直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式
①AB =
②AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]
③AB =y 2-y 1一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
y 2π
=1的左焦点F 1，作倾斜角为的弦AB ，求AB ；⑵∆F 2AB 的面积（F 2为例1、 过双曲线x -
63
2
双曲线的右焦点）。
y 2
=1截得的弦长； 1、求直线y =x +1被双曲线x -4
2
2、过双曲线16x -9y =144的右焦点作倾斜角为
2
2
π
的弦AB ，求弦长AB ； 3
x 2y 2
-=1截得的弦长为2，求直线L 的方程； 3、已知斜率为2的直线L 被双曲线54
4、过双曲线x 2-y 2=1的左焦点F 2，作倾斜角为（1）弦长AB
（2）△∆F 1AB 的周长（F 2为双曲线的右焦点）
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y =x -2被双曲线截得的弦长为2，求此双曲线的标准方程．
6、已知倾斜角为
π
的直线与双曲线相交于A , B 两点，求： 3
π22
的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线l 的方程． 4
例2、 已知双曲线方程为3x -y =3，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3x -y =3.
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
2
2
22
7、已知中心在原点，顶点A 1, A 2在x
轴上，离心率为（Ⅰ）求双曲线的方程；
的双曲线经过点P (6,6) 3
（Ⅱ）动直线l 经过∆A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M , N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。
题型三：
x 22
9、设双曲线C :2-y =1(a >0)与直线l :x +y =1相交于不同的点A 、B.
a
⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且=
x 22
解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线y ＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知，
a
2
⎧⎪1－a ≠0⎨4
22
⎪4a ＋8a －a ⎩
5
，求a 的值。 12
1＋a ，解得0
6
且e≠2. 2
1， a ∵2且a≠1，∴
→→
555
(2)设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，P(0,1)． ∵PA ， ∴(x1，y 1－1) ＝2，y 2－1) ．∴x 1＝x 2，
121212172a 2522a 2
∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a ≠0， ∴x 2x ＝－
121－a 1221－a 2
2a 228917
消去x 2得，－ ∵a>0，∴a ＝. ＝60131－a
10. 已知双曲线的焦点为F 1(-c , 0)，F 2(c , 0)，过F 2且斜率为，PQ =4，求双曲线方程。 OP ⊥OQ (其中O 为原点）
11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分
3
的直线交双曲线于P 、Q 两点，若5
AB OB 成等差数列，且BF 与FA 同向． 别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知OA （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，OB =m +d 由勾股定理可得：(m -d ) +m =(m +d )
2
2
2
1b AB 4
m ，tan ∠AOF =，tan ∠AOB =tan 2∠AOF == 4a OA 3
b 2
=4，解得b =1,
则离心率e = 由倍角公式∴2
a 23⎛b ⎫
1- ⎪⎝a ⎭
x 2y 2a
（Ⅱ）过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立，将a =
2b ，c =代入，
b a b
得：d =
152化简有2x -
x +21=0
4=1-x 2=4b b x 2y 2解得b =3 故所求的双曲线方程为-=1。 将数值代入，有4=369x 2y 2
12、已知双曲线1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3) 在双曲线上．
a b 11
(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且⋅=0. 求 |OP ||OQ |
2
2
2
2
x 2y 2
解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c －a ＝3a －1，即3x 2－y 2＝3a 2.
a 3a
∵点M (，在双曲线上，∴15－3＝3a 2. ∴a 2＝4. x 2y 2
∴所求双曲线的方程为＝1.
412
x 2y 2
(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0) ，联立＝1，得
412
12⎧2
x =⎪12(k 2＋1)1⎪3-k 2222
∴|OP |＝x ＋y ＝ 则OQ 的方程为y ＝－， ⎨2k 3－k
⎪y 2=12k ⎪3-k 2⎩
1⎫⎛
12 1+2⎪2
3－k 2＋(3k 2－1)2＋2k 2111k ⎭12(k ＋1)⎝2
同理有|OQ |＝＝， ＋＝|OP ||OQ |3k －112(k ＋1)12(k ＋1)63-2
k
13．(2012上海) 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.
(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；
(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1. 若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．
⎛x 2⎫
-y 2=1，左顶点
A -解：(1)双曲线C 1：
2⎪⎪，渐近线方程为：y ＝2x . ⎝⎭
2
过点A 与渐近线y ＝2x
平行的直线方程为y =
x +，即y ＝2x ＋1.
