Project ：介质球散射准静态近似：
大气中的尘埃和颗粒对太阳光有散射作用。由于瑞利散射的存在，高能射线经由尺寸与其波长相当的散射物散射而发生红移，大部分散射光的频段在紫色和蓝色区段内。从而使天空呈现出蓝色。
普遍的，当散射物的尺寸远小于光的波长时(r
考虑一个介电常数为ε的介质球. 该介质球置于均匀电场E 中，周围为各向同性介质，介电常数为
。求极化后的介质球产生的电场分布。
E 0
解：如图，取极坐标。球心为坐标原点, 并使极轴(Z轴) 沿E 0方向，如图所示，设球内
电势为ϕ1，球外电势为ϕ2，考虑轴对称性, ϕ1, ϕ2由如下给出:
ϕ1=∑(A n r n +
n
B n
) P n (cosθ) r n +1
D n
) P n (cosθ) n +1r
r ≤a
ϕ2=∑(C n r n +
n
r >a
式中, P n (cosθ) 为勒让德多项式, 而边界条件为:
ϕ1|r →0为有限 (1)
ϕ2|r →∞=-rE 0cos θ=-rE 0P 1(cosθ) (2) ϕ1=ϕ2|r =a , ε
(1),(2)⇒B n =0
∂ϕ1∂ϕ
|r =a =εm 2|r =a ∂r ∂r
(3)
C 1=-E 0C n =0(n ≠1)
ϕ1, ϕ2代入条件(3)可得:
D n n
P (cosθ) =A a P n (cosθ) ∑n n n +1
n a n
D n
-εm [E 0P (cosθ) +(n +1) P (cosθ)]=ε∑A n a n -1P n (cosθ) ∑1n +2n
a n n -E 0aP 1(cosθ) +∑
由于P n (cosθ) 的正交性, 要求等式两边P n (cosθ) 的系数都相等, 如此, 可确定系数:
3εm
A =-E
ε+2εm 0
D 1=
ε-εm
E 0a 3
ε+2εm
A n =D n =0
(n ≠1)
最后将各系数代入式(1),(2)可得球内外电势:
3εm ε-εm a 3
ϕ1=-E 0r cos θϕ2=-[1-() ]E 0r cos θ
ε+2εm ε+2εm r
据此可得球内外电场强度为:
3εm E 1=-∇ϕ1=-E 0r
ε+2εm
ε-εm 3 r
E 2=-∇ϕ2=E 0-a (E 0∙∇) 3
ε+2εm r
(4-1) r ≥a
(4-2)
∂ 1∂ 1∂
其中, ∇=e r +e θ+e ϕ, E 0=E 0e i ωt (cosθe r -sin θe θ)
∂r r ∂θr sin θ∂ϕ
代入(4-1),(4-2)可得:
ε-εm a 3 i ωt
E =E 0e [(cosθe r -sin θe θ) +(2cosθe +sin θe r θ)]
ε+2εm r 3
(5)
为了考察过极轴某一截面上的电场分布情况, 可将上式改写为笛卡尔坐标系下的表
达形式. 同样以球心为原点, 并使极轴(Z轴) 沿E 0方向, 建立笛卡尔坐标系(i , j , k ) .
根据(i , j , k ) 与(e r , e θ, e ϕ) 之间的关系:
e r =sin θcos ϕi +sin θsin ϕj +cos θk
e θ=cos θcos ϕi +cos θsin ϕj -sin θk
另有三角函数关系
:
z
cos θ=
r cos ϕ=
sin θ=
sin ϕ=
代入(5)中可得其在笛卡尔坐标系下的表达形式:
3 ε-εm a 3r 2-3z 2 3xz 3yz i ωt ε-εm a E =E 0e [(2i +2j ) +(1-) k ]332
ε+2εm r r r ε+2εm r r
(5)
其中r =
现考察y -z 平面, 取x =0, 有:
3 ε-εm a 3y 2-2z 2 i ωt ε-εm a 3yz E =E 0e [j +(1-) k ]3232ε+2εm r r ε+2εm r r
(6)
故有:
ε-εm a 33yz ε-εm a 3y 2-2z 2 E
||=|j +(1-) k |3232
ε+2εm r r E 0ε+2εm r r
=[|
(6)
21
22
ε-εm 2a 3yz 2ε-εm a y -2z
|(32) +|1-|]32
ε+2εm r r ε+2εm r r
332
针对不同的介质球和外部环境, 调整参数, 使用Matlab 作图即可得到相应的截面图.
