3.2 求导数的公式与法则
一、基本初等函数的导数公式
(1) ，
是常数 (2)
(3)
，特别地，当时，
(4) ，特别地，当
时，
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10) (11)
(12)
(13)
(14)
二、导数的四则运算法则
定理：设函数、是的可导函数，则在点
处有
(1)
此法则可推广至有限个函数的情况，简述为：有限个函数代数和的导数等于导数的代数和．
(2)
此法则可推广至有限个函数的情况．例如，
推论
(
为常数)
(3) （）
可简记为：分式的导数=
．
推论 （为常数），特别地，
典型例题
例3.2.1 求下列各函数之导数． 提示１>> (1) ． (2) ，求
．
(3) ．
(4) ． (5) ．
解
(1)
．
(2) ＝
．
(3)
．
(4) 提示2(*针对(4)(5)*)>>
所以，
同理可得公式： (5)
．
．
所以，
同理可得公式：
课堂练习 (1) 设 A. C. （ (2) 设 （ (3) 设
，则
．
．
＝（ ）
； ．
； B.； D. ：此题是2005年7月的一道试题）
，求
．
：此题是2005年7月的一道试题）
在
可导，而且
，那么函数
也在
可导，且有
=（ ）
A.
； B.
；
C.
； D. ．
（
：此题是2004年1月的一道试题）
例 3.2.2 求
的导数． 提示>>
解
＝
＝
＝
例 3.2.3 解 于是
．
，求
．
三、反函数的求导法则
反函数的求导法则可简记为：反函数的导数等于其直接函数的导数的倒数，即
．
例如，指数函数的反函数，而直接函数
，
的导数为
，是，
，于是由反函数的求导法则可得
＝
又如，
是
的反函数，
的导数
． ，而
的导数是
．
公式表中几个反三角函数的导数公式都是根据三角函数的导数公式推出来的．
四、复合函数的求导法则
复习：函数套函数而得到的函数就是复合函数．
复合函数可以由外而内、由表及里地进行层层分解．分解出的每层函数均为基本初等函数或多项式时，分解是正确的． 例如：为：
可以分解为
．
可以分解为
．
，
，
，这里有两个
，
，
称为中间变量．层次结构
又如，函数中间变量
和．层次结构为：
定理：设
是由函数
在点
及处可导，
复
合而成的函数，并设函数
在对应点的求导法则：
处也可导，则有复合函数
．
此式也可表示为
或
．
其中表示对自变量的导数，简记为，
和表示对中间变量的导数，而和表示中间变量对的导数．
此法则可简述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
注意：此法则可推广至中间变量有两个或两个以上的情形．例如，是的函数，是的函数，是的函数，层次结构为：，则对的导数为
复合函数的求导法则也称为链式法则．
典型例题 例 3.2.4 设 解 令
，
，求，
事实上，上式也可写成
．
．
例 3.2.5 求下列函数的导数 提示>> (1) (2) (3) 解 (1)
，； ； ．
，
．
(2)
，
，
．
(3)
，
，
，
．
对复合函数求导数，熟练后也可省略中间变量，直接由外往里，逐层求导，作乘积．
例如，刚才这个例子可以这样写： (1) (2) (3)
，，，
例 3.2.6 求下列函数的导数 (1) (2) 解
；
；
(1) 因为 所以
，
．
(2) 因为 所以
，
．
例 3.2.7 设
，求
．
解
＝ ．
例 3.2.8 设，求．
解
＝
＝
＝
例 3.2.9 求函数 解
．
的导数． 提示>>
＝ ＝
＝＝．
五、复合函数的求导法则（续）
典型例题 例 3.2.10 设 解 ＝ ＝ ＝ ＝
．
，求
．
例 3.2.11 设 解 当 当 当数．
在各分段子区间内是初等函数，先求时，时，时，由于
，∴在点
，∴
．
，求．
在各分段子区间内的导数． ，
的左、右两侧表达式不同，故应分别考察左、右导
＝
因为当
时，
，所以
，
，
因而 ，
故 又
．
．
因为
在点
的左、右导数都存在且相等，所以
在点
处可导，且
．
综上所述，有
类似地可研究
的导数，得出当
时，
而在
处，我们已在本章的第一节中知道
是不可导的． ，也可以记为 ．
，
和
表示
对中间变量
复习：复合函数链式求导法则的记号：
或
其中的导数，而
表示和
对自变量
的导数，简记为
对
表示中间变量的导数．
例 3.2.12 设 解
是可导函数，
．
，求．
例 3.2.13 设，则＝（ ）．
(A) ； (B) 4； (C) ； (D) ．
解 由题设是的反函数，由反函数的求导法则知
，
将
代入
得方程
，解得
，代入上式，得
．
故此题应选择D ．
例 3.2.14 设可导函数 证 由题设可知：
是奇函数，证明
，两边对
是偶函数．
求导得
，
即
，
所以
是偶函数．
3.2 求导数的公式与法则
一、基本初等函数的导数公式
(1) ，
是常数 (2)
(3)
，特别地，当时，
(4) ，特别地，当
时，
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10) (11)
(12)
(13)
(14)
二、导数的四则运算法则
定理：设函数、是的可导函数，则在点
处有
(1)
此法则可推广至有限个函数的情况，简述为：有限个函数代数和的导数等于导数的代数和．
(2)
此法则可推广至有限个函数的情况．例如，
推论
(
为常数)
(3) （）
可简记为：分式的导数=
．
推论 （为常数），特别地，
典型例题
例3.2.1 求下列各函数之导数． 提示１>> (1) ． (2) ，求
．
(3) ．
(4) ． (5) ．
解
(1)
．
(2) ＝
．
(3)
．
(4) 提示2(*针对(4)(5)*)>>
所以，
同理可得公式： (5)
．
．
所以，
同理可得公式：
课堂练习 (1) 设 A. C. （ (2) 设 （ (3) 设
，则
．
．
＝（ ）
； ．
； B.； D. ：此题是2005年7月的一道试题）
，求
．
：此题是2005年7月的一道试题）
在
可导，而且
，那么函数
也在
可导，且有
=（ ）
A.
