一、三角形的等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等。
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
③若两个三角形的高(或底) 相等，其中一个三角形的底(或高) 是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
【例1】
如右图，已知在△ABC 中，BE ＝3AE ，CD ＝2AD 。若△ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。
二、鸟头模型
在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点如图⑴ (或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上) ， 则S △ABC ∶S △ADE ＝(AB ×AC ) ∶(AD ×AE )
【例2】
如图，三角形ABC 的面积是308，D ，E ，F 分别为三角形三边上的点。其中AD ∶CD ＝5∶3，BF ∶CF ＝4∶7，AE ∶BE ＝1∶6。问：阴影部分的小三角形的面积是多少？
【例3】
如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？
三、相似三角形性质(沙漏模型) ：
AD AE DE AF
===
AB AC BC AG ②S △ADE ∶S △ABC ＝AF 2∶AG 2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
【例4】
如图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。
①
四、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”
)
①S 1×S 3＝S 2×S 4
②AO ∶OC ＝(S 1＋S 2) ∶(S 4＋S 3
)
①S 1∶S 3＝a 2∶b 2
②S 1∶S 2∶S 3∶S 4＝a 2∶ab ∶b 2∶ab ③梯形面积S 的对于份数是(a ＋b ) 2
【例5】
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，E 、F 是BC 边上的三等分点，求阴影部分的面积。
【例6】
在直角梯形ABCD 中，AB ＝15厘米，AD ＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
测试题
1．如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。 A ．0.8 B ．1 C ．1.5 D ．2
2．(北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题) 如右图BE ＝
AED 的面积是三角形ABC 面积的______。
A
11
BC ，CD ＝AC ，那么三角形34
D
B
C
A ．
E
1
2
B ．
4 5
C ．
2 3
D．
1 3
3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三
角形ABC 的面积是____。
A
F
C
D
B
E
A ．3 B ．4.5 C ．6.5 D ．8
4．如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积＝5，三角形DOC 的面积＝4，三角形AOB 的面积＝15，求三角形BOC 的面积是多少？
A ．10
B ．12
C ．14
D ．15
5．梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？
A ．56
B ．60
C ．64
D ．72
6．如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积。
A ．12
B ．32
C ．34
D ．40
一、三角形的等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等。
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
③若两个三角形的高(或底) 相等，其中一个三角形的底(或高) 是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
【例1】
如右图，已知在△ABC 中，BE ＝3AE ，CD ＝2AD 。若△ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。
二、鸟头模型
在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点如图⑴ (或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上) ， 则S △ABC ∶S △ADE ＝(AB ×AC ) ∶(AD ×AE )
【例2】
如图，三角形ABC 的面积是308，D ，E ，F 分别为三角形三边上的点。其中AD ∶CD ＝5∶3，BF ∶CF ＝4∶7，AE ∶BE ＝1∶6。问：阴影部分的小三角形的面积是多少？
【例3】
如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？
三、相似三角形性质(沙漏模型) ：
AD AE DE AF
===
AB AC BC AG ②S △ADE ∶S △ABC ＝AF 2∶AG 2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
【例4】
如图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。
①
四、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”
)
①S 1×S 3＝S 2×S 4
②AO ∶OC ＝(S 1＋S 2) ∶(S 4＋S 3
)
①S 1∶S 3＝a 2∶b 2
②S 1∶S 2∶S 3∶S 4＝a 2∶ab ∶b 2∶ab ③梯形面积S 的对于份数是(a ＋b ) 2
【例5】
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，E 、F 是BC 边上的三等分点，求阴影部分的面积。
【例6】
在直角梯形ABCD 中，AB ＝15厘米，AD ＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
测试题
1．如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。 A ．0.8 B ．1 C ．1.5 D ．2
2．(北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题) 如右图BE ＝
AED 的面积是三角形ABC 面积的______。
A
11
BC ，CD ＝AC ，那么三角形34
D
B
C
A ．
E
1
2
B ．
4 5
C ．
2 3
D．
1 3
3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三
角形ABC 的面积是____。
A
F
C
D
B
E
A ．3 B ．4.5 C ．6.5 D ．8
4．如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积＝5，三角形DOC 的面积＝4，三角形AOB 的面积＝15，求三角形BOC 的面积是多少？
A ．10
B ．12
C ．14
D ．15
5．梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？
A ．56
B ．60
C ．64
D ．72
6．如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积。
A ．12
B ．32
C ．34
D ．40