第三章 动量与动量守恒定律习题
一 选择题
1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ）
A. 必为零；
B. 必不为零，合力方向与行进方向相同；
C. 必不为零，合力方向与行进方向相反；
D. 必不为零，合力方向是任意的。
解：答案是C 。
简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = dp = d (m v )= m dv + v d m = v d m 。因d m
2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ）
A. 地面给予两球的冲量相同；
B. 地面给予弹性球的冲量较大；
C. 地面给予非弹性球的冲量较大；
A. 无法确定反冲量谁大谁小。
解：答案是B 。
简要提示：I =m (v 2-v 1)
3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ）
m v m v m v +mg B ．mg C ．-mg D ． ∆t ∆t ∆t
解：答案是D 。
简要提示：F ⋅∆t =m v
4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） A ．
选择题4图
A. 静止不动；
B. 朝质量大的人行走的方向移动；
C. 朝质量小的人行走的方向移动；
D. 无法确定。
解：答案是B 。
简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒：
m 1v 1-m 2v 2+M v '=0，得：v '=-(m 1-m 2) v /M
如果m 1> m2，则v ′
5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ）
A. u B. u /2 C. u /4 D. 0
解：答案是B 。
简要提示：由动量守恒：m 1v 1+m 2v 2=0，v 2-v 1=u ；得v 2=u /2。
6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ）
A. 仍静止； B. 匀速上升； C. 匀速下降； D. 匀加速上升。 解：答案是C 。
简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。
7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是： （ ）
A. 用力蹬冰面
B. 不断划动手臂
C. 躺在冰面上爬行
D. 用力将书包抛出
解：答案是D 。
二 填空题
1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ⋅s ，则两船分离的相对速率为 m ⋅ s –1。
解：答案为：5/6 m ⋅ s –1
简要提示：由动量定理：I =m 1v 1，I =m 2v 2
得：v 1=1/2 m ⋅s -1，v 2=1/3 m ⋅s -1
所以分离速度为v 12=v 1+v 2=5/6 m ⋅s -1
3 2. 一小车质量m 1 = 200 kg，车上放一装有沙子的箱子，
质量m 2 = 100 kg，已知小车与砂箱以v 0 = 3.5 km ⋅ h –1的速率
2一起在光滑的直线轨道上前进，现将一质量m 3 = 50 kg的物体A 垂直落入砂箱中，如图所示，则此后小车的运动速率
为 km ⋅ h –1。 填空题2图 –1解：答案为： 3.0 km ⋅ h
简要提示：系统在水平方向上不受力的作用，所以水平方向的动量守恒：
v=3. 0 km ⋅h -1 (m 1+m 2) v 0=(m 1+m 2+m 3) v ， ∴
3. 初始质量为M 0的火箭在地面附近空间以相对于火箭的速率u 垂直向下喷射燃料，每秒钟消耗的燃料d m /dt 为常数，设火箭初始速度为0，则火箭上升的速率v 与时间函数关系为 。
M 0-gt M
简要提示：由动量定理得到： -mg d t =m d v +u d m 解：答案为：v =u ln
两边积分： ⎰0t -g d t =⎰d v +⎰u 0M 0v M M d m ，得到 -gt =v +u ln ， M 0m
M 0d m -gt ， 式中M =M 0-t d t M
4. 机关枪每分钟发射240发子弹，每颗子弹的质量为10g ，出射速度为900 m ⋅ s –1，则机关枪的平均反冲力为 。
