一定不平行于平面α（3）a 可能垂直平面α（4）
a 可能平行平面α（5）a 可能和平面α斜交，其中正确结论的个数是：
3、已知m , l 是异面直线，给出下列命题：（1）一定存在平面α过m 且与l 平行（2）一定存在平面α与m , l 都垂直（3）一定存在平面α过m 且与l 垂直（4）一定存在平面α与m , l 的距离相等；其中命题正确的序号是：
4、PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN //平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA =45求证MN ⊥平面PDC
︒
C
A
三垂线定理
1、从平面外一点向平面引垂线和三条斜线，若这些斜线段相等，那么（ ） A 斜足一定是正三角形的顶点
B 垂足是斜足所组成的三角形的内切圆的圆心 C 垂足是斜足所组成的三角形的外接圆的圆心 D 垂足是斜足构成的三角形的垂心
2、下列命题中，正确的是（ ）
A 若a 是平面α的斜线，直线b 垂直于a 在α内的射影，则a ⊥ b
B 若a 是平面α的斜线，平面β内的直线b 垂直于a 在α内的射影，则a ⊥ b
C 若a 是平面α的斜线，b 是平面α内的一条直线且b 垂直于a 在α内的射影，则a ⊥ b D 若a 是平面α的斜线，直线b 平行于平面a ，且b 垂直于a 在另一平面β内的射影，则a
⊥b
3、P 是三角形ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影，若PA 、PB 、PC 两两垂直，则D 是三角形ABC 的：A 外心 B 内心 C 垂心 D 重心
︒
4、已知直角三角形ABC 中，∠B =90, ∠C =45, BC =20, P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA ⊥面ABC ，PA=15，则P 到BC 的距离的长为：
5、 三角形ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，P 为三角形ABC 所在平面外一点，且PA=PB=PC，
设点P 在面ABC 内的射影为O ，PO=8，求点P 到AC 的距离。
' ' ' ' ' '
6、在正方体ABCD -A B C D 中，若E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 的中点，求证AC ⊥面EFG
G
C
A
直线与平面所成的角
一、知识清单
1、一条直线若是平面的斜线, 那么它和它在平面上的射影所成的锐角, 叫, 若这条直线和平面 , 那么直线和平面所成的角是直角; 若直线和平面 或 , 那么直线和平面所成的角是0 的角。
2、斜线和平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中。 3、若θ表示直线与平面所成的角，则θ∈4、设斜线l 与平面α所成的角为θ1，平面的一条直线m 与l 在平面α内的射影所成的角为
θ2，直线l 与m 所成的角为θ，则
二、强化训练
C D =601、AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD ⊂α，若∠A
则AC 和平面α所成角为 。
2、PA 、PB 、PC 是从P 出发的三条射线，每两条射线的夹角
，∠BCD=45，
均为60，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值
是 。
3、如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；
（2）B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值。
4、在以边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 和C 1D 1上的点。BE=C 1F =
1
，试求EF 与平面3
A 1BD 所成的角的余弦值。
C
二面角
一、知识清单
1、从一条直线出发的每个半平面叫做二面角的面。棱为l ，两个面分别为α、β的二面角记为 。 2、一个平面α-l -β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB ，O 为垂足，则 叫做二面角α-l -β的平面角。
3、平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面。
4、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
5、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于一个平面。 6、三个两两垂直的平面的交线互相垂直。 二、强化训练
1、PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60 ，每两条确定一个平面，则两平面所成的锐二面角的余弦值为 。 2、在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，PA ⊥平面ABCD ，
那么二面角A -BD -P 的大小为 。
3、已知二面角α-l -β的大小为60 ，m , n 为异面直线，且m ⊥α, n ⊥β，则m , n 所成的角为 。 4、如图，l 1, l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM=MB=MN，（1）证明AC ⊥NB ；（2）若∠ACB =60，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。
5、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1。
（1）求二面角C -DE -C 1的正切值；（2）求直线EC 1和FD 1所成角的余弦值。
6、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是B 1C 1的中点，F 在AA 1上，且AF :FA 1=1:2，求平面BEF 与平面ABCD 所成的角。
N
E
7、a , b 是两直线，α, β是两平面，a ⊂α, b ⊂β，以下命题：（1）若a ⊥b ，则α⊥β（2）