以下为直径r=10nm的金纳米颗粒在波长lambda=350nm的入射光的照射下，表面的电场分布示意图。
Project ：介质球散射准静态近似：
大气中的尘埃和颗粒对太阳光有散射作用。由于瑞利散射的存在，高能射线经由尺寸与其波长相当的散射物散射而发生红移，大部分散射光的频段在紫色和蓝色区段内。从而使天空呈现出蓝色。
普遍的，当散射物的尺寸远小于光的波长时(r
考虑一个介电常数为ε的介质球. 该介质球置于均匀电场E 中，周围为各向同性介质，介电常数为
。求极化后的介质球产生的电场分布。
E 0
解：如图，取极坐标。球心为坐标原点, 并使极轴(Z轴) 沿E 0方向，如图所示，设球内
电势为ϕ1，球外电势为ϕ2，考虑轴对称性, ϕ1, ϕ2由如下给出:
ϕ1=∑(A n r n +
n
B n
) P n (cosθ) r n +1
D n
) P n (cosθ) n +1r
r ≤a
ϕ2=∑(C n r n +
n
r >a
式中, P n (cosθ) 为勒让德多项式, 而边界条件为:
ϕ1|r →0为有限 (1)
ϕ2|r →∞=-rE 0cos θ=-rE 0P 1(cosθ) (2) ϕ1=ϕ2|r =a , ε
(1),(2)⇒B n =0
∂ϕ1∂ϕ
|r =a =εm 2|r =a ∂r ∂r
(3)
C 1=-E 0C n =0(n ≠1)
ϕ1, ϕ2代入条件(3)可得:
D n n
P (cosθ) =A a P n (cosθ) ∑n n n +1
n a n
D n
-εm [E 0P (cosθ) +(n +1) P (cosθ)]=ε∑A n a n -1P n (cosθ) ∑1n +2n
a n n -E 0aP 1(cosθ) +∑
由于P n (cosθ) 的正交性, 要求等式两边P n (cosθ) 的系数都相等, 如此, 可确定系数:
3εm
A =-E
ε+2εm 0
D 1=
ε-εm
E 0a 3
ε+2εm
A n =D n =0
(n ≠1)
最后将各系数代入式(1),(2)可得球内外电势:
3εm ε-εm a 3
ϕ1=-E 0r cos θϕ2=-[1-() ]E 0r cos θ
ε+2εm ε+2εm r
据此可得球内外电场强度为:
3εm E 1=-∇ϕ1=-E 0r
ε+2εm
ε-εm 3 r
E 2=-∇ϕ2=E 0-a (E 0∙∇) 3
ε+2εm r
(4-1) r ≥a
(4-2)
∂ 1∂ 1∂
其中, ∇=e r +e θ+e ϕ, E 0=E 0e i ωt (cosθe r -sin θe θ)
∂r r ∂θr sin θ∂ϕ
代入(4-1),(4-2)可得:
ε-εm a 3 i ωt
E =E 0e [(cosθe r -sin θe θ) +(2cosθe +sin θe r θ)]
ε+2εm r 3
(5)
为了考察过极轴某一截面上的电场分布情况, 可将上式改写为笛卡尔坐标系下的表
达形式. 同样以球心为原点, 并使极轴(Z轴) 沿E 0方向, 建立笛卡尔坐标系(i , j , k ) .
根据(i , j , k ) 与(e r , e θ, e ϕ) 之间的关系:
e r =sin θcos ϕi +sin θsin ϕj +cos θk
e θ=cos θcos ϕi +cos θsin ϕj -sin θk
另有三角函数关系
:
z
cos θ=
r cos ϕ=
sin θ=
sin ϕ=
代入(5)中可得其在笛卡尔坐标系下的表达形式:
3 ε-εm a 3r 2-3z 2 3xz 3yz i ωt ε-εm a E =E 0e [(2i +2j ) +(1-) k ]332
ε+2εm r r r ε+2εm r r
(5)
其中r =
现考察y -z 平面, 取x =0, 有:
3 ε-εm a 3y 2-2z 2 i ωt ε-εm a 3yz E =E 0e [j +(1-) k ]3232ε+2εm r r ε+2εm r r
(6)
故有:
ε-εm a 33yz ε-εm a 3y 2-2z 2 E
||=|j +(1-) k |3232
ε+2εm r r E 0ε+2εm r r
=[|
(6)
21
22
ε-εm 2a 3yz 2ε-εm a y -2z
|(32) +|1-|]32
ε+2εm r r ε+2εm r r
332
针对不同的介质球和外部环境, 调整参数, 使用Matlab 作图即可得到相应的截面图.
以下为直径r=10nm的金纳米颗粒在波长lambda=350nm的入射光的照射下，表面的电场分布示意图。