解：答案为：36 N
简要提示：每个子弹受到的冲量为：I =m v
单位时间内子弹受到的平均冲力，即机关枪的平均反冲力：
I 240⨯10⨯10-3⨯900∑F ===36(N ) ∆t 60
5. 乐队队长的指挥棒，是由长为l 的细杆，其两端分别附着两个质量为m 1和m 2的物体所组成，将指挥棒抛入空中，其质心的加速度为 ，质心的轨迹为 。
即 v =u ln
解：答案为：g ； 抛物线。
简要提示：根据质心运动定理。
6. 质量为m =0.2kg的小球系于轻绳的一端，并置于光滑的平板上，绳的另一端穿过平板上的光滑小孔后下垂用手握住。开始时，小球以速率v 1=2.0 m ⋅ s –1作半径为r 1 = 0.5m 的圆周运动；然后将手缓慢下移，直至小球运动半径变为r 2=0.1m。此时小球的运动速率为。
解：答案为：10 m ⋅ s –1
简要提示：由角动量守恒定律得：m v 1r 1=m v 2r 2，v 2=v 1r 1/r 2
7. 哈雷彗星在椭圆轨道上绕日运行，其近日点距离太阳8.9⨯1010m ，远日点距离太阳5.3⨯1012m ，则哈雷彗星在近日点时的速率与远日点时的速率之比为 。
解：答案为：595.5
简要提示：角动量守恒定律
三 计算题
1. 一位高尔夫球运动员打击高尔夫球，给球以大小为50m ⋅ s –1、方向与水平面成30︒ 向上的初速度，设球的质量为0.025 kg ，棒与球接触时间为0.01s ，试求棒、球各受到的冲量大小，球受到的平均冲力大小。
解：以球为对象，由动量原理，球受到的冲量大小为
I = mv - 0= m v = 0.025 ⨯ 50 = 1.25 (N.S)
棒受到的冲量是I ′=-I ，大小仍为I ′=I =1. 25N ⋅S
I 1. 25==125(N) ∆t 0. 01
2. 一股水流从水管中喷射到墙上，若水的速率为5 m ⋅ s –1，水管每秒喷出的水为3⨯10-4m 3，若水不溅散开来，其密度ρ为103 kg ⋅ m –3，试求水作用于墙上的平均冲力。
解：以质量为∆m 的水流为对象，有 球受到的平均冲力大小为： F =
F ∆t =∆m (v -v 0) =-∆m v 0
F =-∆m ∆V v 0=-ρv 0 ∆t ∆t
由牛顿第三定律，墙受到的冲力大小
∆V 3⨯10-43F ′=-F =ρv 0=10⨯⨯5=1. 5(N) ∆t 1
方向与水流速同向。
3. 一辆质量为M 的铁路平板车静止于一条无摩擦的水平直线轨道上，车上站有n 个质量均为m 的人，为使车获得向前的速度，一是n 个人均以相对车为u 的速率一起向后跳下，另一种是n 个人依次以相对车为u 的速率先后跳下车，求证依次跳比一起跳使车获得的速度更大。
解：取平板车和n 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒。选平板车运动方向为正方向，则有
M v +nm (v -u ) =0
所以n 个人同时跳下时，平板车的速度为
nm u M +nm
若一个人、一个人依次跳下，情况就不同了。第一个人跳下时，有动量守恒定律 v =
[M +(n -1) m ]v 1+m (v 1-u ) =0
第二个人跳下时有
[M +(n -2) m ]v 2+m (v 2-u ) =[M +(n -1) m ]v 1 v 2-v 1=mu M +(N -1) m
以次类推，得到当第n 个人跳下时，有
M v n +m (v n -u ) =(M +m ) v n -1， v n -v n -1=mu M +m
联立解得： v n =mu (
因为111++ +) M +m M +2m M +nm 111n ，所以v n >mu >> >=v 。 M +m M +2m M +nm M +nm
4．三物体A 、B 、C 的质量均为m ，连接如图，开始时B 和C 紧依靠，两者之间有长为0.5m 的绳相连，忽略绳和滑轮质量，不计所有摩擦。求：（1）A 、
B 开始运动后经多少时间C 也开始运动？（2）B 和C C B 拉紧后C 开始运动时的速度大小。
解：（1）以A ，B 为对象，由牛顿第二定律得
mg - T = ma
T = ma 计算题4图 A
解得 a =1g 2
2s 4S 12==0. 45s at 得 t =a g 2
( 2 ) 以 A ，B ，C 系统内力远大于外力，动量守恒
1m v +m v =3m v '， 其中v =at =gt =2. 2m ⋅s -1 2
2所以 v ′=v =1. 47m ⋅s -1 3
