§3-4對數函數與指數函數
(1)要討論對數函數的導函數，首先觀查察f (x )=loga x 在x =1處的導數。
x −log 1f (x ) −f (1) f (x ) −f (1) log a x −1x −1a
==log a ，故lim =lim log a
x →1x →1x −1x −1x −1
要求上式的級限值，要先知道lim x
x →1
−1
之值，令t =x −1，則可得：
lim x
x →1
−1
=lim (1+t ) ，是故我們必須對
t →0
lim(1+t ) 作一些探討。
t →0
(a)e 的引進：
111
根據前面的證明，可定義e =lim n n ⇒ e =lim (1+) x ，令t x ⇒lim (1+t ) =e
x →∞n →∞t →0x
(b)對數函數的導函數 f (x )=loga x ⇒f /(x )=？
x x −1f (x ) −f (α) /
=lim log a () 設α為正數，計算f (α)=lim
x →αx →αx −αα
111x x −αt +αt
因為lim () =lim () =e α
x →α
α
t →0
α
1
⇒ f(α)=loga e αlog a e 。
α
/
1
結論：
11x /
) 與成正比，比例常數為log a e 。 (1)f (x )=loga x ⇒ f /(x )=x a e 即(loga
x
(2)考慮a =e ，在數學及其他科學中經常會碰到，所以特稱為自然對數函數，
x
符號log e =ln x 。
1d
dx x x
111d
dx a x x a x )=x ln a 1
(5)∫dx =ln |x |+c
x
[例題1] 試求下列各小題f /(x )
(1)f (x ) =ln(sinx ) 0
x −1(x 3+4) x
(3)f (x ) =ln (5)f (x ) =log sin (4)f (x ) =log 53
x +1
(6)f (x ) =log 3x
2
−x +1
[例題2] 試求下列各題的導函數：
dy f /(x )
。 (1)設y =ln f (x ) ，試證：=
dx f (x )
(2)y =(x +1)(x 2+1)(x +2) 2
(x −3) 3(x −1) 41+sin x
(4) (3)y =y =2
1−sin x (x +2)
12x 2
++2 Ans ：(2)y /=(x +1)(x 2+1)(x +2) 2(
x +1x +1x +2421+sin x (x −3) 3(x −1) 43//
y ) (4) +−((3)y ==
x −3x −1x +2cos x 1−sin x (x +2) 2
(練習1) 試求下列各導函數：
(1)y =log (2x ⋅sin x ) (2)f (x ) =ln(x 3⋅ln x )
(sec x +tan x )
(3)y =log 10 (4)y =log 3x −x +1
1131sec x 2x −1
Ans ：(1)(cotx +(2)+(3)(4)
ln 2x x x ln x ln 102(x 2−x +1) ln 3
2
(練習2) 試求
(x −1)(x −2) dy
(2)y =x sin x ：y =
(x −3)(x −4) dx
Ans：
1(x −1)(x −2) 1111
(+−−
2(x −3)(x −4) x −1x −2x −3x −4
sin x
) x
(1)
(2)x sin x (cos x ln x +
[例題3] (1)∫
1dx x
dx =? dx =? (2)∫2
1x +10x +2
π0x 2−2
dx =?(4)∫tan x dx =? (3)∫3
−1x −6x +10
2
e 2e ln x 1
=? (6)∫dx (5)∫1e x x ln x
−11
(5)1 (6)ln2 Ans ：(1)ln2 (2)2−ln2) (3)3ln6 (4)ln2
3
4
e ln x 2x
(練習3) (1)∫2dx =? (2)∫=?
0x +113x
32
e (ln x ) πdx =?(4) ∫πcot x dx =? (3)∫1x 4
(4)ln2 Ans ：(1)ln5 (2)32
1
[例題4] y =x x =2，x =4，x 軸圍成之面積為何? 又此區域繞x 軸旋轉一周所得
π
的立體體積為何? Ans：ln2，4
[例題5] (1)若x >0，試證ln(1+x ) >
x
。 1+x
ln(1+x )
的增減情形。 (2)當x >0時，試討論f (x ) =
x b
(3)若0
11⎞⎛1
[例題6] 試求lim ⎜++⋅⋅⋅+⎟=? Ans：ln2
n →∞n +1n +22n ⎠⎝
(1)指數函數的導函數
(a x ) /= lna ⋅a x
[證明]：設f (x )=a x ，g (x )=loga x ⇒h (x )=g (f (x ))=x
11
⇒h /(x )=g /(f (x )) ⋅f /(x )=1 ⇒(ln a a ⋅f /(x )=1 ⇒f /(x )=lna ⋅a x 。
特別：當a =e 時，可得(e x ) /=e x 結論：
(e x ) /=e x (1) (a x ) /= lna ⋅a x (2)
d d
求(1)dx a bx ) =？ (2) dx x r )=？ [例題7]
[例題8] 試求下列各導函數：
(1)y =e x (2)y =x 2e 2x (3)y =e
2
2
x 2+1
(4)y =e (lnx ) (5)y =e sin x x e
x 2+
22
Ans ：(1)2xe x (2)2x e 2x +2x 2e 2x (3)(5)2x cos x 2e sin x
2
x 2+1
(4)e 3x (2x +3x 2)
[例題9] 求下列各導函數：
(1)y =46x (2)y =10x (3)y =3x 2 (4)y =x 3⋅7x (5)y =2e Ans ：(1)6ln4⋅46x (2)2ln10⋅x ⋅10x (3)6x
(4)7x ⋅x 2⋅(3+x ln 7) (5)2e 4x ⋅2ln 2
2
22x
(練習4) 若已知
d d x d 1d
(lnx ) =(e x ) =e x ，則試導出(logx ) =? (a ) =? a dx x dx dx dx
(練習5) (1)
d sin x 2d (e ) =？(2)(x 2⋅e 3x ) =？(3)y =(1−e 4x ) 2，y /=？ dx dx
2
(4) y =25x ⋅3x
(2)指數函數的積分
β
(a)∫e x dx =e x |α
a b
y /=？(5)f (x ) =24x
2
2
+1
f /(1) =？
2
Ans ：(1)2x cos x 2e sin x (2)e 3x (2x +3x 2) (3)8e 4x (e 4x −1) (4)3x ⋅25x (5ln 2+2x ln 3)
1β
⋅a x |α
αln a [例題10] 試求下列各積分的值： (b)∫a x dx =
β
(1)∫e dx =? (2)∫2dx =? (3)∫xe x dx =?