若a //b ，则α//β（3）若a ⊥β, 则α⊥β（4）若α⊥β，则a ⊥b ；其中正确的是
8、对于平面α和共面的直线m , n ，下列命题中真命题是 A ．若m ⊥α, m ⊥n , 则n //α B ．若m //α, n //α, 则m //n
C ．若m ⊂α, n //α, 则m //n D ．若m , n 与α所成的角相等, 则m //n
9、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A ，BC ，C 1D 1，B 1C 1的中点，1B 1求证：平面MNF ⊥平面ENF
10、如图SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =BC ，（1）求证：
SB ⊥BC ；（2）求二面角C -SA -B 的大小；（3）求异面SC 与AB
所成角的余弦值；（4）求二面角A -SC -B 的平面角的正切值。
向量的坐标运算
1． 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A M 、1BC 11D 1中，
P 分别为边A 1B , B 1D 1, A 1B 1上的点，若
1
N 、
B 1N BM 1
==，B 1D 1BA 13
A
又
C
（1）求证：PM //AA （2）求MN 的长 PN //A 1D 1。1；
' ' ' '
2． 已知正方体ABCD -A B C D 中，面对角线AB ' , BC ' 上分
C '
别
有中点E 、F ，求证： EF //平面AC 3
．
在
长
方
体
C
1
ABCD -A 1BC 11D 1
中，
∠CBC 1=60 ，∠DCD 1=45︒，则异面直线BC 1和CD 1所
角的余弦值。
4．在正方体ABCD -A 求两条异面直线AC 1与B 11BC 11D 1中，
所成的角。
5．在正方体ABCD -A B C D 中，M 是棱DD 的中点，O
' '
'
'
成
A
C
1
'
C
OA ' ⊥AM 为正方形ABCD 的中心，用坐标法证明：（1）
2）
AM ⊥平面A ' B ' O
A
1
6．在棱长为1的正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 、F 分别是
1
D 1D , BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG =CD ，H
4
（1）EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G C 1G 的中点。求证：角的余弦；（3）求FH 的长
为所成
A
B
C
7．如图，S 是矩形ABCD 所在平面外一点，SA ⊥AD ，SB ⊥AB ，SA 与CD 成60度角，SD 与
BC 成30度角，SA=2a 。（1）证明：SB ⊥平面ABCD ；（2）若M 是SA 的中点，N 是CD 的
中点，求向量MN 的长；（3）求cos 的值。
S
棱柱
一．知识清单
1、 有两个互相平行，其余各面都是平行四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫棱柱。
2、 棱柱按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱、斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。 3、 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，两个底面与平行底面的截面是全等的多边形，
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
4、 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面
体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体。 5、 平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处相互平分。
6、 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 二．强化训练
1、 在正三棱柱ABC -
A 1B 1C 1中，若AB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为
2、 斜四棱柱侧面最多可有 A 1 B 2 C 3 D 4
3、 一个斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，若AB=AC，且∠A 则此三棱柱的侧面中，A C =∠A 1AB ，1矩形的个数为 。 4、 如图，在直四棱柱A 1BC 11D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件有AC 1⊥B 1D 1
5、 如图，已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90 , ∠BAC =30 , BC =1,
AA 1⊥A 1M 1M 是CC 1的中点，求证：AB
6、 如图直棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA =90 , 棱AA 1=2，
M 、N 分别是A 1B 1、A （1）求：BN 的长；（2）求cos 的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M
1
D
A A
B 1
7、 设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，这些集合间的关系是
8、 下列几何体中，一定是长方体的是（ ）
A 直平行六面体 B 对角面为全等矩形的四棱柱 C 底面是矩形的直棱柱 D 侧面是矩形的四棱柱 9、在长方体ABCD -A 底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 11BC 11D 1中，的距离是（ ） A
3843
B C D 8334