5．质量为M 的人，手握一质量为m 的物体，此人沿与地面成α角的方向以初速率v 0跳出，当他到达最高点时，将m 以相对速率u 水平向后抛出，试求其跳出距离的增加量。
解：在最高点，抛物瞬间人和物体在水平方向上无外力作用，由水平方向的系统动量守恒
=v -u m v ′+M v =(m +M ) v 0c o αs 其中 v ′
m 代入求得人到达最高点时的速率 v =v 0c o αs +u m +M
m 人的水平速度增量 ∆v =v -v 0cos α=u M +m
α2H v 0s i n =由运动学可求出人从最高点到落地的跳跃时间 t = g g 由s =
故增加距离 ∆x =∆v t =mu v 0sin α (m +M ) g
6. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数归零。然后从高出盒底4.9米处，将小石子流以每秒100个的速率注入盒中。假设每一石子的质量为20克，都从同一高度落下，且落入盒内就停止运动，求石子从开始注入到10秒时秤的读数
解：单位时间内石子对盒子的平均冲力为：
其中
F =∆m 其中v =2gh v ∆t 所以10秒时秤的读数为盒内石子的重量与该平均冲力的和，即：
F =F +Mg =∆m ∆m 2gh +tg =19. 6+196=215. 6(N) ∆t ∆t
7. 一质量为6000 kg的火箭竖直发射，设喷气速率为1000m ⋅ s –1，试问要产生克服火箭重力所需推力和要使火箭获得最初向上的加速度20m ⋅ s –2，这两种情况下
火箭每秒应分别喷出多少气体？
解：在气体d m 喷出前后，系统的动量变化为
d p =(m +d m )(v +d v ) +(-d m )(v -u ) -m v =m d v +u d m
考虑到重力作用， F d t =-mg d t
由系统的动量定理，F d t =d p ，得到：-mg d t =m d v +u d m ，即
d v d m m =-u -mg d t d t
d v 要产生克服火箭重力所需的最小推力(无向上加速度) ，可由=0 求出 d t
mg d m 6000⨯9. 8=-=-=-58. 8(kg ⋅s -1) d t u 1000 d v 要使火箭获得最初向上的加速度a ，可由=a 求出 d t
d m -u -mg =ma d t
m (g +a ) 6000⨯(9. 8+20) d m =-=-=-176. 4(kg ⋅s -1) d t u 1000
8. 求半圆形均匀薄板的质心，薄板的半径为R 。
解：设薄板质量为m ，面密度ρ = 2m / (πR 2) 。如图
所示，由质量分布的对称性易知，板的质心在x 轴上，
根据连续质量分布物体的质心公式
4R ⎰0m m 3π
9. 如图所示，m 1和m 2用质量可略去不计的
刚性细杆相连接，m 1和m 2分别为10kg 和6kg 。
开始时它们静止在xy 上平面上，它们受到如图所
示的外力作用，F 1=8i N ，F 2=6j N 。试求：（1）
它们的质心坐标与时间的函数；（2）系统总动量
与时间的函数。
解：（1）由题意可知，当系统没有受到外力
作用，处于静止状态，其质心坐标为
m x +m 2x 20m 2x 206⨯4x C 0=110===1. 5(m ) m 1+m 2m 1+m 210+6x C =R ⎰x d m =1x ρ2R 2-x 2d x =F 计算题9图
y C 0=m 1y 10+m 2y 20m 1y 1010⨯3===1. 875 (m )
m 1+m 2m 1+m 210+6
而质心速度为 v x C 0=0 v y C 0=0
根据质心运动定理，
(m 1+m 2) d 2x C
d t 2
d 2y C =F x =F 1 =F y =F 2 d t 2
解上述方程，并利用初始条件，得到在任意时刻t 质心坐标为 (m 1+m 2)
x C =1. 5+0. 25t 2 (m) ，y C =1. 875+0. 1875t 2 (m)
故质心C 坐标与时间的函数为：r C =(1. 5+0. 25t 2) i +(1. 875+0. 1875t 2) j (m)
（2）作用在系统上的合力是恒力，由质点系的动量定理，有
F ⋅t =p -p 0=p
所以： p =F ⋅t =(F 1+F 2) ⋅t =(8i +6j ) t =(8t i +6t j ) (kg⋅m ⋅s -1)
10. 一质量为M 的杂技演员，从蹦床上笔直地以初速v 0跳起。当他上升时，他从高于床面为h 的栖木上，拿走一训练过的质量为m 的猴子。求他和猴子最高可达到多高?
