2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》
试题
考生类别（文、理）
一、 选择题（每题3分，共15分）
积的____充分_____条件。
3. 方程
x y '''+2x 2y '+x 3y 4y ''=s i n x
是
_____三_____阶微分方程。
4. 平行于向量
1.
⎛x +1⎫
lim ⎪=____C_____。 x →+∞2x -1⎝⎭
x
m ={6, 7, 6}
的单位向量是
A. 0 B. +∞ C. 不存在
1D. e
2
2. 两个无穷大的和一定是___D____。
A. 无穷大量 B. 常数 C. 没有极限 D. 上述都不对
3. 在抛物线
y =x 2上过____D_______点的切线
与抛物线上横坐标为x 1=1和x 2=3的两点
连线平行。 A.
(1, 1) B. (3, 9) C.
(0, 0) D. (2, 4)
4. 在下列函数中，在[-1, 1]上满足罗尔定理条件的是____C______。 A.
e x
B.
ln |x |
C.
1-x 2 D.
11-x 2
5.
x =0是f (x ) =x sin
1
x
的_____ A ____。 A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点
二、 填空题（每空3分，共15分） 1. ⎰
2
|x -1|dx =___1____ 2.
f (x ) 在[a , b ]上连续是f (x ) 在[a , b ]上可
_
⎧⎨676⎫⎩11, 11, 11⎬⎭
和
⎧⎨⎩-6
11, -711, -6⎫11⎬⎭
________。
5. 若直线
y =x +b 是抛物线y =x 2在某点处
的法线，则b
=_____
3
4
______。
三、 计算题（每题6分，共36分）
2x
+t ) dt
1. lim
⎰0
ln(1x →0
1-cos x
原式=lim
2ln(1+2x ) 2⋅2x →0sin x =lim x
x →0x
=4
2. 设
y =x arcsin
x
+9-x 23
+ln 2，求dy
⎡⎢
⎤
⎥dy =⎢
⎢arcsin x x 1x ⎥⎢3+32-
-x 2⎥dx ⎢1-⎛x ⎫⎥⎣
⎝3⎪⎭⎥⎦
3. 设u
=xf (x 2+y 2, e x sin y ) ，
且f (u , v ) 有二阶连续偏导数，求u y 和u xy
∂u
=x f 1⋅2y +f 2(e x c o s y ) ∂y
[]
L :
x -4y +3z
==的平面方程。 521
∂2u ∂2u
==2yf 1+e x c o s yf 2+ ∂x ∂y ∂y ∂x
思路：在直线找一点P 1(4, -3, 0) ，作PP 1⨯S
得平面的法向量，由点法式方程即得。
五（8分）：求函数
y =2x 3-3x 2-12x 在区间
x 2yf 11⋅2x +2yf 12⋅e x sin y +e x cos yf 2+e x cos y (f 21⋅2x +f 22⋅e x sin y )
[-2, 4]上最大值和最小值。
[]
化简略。
解：
dy 2x -y
4. 设(x +y ) =e ，求
dx
设F (x , y )
y '=6x 2-6x -12=6(x -2)(x +1) =0
∴x =-1, x =2
由
=(x +y ) 2-e x -y
f (-1), f (2), f (-2), f (4) 比较，得
5.