10、长方体的对角线为1，若其长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x+y+z的最大值为 11、长方体ABCD -A （1）设对角线D 1B 与D 1出发的三条棱分别成α, β, γ角。 1BC 11D 1中，（2）设D 1B 与自D 1出发的三个侧面分别成α, β, γ角。α+cos 2β+cos 2γ=1；求证：cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2。 求证：cos
' ' '
12、如图，正四棱柱AC 中，对角线AC 的截面是棱形。（1）求证：BD //AEC F ；（2）若
AA =，求截面AEC ' F 的面积及与底面所成的锐二面角的度数。
B' 1 D A
E
C
B
A
'
2
一．基础知识
1、 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱
锥。
2、 底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥。
3、 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
4、 正棱锥的各侧面是全等的等腰三角形，由高、斜高和斜高在地面上的射影 一个直角三
角形，由高、侧棱和斜高在地面上的射影组成一个直角三角形，由高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 二．强化训练
1、 一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4:9，则次棱锥的侧
棱被分成上下两部分之比为 2、 已知正四棱锥侧面和底面的夹角为60，它的底面边长为a ，求棱锥的高、斜高、侧棱
长。
3、 已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等，
且AB =AC BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 于面BCA 为面的二面角的大小是 4、 正四棱锥S -ABCD 的各棱长均相等，E 为SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的角
的余弦值是 5、 在正四棱锥P -ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA 与
BC 所成角的大小等于
6、 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
PD =DC ，E 是PC 的中点。（1）证明：PA//平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。 7、 如图在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC , PA ⊥平面ABCD ，且
PA=AB，点E 是PD 的中点。（1）求证：AC ⊥PB ；（2）求证：PB //平面AEC ；（3）求二面角E -AC -B 的大小。
B
一．基础知识
1、 与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。与定点距离等于定长的
点的集合叫做球面。
2、 用一个平面截球，截面是一个圆面，球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的
距离d 与球的半径R 及截面的半径r
，有下面的关系：r 3、 球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。 4、 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长，我们
把这个弧长叫做两点的球面距离。 二．强化训练
1、 球面上有三个点，任意两点的球面距离等于大圆周长的
1
，经过这三个点的小圆周长为6
4π，那么球半径为
2、 正方体的内切球半径与外接球半径的比是3、 用一个平面去截球面，截得的小圆面积是其大圆面积的
1
，则球心到其截面的距离是 3
（球半径为R ）
4、 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 5、 （06全国）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的
表面积的比为
6、 已知A ，B ，C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且AB=R，那么A ，B
两点的球面距离为 ，球心到平面ABC 的距离为 。 7、 ）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
8、 如图，A ，B ，C 是表面积为48π的球面上的三点，AB=2，BC=4，∠ABC =60，O
为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是 （反三角表示）
9、 如图，已知三棱锥P -ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，三角形ABC ，三角形
PEF 都是正三角形，PF ⊥AB 。（1）证明PC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P -AB -C 的平面角的余弦值；（3）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求三角形ABC 的边长。
C
平面的基本性质
一． 基础知识 1． 判定直线在平面的依据：公理1 2． 判定两平面有交线及交线位置的依据：公理2 3． 确定平面的条件：公理3 4． 直线和平面外一点确定一个平面（推论1） 5． 两条相交或平行直线确定一个平面（推论2、3） 6． 用符号语言来表示点、直线、平面的关系。 二． 基础知识 1． 已知下列四个命题：（1）很平的桌面是一个平面（2）一个平面的面积是4m 2（3）平面是矩形或平行四边形（4）两个平面叠在一起比一个平面厚。其中正确的是 2． 在空间中下列命题正确的是：A. 对边相等的四边形一定是平面图形 B. 四边相等的四边形一定是平面图形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 有一组对角相等的四边形是平行四边形。 3．
