第七节 面积与体积
在小学数学兑赛中，面积或体积的计算，常用变换的方法，如割补、平移、旋转、等积变换，或利用比例关系等，使之化繁为简，化难为惚，使图形转化为能运用基本公式的形式，在变换图形时，常常要从图形的特出发，引辅助或作车辅的图形，这是解题的关键，也是难点。
一、面积的计算
例1 职如图3-33，已知正六边形ABCDEF 的面积是6厘米2，Ｍ、N 、P 分别是AB 、CD 、EF 的中点，求：三角形MNP 的面积。
图3-33 图3-34
【分析1】 如图3-34，分加盟连接正方六边形中心O 和六个顶点，将正六边形分成六个等边三角形，再把每个等边三角形分成4个小等边三欠妥形，则六边形被分成4个小等边三角形，则六边形被分成24个小的等边三角形。
【解1】如图3-34 ，把正六边形分割成24个相同的小等边三角形，△MNP 包含9个这样 S △MNP =6÷24×9=2.25(厘米2)
【分析2】如图3-35 ，又向延长的正六边形的边AB 、CD 、EF ，相交于M' 、N' 、P' ，给正六边形补了三个等边三角形 △N'CB , △P'ED, △M'AF , 得到磊等边三角形MNP ,S △MNP =
14
S △MNP
【解2】延长六边形的三边AB 、CD 、EF ，分辊交于M 、N 、P ，三点。
∵正六边形的每个角都是120°，
∴△NCB ，△PED ，△MAF 都是等边三角形.
又∵这三个等边三角形的边长等于正六边形的边长， 图 3-35 ∴Ｓ△NCB ＝Ｓ△PED ＝Ｓ△MAF ＝
16
ＳABCDEF ＝１（厘米２）
∴S △NCB =SABCDEF +3S△MAP =6+3=9(厘米2) ∴S △MNP =
14
S △MNP =
14
×9=2.25（厘米2）
答：△MNP 的面积是2.25厘米2。
例2 图3-36 所示的四边形ABCD 中，BC=6厘米，∠ABC 为直角，∠BCD=135
°，
点A 到边CD 的垂线段AE=12厘米，又ED ＝5厘米，求四形ABCD 的面积。 【分析】延长AB 交DC 的延长线于F ，由于∠BCD=135°，∠ABC=90°，所以三角形BFC 是等腰直角三角形，且BF=BC=6厘米，从而求S △BFC 。
又由∠AFC=45°，∠AEC=90°，知△AEF 是等腰直角三角形，且EF=AE=12厘米，由此可求出FD 长。
【解】延长AB, 和DC 的延长线相交于于点F ，则有 ∠BCF=180°—135°=45°∠BFC=90°—45°=45°, ∴ BF=BC=6厘米 ∴ S △BFC =
12
×6×6=18(厘米2) 。
在直角△AEF 中，∠AEF=45°, ∠FAE=90°－45°=45°， EF =AF 12 ∴ S △ADF =
12
×12×（12+5）=102（厘米2）
∴ S ABCD =S△ADF －S △BEF =102-18=84（厘米2）. 答：四边形ABCD 的面积是84厘米2.
例3 如图3-37红黄绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形的盒 内，它们之间互相叠合，已知露在外面的部分中，红的面积是20，黄的面积是14，绿的面积是10，求 正方形的底面面积。
图3-37 图 3-38
【分析】把黄色正方形在盒内平移成图3-38，平移后黄色，绿色露在外面部分的面积之和不变（14+10），且黄绿长方形面积相等，求出这两个长方形面积后，可用比例关系求正方形盒 子的底面面积。
【解】如图3--38，平移黄色正方形，则盒中黄绿长方形的面积相等，它们的面积分别为 （10+14）÷2=12
红色，绿色部分面积的比为20：12=5：3，因此，正方形盒子的底面边长被分成5：3的两段，所以，正方形盒子的面积为
（20+12）× 答：正方形盒子的底面面积为51.2
例4 如图3-39，其中有两个90°扇形，大扇形OCD 的半径是6厘米，小扇形OAB 半径是3厘米，OB ⊥BD ，求阴影部分的面积.
5 35
=51.2
图3-39 图3-40
【分析】把△OAC 绕点O 按逆时针方向旋转到△OBD 的们置，则阴影部分就成了90°扇环（图3-40）.
【解】如图3-40，把△OAC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，则OC 与OD 重合，OA 与OB 重合，整个阴影部分就是圆环的 S 阴影
1
4
1122222=π⨯6-π⨯3）≈⨯3.14⨯（6-3）=21.195（厘米）. 44
2
，所以
答：阴影部分的面积为21.195厘米.