2⎭⎧y =⎪⎧12⎪⎪y =. ∴解方程组⎨，得⎨所求三角形的面积为S ＝|OA ||y |＝.
281y =+1⎪⎪⎩
y =
⎪⎩2
|b |
(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ ＝1，即b 2＝2.
由⎨
⎧y =x +b ⎩2x -y =1
2
2
得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1) 、Q (x 2，y 2) ，则⎨
⎧x 1+x 2=2b ⎩x 1x 2=-1-b
2
又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b ) ，
∴OP ⋅OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2) ＋b 2＝2(－1－b 2) ＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ . (3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |23
，则O 到直线MN 的距离为23
当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx (
显然k >
) ， 2
1⎧2
x =⎪⎧y =kx 1⎪4+k 2
则直线OM 的方程为y ＝－. 由⎨2得⎨ 22k
⎩4x +y =1⎪y 2=k
⎪4+k 2⎩
1＋k 21＋k 22
∴|ON |＝. 同理|OM |＝. 设O 到直线MN 的距离为d .
4＋k 2k －1
2
3k 2＋31113
∵(|OM |＋|ON |) d ＝|OM ||ON |， ＝3，即d ＝. ＝d |OM ||ON |3k ＋1
2
2
2
2
2
综上，O 到直线MN 的距离是定值．
五、能力提升
1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线x -y =1总有公共点，则b 的取值范围是（ ） (A) -3, 3 (B)[-3, 3] (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]
2
2
()
y 2
=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、2．过双曲线x -B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） 2
2
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
x 2y 2b ⎫⎛
3．过点P -1, -⎪的直线l 与双曲线2-2=1(a >0, b >0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰
a b a ⎭⎝
是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）
(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4
x 2y 2
4. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45 的直线与双曲线的右支
a b
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)
6．直线l :y =kx +2与双曲线C :x -y =6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 7. 已知倾斜角为
2
2
π22
的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线l 的方程．
4
x 2y 2
8. 设直线l :y =3x -1与双曲线于2-2=1(a >0, b >0)相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标
a b
为
1
． 2
a 2
(1)求2的值；(2)求双曲线离心率．
b
x 2y 2
9. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，
a b
l d 与PF 2的等比中项？ 能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到的距离
直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式
①AB =
②AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]
③AB =y 2-y 1一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
y 2π
=1的左焦点F 1，作倾斜角为的弦AB ，求AB ；⑵∆F 2AB 的面积（F 2为例1、 过双曲线x -
63
2
双曲线的右焦点）。
y 2
=1截得的弦长； 1、求直线y =x +1被双曲线x -4
2
2、过双曲线16x -9y =144的右焦点作倾斜角为
2
2
π
的弦AB ，求弦长AB ； 3
x 2y 2
-=1截得的弦长为2，求直线L 的方程； 3、已知斜率为2的直线L 被双曲线54
4、过双曲线x 2-y 2=1的左焦点F 2，作倾斜角为（1）弦长AB
（2）△∆F 1AB 的周长（F 2为双曲线的右焦点）
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y =x -2被双曲线截得的弦长为2，求此双曲线的标准方程．
6、已知倾斜角为
π
的直线与双曲线相交于A , B 两点，求： 3
π22
的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线l 的方程． 4
例2、 已知双曲线方程为3x -y =3，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3x -y =3.
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
2
2
22
7、已知中心在原点，顶点A 1, A 2在x
轴上，离心率为（Ⅰ）求双曲线的方程；
的双曲线经过点P (6,6) 3
（Ⅱ）动直线l 经过∆A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M , N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。
题型三：
x 22
9、设双曲线C :2-y =1(a >0)与直线l :x +y =1相交于不同的点A 、B.
