教学目标:〈一〉知识与技能1. 知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值2. 在具体情境中了解概率的意义〈二〉教学思考让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程, 丰富对随机现象的体验, 体会概率是描述不确定现象规律的数学模型. 初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题在分组合作学习过程中积累数学活动经验, 发展学生合作交流的意识与能力. 锻炼质疑、独立思考的习惯与精神, 帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观在合作探究学习过程中, 激发学生学习的好奇心与求知欲. 体验数学的价值与学习的乐趣. 通过概率意义教学, 渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件【教学过程】一、创设情境, 引出问题教师提出问题:周末市体育场有一场精彩的篮球比赛, 老师手中只有一张球票, 小强与小明都是班里的篮球迷, 两人都想去. 我很为难, 真不知该把球给谁. 请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生:抓阄、抽签、猜拳、投硬币, 教师对同学的较好想法予以肯定.(学生肯定有许多较好的想法, 在众多方法中推举出大家较认可的方法. 如抓阄、投硬币) 追问, 为什么要用抓阄、投硬币的方法呢? 由学生讨论:这样做公平. 能保证小强与小明得到球票的可能性一样大在学生讨论发言后, 教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件, 尽管事先不能确定正面朝上还上反面朝上, 但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的, 各占一半, 所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑:那么, 这种直觉是否真的是正确的呢? 引导学生以投掷壹元硬币为例, 不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明:现实中不确定现象是大量存在的, 新课标指出:学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的, 设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际, 很容易激发学生的学习热情, 教师应对此予以肯定, 并鼓励学生积极思考, 为课堂教学营造民主和谐的气氛, 也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二 、动手实践, 合作探究1. 教师布置试验任务.(1)明确规则. 把全班分成10组, 每组中有一名学生投掷硬币, 另一名同学作记录, 其余同学观察试验必须在同样条件下进行.(2)明确任务, 每组掷币50次, 以实事求是的态度, 认真统计正面朝上 的频数及 正面朝上的频率, 整理试验的数据, 并记录下来..2. 教师巡视学生分组试验情况. 注意:(1).观察学生在探究活动中, 是否积极参与试验活动、是否愿意交流等, 关注学生是否积极思考、勇于克服困难.(2).要求真实记录试验情况. 对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.3. 各组汇报实验结果. 由于试验次数较少, 所以有可能有些组试验获得的正面朝上的频率与先前的猜想有出入. 提出问题:是不是我们的猜想出了问题? 引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上, 启发学生分析讨论产生差异的原因. 使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性, 同时相信随机事件发生的频率也有规律性, 引导他们小组合作, 进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数, 鉴于课堂时间有限, 引导学生进行全班交流合作.4. 全班交流. 把各组测得数据一一汇报, 教师将各组数据记录在黑板上. 全班同学对数据进行累计, 按照书上P140要求填好25-2. 并根据所整理的数据, 在25.1-1图上标注出对应的点, 完成统计图. 表25-2抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500正面向上的频数正面向上的频率想一想1(投影出示). 观察统计表与统计图, 你发现正面向上的频率有什么规律? 注意学生的语言表述情况, 意思正确予以肯定与鼓励. 正面朝上的频率在0.5上下波动. 想一想2(投影出示) 随着抛掷次数增加, 正面向上的频率变化趋势有何规律? 在学生讨论的基础上, 教师帮助归纳. 使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性, 同时发现随机事件发生的频率也有规律性. 在试验次数较少时, 正面朝上的频率起伏较大, 而随着试验次数的逐渐增加, 一般地, 频率会趋于稳定, 正面朝上的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的. 我们就用0.5这个常数表示正面向上发生的可能性的大小. 说明:注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难. 通过以上实践探究活动, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律, 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小(概率). 鼓励学生在学习中要积极合作交流, 思考探
究. 学会倾听别人意见, 勇于表达自己的见解. 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据, 利用计算机模拟掷硬币试验的课件, 丰富学生的体验、提高课堂教学效率, 使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中, 事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 .其实, 历史上有许多着名数学家也做过掷硬币的试验. 让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表(看书P141表25-3). 表25-3试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m) 正面向上频率(m/n)棣莫弗 2048 1061 0.518布丰 4040 2048 0.5069费勒 10000 4979 0.4979皮尔逊 12000 6019 0.5016皮尔逊 24000 12012 0.5005通过以上学生亲自动手实践, 电脑辅助演示, 历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律, 大量重复试验中, 事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近, 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小(概率). 同时, 又感受到无论试验次数多么大, 也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率. 在探究学习过程中, 应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等, 鼓励学生在学习中不怕困难积极思考, 敢于表达自己的观点与感受, 养成实事求是的科学态度.5. 下面我们能否研究一下反面向上的频率情况? 学生自然可依照正面朝上的研究方法, 很容易总结得出:反面向上的频率也相应稳定到0.5. 