F x dy 2(x +y ) -e x -y =-=-dx F y 2(x +y ) +e x -y
x +1
⎰x ln xdx
max f (x ) =32⇒x =4
式
六（8分）：设可导，且
min f (x ) =-20⇒x =2
原=
f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内
f (0) =f (1) =0，记
1⎛1⎫2)1+ln xdx =x ln x -dx +ln xd ln x =x ln x -x +ln x +C ⎪⎰⎝x ⎭⎰⎰M =max 2f (x ) , x ∈[0, 1]。证明：至少存
}
6. 求微分方程 解：r
2
在一点ξ∈(0, 1), 使得f '(ξ) ≥2M
。
y ''-5y '+6y =2e x 的通解。
r =2, 3
证明：设x 0∈(0, 1), f (x 0) =M >0 （若
-5r +6=0
M =0，则f (x ) ≡0显证）
在[0, x 0]f (x ) 满足Lagrange 定理条件
∴齐通解：
y =c 1e 2x +c 2e 3x
非齐一个特解：
y =ae
*x
代入原方程
a =1，
∴通解
四、（8分）：求过点
∃ξ1∈(0, x 0)
y =c 1e 2x +c 2e 3x +e x
在
f '(ξ1) =
f (x 0) -f (0) f (x 0)
=
x 0x 0∃ξ2∈(x 0, 1)
[x 0, 1]
上同样
P (3, 1, -2)
且通过直线
f '(ξ2) =
f (1) -f (x 0) -f (x 0)
=
1-x 01-x 0
∴M
=f (x 0) =x 0f '(ξ1)
原式
1
∴M =f (x 0) =(1-x 0) f '(ξ2)
∴2M
=⎰
s y
y
dy ⎰2dx =⎰(y -y 2)
y
y 1
s y
y
1i
dy =⎰(1-y ) s
ydy =⎰
=x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2)
f '(ξ1) ≥f '(ξ2)
讨论：①当 则
=-cos y 0+y cos y 0-⎰cos ydy =-cos 1+1+cos 1-sin y
11
1
1
2M =x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2) ≤x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ1) =f '(ξ1)
1
2. 计算⎰⎰其中D 由曲线dxdy ， 22
D 1+x +y
②当f '(ξ1) ≤f '(ξ2)
x 2+y 2=1, x =0, y =0在第一象限所
则
2M =x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2) ≤x 0f '(ξ2) +(1-x 0) f '(ξ2) =f '(ξ2)
⎧x =θ令 ⎨
⎩y =r sin θ
证毕。
七（每题5分，共10分，文科类考生必做）： 1. 设z
原式
=f (x 2+y 2) ，其中f (u ) 二阶连续
rdrd θπ21=⎰⎰=+r )
=ln 2041+r D
可导，求
∂z
。 ∂x ∂y
2
x
∂z
=f '⋅2x ∂x
2.
2
∂2z
=2x f ''⋅(2y ) =4xy f ''∂x ∂y
⎰
-1
xe |x |dx
式
原=
⎰xe
-1
1
|x |
dx +⎰xe dx =⎰xde =xe
1
1
2
x
2
x
x 21
-⎰e dx =2e -e -e
1
2
x 2
x 21
八（每题5分，共10分，理工类考生必做）： 1. 计算
=2e 2-e -e 2+e =e 2
x
⎰
1
dx ⎰
x
x
sin y
dy y
2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》
试题
考生类别（文、理）
一、 选择题（每题3分，共15分）
积的____充分_____条件。
3. 方程
x y '''+2x 2y '+x 3y 4y ''=s i n x
是
_____三_____阶微分方程。
4. 平行于向量
1.
⎛x +1⎫
lim ⎪=____C_____。 x →+∞2x -1⎝⎭
x
m ={6, 7, 6}
的单位向量是
A. 0 B. +∞ C. 不存在
1D. e
2
2. 两个无穷大的和一定是___D____。
A. 无穷大量 B. 常数 C. 没有极限 D. 上述都不对
3. 在抛物线
y =x 2上过____D_______点的切线
与抛物线上横坐标为x 1=1和x 2=3的两点
连线平行。 A.
(1, 1) B. (3, 9) C.
(0, 0) D. (2, 4)
4. 在下列函数中，在[-1, 1]上满足罗尔定理条件的是____C______。 A.
e x
B.
ln |x |
C.
1-x 2 D.
11-x 2
5.
x =0是f (x ) =x sin
1
x
的_____ A ____。 A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点
二、 填空题（每空3分，共15分） 1. ⎰
2
|x -1|dx =___1____ 2.