例5 如图3-41，在两个正方形中，已知大正方形的边长为8厘米，求阴影部分的面积.
图3-41 图3-42 图3-43 【解】如图，
S ∆AC D =C D ⨯AC ⨯
12,
12
=AC ⨯C D ⨯
12,
S 梯形C D EB (C D +EB ) ⨯BC ⨯∴S ∆AC D =S 梯形C D EB .
去掉重叠部分后，S 阴影=S 扇形ABE ≈
14
⨯3.14⨯8=50.24(厘米).
22
【解2】连接两个正方形的对角线AE 、BD ，则AE ∥BD(图3-43).
122
S 阴影=S扇形ABE ≈×3.14×8=50.24(厘米)
4
例6 如图3-44正方形ABCD 的两积为，1，M 是AB 的中点，求图中阴影部分的面积
.
图3-44 图3-45 图3-46
【解1】如图3-45，连接BD 、BG ，设BD 、AC 交于O. 设S AM G =x .
∵ S 1∆A M D =S ∆A
O =D
4
S
A , B
C D
∴ S ∆G
O D
=S ∆
A O -D
S ∆
A G =D
S ∆
A -M S
D ∆
=A G S D ∆
又∵在△BOA 中，x +x +x =
14
，
∴ x =112
∴S ∆阴影=S ∆A G D +S ∆M C G =2(S ∆A M D -S ) =2⨯111∆A M G
(4-12) =
3
【解2】如图3-44，
∵ S ∆A M D =S 1∆A
M =C
4
,
∴ S ∆A
G D
=S ∆
M C
G
又∵ △AMG 与△AMD 的高相等，△MCG 与△MCD 的高也相等， ∴ S AM G S =S ∆M C G =M G ∆AM D
S ∆M C D
M D
,
即
1-S ∆M C G
∆M C G
1=S 1,
4
2
得
2（
114
-S ∆M C G ）=S∆M C G , S ∆M C G =
6
,
∴ S 1阴影=2S ∆MCG =6
⨯2=
13
= A x
【解3】如图3-46，同解2得
S ∆AM D =S ∆AM C =
14
, S ∆AG D =S ∆M C G .
作△AGD 的AD 边上的高GE ，和△AMG 的AM 边上的高GF ，那么GE=AE=GF=AF(正方形各边相等) 。
∴
S ∆A S ∆A
G D M C
=
AD AM
=2
∴
S A
G
=D
21+2
S ∆
A
=M D
2
⨯
3
1=413
1. 6
∴ S 阴影=2S ∆AG D =
16
⨯2=.
【解4】如图3-47，连接GB ，由正方形的对称性得
S ∆A
B G
=S ∆
A G D
,
图3-47
又∵ S ∆A M G = ∴ S 阴影=2S ∆A
G
12
S ∆A B G =
2
12
S ∆A G D , S ∆
=2⨯M D
2⨯3
1=4
1
=2⨯D
1+2
A
.
3
【解5】如图3-48，设AD 的中点为N ，连接GN ，由正方形的对称性和N 是中点，得 S ∆A G M =S ∆A G N =S ∆G D N , 又S ∆A M D =∴ S ∆A 以下略。
例7 如图3-49，三角形ABC 是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，三角形ADE 是正三角形，点D 在BC 边上，BD:DC=2:3，
当三角形ABC 的面积是50厘米时，三角形ADE 的面积是多少？ 图3-48 【分析】把△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°和240°，得到等边△PBC(如图3-50) 。△ADE 旋转后得到的正六边形DE D 1E 1D 2E 2, 连接D D 1、D 1D 2、D 2D , 可证：
2
M
14
,
=G
13
S ∆
A
11
=⨯=M D
341. 12
图3-49 图3-50 图3-51 如图3-35，连接PD ，可求S ∆BD D , 那么S ∆D D D =S ∆PBC -3S ∆BD D , 则S ∆AD E 可求。
2
1
2
2
【解】把△ABC 按逆时针方向旋转120°和240°，得到等边△PBC ，△ADE 旋转得到
正六边形D ED 1E 1D 2E 2，A 点是正六边形的中心，顺次连接D 、D 1、D 2, 得到∆D D 1E 2. ∴ S ∆A D E =
16S D E D 1E 1
D 16
E 2
, 2S ∆D D D 1=2
13
12
2S ∆D E D E D 1E ，1
2
∴ S ∆A D E =
⨯2S ∆D D 1D 2=S ∆D D D 1. 2
在△PBC 中，连接PD （图3-35）， ∵ B D :D C =
S ∆B
=D 2D
32+325
35
C 1D :
1
D =P
2
P :D
2
D =2B : 3
∴
S ∆
P
=B D
35
2+3
S ∆
2
P B C
=⨯
⨯3S ∆ABC
=
25
⨯
35
⨯3⨯50=36(厘米)
2
又∴ S ∆B ∴ S ∆D
D 1D 2
D 2D
=S ∆-3S ∆
D C 1D
=S ∆
1
D 2P D
,
=S ∆
P B C
B 2D D
=3S ∆
A B C
-3S ∆ 2
B D D
2
=3⨯50-3⨯36=4 ) 厘2米(，
∴ S ∆A D E =
13
S ∆D D 1D 2=
2
13
⨯42=14(厘米).