x
1
2x
21
2
(4)∫(e x +e −x ) 2dx =? (5)∫(3x 2+1) exp(x 3+x −1) dx =?
1
10
1
1211
Ans ：(1)2e 2−ln22e −1) (4)2e 2−e −2)+2 (5)e −e −1
222e x
(練習6) (1)∫(3e +1) dx =? (2)∫x dx =? (3)∫(e x −dx =?(4)∫5x dx =?
100e +10x
24
Ans ：(1)3e 2−1(2)ln(e +1) −ln 2(3)e 2−2ln 2−e ln5
2
x
1
[例題11] 關於曲線Γ：y =lnx
(1)過原點O 與Γ相切之直線方程式為?
(2)曲線Γ與切線L 及x 軸所圍成之曲域R 的面積為何？
1e −2e 21
(3)R繞y 軸旋轉，所得的旋轉體體積=？Ans ：(1)y =e 2π(62
x 2
[例題12] (1)x >0，證明：e >1+x +2
(2)試求lim x ⋅e −x =？ 0
x
x →∞
(3)試描繪f (x )=x ⋅e −x 之圖形，並求其極值及漸近線方程式。 Ans ：(2)0
(練習7) 求二曲線y =e x , y =e −x 與二直線x =1，x =−1所圍成區域之面積。
Ans ：2(e +e −1) −4
(練習8) y =f (x )=x ⋅e x ，試求(1)f /(x ) =? (2)f //(x ) =? (3)極小點 (4)反曲點
12
Ans：(1)e x (x +1) (2)e x (x +2) (3)(−1, −) (4)(−2, −2)
e e (練習9) 曲線y =e x 與直線x =1，x =−1及x 軸所圍成的區域為R 。
(1)R的面積為? (2)R繞x 軸旋轉所得的體積為?
1π
Ans ：(1)e −e 2e 2−e −2)
(1)分部積分法：
設u (x ) 、v (x ) 均為一階連續可微分 因為d (uv )=udv +vdu
兩邊積分可得uv =∫u dv +∫v du 。
⇒∫u dv =uv −∫v du 。這稱為不定積分的部分分式公式。
部分分式將需要計算的積分∫u dv 轉化為另一個積分uv −∫v du ，因此計算的關鍵是選取適當的函數u (x ) 、v (x ) 。
[例題13] 計算下列不定積分：
(1)∫xe x dx (2)∫x ⋅(lnx ) 2dx
x
x
12x 222
Ans ：(1)xe −e 2x ⋅(lnx ) −x ⋅ln x +2
[例題14] 設I m =∫
dx
，請利用分部積分法建立 22m
(x +a )
x
遞迴式I m = (x +a ) m (Im −a 2⋅I m +1) 。
(練習10) 計算下列不定積分：
(1)∫e ax sin bx dx (2) ∫e ax cos bx dx
11
Ans ：a +b e ax (a sin bx −b cos bx )+C (2) a +b e ax (b sin bx +a cos bx )+C
(練習11) 計算下列不定積分：
(1)∫x ⋅cos 2x dx (2)∫x 2⋅sin 2x dx (3)∫x ⋅tan −1x dx d (tan−1x ) 1
[提示：dx 1+x 1111
Ans ：2x ⋅sin2x +2x 2x ⋅sin2x +2x −x 2cos2x )+C 1
2x 2+1)tan−1x −x ]+C
e 2
(練習12) 計算1ln x dx =？ Ans ：e e
11e 3x
(練習13) ∫x dx =? (2)∫x dx =?