给出下列命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点（2）两个平面的
交线可能是一条线段；（3）经过空间任意三点的平面有且只有一个；（4）如果两个平面有三个不共线的
公共点，那么这两个平面就重合为一个平面。其中正确的是 4． 空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ） A 必定有4个 B 4个或1个 C 3个或1 个 D 1个或3个或4个 5． 已知点A ，直线 a ，平面α：（1）A ∈a , a ⊄α⇒A ∉α（2）A ∈a , a ∈α⇒A ∈α（3）A ∉a , a ⊂α⇒A ∉α（4）A ∈a , a ⊂α⇒A ⊂α。正确的命题有
6． 已知三角形ABC 在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于P 、Q 、R 求证：P 、Q 、R 三点共线。 7． 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点，且直线EF 和GH 交于点P ，求证：B ，D ，P 在同一直线上。
6题 7题
8． 三个平面可将空间分成几部分？最多是几部分？
9． 求证：三个平面相交得三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点。 10． 11．
若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β的关系可记作：
三条直线两两相交，可以确定的平面个数是
12． 下列命题正确的是：A 三点确定一个平面 B 两条直线确定一个平面 C 两两相交的三条直线一定在同一平面内 D 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
13． 正方体12条棱可以
14． 给出下面4个命题：（1）一点和一直线确定一个平面。（2）若点（3）空间有3条直线，其中任意两条都相交，则这3A ∈平面α, A ∈平面β，α β=l ，则A ∈l 。
条直线一定共面。（4）空间4点中有3点在一条直线上，则这4点必共面。其中正确的命题个数是：
15． 对空间三条直线，有下列四个条件：（1）三条直线两两相交且不共点（2）三条直线两两平行（3）三条直线共点（4）有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。其中，使三条直线共面的充分条件有
16．如图，AB //CD , AB α=B , CD α=D , AC α=EB ，求证：B 、E 、D 三点共线。
空间的平行直线与异面直线
（一）．空间的平行直线
一．基础知识
1、若a //b , b //c ，则a c
2、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
二．强化训练
1、空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A 一定平行 B 一定异面 C 一定相交 D 不能确定 2、在空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是一个
3、∠A 和∠B 的两边分别平行，若∠A =60，则∠B=
4、正方体：ABCD -A 1BC 11D 1中，P 、Q 分别为AA 1, CC 1的中点，则四边形D 1PBQ 是
5、E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若对角线BD=2，AC=4，且AC ⊥BD 则EG 2+HF 2的值是
6、已知空间四边形ABCD ，P 、Q 、R 、S 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则对于下列命题：（1）P 、Q 、R 、S 四点共面；（2）PR 与QS 互相平分；（3）当AC=BD时，PQRS 是一个菱形，（4）当AC ⊥BD 时PQRS 是一个矩形；其中 是正确的。 7、P 是三角形ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是PAB 、PBC 的重心。且DE =
1
AC 。 3
（二）异面直线 一、基础知识
1、空间两条直线的位置关系是：
2、的直线叫异面直线。
3、直线a 、b 是异面直线，经过空间一点O ，作直线a ' , b ' ，使
C
a ' 和b ' 所成的叫做异面直线a 和b 所成的角。 4、如果两条异面直线所成的角是我们就说这两条异面直线垂直，两异面直线所成的角的范围是 。 二、强化训练
1、下列命题中正确的是（ ）
A 若a ⊂α, b ⊂β, 则a , b 是异面直线 B 若a ⊂α, b ⊄β, 则a , b 是异面直线 C 若a b =∅，则a , b 是异面直线 D 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 2、若a , b 是异面直线，b , c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ）
A 异面 B 相交或平行 C 平行或异面 D 相交或平行或异面
3、分别与两条异面直线都相交的两条直线（ ）
A 不可能是平行直线 B 一定是异面直线 C 不可能是相交直线 D 可能是平行直线 4、AA 1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1垂直的棱有 5、已知a , b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）
A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 6、P 是三角形ABC 所在平面外一点，连接PA 、PB 、PC 后，在包括AB ，BC ，CA 的六条棱所在的直线中，异面直线对数共有 对
7、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确命题的序号是