2
答：△ADE 的面积是14(厘米).
例8 如图3-52，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE 的面积. 【分析】作△ADE 的AD 边上的高EG 得到直角△DGE. 斜边DE 的正方形的边。如图3-52，画弦图，则EG=DH是梯形ABCD
上、下底边长的差一半，从而可求△ADE 面积。 图3-52 【作】△ADE 的AD 边上的高EG ，在正方形CDEF 内画出与△GDE 全等的其他三个三角形，得到如图3-52的弦图。 ∴ E G =D H = ∴ S ∆A
=E
B C -A D
2
=
35-23
=6(厘米，) 2
D
23⨯62
=69厘(米) . 2
（厘米）. 答：△ADE 的面积为69
2
附录：关于弦图
如图3-53，是用四个长为a ，宽为b 的长方形围成的一个边长为(a +
b ) 的正方形，中
间是边长为(a -b ) 的小正方形. 弦图表明了下列代数恒等式：
(a +b ) 2=(a -b ) 2+4ab
图3-53 图3-54
图3-54中每个找方形的对角线把长方形分成两个全等的直角三角形. 设每个直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，四个同样的直角三角形围成一个以直角三角形的斜边c 为边的大正方形，中间围成边长为(a -b ) 的小正方形. 由图3-54可知：
c =(a -b ) +4⨯
2
2
12
ab
=(a -b ) 2+2a b =a 2-2ab +b 2+2ab =a 2+b 2
我国古代三国时期数学家赵爽用这个图形明了勾股定理. 构造弦图，可以使许多小学数学竞赛题得到巧妙的解法.
第七节 面积与体积
在小学数学兑赛中，面积或体积的计算，常用变换的方法，如割补、平移、旋转、等积变换，或利用比例关系等，使之化繁为简，化难为惚，使图形转化为能运用基本公式的形式，在变换图形时，常常要从图形的特出发，引辅助或作车辅的图形，这是解题的关键，也是难点。
一、面积的计算
例1 职如图3-33，已知正六边形ABCDEF 的面积是6厘米2，Ｍ、N 、P 分别是AB 、CD 、EF 的中点，求：三角形MNP 的面积。
图3-33 图3-34
【分析1】 如图3-34，分加盟连接正方六边形中心O 和六个顶点，将正六边形分成六个等边三角形，再把每个等边三角形分成4个小等边三欠妥形，则六边形被分成4个小等边三角形，则六边形被分成24个小的等边三角形。
【解1】如图3-34 ，把正六边形分割成24个相同的小等边三角形，△MNP 包含9个这样 S △MNP =6÷24×9=2.25(厘米2)
【分析2】如图3-35 ，又向延长的正六边形的边AB 、CD 、EF ，相交于M' 、N' 、P' ，给正六边形补了三个等边三角形 △N'CB , △P'ED, △M'AF , 得到磊等边三角形MNP ,S △MNP =
14
S △MNP
【解2】延长六边形的三边AB 、CD 、EF ，分辊交于M 、N 、P ，三点。
∵正六边形的每个角都是120°，
∴△NCB ，△PED ，△MAF 都是等边三角形.
