例题：
引入新课目的：
决策是人们生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题选择最佳方案的一种过程。由小至个人生活，大至企业经营管理，国家的经济、政治等问题，引出风险型决策数学模型，并给出此数学模型的期望值决策两种方法：矩阵决策法与决策树法。 教学内容
一、风险型决策问题
风险型决策是指在不确定情况下的决策。在风险型决策时，每个备选方案都会遇到几种不同的可能情况，而且已知出现每一种情况的可能性有多大，即发生的概率有多大，在依据不同概率所拟定的多个决策方案中，选择一种方案，使其能达到最优期望效益。
【例1】 某企业经过市场调查和预测得知，某新产品今后5年中在市场上的销售为畅销、一般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。为使该新产品投产，该企业有三种可供选择的行动方案：第一种方案是投资150万元新建一车间，按这种方案，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利500万元、250万元和亏损50万元；第二种方案是投资60万元扩建原有车间，在这种方案下，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利350万元、200万元和50万元，第三种方案是利用原有车间，在这种方案下，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利200万元、100万元和0万，问该企业应确定哪一种决策方案能使5年中的利润最大。
分析以上问题可以发现，上述决策问题包括下列要素：
（1）自然状态：它描述了决策问题所处的各种状态。三种自然状态，即产品畅销、一般和滞销；
（2）行动方案：它是为解决决策问题，决策者可采取的行动。三种，即新建车间、扩建车间和利用原有车间；
（3）状态概率：它描述自然状态发生的概率。如畅销、一般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。
（4）后果：它是决策者采取了某一行动方案后可能获得的结果。三种后果，即产品畅销时获利500万元、销路一般时获利250万元和产品滞销时亏损50万元。
风险决策问题通常有两种数学模型，一是决策矩阵模型；另一种是决策树模型。
二、决策矩阵模型
【例2】 某公司为了扩大市场，要举办一个产品展销会，会址打算从甲乙丙三地中选择：获利情况除了与会址有关外，还与天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据气象台预报，估计三种天气情况可能发生的概率分别为收益最大。
，
，
，其收益情况见表4－1，现要通过分析，确定会址，使
在表4-1中，，（阴），
，分别表示决策者可能采取的3个行动方案，它们彼此相互独立。而 (睛)，
（多雨）分别表示各个行动方案可能遇到的客观条件即自然状态。对风险决策问题，它
，
，。
。由于发生这类事件的可能性既是相
们是随机变量，其发生的概率分别为互排斥的，又是相互独立的事件，故有
期望值准则法：把每个行动方案看作随机变量，在第个自然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，把每个行动方案的数学期望计算出来，选择最优行动方案。
如果决策目标是为了效益最大，则采用期望值最大的行动方案；如果决策目标是为了损益最小，则采用期望值最小的行动方案。
此题决策目标是效益最大，所以计算出各行动方案的期望值，选择期望值最大的方案。 计算三种方案的期望值分别为
（万元）
（万元）
（万元）
显然
最大，所以采用方案
最优，即选择乙地举办展销会效益最大。
上述过程归纳成矩阵表4－2所示：
把所有期望损益值看作一个列矩阵，则
=
把状态概率用矩阵表示为
所有方案的风险值
(;)用矩阵表示为
A=
把矩阵A与矩阵P相乘，得
AP
=
即以上三者的关系为
= AP
当决策目标是收益时，应选择期望值最大的方案为最优方案
是损失时，应选择期望值最小的方案为最优方案
=min
。 =max
；当决策目标
上述期望值可由矩阵的乘法运算得到，故这种风险型决策模型称为矩阵决策模型。
【例3】用决策矩阵法确定例1中的哪一种行动方案较为合适。 解 由于
，
所以
= AP=
建立决策矩阵表，如表4－4所示。
从决策矩阵表的期望值中，我们要减去投资额，得到
投资150万元新建车间的纯收益为
投资60万元扩建原有车间的纯收益为
利用原有生产设备纯收益为
可以看出，投资60万元扩建原有车间的纯收益为
所以选择扩建原有车间的方案比较合适。
三、决策树模型