0e +10e +1
e 2e +11
Ans：2e 22−ln(e +1)+ln2 [提示：可令u =e x ]
1
(2)有理函數、三角有理函數的積分法： (a)有理函數的積分法：
P(x ) P /(x ) P /(x )
當degP(x ) ≥degQ(x ) 時，R(x )= Q(x ) f (x )+ Q(x ) ，其中Q(x ) R(x ) 不定積分的計算只須考慮真分式不定積分的計算。
設P(x ) 為首項係數=1的n 次實係數多項式，利用代數基本定理與實係數方程式虛根成對的性質，可將P(x ) 化成
P(x )=(x −a 1) i 1(x −a 1) i 2…(x −a s ) i s (x 2−p 1x +q 1) j 1(x 2−p 2x +q 2) j 2…(x 2−p t x +q t ) j t p k 2−4q k
Q(x )
因此 P(x ) 總能分解成下列4種最簡分式的和： A A A x +BA x +B x −a (x −a ) x +px +q (x +px +q )
(m >1，p 2−4q
p 2p 22
因為x +px +q =(x +2+q −4
1111
可得4x −a (x −a ) x +a (x +a )
而這些最簡的分式都是可以積分的：
1
∫x −a dx =ln|x −a |+C
111−m
dx x −a ) +C ∫(x −a ) m 1−m 11−1x dx ∫x 2+a 2a a x 12
=I，由分部積分法可得遞迴式I = m (I−a ⋅I m +1) ， m m m ∫(x 2+a 2) m (x +a )
1x
因為I 1a −1a ，可以計算出I m 。
總之，根據上面的推導可知，有理函數的積分，理論上而言均可以積分出來，只要我們能將有理函數分解成一些最簡分式的和。
115x 2+1
[例題15] 計算不定積分：∫dx 。Ans 9x +1|+7ln|x −2|−x −2(x +1)(x −2)
P(x ) P(x )
設P(x ) 、Q(x ) 是x 的多項式，Q(x ) x 的有理函數，記為R(x )= Q(x )
x −111+x 22x
[例題16] 求不定積分：∫dx 。Ans 2242(1+x (1+x ) ) (x +1)(x +1)
(b)三角有理函數的積分：
三角有理函數是由sin x 、cos x 與常數經過有限次四則運算而得到的代數有理x
式，記為R(sinx ,cos x ) 。對有理函數的不定積分∫R (sinx , cos x ) dx ，可以令t 2後，一定能化成t 的有理函數的不定積分∫R 1(t ) dt ，在根據有理函數的不定積分法去求不定積分∫R 1(t ) dt 。
2t 1−t 2x
[過程]：t 2⇒ sinx = 1+t ，cos x = 1+t
2dx
dt 1+t
2t 1−t 22
⋅dt 。 , ) ⇒∫R (sinx , cos x ) dx =∫R (222
1+t 1+t 1+t
x x 1+sin x
[例題17] 求不定積分∫dx =？Ans ：22ln|cos21+cos x
(練習14) 求不定積分：∫(練習15) 求不定積分：∫
π
5−312x +3
dx =？Ans ：x x −1|326x +2|+C x 3+x 2−2x
x cos x
dx =？ Ans：x −tan 21+cos x
ππ111(練習16) (a)∫πdx =? ( c)∫dx =? dx =? (b)∫00cos x 1+sin x sin x
Ans ：3 (b)ln(2+3 ) (c)1
(1)一個現象的成長或衰微的狀況，如果能以函數來表示，則通常可以該函數 的導函數來表示變化率。
(2)假設某一現象的變化率與現象本身成正比， 則這種現象與指數函數有密切的關係。
[例題18] 細菌在適當的環境下繁殖的速度與當時的細菌數成正比，若t 時刻的細
菌數為f (t ) ，則在t 時刻細菌的增加率f /(t ) 與f (t ) 成正比。假設t =0時的細菌數為n 0，而f /(t )=kf (t )(k >0)，求時刻a 時的細菌數。
[例題19] 放射性元素的衰變率與當時原子核數量成正比。意思是說：若在t 時刻
的原子核數為f (t ) ，則在時刻t 衰變的速度f /(t ) 與f (t ) 成正比(但比值為負數) 。假設t=0時原子核的數為n 0，而f /(t )=−kf (t )(k >0)，求時刻a 時的原子核數f (a ) 。
(練習17) (1)上例中，設原子核經過T 時刻數量會減至原來的一半，此時T 稱為
ln2
半衰期。求上例中T=？ Ans ：k (2)鐳之半衰期為約1600年，今有150mg 之純鐳，
(a)試求經過t 年後之剩餘量。(b)經過多少年僅存30mg 。
Ans ：150×2
−t 1600