2解：演员上升到h 时，速度为： v 1=v 0-2gh
拿走猴子以后的速度v 2为： M v 1=(m +M ) v 2
2和猴子一起上升的最大高度为： h '=v 0/2g 2M 2v 0+2ghm (2M +m ) 所以演员能达到的高度为：H =h +h '=2g (M +m ) 2
11. 一质量为m =2200kg的汽车以v =60km ⋅ h –1的速度沿一平直公路前进。求汽车对公路一侧距公路d =50m的一点的角动量是多大？汽车对公路上任一点的角动量又是多大？
解：如图所示，汽车对公路一侧距公路d =50m的一点P 1的角动量的大小为
60⨯103
L 1=m v r 1sin ϕ1=m v d =2200⨯⨯50=1. 83⨯106(kg⋅m 2⋅s -1) 3600
汽车对公路上任一点P 2的角动量：
L 2=m v r 2sin ϕ2=m v r 2sin 0=0
12. 电子的质量为9.1⨯10-31kg ，在半径为5.3⨯10-11m 的圆周轨道上绕氢原子核作匀速圆周运动，已知电子的角动量为h /2π，(h 为普朗克常量，h =6.63⨯10-34Js) ，求电子的角速度。
解：电子的角动量为：L =m ωr 2，所以：
ω=L
mr 2=4. 1⨯1016rad ⋅s -1
第三章 动量与动量守恒定律习题
一 选择题
1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ）
A. 必为零；
B. 必不为零，合力方向与行进方向相同；
C. 必不为零，合力方向与行进方向相反；
D. 必不为零，合力方向是任意的。
解：答案是C 。
简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = dp = d (m v )= m dv + v d m = v d m 。因d m
2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ）
A. 地面给予两球的冲量相同；
B. 地面给予弹性球的冲量较大；
C. 地面给予非弹性球的冲量较大；
A. 无法确定反冲量谁大谁小。
解：答案是B 。
简要提示：I =m (v 2-v 1)
3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ）
m v m v m v +mg B ．mg C ．-mg D ． ∆t ∆t ∆t
解：答案是D 。
简要提示：F ⋅∆t =m v
4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） A ．
选择题4图
A. 静止不动；
B. 朝质量大的人行走的方向移动；
C. 朝质量小的人行走的方向移动；
D. 无法确定。
解：答案是B 。
简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒：
m 1v 1-m 2v 2+M v '=0，得：v '=-(m 1-m 2) v /M
如果m 1> m2，则v ′
5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ）
A. u B. u /2 C. u /4 D. 0
解：答案是B 。
简要提示：由动量守恒：m 1v 1+m 2v 2=0，v 2-v 1=u ；得v 2=u /2。
6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ）
A. 仍静止； B. 匀速上升； C. 匀速下降； D. 匀加速上升。 解：答案是C 。
简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。
7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是： （ ）
A. 用力蹬冰面
B. 不断划动手臂
C. 躺在冰面上爬行
D. 用力将书包抛出
解：答案是D 。
二 填空题