决策树模型是风险决策问题的一种直观的图示法。因为图的形状像树，所以被称为决策树。当所要决策问题只需进行一次决策就可解决，叫做单阶段决策问题；如果问题比较复杂，而要进行一系列的决策才能解决，就叫做多阶段决策问题。决策树表示法还方便简捷、层次清楚，能形象地显示决策过程。
决策树的结构如图4-1所示。图中的方块代表决策节点，通常用R表示。从它引出的分枝叫做方案分枝。每条分枝代表一个方案，分枝数就是可能的方案数。圆圈代表方案的节点，从它引出概率分枝，每条概率分枝上标明了自然状态及其发生的概率。概率分枝数反映了该方案面对的可能的状态数。末端的三角形叫做结果结点，注有各方案在相应状态下的结果值。
万元，比其它两种方案的利润高，
（万元）。
（万元）； （万元）；
应用决策树来作决策的过程，是从右向左逐步后退进行分析。根据右端的损益值和概率枝的概率，计算出期望值的大小，确定方案的期望结果，然后根据不同方案的期望结果作出选择。方案的舍弃叫做修枝，被舍弃的方案用“≠”的记号来表示，最后的决策点留下一条树枝，即为最优方案。
【例4】某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。现有两种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利600万元，滞销则亏损200万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可盈利400万元，滞销则盈利100万元。试问哪一种方案较好？ 解 （1）按决策过程将决策的基本要素画出决策树，如图4－2所示的。
（2）计算各节点的期望损益值： 节点 ①
节点 ②：
； ；
，即节点①的值大于节点②的值，所以应该将节点
（3
）进行决策。通过节点值的比较，得到②剪掉，采用扩建厂房的方案。
【例5】某企业为提高其产品在市场上的竞争力，现拟定三种改革方案：（1）公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年；（2）购买先进技术，这样前期投入相对较大，使用期是10年；（3）前四年先组织技术人员逐渐改进，四年后再决定是否需要购买先进技术，四年后买入技术相对第
一年便宜一些，收益与前四年一样。预计该种产品前四年畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。如果前四年畅销，后六年畅销的概率为0.9；若前四年滞销，后六年滞销的概率为0.1。相关的收益数据如表4-5所示。
（1）画出决策树；
（2）计算各点的期望值，并做出最优决策。
表4-5 投 资 收 益 表 单位：万元
解 （1）画出决策树如图4-3所示。 R为总决策，R1为二级决策。
解 （1）画出决策树如图4-3所示。 R为总决策，R1为二级决策。
节点①表示第一种方案:公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年的收益期望值节点; 节点②
表示第二种方案: 购买先进技术，使用期是10年的收益期望值节点; 节点③表示第三种方案: 前四年
先组织技术人员逐渐改进，四年后购买先进技术的收益值节点。节点④、⑤、⑥、⑦分别是在三种方案下的分枝结点。
（2）各节点的期望值计算从最右边开始： 节点④：
节点①:
节点⑤: （万元） （万元） （万元） 节点②:
节点⑥:
节点⑦:
因为
节点③： （万元） （万元） （万元） ,所以将⑦这一枝剪掉。 （万元）
将决策点①、②、③的期望收益值进行比较，决策点③的期望收益值最大，所以应选择方案（3），即先采取公司组织技术人员逐渐改进，然后再引进技术的决策。
决策树是用二叉树形图来表示处理逻辑的一种工具。决策树数学模型的优点如下：
（1）它构成了一个简单决策过程，可以使决策人有顺序有步骤地进行决策；
（2）它比较直观，可以使决策人以科学的推理步骤去周密地思考各有关因素；
（3）便于集体决策，对要决策的问题画一个决策树出来，便于集体讨论；
（4）对于较复杂的决策问题，用决策树方法比较有效，特别是对多级决策问题来说尤其方便简捷。 课堂练习：某企业计划推出一款新型产品，企业的备选方案有三种。一是建立新型的生产线，投入的成本最大，但产出最高；二是改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少一些；三是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少。根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率分别为0.3，0.5，0.2。根据产量和销量的不同，企业面临的盈利情况如下表：
试进行决策。
小结：
1、风险型决策问题的基本概念
2、期望值决策法：
（1）矩阵决策法；
（2）决策树法。