，3715年。
[例題20] 牛頓的冷卻定律是說
物體溫度的變率(冷卻) 跟物體溫度與周圍的溫度之差成正比。
假設有一支金屬棒放入水中，如果水的溫度保持固定為20°C ，而2分鐘後金屬棒的溫度由50°C 降到40°C ，試求6分鐘後金屬棒的溫度。
260Ans ：9C
(練習18) 小明在大湖邊烤肉，湖水溫度測定為20o c ，10點正時，他把一根熱金
屬棒放入水中，10點零2分取回金屬棒，測得其溫度為40o c ，然後立刻把金屬棒又放入湖水中。10點零6分，取出再測其溫度為30o c 。問
小明第一次把金屬棒放入水中時，金屬棒的溫度約為多少度？
(A)30°C~40°C (B)40°C~50°C ( C)50°C~60°C D)60°C~70°C(E)70°C~80°C Ans ：(B)
1. 求下列各小題的導數或導函數：
4π
(a)f (x )=ln(cosx ) (0
2d 12
(d)f (x ) =3x +1 (e)ln(x ++x 2) (f)f (x ) =e x , f //(0) =？
dx 2
2x 3/ /23 /
Ans ：(a)f (x )=−tan x (b)f (x )=(3x +1)exp(x +x −1) (c) f(x )= ln2⋅(x +1)
1 /x 2+1
(d) f(x )=(2ln3)x ⋅3x +12. 試求下列各定積分之值：
4
e ln x 1411
dx (b)∫32x dx (c)∫3sin x cos x dx (d)∫(+2x ) dx (a)∫0100x x +122522x
dx (f)∫3xe x dx (g)∫(e x +1+1) d x (e)∫2
0x +101
413
Ans ：(a)2 (b)ln33e −1)(d)16+ln5 (e)ln5(f)2e 4−1) (g)e 6−e 2+4 3. 求下列不定積分：
x 21x
Ans ：2x )+sin(lnx 4x −2x tan x 4. 試求下列各定積分之值：
(a)∫cos(lnx ) dx (b)∫x (lnx ) dx (c)∫sec 3x dx
52dt 3x +11
(a)∫ (b)dx (c)∫3(x −2)(x +3) ∫12x 2+3x −2dx e 1−t 2
1(e +1)2194
2e +1543
e 2
1
5. (a)試求 y =ln 5x 在點(, 0) 的切線方程式。
52−1+5
Ans ：(a)5x −y −1=0(b)
2(b)設曲線y =e sin x (0≤x ≤
π
) 的反曲點為(a , e sin a ) ，則si n a
1
6. 設a >0，令R 表示由x 軸、y 軸，直線x=a，以及曲線y x +1試求
(a)R繞x 軸旋轉。所得旋轉體之體積。 (b)R繞y 軸旋轉。所得旋轉體之體積。
πa
Ans ：1+a a π−2πln(1+a ) 7. 試證：不論x 是任何正數，1−
1
≤ln x ≤x −1都成立。 x
8. 試證：不論x 是任何的實數，e x ≥1+x 都成立。
9. (a)設r 為大於1的正數，試證：(1−x ) r >1−rx 對每一個小於1 但不為0的x 都成立。
(b)利用(a)證明：若−1
1b 1a
ln x
的增減情形，並求其極值。 x 2
1
Ans ：當0e 時為減函數；極大值2e
11. 一放射性元素的樣本在10年內衰變了80%，則此放射性元素之半衰期為何？Ans ：10log 52年 12. 設f (x ) =xe x ，(a)試求f /(x ), f //(x ), f ///(x ) 。
(b)試由(1)推測f (n ) (x ) ，並利用數學歸納法證明之。
x 7π
13. 設函數F (x ) =∫t sin t dt 。考慮此2內
(a)已知x =x 0時F(x ) 有最小值，則x 0為
3π5π
(A)π (B)2π (D)2π Ans ：( C)
7π
(b)此函數在開區間(0,2內有多少個反曲點？
(A)0個(B) 1個( C) 2個(D) 3個(E) 4個 Ans ：(D)
π1+sin θ+i cos θ
14. 設z =的實部為ℜ(z ) ，則z ，∫ℜ(z ) d θ01+sin θ−i cos θ
Ans ：1 ,2
15. 定積分ln a =∫
11
dx 可視為f (x x x =1，x =a ，x 軸所圍成的面積， 1x
其中a 為正數。
(a)試證：若0
1111
>1) (b)已知ln e =1，以定積分的性質，證明 2
56712
a
k +11k +1111
16. (a)設k k +1∫dx k (考慮∫dx 的幾何意義)
k k x x
1
π
n
∞
11，並藉此解釋為發散級數。 ∑∑k k k =1k =1n
17. 計算I n =∫2sin n x dx ，n =0,1,2,..
