函数的单调性，函数的奇偶性，反函数
[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。 (1) 设x 1，x 2是定义域上的任意两个值，且x 1
(2) 作差f(x1)-f(x2) 并将其变形为可判断符号的形式； (3) 判断f(x1)-f(x2) 的正、负； (4) 结论
理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。
(1) 函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。 (2) f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。
由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而
f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。 (3) 若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。 (4) 若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。
(5) 同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6) 定义在R 上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=
[f(x)+f(-x)]。
理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。 (1) 由原函数y=f(x)求出它的值域；
(2) 由原函数y=f(x)反解出x=f-1
(y)； (3) 交换x ，y 改写成y=f-1(x)；
(4) 用f(x)的值域确定f -1(x)的定义域。
[例题分析]
例1．证明函数f(x)=
在定义域上的单调性。
[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x 2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1]
[0，+∞)。
函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只
需任取x 1
==
当-∞0。
∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。 当0≤x10。
>0。
∴ f(x1)-f(x2)
例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。
[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1
由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+
=[f(x1)-f(x2)]·[1-]
∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。
∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，
0，
∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。
例3．证明函数f(x)=的奇偶性。
[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。
由
函数f(x)定义域为[-1，0) (0，1]。
∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即
f(x)=
，由f(-x)=
=-f(x)，
∴ f(x)是奇函数。 例4．设f(x)是定义在R 上的函数，对任意x 1，x 2∈R ，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ，且f(x)不恒为0，证明
f(x)的奇偶性。
[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R ，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x 1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，
对任意x ∈R ，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)， ∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R 上的奇函数。
例5．已知函数f(x)= (a，b ，c ∈Z) 是奇函数，且f(1)=2，f(2)
(1)求a ，b ，c 的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1) 上的单调性。
[分析与解答](1) ∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即
=-，解出c=0，
∴
f(x)=，∵ f(1)=2，∴
=2，∴ 2b=a+1。
∵ f(2)＜3
，∴
∵ a ，b ，c ∈Z ，∴ a=0或a=1。当a=0时，
b=不合题意，舍去，当a=1时，b=1。综上，a=b=1，
c=0。
(2) f(x)==x+。任取0
f(x1)-f(x2)=x1+-x 2-=(x1-x 2)+=(x1-x 2)(1-)
∵ 0
，>1，1-
∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1) 上的单调递减函数。 例6．证明函数f(x)=
(x≠
) 的图象关于直线y=x对称。
[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=
(x≠
) 的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。
。
∴ f(x)
的值域为{y|y≠，y ∈R}。
由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。
∵
y≠
，∴ ay-1≠0，x=
，即f -1(x)=
( x≠
) ，显然f(x)与f -1(x)是同一函数，
所求f(x)的图象关于直线y=x对称。 [参考练习]
1．设f(x)是定义在R 上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（ ）。 A 、增函数且是奇函数 B 、增函数且是偶函数 C 、减函数且是奇函数 D 、减函数且是偶函数
2．已知y=f(x)是R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x ，则f(x)在R 上的表达式是（ ）。 A 、y=x(x-2) B 、y=x(|x|-1) C 、y=|x|·(x-2) D 、y=x(|x|-2) 3．若点(1，2) 在函数y=
的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ）。
A 、a=3，b=-7 B 、a=3，b=7 C 、a=-3，b=-7 D 、a=-3，b=7
4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（ ）。 A 、f(3)+f(4)>0 B 、f(-3)-f(2)0 5．设f(x)是定义在(-1，1) 上的奇函数且是单调减函数，求解关于x 的不等式f(1-x)+f(1-x2)
[参考答案]：
1. A 2. D 3. D 4. D
5. 由f(1-x)+f(1-x2)
. 不等式的解集为
{x|0
函数的单调性，函数的奇偶性，反函数
[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。 (1) 设x 1，x 2是定义域上的任意两个值，且x 1
(2) 作差f(x1)-f(x2) 并将其变形为可判断符号的形式； (3) 判断f(x1)-f(x2) 的正、负； (4) 结论
理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。
(1) 函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。 (2) f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。
由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而
f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。 (3) 若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。 (4) 若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。
(5) 同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6) 定义在R 上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=
[f(x)+f(-x)]。
理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。 (1) 由原函数y=f(x)求出它的值域；
(2) 由原函数y=f(x)反解出x=f-1
(y)； (3) 交换x ，y 改写成y=f-1(x)；
(4) 用f(x)的值域确定f -1(x)的定义域。
[例题分析]
例1．证明函数f(x)=
在定义域上的单调性。
[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x 2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1]
[0，+∞)。
函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只
需任取x 1
==
当-∞0。
∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。 当0≤x10。
>0。
∴ f(x1)-f(x2)
例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。
[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1
由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+
=[f(x1)-f(x2)]·[1-]
∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。
∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，
0，
∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。
例3．证明函数f(x)=的奇偶性。
[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。
由
函数f(x)定义域为[-1，0) (0，1]。
∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即
f(x)=
，由f(-x)=
=-f(x)，
∴ f(x)是奇函数。 例4．设f(x)是定义在R 上的函数，对任意x 1，x 2∈R ，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ，且f(x)不恒为0，证明
f(x)的奇偶性。
[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R ，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x 1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，
对任意x ∈R ，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)， ∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R 上的奇函数。
例5．已知函数f(x)= (a，b ，c ∈Z) 是奇函数，且f(1)=2，f(2)
(1)求a ，b ，c 的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1) 上的单调性。
[分析与解答](1) ∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即
=-，解出c=0，
∴
f(x)=，∵ f(1)=2，∴
=2，∴ 2b=a+1。
∵ f(2)＜3
，∴
∵ a ，b ，c ∈Z ，∴ a=0或a=1。当a=0时，
b=不合题意，舍去，当a=1时，b=1。综上，a=b=1，
c=0。
(2) f(x)==x+。任取0
f(x1)-f(x2)=x1+-x 2-=(x1-x 2)+=(x1-x 2)(1-)
∵ 0
，>1，1-
∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1) 上的单调递减函数。 例6．证明函数f(x)=
(x≠
) 的图象关于直线y=x对称。
[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=
(x≠
) 的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。
。
∴ f(x)
的值域为{y|y≠，y ∈R}。
由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。
∵
y≠
，∴ ay-1≠0，x=
，即f -1(x)=
( x≠
) ，显然f(x)与f -1(x)是同一函数，
所求f(x)的图象关于直线y=x对称。 [参考练习]
1．设f(x)是定义在R 上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（ ）。 A 、增函数且是奇函数 B 、增函数且是偶函数 C 、减函数且是奇函数 D 、减函数且是偶函数
2．已知y=f(x)是R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x ，则f(x)在R 上的表达式是（ ）。 A 、y=x(x-2) B 、y=x(|x|-1) C 、y=|x|·(x-2) D 、y=x(|x|-2) 3．若点(1，2) 在函数y=
的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ）。
A 、a=3，b=-7 B 、a=3，b=7 C 、a=-3，b=-7 D 、a=-3，b=7
4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（ ）。 A 、f(3)+f(4)>0 B 、f(-3)-f(2)0 5．设f(x)是定义在(-1，1) 上的奇函数且是单调减函数，求解关于x 的不等式f(1-x)+f(1-x2)
[参考答案]：
1. A 2. D 3. D 4. D
5. 由f(1-x)+f(1-x2)
. 不等式的解集为
{x|0