； B.
；
C.
； D. ．
（
：此题是2004年1月的一道试题）
例 3.2.2 求
的导数． 提示>>
解
＝
＝
＝
例 3.2.3 解 于是
．
，求
．
三、反函数的求导法则
反函数的求导法则可简记为：反函数的导数等于其直接函数的导数的倒数，即
．
例如，指数函数的反函数，而直接函数
，
的导数为
，是，
，于是由反函数的求导法则可得
＝
又如，
是
的反函数，
的导数
． ，而
的导数是
．
公式表中几个反三角函数的导数公式都是根据三角函数的导数公式推出来的．
四、复合函数的求导法则
复习：函数套函数而得到的函数就是复合函数．
复合函数可以由外而内、由表及里地进行层层分解．分解出的每层函数均为基本初等函数或多项式时，分解是正确的． 例如：为：
可以分解为
．
可以分解为
．
，
，
，这里有两个
，
，
称为中间变量．层次结构
又如，函数中间变量
和．层次结构为：
定理：设
是由函数
在点
及处可导，
复
合而成的函数，并设函数
在对应点的求导法则：
处也可导，则有复合函数
．
此式也可表示为
或
．
其中表示对自变量的导数，简记为，
和表示对中间变量的导数，而和表示中间变量对的导数．
此法则可简述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
注意：此法则可推广至中间变量有两个或两个以上的情形．例如，是的函数，是的函数，是的函数，层次结构为：，则对的导数为
复合函数的求导法则也称为链式法则．
典型例题 例 3.2.4 设 解 令
，
，求，
事实上，上式也可写成
．
．
例 3.2.5 求下列函数的导数 提示>> (1) (2) (3) 解 (1)
，； ； ．
，
．
(2)
，
，
．
(3)
，
，
，
．
对复合函数求导数，熟练后也可省略中间变量，直接由外往里，逐层求导，作乘积．
例如，刚才这个例子可以这样写： (1) (2) (3)
，，，
例 3.2.6 求下列函数的导数 (1) (2) 解
；
；
(1) 因为 所以
，
．
(2) 因为 所以
，
．
例 3.2.7 设
，求
．
解
＝ ．
例 3.2.8 设，求．
解
＝
＝
＝
例 3.2.9 求函数 解
．
的导数． 提示>>
＝ ＝
＝＝．
五、复合函数的求导法则（续）
典型例题 例 3.2.10 设 解 ＝ ＝ ＝ ＝
．
，求
．
例 3.2.11 设 解 当 当 当数．
在各分段子区间内是初等函数，先求时，时，时，由于
，∴在点
，∴
．
，求．
在各分段子区间内的导数． ，
的左、右两侧表达式不同，故应分别考察左、右导
＝
因为当
时，
，所以
，
，
因而 ，
故 又
．
．
因为
在点
的左、右导数都存在且相等，所以
在点
处可导，且
．
综上所述，有
类似地可研究
的导数，得出当
时，
而在
处，我们已在本章的第一节中知道
是不可导的． ，也可以记为 ．
，
和
表示
对中间变量
复习：复合函数链式求导法则的记号：
或
其中的导数，而
表示和
对自变量
的导数，简记为
对
表示中间变量的导数．
例 3.2.12 设 解
是可导函数，
．
，求．
例 3.2.13 设，则＝（ ）．
(A) ； (B) 4； (C) ； (D) ．
解 由题设是的反函数，由反函数的求导法则知
，
将
代入
得方程
，解得
，代入上式，得
．
故此题应选择D ．
例 3.2.14 设可导函数 证 由题设可知：
是奇函数，证明
，两边对
是偶函数．
求导得
，
即
，
所以
是偶函数．