例题：
引入新课目的：
决策是人们生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题选择最佳方案的一种过程。由小至个人生活，大至企业经营管理，国家的经济、政治等问题，引出风险型决策数学模型，并给出此数学模型的期望值决策两种方法：矩阵决策法与决策树法。 教学内容
一、风险型决策问题
风险型决策是指在不确定情况下的决策。在风险型决策时，每个备选方案都会遇到几种不同的可能情况，而且已知出现每一种情况的可能性有多大，即发生的概率有多大，在依据不同概率所拟定的多个决策方案中，选择一种方案，使其能达到最优期望效益。
【例1】 某企业经过市场调查和预测得知，某新产品今后5年中在市场上的销售为畅销、一般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。为使该新产品投产，该企业有三种可供选择的行动方案：第一种方案是投资150万元新建一车间，按这种方案，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利500万元、250万元和亏损50万元；第二种方案是投资60万元扩建原有车间，在这种方案下，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利350万元、200万元和50万元，第三种方案是利用原有车间，在这种方案下，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利200万元、100万元和0万，问该企业应确定哪一种决策方案能使5年中的利润最大。
分析以上问题可以发现，上述决策问题包括下列要素：
（1）自然状态：它描述了决策问题所处的各种状态。三种自然状态，即产品畅销、一般和滞销；
（2）行动方案：它是为解决决策问题，决策者可采取的行动。三种，即新建车间、扩建车间和利用原有车间；
（3）状态概率：它描述自然状态发生的概率。如畅销、一般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。
（4）后果：它是决策者采取了某一行动方案后可能获得的结果。三种后果，即产品畅销时获利500万元、销路一般时获利250万元和产品滞销时亏损50万元。
风险决策问题通常有两种数学模型，一是决策矩阵模型；另一种是决策树模型。
二、决策矩阵模型
【例2】 某公司为了扩大市场，要举办一个产品展销会，会址打算从甲乙丙三地中选择：获利情况除了与会址有关外，还与天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据气象台预报，估计三种天气情况可能发生的概率分别为收益最大。
，
，
，其收益情况见表4－1，现要通过分析，确定会址，使
在表4-1中，，（阴），
，分别表示决策者可能采取的3个行动方案，它们彼此相互独立。而 (睛)，
（多雨）分别表示各个行动方案可能遇到的客观条件即自然状态。对风险决策问题，它
，
，。
。由于发生这类事件的可能性既是相
们是随机变量，其发生的概率分别为互排斥的，又是相互独立的事件，故有
期望值准则法：把每个行动方案看作随机变量，在第个自然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，把每个行动方案的数学期望计算出来，选择最优行动方案。
如果决策目标是为了效益最大，则采用期望值最大的行动方案；如果决策目标是为了损益最小，则采用期望值最小的行动方案。
此题决策目标是效益最大，所以计算出各行动方案的期望值，选择期望值最大的方案。 计算三种方案的期望值分别为
（万元）
（万元）
（万元）
显然
最大，所以采用方案
最优，即选择乙地举办展销会效益最大。
上述过程归纳成矩阵表4－2所示：
把所有期望损益值看作一个列矩阵，则
=
把状态概率用矩阵表示为
所有方案的风险值
(;)用矩阵表示为
A=
把矩阵A与矩阵P相乘，得
AP
=
即以上三者的关系为
= AP
当决策目标是收益时，应选择期望值最大的方案为最优方案
是损失时，应选择期望值最小的方案为最优方案
=min
。 =max
；当决策目标
上述期望值可由矩阵的乘法运算得到，故这种风险型决策模型称为矩阵决策模型。
【例3】用决策矩阵法确定例1中的哪一种行动方案较为合适。 解 由于
，
所以
= AP=
建立决策矩阵表，如表4－4所示。
从决策矩阵表的期望值中，我们要减去投资额，得到
投资150万元新建车间的纯收益为
投资60万元扩建原有车间的纯收益为
利用原有生产设备纯收益为
可以看出，投资60万元扩建原有车间的纯收益为
所以选择扩建原有车间的方案比较合适。
三、决策树模型