又∵这三个等边三角形的边长等于正六边形的边长， 图 3-35 ∴Ｓ△NCB ＝Ｓ△PED ＝Ｓ△MAF ＝
16
ＳABCDEF ＝１（厘米２）
∴S △NCB =SABCDEF +3S△MAP =6+3=9(厘米2) ∴S △MNP =
14
S △MNP =
14
×9=2.25（厘米2）
答：△MNP 的面积是2.25厘米2。
例2 图3-36 所示的四边形ABCD 中，BC=6厘米，∠ABC 为直角，∠BCD=135
°，
点A 到边CD 的垂线段AE=12厘米，又ED ＝5厘米，求四形ABCD 的面积。 【分析】延长AB 交DC 的延长线于F ，由于∠BCD=135°，∠ABC=90°，所以三角形BFC 是等腰直角三角形，且BF=BC=6厘米，从而求S △BFC 。
又由∠AFC=45°，∠AEC=90°，知△AEF 是等腰直角三角形，且EF=AE=12厘米，由此可求出FD 长。
【解】延长AB, 和DC 的延长线相交于于点F ，则有 ∠BCF=180°—135°=45°∠BFC=90°—45°=45°, ∴ BF=BC=6厘米 ∴ S △BFC =
12
×6×6=18(厘米2) 。
在直角△AEF 中，∠AEF=45°, ∠FAE=90°－45°=45°， EF =AF 12 ∴ S △ADF =
12
×12×（12+5）=102（厘米2）
∴ S ABCD =S△ADF －S △BEF =102-18=84（厘米2）. 答：四边形ABCD 的面积是84厘米2.
例3 如图3-37红黄绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形的盒 内，它们之间互相叠合，已知露在外面的部分中，红的面积是20，黄的面积是14，绿的面积是10，求 正方形的底面面积。
图3-37 图 3-38
【分析】把黄色正方形在盒内平移成图3-38，平移后黄色，绿色露在外面部分的面积之和不变（14+10），且黄绿长方形面积相等，求出这两个长方形面积后，可用比例关系求正方形盒 子的底面面积。
【解】如图3--38，平移黄色正方形，则盒中黄绿长方形的面积相等，它们的面积分别为 （10+14）÷2=12
红色，绿色部分面积的比为20：12=5：3，因此，正方形盒子的底面边长被分成5：3的两段，所以，正方形盒子的面积为
（20+12）× 答：正方形盒子的底面面积为51.2
例4 如图3-39，其中有两个90°扇形，大扇形OCD 的半径是6厘米，小扇形OAB 半径是3厘米，OB ⊥BD ，求阴影部分的面积.
5 35
=51.2
图3-39 图3-40
【分析】把△OAC 绕点O 按逆时针方向旋转到△OBD 的们置，则阴影部分就成了90°扇环（图3-40）.
【解】如图3-40，把△OAC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，则OC 与OD 重合，OA 与OB 重合，整个阴影部分就是圆环的 S 阴影
1
4
1122222=π⨯6-π⨯3）≈⨯3.14⨯（6-3）=21.195（厘米）. 44
2
，所以
答：阴影部分的面积为21.195厘米.
例5 如图3-41，在两个正方形中，已知大正方形的边长为8厘米，求阴影部分的面积.
图3-41 图3-42 图3-43 【解】如图，
S ∆AC D =C D ⨯AC ⨯
12,
12
=AC ⨯C D ⨯
12,
S 梯形C D EB (C D +EB ) ⨯BC ⨯∴S ∆AC D =S 梯形C D EB .
去掉重叠部分后，S 阴影=S 扇形ABE ≈
14
⨯3.14⨯8=50.24(厘米).
22
【解2】连接两个正方形的对角线AE 、BD ，则AE ∥BD(图3-43).
122
S 阴影=S扇形ABE ≈×3.14×8=50.24(厘米)
4
例6 如图3-44正方形ABCD 的两积为，1，M 是AB 的中点，求图中阴影部分的面积
.
图3-44 图3-45 图3-46
【解1】如图3-45，连接BD 、BG ，设BD 、AC 交于O. 设S AM G =x .
∵ S 1∆A M D =S ∆A
O =D
4
S
A , B
C D
∴ S ∆G
O D
=S ∆
A O -D
S ∆
A G =D
S ∆
A -M S
D ∆
=A G S D ∆
又∵在△BOA 中，x +x +x =
14
，
∴ x =112
∴S ∆阴影=S ∆A G D +S ∆M C G =2(S ∆A M D -S ) =2⨯111∆A M G
(4-12) =
3
【解2】如图3-44，
∵ S ∆A M D =S 1∆A
M =C
4
,
∴ S ∆A
G D
=S ∆
M C
G
又∵ △AMG 与△AMD 的高相等，△MCG 与△MCD 的高也相等， ∴ S AM G S =S ∆M C G =M G ∆AM D
S ∆M C D
M D
,
即
1-S ∆M C G
∆M C G
1=S 1,
4
2
得
2（
114
-S ∆M C G ）=S∆M C G , S ∆M C G =
6
,
∴ S 1阴影=2S ∆MCG =6
⨯2=
13
= A x
【解3】如图3-46，同解2得
S ∆AM D =S ∆AM C =
14
, S ∆AG D =S ∆M C G .