1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ⋅s ，则两船分离的相对速率为 m ⋅ s –1。
解：答案为：5/6 m ⋅ s –1
简要提示：由动量定理：I =m 1v 1，I =m 2v 2
得：v 1=1/2 m ⋅s -1，v 2=1/3 m ⋅s -1
所以分离速度为v 12=v 1+v 2=5/6 m ⋅s -1
3 2. 一小车质量m 1 = 200 kg，车上放一装有沙子的箱子，
质量m 2 = 100 kg，已知小车与砂箱以v 0 = 3.5 km ⋅ h –1的速率
2一起在光滑的直线轨道上前进，现将一质量m 3 = 50 kg的物体A 垂直落入砂箱中，如图所示，则此后小车的运动速率
为 km ⋅ h –1。 填空题2图 –1解：答案为： 3.0 km ⋅ h
简要提示：系统在水平方向上不受力的作用，所以水平方向的动量守恒：
v=3. 0 km ⋅h -1 (m 1+m 2) v 0=(m 1+m 2+m 3) v ， ∴
3. 初始质量为M 0的火箭在地面附近空间以相对于火箭的速率u 垂直向下喷射燃料，每秒钟消耗的燃料d m /dt 为常数，设火箭初始速度为0，则火箭上升的速率v 与时间函数关系为 。
M 0-gt M
简要提示：由动量定理得到： -mg d t =m d v +u d m 解：答案为：v =u ln
两边积分： ⎰0t -g d t =⎰d v +⎰u 0M 0v M M d m ，得到 -gt =v +u ln ， M 0m
M 0d m -gt ， 式中M =M 0-t d t M
4. 机关枪每分钟发射240发子弹，每颗子弹的质量为10g ，出射速度为900 m ⋅ s –1，则机关枪的平均反冲力为 。
解：答案为：36 N
简要提示：每个子弹受到的冲量为：I =m v
单位时间内子弹受到的平均冲力，即机关枪的平均反冲力：
I 240⨯10⨯10-3⨯900∑F ===36(N ) ∆t 60
5. 乐队队长的指挥棒，是由长为l 的细杆，其两端分别附着两个质量为m 1和m 2的物体所组成，将指挥棒抛入空中，其质心的加速度为 ，质心的轨迹为 。
即 v =u ln
解：答案为：g ； 抛物线。
简要提示：根据质心运动定理。
6. 质量为m =0.2kg的小球系于轻绳的一端，并置于光滑的平板上，绳的另一端穿过平板上的光滑小孔后下垂用手握住。开始时，小球以速率v 1=2.0 m ⋅ s –1作半径为r 1 = 0.5m 的圆周运动；然后将手缓慢下移，直至小球运动半径变为r 2=0.1m。此时小球的运动速率为。
解：答案为：10 m ⋅ s –1
简要提示：由角动量守恒定律得：m v 1r 1=m v 2r 2，v 2=v 1r 1/r 2
7. 哈雷彗星在椭圆轨道上绕日运行，其近日点距离太阳8.9⨯1010m ，远日点距离太阳5.3⨯1012m ，则哈雷彗星在近日点时的速率与远日点时的速率之比为 。
解：答案为：595.5
简要提示：角动量守恒定律
三 计算题
1. 一位高尔夫球运动员打击高尔夫球，给球以大小为50m ⋅ s –1、方向与水平面成30︒ 向上的初速度，设球的质量为0.025 kg ，棒与球接触时间为0.01s ，试求棒、球各受到的冲量大小，球受到的平均冲力大小。
解：以球为对象，由动量原理，球受到的冲量大小为
I = mv - 0= m v = 0.025 ⨯ 50 = 1.25 (N.S)
棒受到的冲量是I ′=-I ，大小仍为I ′=I =1. 25N ⋅S
I 1. 25==125(N) ∆t 0. 01
2. 一股水流从水管中喷射到墙上，若水的速率为5 m ⋅ s –1，水管每秒喷出的水为3⨯10-4m 3，若水不溅散开来，其密度ρ为103 kg ⋅ m –3，试求水作用于墙上的平均冲力。
解：以质量为∆m 的水流为对象，有 球受到的平均冲力大小为： F =
F ∆t =∆m (v -v 0) =-∆m v 0
F =-∆m ∆V v 0=-ρv 0 ∆t ∆t
由牛顿第三定律，墙受到的冲力大小
