设A、B为两个集合。则AB是指： xAxB ① 即有："xA"是"xB"的充分条件， "xB"是"xA"的必要条件。 反过来，若"xA"是"xB"的充分条件，即xAxB，则AB。 设A、B为两个集合，则A=B是指： xAxB ② 即有："xA"是"xB"的充要条件。 反过来，若"xA"是"xB"的充要条件，即xAxB，则A=B。 设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合： A=， B= 如果AB，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。 反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xA，则一定有xB，从而有AB。 这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合A与集合B的关系即可。有如下结论： ① 若AB，则A是B的充分条件： ② 若A=B，则A是B的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。 总结：小充分大必要，相等是充要。 例题讲解： 例1 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，命题p：A={1，2}，命题q：B={1，2，3，4}。试问：①p是q的什么条件？；②的什么条件？ 解：①由A={1，2}，B={1，2，3，4}得 AB 所以p是q的充分不必要条件 ②从补集角度去分析：p：A在U中的补集，q：B在U中的补集。 即：p ：={3，4，5，6}，q：={5，6} 有 （小的补变大，大的补反而小） 所以的必要补充分条件 例2 已知命题p：|x-2|≥6，q：，若"pq"与"q"同时为假，求x的值。 解：由|x-2|≥6得 P：x≥8，或x≤-4 又 "pq"与"q"同时为假， 所以 p假 q真 从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分，即： x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。 例3 已知命题p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0）若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。 解：由|4-x|≤6解得 -2≤x≤10 所以 p：x10 记p：A={x|x10} 由q：x2-2x+1-a2≥0解得x≥1+a，或x≤1-a 记q：B={x|x≥1+a，或x≤1-a} 因为非p是q的充分不必要条件，即： 从而由。 例4命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根。若"或"为真命题，求的取值范围。 解：由方程有两个不等的正实数根得： 解得 得：p： 由方程无实数根得： 得：q：-3 法一：因为"或"为真命题，有：真假，或p假q真，或和都真。 ① 当真q假时，m的范围是p与q对应集合的交集.即： ②当p假真时，m的范围是p与q对应集合的交集，即： ③当和都真时，m的范围是p、q对应集合的交集，即： 综合①②③（取并集）得：m 法二：直接将p、q解出的m在数轴上表示出来取并集即可。 由数轴可得：m 例5 已知：p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。 解：由方程x2+mx+1=0有两个不等的负根得： 得：p：m>2 由方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根得：得得：q：1 法一：由p或q为真，p且q为假得：p真q假，或p假q真两种情况。 ①当p真q假时，有 ②当p假q时，有 由①②（取并）得： 法二：直接将p、q解出的m呈现在数轴上取并集后挖去公共部分剩于部分。 由数轴可得：
设A、B为两个集合。则AB是指： xAxB ① 即有："xA"是"xB"的充分条件， "xB"是"xA"的必要条件。 反过来，若"xA"是"xB"的充分条件，即xAxB，则AB。 设A、B为两个集合，则A=B是指： xAxB ② 即有："xA"是"xB"的充要条件。 反过来，若"xA"是"xB"的充要条件，即xAxB，则A=B。 设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合： A=， B= 如果AB，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。 反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xA，则一定有xB，从而有AB。 这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合A与集合B的关系即可。有如下结论： ① 若AB，则A是B的充分条件： ② 若A=B，则A是B的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。 总结：小充分大必要，相等是充要。 例题讲解： 例1 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，命题p：A={1，2}，命题q：B={1，2，3，4}。试问：①p是q的什么条件？；②的什么条件？ 解：①由A={1，2}，B={1，2，3，4}得 AB 所以p是q的充分不必要条件 ②从补集角度去分析：p：A在U中的补集，q：B在U中的补集。 即：p ：={3，4，5，6}，q：={5，6} 有 （小的补变大，大的补反而小） 所以的必要补充分条件 例2 已知命题p：|x-2|≥6，q：，若"pq"与"q"同时为假，求x的值。 解：由|x-2|≥6得 P：x≥8，或x≤-4 又 "pq"与"q"同时为假， 所以 p假 q真 从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分，即： x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。 例3 已知命题p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0）若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。 解：由|4-x|≤6解得 -2≤x≤10 所以 p：x10 记p：A={x|x10} 由q：x2-2x+1-a2≥0解得x≥1+a，或x≤1-a 记q：B={x|x≥1+a，或x≤1-a} 因为非p是q的充分不必要条件，即： 从而由。 例4命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根。若"或"为真命题，求的取值范围。 解：由方程有两个不等的正实数根得： 解得 得：p： 由方程无实数根得： 得：q：-3 法一：因为"或"为真命题，有：真假，或p假q真，或和都真。 ① 当真q假时，m的范围是p与q对应集合的交集.即： ②当p假真时，m的范围是p与q对应集合的交集，即： ③当和都真时，m的范围是p、q对应集合的交集，即： 综合①②③（取并集）得：m 法二：直接将p、q解出的m在数轴上表示出来取并集即可。 由数轴可得：m 例5 已知：p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。 解：由方程x2+mx+1=0有两个不等的负根得： 得：p：m>2 由方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根得：得得：q：1 法一：由p或q为真，p且q为假得：p真q假，或p假q真两种情况。 ①当p真q假时，有 ②当p假q时，有 由①②（取并）得： 法二：直接将p、q解出的m呈现在数轴上取并集后挖去公共部分剩于部分。 由数轴可得：