（1）BM 与ED 平行；（2）CN 与BE 是异面直线；（3）CN 与BM 成60角；（4）DM 与BN 垂直。
8、在正方体ABCD -A 求（1）A （2）A 1BC 11D 1中，1B 与CC 1所成的角是多少度？1B 1与B C 所成的角是多少度？（3）A 1C 1与BC 所成的角是多少度？（4）AC 11与D 1C 所成的角是多少
度？（5）在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，与棱B 1B 垂直的棱有几条？
9、在空间四边形ABCD 中，三角形ABC 为等腰直角三角形，∠A =90 ，BC =，DA ⊥AC , DA ⊥AB ，若AD =1且E 是AD 的中点，求异面直线EB 和DC 所成的角。
D
1A1
A
C
B
B
10、在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，求两条异面直线AC 1与B 1D 1所成的角。
1
C ︒
11、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，∠CBC 1=60，∠DCD 1=45，则异面直线
BC 1和CD 1所成角的余弦值。
直线和平面平行
一．基础知识
1、 直线和平面的位置关系有：2、 若a ⊄α, b ⊂α, a //b ，则a α
3、 若a //α, a ⊂β, α β=b , 则4、 直线在平面外是指 二．强化训练 1、 下列命题中：（1）如果一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内所有直线平行（2）
若直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个平面平行（3）直线l 与平面α内无数条直线为异面直线，则l //α（4）若直线l 与平面α有无数条直线为异面直线则l 不在α内。正确的个数是 个 2、 直线a //平面α，直线b //
α，则a 与b 的位置关系是（ ）
A 平行 B 相交 C 异面 D 不能确定
ACE 的位置关系是 3、 正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 为DD 1与平面1的中点，则BD
4、 b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b //α的是（ ）
A b 与α内一条直线不相交 B b 与α内两条直线不相交 C b 与α内无数条直线不相交 D b 与α内任意一条直线不相交 5、 直线a //α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的（ ）
A 至少有一条 B 至多有一条 C 有且只有一条 D 不可能有 6、 若直线m 不平行于平面α，则m ⊄α，则下列结论正确的是（ ）
A α内的所有直线与m 异面 B α内不存在与m 平行的直线 C α内存在唯一的直线与m 平行 D α内的直线与m 都相交
7、 （2004辽宁）已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p :a 与
b 无公共点；命题q :α//β，则p 是q 的（ ）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8、 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证PC//平面BDQ
9、 在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面ACD 、面BCD 的重心，则四面体的四个面中与
MN 平行的是
平面和平面平行
一．基础知识
1、 两个平面的位置关系有
2、 如果一个平面内有两条于另一个平面，那么这两个平面平行
3、 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面
平行。
4、 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 二．强化训练
1、 给出下列命题：（1）m ⊂α，n ⊂α，m //β，n //β⇒α//β（2）α//β，m
⊂α，n ⊂β⇒m //n （3）α//β，l ⊂α⇒l //β（4）α内的任一直线都平行
于β⇒α//β其中命题正确的是
2、 平面α//平面β，直线a ⊂α，b ⊂β，下列四种情形：（1）a //b （2）a ⊥b （3）
a 与b 异面（4）a 、b 相交，其中可能出现的情形有3、 给定下列命题中，（1）平行于同一条直线的两个平面平行，（2）平行于同一个平面的两
个平面平行，（3）平行于同一个平面的两条直线平行，（4）平面α内两条直线都平行于
β，则α//平面β。其中，正确命题的序号是
4、 α、β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α//β的是（ ）
A α、β都平行于直线a 、b B a 、b 是相交直线，且a //α，b //β
a ，b 是α内的两条直线，且α//β，b //β
D a ，b 是两条异面直线，且a //α，b //α，a //β，b //β
C
5、 下列四个命题：（1）平行于同一条直线的两平面平行（2）平行于同一个平面的两平面
平行（3）都平行于相交直线a , b 的两平面平行（4）一平面中有无数条直线与另一平面平行，则这两平面平行。其中正确的是（ ） A （1），（2） B （2），（3） C （3），（4） D （2），（3），（4） 6、 平面α与平面β平行的充要条件是（ ）
A
α内有两条直线与β平行 B α内有无数条直线与β不相交 C α内的任意
α内的某一条直线与β内的无数条直线平行
一条直线都在β内有其平行线 D
7、 平面α//β，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，直线AB 、CD 相交于P ，已知AP=8，BP=9，
CD=34，则
' ' ' ' ' ' ' '
8、 已知正方体ABCD -A B C D 中，面对角线AB , BC 上分别有E 、F 且B E =C F
' ' '
求证：（1）EF //平面AC （2）平面ACD //平面A BC
C '
C
9、 在棱长为
a 的正方体A B C D
1