∆V 3⨯10-43F ′=-F =ρv 0=10⨯⨯5=1. 5(N) ∆t 1
方向与水流速同向。
3. 一辆质量为M 的铁路平板车静止于一条无摩擦的水平直线轨道上，车上站有n 个质量均为m 的人，为使车获得向前的速度，一是n 个人均以相对车为u 的速率一起向后跳下，另一种是n 个人依次以相对车为u 的速率先后跳下车，求证依次跳比一起跳使车获得的速度更大。
解：取平板车和n 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒。选平板车运动方向为正方向，则有
M v +nm (v -u ) =0
所以n 个人同时跳下时，平板车的速度为
nm u M +nm
若一个人、一个人依次跳下，情况就不同了。第一个人跳下时，有动量守恒定律 v =
[M +(n -1) m ]v 1+m (v 1-u ) =0
第二个人跳下时有
[M +(n -2) m ]v 2+m (v 2-u ) =[M +(n -1) m ]v 1 v 2-v 1=mu M +(N -1) m
以次类推，得到当第n 个人跳下时，有
M v n +m (v n -u ) =(M +m ) v n -1， v n -v n -1=mu M +m
联立解得： v n =mu (
因为111++ +) M +m M +2m M +nm 111n ，所以v n >mu >> >=v 。 M +m M +2m M +nm M +nm
4．三物体A 、B 、C 的质量均为m ，连接如图，开始时B 和C 紧依靠，两者之间有长为0.5m 的绳相连，忽略绳和滑轮质量，不计所有摩擦。求：（1）A 、
B 开始运动后经多少时间C 也开始运动？（2）B 和C C B 拉紧后C 开始运动时的速度大小。
解：（1）以A ，B 为对象，由牛顿第二定律得
mg - T = ma
T = ma 计算题4图 A
解得 a =1g 2
2s 4S 12==0. 45s at 得 t =a g 2
( 2 ) 以 A ，B ，C 系统内力远大于外力，动量守恒
1m v +m v =3m v '， 其中v =at =gt =2. 2m ⋅s -1 2
2所以 v ′=v =1. 47m ⋅s -1 3
5．质量为M 的人，手握一质量为m 的物体，此人沿与地面成α角的方向以初速率v 0跳出，当他到达最高点时，将m 以相对速率u 水平向后抛出，试求其跳出距离的增加量。
解：在最高点，抛物瞬间人和物体在水平方向上无外力作用，由水平方向的系统动量守恒
=v -u m v ′+M v =(m +M ) v 0c o αs 其中 v ′
m 代入求得人到达最高点时的速率 v =v 0c o αs +u m +M
m 人的水平速度增量 ∆v =v -v 0cos α=u M +m
α2H v 0s i n =由运动学可求出人从最高点到落地的跳跃时间 t = g g 由s =
故增加距离 ∆x =∆v t =mu v 0sin α (m +M ) g
6. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数归零。然后从高出盒底4.9米处，将小石子流以每秒100个的速率注入盒中。假设每一石子的质量为20克，都从同一高度落下，且落入盒内就停止运动，求石子从开始注入到10秒时秤的读数
解：单位时间内石子对盒子的平均冲力为：
其中
F =∆m 其中v =2gh v ∆t 所以10秒时秤的读数为盒内石子的重量与该平均冲力的和，即：
F =F +Mg =∆m ∆m 2gh +tg =19. 6+196=215. 6(N) ∆t ∆t
7. 一质量为6000 kg的火箭竖直发射，设喷气速率为1000m ⋅ s –1，试问要产生克服火箭重力所需推力和要使火箭获得最初向上的加速度20m ⋅ s –2，这两种情况下
火箭每秒应分别喷出多少气体？
解：在气体d m 喷出前后，系统的动量变化为
d p =(m +d m )(v +d v ) +(-d m )(v -u ) -m v =m d v +u d m
考虑到重力作用， F d t =-mg d t