n −1
(a)請利用分部積分法求出遞迴式I n =n I n −2。
π
8
(c)請計算∫2sin 5x dx =？ Ans 150
2n 2n −222n −12n −31π
…3I 2n 2n …⋅ (b)I2n +12n +12n −12n −22218. 設I n (x )=∫
x
t n
2
2
+a
證明當x ≥2時，n I n (x )=x n −1x +a −(n −1) a 2I n −2(x ) 。
dt (a >0，n 為自然數)
19. 警方在早上7：00發現一具屍體，法醫測得屍體的溫度是23.1°C ，屍體所在房間的溫度是12.1°C 。兩個小時之後他又測了一次，屍體的溫度是17.6°C 。由此法醫根據牛頓冷卻定律可以得知這個人的死亡時間是何時？ Ans ：約發現屍體的2.36小時前 20. 中國學者在長沙市馬王堆漢朝墓地於1972年出土，考古學家測得同時出土的木炭標本的C 14原子衰變為每分鐘29.78，而考古學家在測得新燒成的木炭的C 14原子衰變為每分鐘38.37次，試估計該墓地建成的年代。 (C14的半衰期為5730年)
573029.78
Ans ：ln238.37(約2085) 年
§3-4對數函數與指數函數
(1)要討論對數函數的導函數，首先觀查察f (x )=loga x 在x =1處的導數。
x −log 1f (x ) −f (1) f (x ) −f (1) log a x −1x −1a
==log a ，故lim =lim log a
x →1x →1x −1x −1x −1
要求上式的級限值，要先知道lim x
x →1
−1
之值，令t =x −1，則可得：
lim x
x →1
−1
=lim (1+t ) ，是故我們必須對
t →0
lim(1+t ) 作一些探討。
t →0
(a)e 的引進：
111
根據前面的證明，可定義e =lim n n ⇒ e =lim (1+) x ，令t x ⇒lim (1+t ) =e
x →∞n →∞t →0x
(b)對數函數的導函數 f (x )=loga x ⇒f /(x )=？
x x −1f (x ) −f (α) /
=lim log a () 設α為正數，計算f (α)=lim
x →αx →αx −αα
111x x −αt +αt
因為lim () =lim () =e α
x →α
α
t →0
α
1
⇒ f(α)=loga e αlog a e 。
α
/
1
結論：
11x /
) 與成正比，比例常數為log a e 。 (1)f (x )=loga x ⇒ f /(x )=x a e 即(loga
x
(2)考慮a =e ，在數學及其他科學中經常會碰到，所以特稱為自然對數函數，
x
符號log e =ln x 。
1d
dx x x
111d
dx a x x a x )=x ln a 1
(5)∫dx =ln |x |+c
x
[例題1] 試求下列各小題f /(x )
(1)f (x ) =ln(sinx ) 0
x −1(x 3+4) x
(3)f (x ) =ln (5)f (x ) =log sin (4)f (x ) =log 53
x +1
(6)f (x ) =log 3x
2
−x +1
[例題2] 試求下列各題的導函數：
dy f /(x )
。 (1)設y =ln f (x ) ，試證：=
dx f (x )
(2)y =(x +1)(x 2+1)(x +2) 2
(x −3) 3(x −1) 41+sin x
(4) (3)y =y =2
1−sin x (x +2)
12x 2
++2 Ans ：(2)y /=(x +1)(x 2+1)(x +2) 2(
x +1x +1x +2421+sin x (x −3) 3(x −1) 43//
y ) (4) +−((3)y ==
x −3x −1x +2cos x 1−sin x (x +2) 2
(練習1) 試求下列各導函數：
(1)y =log (2x ⋅sin x ) (2)f (x ) =ln(x 3⋅ln x )
(sec x +tan x )
(3)y =log 10 (4)y =log 3x −x +1
1131sec x 2x −1
Ans ：(1)(cotx +(2)+(3)(4)
ln 2x x x ln x ln 102(x 2−x +1) ln 3
2
(練習2) 試求
(x −1)(x −2) dy
(2)y =x sin x ：y =
(x −3)(x −4) dx
Ans：
1(x −1)(x −2) 1111
(+−−
2(x −3)(x −4) x −1x −2x −3x −4
sin x
) x
(1)
(2)x sin x (cos x ln x +
[例題3] (1)∫
1dx x
dx =? dx =? (2)∫2
1x +10x +2
π0x 2−2
dx =?(4)∫tan x dx =? (3)∫3
−1x −6x +10
2
e 2e ln x 1
=? (6)∫dx (5)∫1e x x ln x
−11
(5)1 (6)ln2 Ans ：(1)ln2 (2)2−ln2) (3)3ln6 (4)ln2
3
4
e ln x 2x
(練習3) (1)∫2dx =? (2)∫=?
0x +113x
32
e (ln x ) πdx =?(4) ∫πcot x dx =? (3)∫1x 4
(4)ln2 Ans ：(1)ln5 (2)32
1
[例題4] y =x x =2，x =4，x 軸圍成之面積為何? 又此區域繞x 軸旋轉一周所得
π
的立體體積為何? Ans：ln2，4
[例題5] (1)若x >0，試證ln(1+x ) >
x
。 1+x
ln(1+x )
的增減情形。 (2)當x >0時，試討論f (x ) =
x b
(3)若0
11⎞⎛1
[例題6] 試求lim ⎜++⋅⋅⋅+⎟=? Ans：ln2
n →∞n +1n +22n ⎠⎝
(1)指數函數的導函數
(a x ) /= lna ⋅a x
[證明]：設f (x )=a x ，g (x )=loga x ⇒h (x )=g (f (x ))=x
11
⇒h /(x )=g /(f (x )) ⋅f /(x )=1 ⇒(ln a a ⋅f /(x )=1 ⇒f /(x )=lna ⋅a x 。
特別：當a =e 時，可得(e x ) /=e x 結論：
(e x ) /=e x (1) (a x ) /= lna ⋅a x (2)
d d
求(1)dx a bx ) =？ (2) dx x r )=？ [例題7]
[例題8] 試求下列各導函數：
(1)y =e x (2)y =x 2e 2x (3)y =e
2
2
x 2+1
(4)y =e (lnx ) (5)y =e sin x x e
x 2+
22
Ans ：(1)2xe x (2)2x e 2x +2x 2e 2x (3)(5)2x cos x 2e sin x
2
x 2+1
(4)e 3x (2x +3x 2)
[例題9] 求下列各導函數：
(1)y =46x (2)y =10x (3)y =3x 2 (4)y =x 3⋅7x (5)y =2e Ans ：(1)6ln4⋅46x (2)2ln10⋅x ⋅10x (3)6x
(4)7x ⋅x 2⋅(3+x ln 7) (5)2e 4x ⋅2ln 2
2
22x
(練習4) 若已知
d d x d 1d
(lnx ) =(e x ) =e x ，則試導出(logx ) =? (a ) =? a dx x dx dx dx
(練習5) (1)
d sin x 2d (e ) =？(2)(x 2⋅e 3x ) =？(3)y =(1−e 4x ) 2，y /=？ dx dx
2
(4) y =25x ⋅3x
(2)指數函數的積分
β
(a)∫e x dx =e x |α
a b
y /=？(5)f (x ) =24x
2
2
+1
f /(1) =？
2
Ans ：(1)2x cos x 2e sin x (2)e 3x (2x +3x 2) (3)8e 4x (e 4x −1) (4)3x ⋅25x (5ln 2+2x ln 3)
1β
⋅a x |α
αln a [例題10] 試求下列各積分的值： (b)∫a x dx =
β
(1)∫e dx =? (2)∫2dx =? (3)∫xe x dx =?