决策树模型是风险决策问题的一种直观的图示法。因为图的形状像树，所以被称为决策树。当所要决策问题只需进行一次决策就可解决，叫做单阶段决策问题；如果问题比较复杂，而要进行一系列的决策才能解决，就叫做多阶段决策问题。决策树表示法还方便简捷、层次清楚，能形象地显示决策过程。
决策树的结构如图4-1所示。图中的方块代表决策节点，通常用R表示。从它引出的分枝叫做方案分枝。每条分枝代表一个方案，分枝数就是可能的方案数。圆圈代表方案的节点，从它引出概率分枝，每条概率分枝上标明了自然状态及其发生的概率。概率分枝数反映了该方案面对的可能的状态数。末端的三角形叫做结果结点，注有各方案在相应状态下的结果值。
万元，比其它两种方案的利润高，
（万元）。
（万元）； （万元）；
应用决策树来作决策的过程，是从右向左逐步后退进行分析。根据右端的损益值和概率枝的概率，计算出期望值的大小，确定方案的期望结果，然后根据不同方案的期望结果作出选择。方案的舍弃叫做修枝，被舍弃的方案用“≠”的记号来表示，最后的决策点留下一条树枝，即为最优方案。
【例4】某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。现有两种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利600万元，滞销则亏损200万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可盈利400万元，滞销则盈利100万元。试问哪一种方案较好？ 解 （1）按决策过程将决策的基本要素画出决策树，如图4－2所示的。
（2）计算各节点的期望损益值： 节点 ①
节点 ②：
； ；
，即节点①的值大于节点②的值，所以应该将节点
（3
）进行决策。通过节点值的比较，得到②剪掉，采用扩建厂房的方案。
【例5】某企业为提高其产品在市场上的竞争力，现拟定三种改革方案：（1）公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年；（2）购买先进技术，这样前期投入相对较大，使用期是10年；（3）前四年先组织技术人员逐渐改进，四年后再决定是否需要购买先进技术，四年后买入技术相对第
一年便宜一些，收益与前四年一样。预计该种产品前四年畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。如果前四年畅销，后六年畅销的概率为0.9；若前四年滞销，后六年滞销的概率为0.1。相关的收益数据如表4-5所示。
（1）画出决策树；
（2）计算各点的期望值，并做出最优决策。
表4-5 投 资 收 益 表 单位：万元
解 （1）画出决策树如图4-3所示。 R为总决策，R1为二级决策。
解 （1）画出决策树如图4-3所示。 R为总决策，R1为二级决策。
节点①表示第一种方案:公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年的收益期望值节点; 节点②
表示第二种方案: 购买先进技术，使用期是10年的收益期望值节点; 节点③表示第三种方案: 前四年
先组织技术人员逐渐改进，四年后购买先进技术的收益值节点。节点④、⑤、⑥、⑦分别是在三种方案下的分枝结点。
（2）各节点的期望值计算从最右边开始： 节点④：
节点①:
节点⑤: （万元） （万元） （万元） 节点②:
节点⑥:
节点⑦:
因为
节点③： （万元） （万元） （万元） ,所以将⑦这一枝剪掉。 （万元）
将决策点①、②、③的期望收益值进行比较，决策点③的期望收益值最大，所以应选择方案（3），即先采取公司组织技术人员逐渐改进，然后再引进技术的决策。
决策树是用二叉树形图来表示处理逻辑的一种工具。决策树数学模型的优点如下：
（1）它构成了一个简单决策过程，可以使决策人有顺序有步骤地进行决策；
（2）它比较直观，可以使决策人以科学的推理步骤去周密地思考各有关因素；
（3）便于集体决策，对要决策的问题画一个决策树出来，便于集体讨论；
（4）对于较复杂的决策问题，用决策树方法比较有效，特别是对多级决策问题来说尤其方便简捷。 课堂练习：某企业计划推出一款新型产品，企业的备选方案有三种。一是建立新型的生产线，投入的成本最大，但产出最高；二是改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少一些；三是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少。根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率分别为0.3，0.5，0.2。根据产量和销量的不同，企业面临的盈利情况如下表：
试进行决策。
小结：
1、风险型决策问题的基本概念
2、期望值决策法：
（1）矩阵决策法；
（2）决策树法。