由系统的动量定理，F d t =d p ，得到：-mg d t =m d v +u d m ，即
d v d m m =-u -mg d t d t
d v 要产生克服火箭重力所需的最小推力(无向上加速度) ，可由=0 求出 d t
mg d m 6000⨯9. 8=-=-=-58. 8(kg ⋅s -1) d t u 1000 d v 要使火箭获得最初向上的加速度a ，可由=a 求出 d t
d m -u -mg =ma d t
m (g +a ) 6000⨯(9. 8+20) d m =-=-=-176. 4(kg ⋅s -1) d t u 1000
8. 求半圆形均匀薄板的质心，薄板的半径为R 。
解：设薄板质量为m ，面密度ρ = 2m / (πR 2) 。如图
所示，由质量分布的对称性易知，板的质心在x 轴上，
根据连续质量分布物体的质心公式
4R ⎰0m m 3π
9. 如图所示，m 1和m 2用质量可略去不计的
刚性细杆相连接，m 1和m 2分别为10kg 和6kg 。
开始时它们静止在xy 上平面上，它们受到如图所
示的外力作用，F 1=8i N ，F 2=6j N 。试求：（1）
它们的质心坐标与时间的函数；（2）系统总动量
与时间的函数。
解：（1）由题意可知，当系统没有受到外力
作用，处于静止状态，其质心坐标为
m x +m 2x 20m 2x 206⨯4x C 0=110===1. 5(m ) m 1+m 2m 1+m 210+6x C =R ⎰x d m =1x ρ2R 2-x 2d x =F 计算题9图
y C 0=m 1y 10+m 2y 20m 1y 1010⨯3===1. 875 (m )
m 1+m 2m 1+m 210+6
而质心速度为 v x C 0=0 v y C 0=0
根据质心运动定理，
(m 1+m 2) d 2x C
d t 2
d 2y C =F x =F 1 =F y =F 2 d t 2
解上述方程，并利用初始条件，得到在任意时刻t 质心坐标为 (m 1+m 2)
x C =1. 5+0. 25t 2 (m) ，y C =1. 875+0. 1875t 2 (m)
故质心C 坐标与时间的函数为：r C =(1. 5+0. 25t 2) i +(1. 875+0. 1875t 2) j (m)
（2）作用在系统上的合力是恒力，由质点系的动量定理，有
F ⋅t =p -p 0=p
所以： p =F ⋅t =(F 1+F 2) ⋅t =(8i +6j ) t =(8t i +6t j ) (kg⋅m ⋅s -1)
10. 一质量为M 的杂技演员，从蹦床上笔直地以初速v 0跳起。当他上升时，他从高于床面为h 的栖木上，拿走一训练过的质量为m 的猴子。求他和猴子最高可达到多高?
2解：演员上升到h 时，速度为： v 1=v 0-2gh
拿走猴子以后的速度v 2为： M v 1=(m +M ) v 2
2和猴子一起上升的最大高度为： h '=v 0/2g 2M 2v 0+2ghm (2M +m ) 所以演员能达到的高度为：H =h +h '=2g (M +m ) 2
11. 一质量为m =2200kg的汽车以v =60km ⋅ h –1的速度沿一平直公路前进。求汽车对公路一侧距公路d =50m的一点的角动量是多大？汽车对公路上任一点的角动量又是多大？
解：如图所示，汽车对公路一侧距公路d =50m的一点P 1的角动量的大小为
60⨯103
L 1=m v r 1sin ϕ1=m v d =2200⨯⨯50=1. 83⨯106(kg⋅m 2⋅s -1) 3600
汽车对公路上任一点P 2的角动量：
L 2=m v r 2sin ϕ2=m v r 2sin 0=0
12. 电子的质量为9.1⨯10-31kg ，在半径为5.3⨯10-11m 的圆周轨道上绕氢原子核作匀速圆周运动，已知电子的角动量为h /2π，(h 为普朗克常量，h =6.63⨯10-34Js) ，求电子的角速度。
解：电子的角动量为：L =m ωr 2，所以：
ω=L
mr 2=4. 1⨯1016rad ⋅s -1