x
1
2x
21
2
(4)∫(e x +e −x ) 2dx =? (5)∫(3x 2+1) exp(x 3+x −1) dx =?
1
10
1
1211
Ans ：(1)2e 2−ln22e −1) (4)2e 2−e −2)+2 (5)e −e −1
222e x
(練習6) (1)∫(3e +1) dx =? (2)∫x dx =? (3)∫(e x −dx =?(4)∫5x dx =?
100e +10x
24
Ans ：(1)3e 2−1(2)ln(e +1) −ln 2(3)e 2−2ln 2−e ln5
2
x
1
[例題11] 關於曲線Γ：y =lnx
(1)過原點O 與Γ相切之直線方程式為?
(2)曲線Γ與切線L 及x 軸所圍成之曲域R 的面積為何？
1e −2e 21
(3)R繞y 軸旋轉，所得的旋轉體體積=？Ans ：(1)y =e 2π(62
x 2
[例題12] (1)x >0，證明：e >1+x +2
(2)試求lim x ⋅e −x =？ 0
x
x →∞
(3)試描繪f (x )=x ⋅e −x 之圖形，並求其極值及漸近線方程式。 Ans ：(2)0
(練習7) 求二曲線y =e x , y =e −x 與二直線x =1，x =−1所圍成區域之面積。
Ans ：2(e +e −1) −4
(練習8) y =f (x )=x ⋅e x ，試求(1)f /(x ) =? (2)f //(x ) =? (3)極小點 (4)反曲點
12
Ans：(1)e x (x +1) (2)e x (x +2) (3)(−1, −) (4)(−2, −2)
e e (練習9) 曲線y =e x 與直線x =1，x =−1及x 軸所圍成的區域為R 。
(1)R的面積為? (2)R繞x 軸旋轉所得的體積為?
1π
Ans ：(1)e −e 2e 2−e −2)
(1)分部積分法：
設u (x ) 、v (x ) 均為一階連續可微分 因為d (uv )=udv +vdu
兩邊積分可得uv =∫u dv +∫v du 。
⇒∫u dv =uv −∫v du 。這稱為不定積分的部分分式公式。
部分分式將需要計算的積分∫u dv 轉化為另一個積分uv −∫v du ，因此計算的關鍵是選取適當的函數u (x ) 、v (x ) 。
[例題13] 計算下列不定積分：
(1)∫xe x dx (2)∫x ⋅(lnx ) 2dx
x
x
12x 222
Ans ：(1)xe −e 2x ⋅(lnx ) −x ⋅ln x +2
[例題14] 設I m =∫
dx
，請利用分部積分法建立 22m
(x +a )
x
遞迴式I m = (x +a ) m (Im −a 2⋅I m +1) 。
(練習10) 計算下列不定積分：
(1)∫e ax sin bx dx (2) ∫e ax cos bx dx
11
Ans ：a +b e ax (a sin bx −b cos bx )+C (2) a +b e ax (b sin bx +a cos bx )+C
(練習11) 計算下列不定積分：
(1)∫x ⋅cos 2x dx (2)∫x 2⋅sin 2x dx (3)∫x ⋅tan −1x dx d (tan−1x ) 1
[提示：dx 1+x 1111
Ans ：2x ⋅sin2x +2x 2x ⋅sin2x +2x −x 2cos2x )+C 1
2x 2+1)tan−1x −x ]+C
e 2
(練習12) 計算1ln x dx =？ Ans ：e e
11e 3x
(練習13) ∫x dx =? (2)∫x dx =?