中A 1B 1C 1D ，设M 、N 、E 、F 分别是棱
的中点。求证（1）E 、F 、B 、D 四点共面（2）平面AMN//平面A 1B 1, A 1D , 1C 1D , 1B 1C
1
C
A
EFBD
直线和平面垂直
一．基础知识
1、 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直
线和这个平面互相垂直，直线l 和平面α互相垂直，记作l ⊥α。
2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 3、 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。 4、 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。 二．强化训练
1、下列命题中正确的个数是
（1）如果一条直线垂直于一个平面内无数条直线，那么这条直线就垂直于这个平面，（2）如果一条直线平行于一个平面，那么它和这个平面的垂线垂直，（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面的平行线垂直，（4）如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么它和这个平面平行
2、设α表示平面，a ，b 表示直线，给出以下命题正确的是：（1）a ⊥
（2）a ⊥α，a ⊥b ⇒b //α；（3）a //α，a ⊥b ⇒α，b ⊥α⇒a //b ；
b ⊥α；（4）a //b ，a ⊥α⇒b ⊥α
3、空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（ ） A 垂直且相交 B 相交但不一定垂直 C 垂直但不相交 D 不垂直也不相交 4、下列命题中正确的是（ ） A C
a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥α B a ⊥α，b //α⇒a ⊥b a ⊥α，a ⊥b ⇒b //α D a //α，a ⊥b ⇒b ⊥α
5、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任一点，PA ⊥平面ABC 。 （1）图中有多少个直角三角形？（2）若AH ⊥PC ，且AH 与PC 交于H ，求证：AH ⊥平面PBC
' ' ' ' '
6、正方体ABCD -A B C D 中，P 为DD 中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：
' BO ⊥平面PAC
7、已知H 为三角形ABC 的垂心，P 是三角形ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，求证：PH ⊥平面ABC 。
B
B
A B 一．基础知识 C 1．如果直线和平面垂直，那么这条直线垂直平面内的任一直线。 2．垂直于同一平面的两条直线平行。 3．垂直于同一直线的两个平面平行。 二．强化训练
1、空间四边形的四边相等，则它们各边中点的连线所组成的几何图形是2、a 、b 、c 表示直线，α表示平面，若a ⊄α，b 、c ⊂α，a ⊥b ，a ⊥
c ，以下五
个结论：（1）a 一定不垂直于平面α（2）a 一定不平行于平面α（3）a 可能垂直平面α（4）
a 可能平行平面α（5）a 可能和平面α斜交，其中正确结论的个数是：
3、已知m , l 是异面直线，给出下列命题：（1）一定存在平面α过m 且与l 平行（2）一定存在平面α与m , l 都垂直（3）一定存在平面α过m 且与l 垂直（4）一定存在平面α与m , l 的距离相等；其中命题正确的序号是：
4、PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN //平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA =45求证MN ⊥平面PDC
︒
C
A
三垂线定理
1、从平面外一点向平面引垂线和三条斜线，若这些斜线段相等，那么（ ） A 斜足一定是正三角形的顶点
B 垂足是斜足所组成的三角形的内切圆的圆心 C 垂足是斜足所组成的三角形的外接圆的圆心 D 垂足是斜足构成的三角形的垂心
2、下列命题中，正确的是（ ）
A 若a 是平面α的斜线，直线b 垂直于a 在α内的射影，则a ⊥ b
B 若a 是平面α的斜线，平面β内的直线b 垂直于a 在α内的射影，则a ⊥ b
C 若a 是平面α的斜线，b 是平面α内的一条直线且b 垂直于a 在α内的射影，则a ⊥ b D 若a 是平面α的斜线，直线b 平行于平面a ，且b 垂直于a 在另一平面β内的射影，则a
⊥b
3、P 是三角形ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影，若PA 、PB 、PC 两两垂直，则D 是三角形ABC 的：A 外心 B 内心 C 垂心 D 重心
︒
4、已知直角三角形ABC 中，∠B =90, ∠C =45, BC =20, P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA ⊥面ABC ，PA=15，则P 到BC 的距离的长为：
5、 三角形ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，P 为三角形ABC 所在平面外一点，且PA=PB=PC，
设点P 在面ABC 内的射影为O ，PO=8，求点P 到AC 的距离。
' ' ' ' ' '
6、在正方体ABCD -A B C D 中，若E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 的中点，求证AC ⊥面EFG
G
C
A
直线与平面所成的角
一、知识清单
1、一条直线若是平面的斜线, 那么它和它在平面上的射影所成的锐角, 叫, 若这条直线和平面 , 那么直线和平面所成的角是直角; 若直线和平面 或 , 那么直线和平面所成的角是0 的角。
2、斜线和平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中。 3、若θ表示直线与平面所成的角，则θ∈4、设斜线l 与平面α所成的角为θ1，平面的一条直线m 与l 在平面α内的射影所成的角为