教师归纳:(1)由以上试验, 我们验证了开始的猜想, 即抛掷一枚质地均匀的硬币时, 正面向上与反面向上的可能性相等(各占一半). 也就是说, 用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.(2)在实际生活还有许多这样的例子, 如在足球比赛中, 裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等. 说明:这个环节, 让学生亲身经历了猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程, 在真实数据的分析中形成数学思考, 在讨论交流中达成知识的主动建构, 为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫. 三、评价概括, 揭示新知问题1. 通过以上大量试验, 你对频率有什么新的认识? 有没有发现频率还有其他作用? 学生探究交流. 发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值(或常数) 估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论, 学生不难有以上认识. 对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正, 但要求不必过高. 归纳:以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小. 那么我们给这样的常数一个名称, 引入概率定义. 给出概率定义(板书):一般地, 在大量重复试验中, 如果事件A 发生的频率 会稳定在某个常数p 附近, 那么这个常数p 就叫做事件A 的概率(probability), 记作P(A)= p.注意指出:1.概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.2. 概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值, 即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率, 但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题2. 频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率. 另一方面, 大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率) 附近, 说明概率是个定值, 而频率随不同试验次数而有所不同, 是概率的近似值, 二者不能简单地等同. 说明:猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解, 使之明确频率与概率的联系, 也使本节课教学重难点得以突破. 为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然, 学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的. 这节课教学应把握教学难度, 注意关注学生接受情况. 四. 练习巩固, 发展提高. 学生练习1. 书上P143. 练习.1. 巩固用频率估计概率的方法.2. 书上P143. 练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况, 帮助学生解决遇到的问题. 五. 归纳总结, 交流收获:1.学生互相交流这节课的体会与收获, 教师可将学生的总结与板书串一起, 使学生对知识掌握条理化、系统化.2. 在学生交流总结时, 还应注意总结评价这节课所经历的探索过程, 体会到的数学价值与合作交流学习的意义. 【作业设计】(1)完成P144 习题25.1 2、4(2)课外活动分小组活动, 用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率
教学目标:〈一〉知识与技能1. 知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值2. 在具体情境中了解概率的意义〈二〉教学思考让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程, 丰富对随机现象的体验, 体会概率是描述不确定现象规律的数学模型. 初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题在分组合作学习过程中积累数学活动经验, 发展学生合作交流的意识与能力. 锻炼质疑、独立思考的习惯与精神, 帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观在合作探究学习过程中, 激发学生学习的好奇心与求知欲. 体验数学的价值与学习的乐趣. 通过概率意义教学, 渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件【教学过程】一、创设情境, 引出问题教师提出问题:周末市体育场有一场精彩的篮球比赛, 老师手中只有一张球票, 小强与小明都是班里的篮球迷, 两人都想去. 我很为难, 真不知该把球给谁. 请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生:抓阄、抽签、猜拳、投硬币, 教师对同学的较好想法予以肯定.(学生肯定有许多较好的想法, 在众多方法中推举出大家较认可的方法. 如抓阄、投硬币) 追问, 为什么要用抓阄、投硬币的方法呢? 由学生讨论:这样做公平. 能保证小强与小明得到球票的可能性一样大在学生讨论发言后, 教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件, 尽管事先不能确定正面朝上还上反面朝上, 但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的, 各占一半, 所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑:那么, 这种直觉是否真的是正确的呢? 引导学生以投掷壹元硬币为例, 不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明:现实中不确定现象是大量存在的, 新课标指出:学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的, 设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际, 很容易激发学生的学习热情, 教师应对此予以肯定, 并鼓励学生积极思考, 为课堂教学营造民主和谐的气氛, 也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二 、动手实践, 合作探究1. 教师布置试验任务.(1)明确规则. 把全班分成10组, 每组中有一名学生投掷硬币, 另一名同学作记录, 其余同学观察试验必须在同样条件下进行.(2)明确任务, 每组掷币50次, 以实事求是的态度, 认真统计正面朝上 的频数及 正面朝上的频率, 整理试验的数据, 并记录下来..2. 教师巡视学生分组试验情况. 注意:(1).观察学生在探究活动中, 是否积极参与试验活动、是否愿意交流等, 关注学生是否积极思考、勇于克服困难.(2).要求真实记录试验情况. 对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.3. 各组汇报实验结果. 由于试验次数较少, 所以有可能有些组试验获得的正面朝上的频率与先前的猜想有出入. 提出问题:是不是我们的猜想出了问题? 引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上, 启发学生分析讨论产生差异的原因. 