0e +10e +1
e 2e +11
Ans：2e 22−ln(e +1)+ln2 [提示：可令u =e x ]
1
(2)有理函數、三角有理函數的積分法： (a)有理函數的積分法：
P(x ) P /(x ) P /(x )
當degP(x ) ≥degQ(x ) 時，R(x )= Q(x ) f (x )+ Q(x ) ，其中Q(x ) R(x ) 不定積分的計算只須考慮真分式不定積分的計算。
設P(x ) 為首項係數=1的n 次實係數多項式，利用代數基本定理與實係數方程式虛根成對的性質，可將P(x ) 化成
P(x )=(x −a 1) i 1(x −a 1) i 2…(x −a s ) i s (x 2−p 1x +q 1) j 1(x 2−p 2x +q 2) j 2…(x 2−p t x +q t ) j t p k 2−4q k
Q(x )
因此 P(x ) 總能分解成下列4種最簡分式的和： A A A x +BA x +B x −a (x −a ) x +px +q (x +px +q )
(m >1，p 2−4q
p 2p 22
因為x +px +q =(x +2+q −4
1111
可得4x −a (x −a ) x +a (x +a )
而這些最簡的分式都是可以積分的：
1
∫x −a dx =ln|x −a |+C
111−m
dx x −a ) +C ∫(x −a ) m 1−m 11−1x dx ∫x 2+a 2a a x 12
=I，由分部積分法可得遞迴式I = m (I−a ⋅I m +1) ， m m m ∫(x 2+a 2) m (x +a )
1x
因為I 1a −1a ，可以計算出I m 。
總之，根據上面的推導可知，有理函數的積分，理論上而言均可以積分出來，只要我們能將有理函數分解成一些最簡分式的和。
115x 2+1
[例題15] 計算不定積分：∫dx 。Ans 9x +1|+7ln|x −2|−x −2(x +1)(x −2)
P(x ) P(x )
設P(x ) 、Q(x ) 是x 的多項式，Q(x ) x 的有理函數，記為R(x )= Q(x )
x −111+x 22x
[例題16] 求不定積分：∫dx 。Ans 2242(1+x (1+x ) ) (x +1)(x +1)
(b)三角有理函數的積分：
三角有理函數是由sin x 、cos x 與常數經過有限次四則運算而得到的代數有理x
式，記為R(sinx ,cos x ) 。對有理函數的不定積分∫R (sinx , cos x ) dx ，可以令t 2後，一定能化成t 的有理函數的不定積分∫R 1(t ) dt ，在根據有理函數的不定積分法去求不定積分∫R 1(t ) dt 。
2t 1−t 2x
[過程]：t 2⇒ sinx = 1+t ，cos x = 1+t
2dx
dt 1+t
2t 1−t 22
⋅dt 。 , ) ⇒∫R (sinx , cos x ) dx =∫R (222
1+t 1+t 1+t
x x 1+sin x
[例題17] 求不定積分∫dx =？Ans ：22ln|cos21+cos x
(練習14) 求不定積分：∫(練習15) 求不定積分：∫
π
5−312x +3
dx =？Ans ：x x −1|326x +2|+C x 3+x 2−2x
x cos x
dx =？ Ans：x −tan 21+cos x
ππ111(練習16) (a)∫πdx =? ( c)∫dx =? dx =? (b)∫00cos x 1+sin x sin x
Ans ：3 (b)ln(2+3 ) (c)1
(1)一個現象的成長或衰微的狀況，如果能以函數來表示，則通常可以該函數 的導函數來表示變化率。
(2)假設某一現象的變化率與現象本身成正比， 則這種現象與指數函數有密切的關係。
[例題18] 細菌在適當的環境下繁殖的速度與當時的細菌數成正比，若t 時刻的細
菌數為f (t ) ，則在t 時刻細菌的增加率f /(t ) 與f (t ) 成正比。假設t =0時的細菌數為n 0，而f /(t )=kf (t )(k >0)，求時刻a 時的細菌數。
[例題19] 放射性元素的衰變率與當時原子核數量成正比。意思是說：若在t 時刻
的原子核數為f (t ) ，則在時刻t 衰變的速度f /(t ) 與f (t ) 成正比(但比值為負數) 。假設t=0時原子核的數為n 0，而f /(t )=−kf (t )(k >0)，求時刻a 時的原子核數f (a ) 。
(練習17) (1)上例中，設原子核經過T 時刻數量會減至原來的一半，此時T 稱為
ln2
半衰期。求上例中T=？ Ans ：k (2)鐳之半衰期為約1600年，今有150mg 之純鐳，
(a)試求經過t 年後之剩餘量。(b)經過多少年僅存30mg 。
Ans ：150×2
−t 1600
，3715年。
[例題20] 牛頓的冷卻定律是說
物體溫度的變率(冷卻) 跟物體溫度與周圍的溫度之差成正比。
假設有一支金屬棒放入水中，如果水的溫度保持固定為20°C ，而2分鐘後金屬棒的溫度由50°C 降到40°C ，試求6分鐘後金屬棒的溫度。
260Ans ：9C
(練習18) 小明在大湖邊烤肉，湖水溫度測定為20o c ，10點正時，他把一根熱金
屬棒放入水中，10點零2分取回金屬棒，測得其溫度為40o c ，然後立刻把金屬棒又放入湖水中。10點零6分，取出再測其溫度為30o c 。問