作△AGD 的AD 边上的高GE ，和△AMG 的AM 边上的高GF ，那么GE=AE=GF=AF(正方形各边相等) 。
∴
S ∆A S ∆A
G D M C
=
AD AM
=2
∴
S A
G
=D
21+2
S ∆
A
=M D
2
⨯
3
1=413
1. 6
∴ S 阴影=2S ∆AG D =
16
⨯2=.
【解4】如图3-47，连接GB ，由正方形的对称性得
S ∆A
B G
=S ∆
A G D
,
图3-47
又∵ S ∆A M G = ∴ S 阴影=2S ∆A
G
12
S ∆A B G =
2
12
S ∆A G D , S ∆
=2⨯M D
2⨯3
1=4
1
=2⨯D
1+2
A
.
3
【解5】如图3-48，设AD 的中点为N ，连接GN ，由正方形的对称性和N 是中点，得 S ∆A G M =S ∆A G N =S ∆G D N , 又S ∆A M D =∴ S ∆A 以下略。
例7 如图3-49，三角形ABC 是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，三角形ADE 是正三角形，点D 在BC 边上，BD:DC=2:3，
当三角形ABC 的面积是50厘米时，三角形ADE 的面积是多少？ 图3-48 【分析】把△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°和240°，得到等边△PBC(如图3-50) 。△ADE 旋转后得到的正六边形DE D 1E 1D 2E 2, 连接D D 1、D 1D 2、D 2D , 可证：
2
M
14
,
=G
13
S ∆
A
11
=⨯=M D
341. 12
图3-49 图3-50 图3-51 如图3-35，连接PD ，可求S ∆BD D , 那么S ∆D D D =S ∆PBC -3S ∆BD D , 则S ∆AD E 可求。
2
1
2
2
【解】把△ABC 按逆时针方向旋转120°和240°，得到等边△PBC ，△ADE 旋转得到
正六边形D ED 1E 1D 2E 2，A 点是正六边形的中心，顺次连接D 、D 1、D 2, 得到∆D D 1E 2. ∴ S ∆A D E =
16S D E D 1E 1
D 16
E 2
, 2S ∆D D D 1=2
13
12
2S ∆D E D E D 1E ，1
2
∴ S ∆A D E =
⨯2S ∆D D 1D 2=S ∆D D D 1. 2
在△PBC 中，连接PD （图3-35）， ∵ B D :D C =
S ∆B
=D 2D
32+325
35
C 1D :
1
D =P
2
P :D
2
D =2B : 3
∴
S ∆
P
=B D
35
2+3
S ∆
2
P B C
=⨯
⨯3S ∆ABC
=
25
⨯
35
⨯3⨯50=36(厘米)
2
又∴ S ∆B ∴ S ∆D
D 1D 2
D 2D
=S ∆-3S ∆
D C 1D
=S ∆
1
D 2P D
,
=S ∆
P B C
B 2D D
=3S ∆
A B C
-3S ∆ 2
B D D
2
=3⨯50-3⨯36=4 ) 厘2米(，
∴ S ∆A D E =
13
S ∆D D 1D 2=
2
13
⨯42=14(厘米).
2
答：△ADE 的面积是14(厘米).
例8 如图3-52，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE 的面积. 【分析】作△ADE 的AD 边上的高EG 得到直角△DGE. 斜边DE 的正方形的边。如图3-52，画弦图，则EG=DH是梯形ABCD
上、下底边长的差一半，从而可求△ADE 面积。 图3-52 【作】△ADE 的AD 边上的高EG ，在正方形CDEF 内画出与△GDE 全等的其他三个三角形，得到如图3-52的弦图。 ∴ E G =D H = ∴ S ∆A
=E
B C -A D
2
=
35-23
=6(厘米，) 2
D
23⨯62
=69厘(米) . 2
（厘米）. 答：△ADE 的面积为69
2
附录：关于弦图
如图3-53，是用四个长为a ，宽为b 的长方形围成的一个边长为(a +
b ) 的正方形，中
间是边长为(a -b ) 的小正方形. 弦图表明了下列代数恒等式：
(a +b ) 2=(a -b ) 2+4ab
图3-53 图3-54
图3-54中每个找方形的对角线把长方形分成两个全等的直角三角形. 设每个直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，四个同样的直角三角形围成一个以直角三角形的斜边c 为边的大正方形，中间围成边长为(a -b ) 的小正方形. 由图3-54可知：
c =(a -b ) +4⨯
2
2
12
ab
=(a -b ) 2+2a b =a 2-2ab +b 2+2ab =a 2+b 2
我国古代三国时期数学家赵爽用这个图形明了勾股定理. 构造弦图，可以使许多小学数学竞赛题得到巧妙的解法.