使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性, 同时相信随机事件发生的频率也有规律性, 引导他们小组合作, 进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数, 鉴于课堂时间有限, 引导学生进行全班交流合作.4. 全班交流. 把各组测得数据一一汇报, 教师将各组数据记录在黑板上. 全班同学对数据进行累计, 按照书上P140要求填好25-2. 并根据所整理的数据, 在25.1-1图上标注出对应的点, 完成统计图. 表25-2抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500正面向上的频数正面向上的频率想一想1(投影出示). 观察统计表与统计图, 你发现正面向上的频率有什么规律? 注意学生的语言表述情况, 意思正确予以肯定与鼓励. 正面朝上的频率在0.5上下波动. 想一想2(投影出示) 随着抛掷次数增加, 正面向上的频率变化趋势有何规律? 在学生讨论的基础上, 教师帮助归纳. 使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性, 同时发现随机事件发生的频率也有规律性. 在试验次数较少时, 正面朝上的频率起伏较大, 而随着试验次数的逐渐增加, 一般地, 频率会趋于稳定, 正面朝上的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的. 我们就用0.5这个常数表示正面向上发生的可能性的大小. 说明:注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难. 通过以上实践探究活动, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律, 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小(概率). 鼓励学生在学习中要积极合作交流, 思考探
究. 学会倾听别人意见, 勇于表达自己的见解. 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据, 利用计算机模拟掷硬币试验的课件, 丰富学生的体验、提高课堂教学效率, 使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中, 事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 .其实, 历史上有许多着名数学家也做过掷硬币的试验. 让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表(看书P141表25-3). 表25-3试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m) 正面向上频率(m/n)棣莫弗 2048 1061 0.518布丰 4040 2048 0.5069费勒 10000 4979 0.4979皮尔逊 12000 6019 0.5016皮尔逊 24000 12012 0.5005通过以上学生亲自动手实践, 电脑辅助演示, 历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律, 大量重复试验中, 事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近, 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小(概率). 同时, 又感受到无论试验次数多么大, 也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率. 在探究学习过程中, 应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等, 鼓励学生在学习中不怕困难积极思考, 敢于表达自己的观点与感受, 养成实事求是的科学态度.5. 下面我们能否研究一下反面向上的频率情况? 学生自然可依照正面朝上的研究方法, 很容易总结得出:反面向上的频率也相应稳定到0.5. 教师归纳:(1)由以上试验, 我们验证了开始的猜想, 即抛掷一枚质地均匀的硬币时, 正面向上与反面向上的可能性相等(各占一半). 也就是说, 用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.(2)在实际生活还有许多这样的例子, 如在足球比赛中, 裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等. 说明:这个环节, 让学生亲身经历了猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程, 在真实数据的分析中形成数学思考, 在讨论交流中达成知识的主动建构, 为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫. 三、评价概括, 揭示新知问题1. 通过以上大量试验, 你对频率有什么新的认识? 有没有发现频率还有其他作用? 学生探究交流. 发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值(或常数) 估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论, 学生不难有以上认识. 对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正, 但要求不必过高. 归纳:以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小. 那么我们给这样的常数一个名称, 引入概率定义. 给出概率定义(板书):一般地, 在大量重复试验中, 如果事件A 发生的频率 会稳定在某个常数p 附近, 那么这个常数p 就叫做事件A 的概率(probability), 记作P(A)= p.注意指出:1.概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.2. 概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值, 即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率, 但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题2. 频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率. 另一方面, 大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率) 附近, 说明概率是个定值, 而频率随不同试验次数而有所不同, 是概率的近似值, 二者不能简单地等同. 说明:猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解, 使之明确频率与概率的联系, 也使本节课教学重难点得以突破. 为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然, 学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的. 这节课教学应把握教学难度, 注意关注学生接受情况. 四. 练习巩固, 发展提高. 学生练习1. 书上P143. 练习.1. 巩固用频率估计概率的方法.2. 书上P143. 练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况, 帮助学生解决遇到的问题. 五. 归纳总结, 交流收获:1.学生互相交流这节课的体会与收获, 教师可将学生的总结与板书串一起, 使学生对知识掌握条理化、系统化.2. 在学生交流总结时, 还应注意总结评价这节课所经历的探索过程, 体会到的数学价值与合作交流学习的意义. 【作业设计】(1)完成P144 习题25.1 2、4(2)课外活动分小组活动, 用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率