小明第一次把金屬棒放入水中時，金屬棒的溫度約為多少度？
(A)30°C~40°C (B)40°C~50°C ( C)50°C~60°C D)60°C~70°C(E)70°C~80°C Ans ：(B)
1. 求下列各小題的導數或導函數：
4π
(a)f (x )=ln(cosx ) (0
2d 12
(d)f (x ) =3x +1 (e)ln(x ++x 2) (f)f (x ) =e x , f //(0) =？
dx 2
2x 3/ /23 /
Ans ：(a)f (x )=−tan x (b)f (x )=(3x +1)exp(x +x −1) (c) f(x )= ln2⋅(x +1)
1 /x 2+1
(d) f(x )=(2ln3)x ⋅3x +12. 試求下列各定積分之值：
4
e ln x 1411
dx (b)∫32x dx (c)∫3sin x cos x dx (d)∫(+2x ) dx (a)∫0100x x +122522x
dx (f)∫3xe x dx (g)∫(e x +1+1) d x (e)∫2
0x +101
413
Ans ：(a)2 (b)ln33e −1)(d)16+ln5 (e)ln5(f)2e 4−1) (g)e 6−e 2+4 3. 求下列不定積分：
x 21x
Ans ：2x )+sin(lnx 4x −2x tan x 4. 試求下列各定積分之值：
(a)∫cos(lnx ) dx (b)∫x (lnx ) dx (c)∫sec 3x dx
52dt 3x +11
(a)∫ (b)dx (c)∫3(x −2)(x +3) ∫12x 2+3x −2dx e 1−t 2
1(e +1)2194
2e +1543
e 2
1
5. (a)試求 y =ln 5x 在點(, 0) 的切線方程式。
52−1+5
Ans ：(a)5x −y −1=0(b)
2(b)設曲線y =e sin x (0≤x ≤
π
) 的反曲點為(a , e sin a ) ，則si n a
1
6. 設a >0，令R 表示由x 軸、y 軸，直線x=a，以及曲線y x +1試求
(a)R繞x 軸旋轉。所得旋轉體之體積。 (b)R繞y 軸旋轉。所得旋轉體之體積。
πa
Ans ：1+a a π−2πln(1+a ) 7. 試證：不論x 是任何正數，1−
1
≤ln x ≤x −1都成立。 x
8. 試證：不論x 是任何的實數，e x ≥1+x 都成立。
9. (a)設r 為大於1的正數，試證：(1−x ) r >1−rx 對每一個小於1 但不為0的x 都成立。
(b)利用(a)證明：若−1
1b 1a
ln x
的增減情形，並求其極值。 x 2
1
Ans ：當0e 時為減函數；極大值2e
11. 一放射性元素的樣本在10年內衰變了80%，則此放射性元素之半衰期為何？Ans ：10log 52年 12. 設f (x ) =xe x ，(a)試求f /(x ), f //(x ), f ///(x ) 。
(b)試由(1)推測f (n ) (x ) ，並利用數學歸納法證明之。
x 7π
13. 設函數F (x ) =∫t sin t dt 。考慮此2內
(a)已知x =x 0時F(x ) 有最小值，則x 0為
3π5π
(A)π (B)2π (D)2π Ans ：( C)
7π
(b)此函數在開區間(0,2內有多少個反曲點？
(A)0個(B) 1個( C) 2個(D) 3個(E) 4個 Ans ：(D)
π1+sin θ+i cos θ
14. 設z =的實部為ℜ(z ) ，則z ，∫ℜ(z ) d θ01+sin θ−i cos θ
Ans ：1 ,2
15. 定積分ln a =∫
11
dx 可視為f (x x x =1，x =a ，x 軸所圍成的面積， 1x
其中a 為正數。
(a)試證：若0
1111
>1) (b)已知ln e =1，以定積分的性質，證明 2
56712
a
k +11k +1111
16. (a)設k k +1∫dx k (考慮∫dx 的幾何意義)
k k x x
1
π
n
∞
11，並藉此解釋為發散級數。 ∑∑k k k =1k =1n
17. 計算I n =∫2sin n x dx ，n =0,1,2,..
n −1
(a)請利用分部積分法求出遞迴式I n =n I n −2。
π
8
(c)請計算∫2sin 5x dx =？ Ans 150
2n 2n −222n −12n −31π
…3I 2n 2n …⋅ (b)I2n +12n +12n −12n −22218. 設I n (x )=∫
x
t n
2
2
+a
證明當x ≥2時，n I n (x )=x n −1x +a −(n −1) a 2I n −2(x ) 。
dt (a >0，n 為自然數)
19. 警方在早上7：00發現一具屍體，法醫測得屍體的溫度是23.1°C ，屍體所在房間的溫度是12.1°C 。兩個小時之後他又測了一次，屍體的溫度是17.6°C 。由此法醫根據牛頓冷卻定律可以得知這個人的死亡時間是何時？ Ans ：約發現屍體的2.36小時前 20. 中國學者在長沙市馬王堆漢朝墓地於1972年出土，考古學家測得同時出土的木炭標本的C 14原子衰變為每分鐘29.78，而考古學家在測得新燒成的木炭的C 14原子衰變為每分鐘38.37次，試估計該墓地建成的年代。 (C14的半衰期為5730年)
573029.78
Ans ：ln238.37(約2085) 年