a
⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且=
x 22
解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线y ＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知，
a
2
⎧⎪1－a ≠0⎨4
22
⎪4a ＋8a －a ⎩
5
，求a 的值。 12
1＋a ，解得0
6
且e≠2. 2
1， a ∵2且a≠1，∴
→→
555
(2)设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，P(0,1)． ∵PA ， ∴(x1，y 1－1) ＝2，y 2－1) ．∴x 1＝x 2，
121212172a 2522a 2
∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a ≠0， ∴x 2x ＝－
121－a 1221－a 2
2a 228917
消去x 2得，－ ∵a>0，∴a ＝. ＝60131－a
10. 已知双曲线的焦点为F 1(-c , 0)，F 2(c , 0)，过F 2且斜率为，PQ =4，求双曲线方程。 OP ⊥OQ (其中O 为原点）
11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分
3
的直线交双曲线于P 、Q 两点，若5
AB OB 成等差数列，且BF 与FA 同向． 别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知OA （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，OB =m +d 由勾股定理可得：(m -d ) +m =(m +d )
2
2
2
1b AB 4
m ，tan ∠AOF =，tan ∠AOB =tan 2∠AOF == 4a OA 3
b 2
=4，解得b =1,
则离心率e = 由倍角公式∴2
a 23⎛b ⎫
1- ⎪⎝a ⎭
x 2y 2a
（Ⅱ）过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立，将a =
2b ，c =代入，
b a b
得：d =
152化简有2x -
x +21=0
4=1-x 2=4b b x 2y 2解得b =3 故所求的双曲线方程为-=1。 将数值代入，有4=369x 2y 2
12、已知双曲线1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3) 在双曲线上．
a b 11
(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且⋅=0. 求 |OP ||OQ |
2
2
2
2
x 2y 2
解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c －a ＝3a －1，即3x 2－y 2＝3a 2.
a 3a
∵点M (，在双曲线上，∴15－3＝3a 2. ∴a 2＝4. x 2y 2
∴所求双曲线的方程为＝1.
412
x 2y 2
(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0) ，联立＝1，得
412
12⎧2
x =⎪12(k 2＋1)1⎪3-k 2222
∴|OP |＝x ＋y ＝ 则OQ 的方程为y ＝－， ⎨2k 3－k
⎪y 2=12k ⎪3-k 2⎩
1⎫⎛
12 1+2⎪2
3－k 2＋(3k 2－1)2＋2k 2111k ⎭12(k ＋1)⎝2
同理有|OQ |＝＝， ＋＝|OP ||OQ |3k －112(k ＋1)12(k ＋1)63-2
k
13．(2012上海) 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.
(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；
(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1. 若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．
⎛x 2⎫
-y 2=1，左顶点
A -解：(1)双曲线C 1：
2⎪⎪，渐近线方程为：y ＝2x . ⎝⎭
2
过点A 与渐近线y ＝2x
平行的直线方程为y =
x +，即y ＝2x ＋1.
2⎭⎧y =⎪⎧12⎪⎪y =. ∴解方程组⎨，得⎨所求三角形的面积为S ＝|OA ||y |＝.
281y =+1⎪⎪⎩
y =
⎪⎩2
|b |
(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ ＝1，即b 2＝2.
由⎨
⎧y =x +b ⎩2x -y =1
2
2
得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1) 、Q (x 2，y 2) ，则⎨
⎧x 1+x 2=2b ⎩x 1x 2=-1-b
2
又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b ) ，
∴OP ⋅OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2) ＋b 2＝2(－1－b 2) ＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ . (3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |23
，则O 到直线MN 的距离为23
当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx (
显然k >
) ， 2
1⎧2
x =⎪⎧y =kx 1⎪4+k 2
则直线OM 的方程为y ＝－. 由⎨2得⎨ 22k
⎩4x +y =1⎪y 2=k
⎪4+k 2⎩
1＋k 21＋k 22
∴|ON |＝. 同理|OM |＝. 设O 到直线MN 的距离为d .
4＋k 2k －1
2
3k 2＋31113
∵(|OM |＋|ON |) d ＝|OM ||ON |， ＝3，即d ＝. ＝d |OM ||ON |3k ＋1
2
2
2
2
2
综上，O 到直线MN 的距离是定值．
五、能力提升
1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线x -y =1总有公共点，则b 的取值范围是（ ） (A) -3, 3 (B)[-3, 3] (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]
2
2
()
y 2
=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、2．过双曲线x -B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） 2
2
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
x 2y 2b ⎫⎛
3．过点P -1, -⎪的直线l 与双曲线2-2=1(a >0, b >0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰
a b a ⎭⎝
是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）
(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4
x 2y 2
4. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45 的直线与双曲线的右支
a b
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)
6．直线l :y =kx +2与双曲线C :x -y =6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 7. 已知倾斜角为
2
2
π22
的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线l 的方程．
4
x 2y 2
8. 设直线l :y =3x -1与双曲线于2-2=1(a >0, b >0)相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标
a b
为
1
． 2
a 2
(1)求2的值；(2)求双曲线离心率．
b
x 2y 2
9. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，
a b
l d 与PF 2的等比中项？ 能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到的距离