θ2，直线l 与m 所成的角为θ，则
二、强化训练
C D =601、AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD ⊂α，若∠A
则AC 和平面α所成角为 。
2、PA 、PB 、PC 是从P 出发的三条射线，每两条射线的夹角
，∠BCD=45，
均为60，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值
是 。
3、如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；
（2）B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值。
4、在以边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 和C 1D 1上的点。BE=C 1F =
1
，试求EF 与平面3
A 1BD 所成的角的余弦值。
C
二面角
一、知识清单
1、从一条直线出发的每个半平面叫做二面角的面。棱为l ，两个面分别为α、β的二面角记为 。 2、一个平面α-l -β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB ，O 为垂足，则 叫做二面角α-l -β的平面角。
3、平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面。
4、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
5、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于一个平面。 6、三个两两垂直的平面的交线互相垂直。 二、强化训练
1、PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60 ，每两条确定一个平面，则两平面所成的锐二面角的余弦值为 。 2、在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，PA ⊥平面ABCD ，
那么二面角A -BD -P 的大小为 。
3、已知二面角α-l -β的大小为60 ，m , n 为异面直线，且m ⊥α, n ⊥β，则m , n 所成的角为 。 4、如图，l 1, l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM=MB=MN，（1）证明AC ⊥NB ；（2）若∠ACB =60，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。
5、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1。
（1）求二面角C -DE -C 1的正切值；（2）求直线EC 1和FD 1所成角的余弦值。
6、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是B 1C 1的中点，F 在AA 1上，且AF :FA 1=1:2，求平面BEF 与平面ABCD 所成的角。
N
E
7、a , b 是两直线，α, β是两平面，a ⊂α, b ⊂β，以下命题：（1）若a ⊥b ，则α⊥β（2）
若a //b ，则α//β（3）若a ⊥β, 则α⊥β（4）若α⊥β，则a ⊥b ；其中正确的是
8、对于平面α和共面的直线m , n ，下列命题中真命题是 A ．若m ⊥α, m ⊥n , 则n //α B ．若m //α, n //α, 则m //n
C ．若m ⊂α, n //α, 则m //n D ．若m , n 与α所成的角相等, 则m //n
9、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A ，BC ，C 1D 1，B 1C 1的中点，1B 1求证：平面MNF ⊥平面ENF
10、如图SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =BC ，（1）求证：
SB ⊥BC ；（2）求二面角C -SA -B 的大小；（3）求异面SC 与AB
所成角的余弦值；（4）求二面角A -SC -B 的平面角的正切值。
向量的坐标运算
1． 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A M 、1BC 11D 1中，
P 分别为边A 1B , B 1D 1, A 1B 1上的点，若
1
N 、
B 1N BM 1
==，B 1D 1BA 13
A
又
C
（1）求证：PM //AA （2）求MN 的长 PN //A 1D 1。1；
' ' ' '
2． 已知正方体ABCD -A B C D 中，面对角线AB ' , BC ' 上分
C '
别
有中点E 、F ，求证： EF //平面AC 3
．
在
长
方
体
C
1
ABCD -A 1BC 11D 1
中，
∠CBC 1=60 ，∠DCD 1=45︒，则异面直线BC 1和CD 1所
角的余弦值。
4．在正方体ABCD -A 求两条异面直线AC 1与B 11BC 11D 1中，
所成的角。
5．在正方体ABCD -A B C D 中，M 是棱DD 的中点，O
' '
'
'
成
A
C
1
'
C
OA ' ⊥AM 为正方形ABCD 的中心，用坐标法证明：（1）
2）
AM ⊥平面A ' B ' O
A
1
6．在棱长为1的正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 、F 分别是
1
D 1D , BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG =CD ，H
4
（1）EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G C 1G 的中点。求证：角的余弦；（3）求FH 的长
为所成
A
B
C
7．如图，S 是矩形ABCD 所在平面外一点，SA ⊥AD ，SB ⊥AB ，SA 与CD 成60度角，SD 与
BC 成30度角，SA=2a 。（1）证明：SB ⊥平面ABCD ；（2）若M 是SA 的中点，N 是CD 的
中点，求向量MN 的长；（3）求cos 的值。
S