f (x ) 在[a , b ]上连续是f (x ) 在[a , b ]上可
_
⎧⎨676⎫⎩11, 11, 11⎬⎭
和
⎧⎨⎩-6
11, -711, -6⎫11⎬⎭
________。
5. 若直线
y =x +b 是抛物线y =x 2在某点处
的法线，则b
=_____
3
4
______。
三、 计算题（每题6分，共36分）
2x
+t ) dt
1. lim
⎰0
ln(1x →0
1-cos x
原式=lim
2ln(1+2x ) 2⋅2x →0sin x =lim x
x →0x
=4
2. 设
y =x arcsin
x
+9-x 23
+ln 2，求dy
⎡⎢
⎤
⎥dy =⎢
⎢arcsin x x 1x ⎥⎢3+32-
-x 2⎥dx ⎢1-⎛x ⎫⎥⎣
⎝3⎪⎭⎥⎦
3. 设u
=xf (x 2+y 2, e x sin y ) ，
且f (u , v ) 有二阶连续偏导数，求u y 和u xy
∂u
=x f 1⋅2y +f 2(e x c o s y ) ∂y
[]
L :
x -4y +3z
==的平面方程。 521
∂2u ∂2u
==2yf 1+e x c o s yf 2+ ∂x ∂y ∂y ∂x
思路：在直线找一点P 1(4, -3, 0) ，作PP 1⨯S
得平面的法向量，由点法式方程即得。
五（8分）：求函数
y =2x 3-3x 2-12x 在区间
x 2yf 11⋅2x +2yf 12⋅e x sin y +e x cos yf 2+e x cos y (f 21⋅2x +f 22⋅e x sin y )
[-2, 4]上最大值和最小值。
[]
化简略。
解：
dy 2x -y
4. 设(x +y ) =e ，求
dx
设F (x , y )
y '=6x 2-6x -12=6(x -2)(x +1) =0
∴x =-1, x =2
由
=(x +y ) 2-e x -y
f (-1), f (2), f (-2), f (4) 比较，得
5.
F x dy 2(x +y ) -e x -y =-=-dx F y 2(x +y ) +e x -y
x +1
⎰x ln xdx
max f (x ) =32⇒x =4
式
六（8分）：设可导，且
min f (x ) =-20⇒x =2
原=
f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内
f (0) =f (1) =0，记
1⎛1⎫2)1+ln xdx =x ln x -dx +ln xd ln x =x ln x -x +ln x +C ⎪⎰⎝x ⎭⎰⎰M =max 2f (x ) , x ∈[0, 1]。证明：至少存
}
6. 求微分方程 解：r
2
在一点ξ∈(0, 1), 使得f '(ξ) ≥2M
。
y ''-5y '+6y =2e x 的通解。
r =2, 3
证明：设x 0∈(0, 1), f (x 0) =M >0 （若
-5r +6=0
M =0，则f (x ) ≡0显证）
在[0, x 0]f (x ) 满足Lagrange 定理条件
∴齐通解：
y =c 1e 2x +c 2e 3x
非齐一个特解：
y =ae
*x
代入原方程
a =1，
∴通解
四、（8分）：求过点
∃ξ1∈(0, x 0)
y =c 1e 2x +c 2e 3x +e x
在
f '(ξ1) =
f (x 0) -f (0) f (x 0)
=
x 0x 0∃ξ2∈(x 0, 1)
[x 0, 1]
上同样
P (3, 1, -2)
且通过直线
f '(ξ2) =
f (1) -f (x 0) -f (x 0)
=
1-x 01-x 0
∴M
=f (x 0) =x 0f '(ξ1)
原式
1
∴M =f (x 0) =(1-x 0) f '(ξ2)
∴2M
=⎰
s y
y
dy ⎰2dx =⎰(y -y 2)
y
y 1
s y
y
1i
dy =⎰(1-y ) s
ydy =⎰
=x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2)
f '(ξ1) ≥f '(ξ2)
讨论：①当 则
=-cos y 0+y cos y 0-⎰cos ydy =-cos 1+1+cos 1-sin y
11
1
1
2M =x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2) ≤x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ1) =f '(ξ1)
1
2. 计算⎰⎰其中D 由曲线dxdy ， 22
D 1+x +y
②当f '(ξ1) ≤f '(ξ2)
x 2+y 2=1, x =0, y =0在第一象限所
则
2M =x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2) ≤x 0f '(ξ2) +(1-x 0) f '(ξ2) =f '(ξ2)
⎧x =θ令 ⎨
⎩y =r sin θ
证毕。
七（每题5分，共10分，文科类考生必做）： 1. 设z
原式
=f (x 2+y 2) ，其中f (u ) 二阶连续
rdrd θπ21=⎰⎰=+r )
=ln 2041+r D
可导，求
∂z
。 ∂x ∂y
2
x
∂z
=f '⋅2x ∂x
2.
2
∂2z
=2x f ''⋅(2y ) =4xy f ''∂x ∂y
⎰
-1
xe |x |dx
式
原=
⎰xe
-1
1
|x |
dx +⎰xe dx =⎰xde =xe
1
1
2
x
2
x
x 21
-⎰e dx =2e -e -e
1
2
x 2
x 21
八（每题5分，共10分，理工类考生必做）： 1. 计算
=2e 2-e -e 2+e =e 2
x
⎰
1
dx ⎰
x
x
sin y
dy y