如图1，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处，且与岛屿
A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．
【答案】（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能图1 力等．） 解：（1）依题意，∠BAC =120 ，AB =12，A C =10⨯2=20，
∠B C A =α．………………………2分
在△ABC 中，由余弦定理，得
BC 2
=AB 2
+AC 2
-2AB ⨯AC ⨯cos
∠BAC ……………………4分
=122+202-2⨯
12⨯20⨯cos120 =784．
解得B C =28．………………………………………………………6分 /小时．
答：渔船甲的速里/小时．…………………………………7分
北
（2）方法1：在△ABC 中，因为AB =12，∠BAC =120
，B C =28，
∠B C A =α，资料来源：广东高考吧 www.gaokao8.net
由正弦定理，得
试卷第1页，总5页
9分
答
s
：α的值
为
12分
方法2：在△ABC 中，因为
AB =12，AC =20，B C =28，∠B C A =α，
由余弦定理，得
9分
因为α
答
：s
α的值为
12分
【解析】略
25．在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分别是a , b , c ，且 b 2+c 2
=a 2+bc . （1）求∠A 的大小；（2b +c =3，求b 和c 的值. 【答案】（1）（2） b=1,c=2 或 b=2,c=1
【解析】第一问利用余弦定理得到
（2） 由条件可得 b 2
+c 2
-bc =a 2
=(b +c ) 2
-3bc 将代入 得 bc=2
解得 b=1,c=2 或 b=2,c=1 .
26．在△ABC 中，角A 、、B
C 的对边分别为a 、、b
c ，已知
3c o B s -(C -) =1B 6c ，o C
（1）求c o s A （2）若a =3，△ABC 求b 、c
试卷第2页，总5页
【答案】：⎨
⎧b =3⎩c =2
或⎨
⎧b =2⎩c =3
【解析】：（1）由3cos(B -C ) -1=6cos B cos C 得3(cosB cos C -sin B sin C ) =-1 （2）由于0
A
即
，解得b c =6 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得
b 2
+c 2
=
13
解方程组⎧⎨b 2+c 2=13 ，得⎧b =3=6
⎨ 或⎧b =2⎩bc c =2⎨
⎩⎩c =327
．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 2cos (A +B )=1
。
求：(1)角C 的度数； (2)AB的长度。
【答案】解：（1
∴C ＝120°……4
分
（2
……7分
∴AB
2
=AC
2
+
BC
2
-2AC ∙BC cos C =a
2+b 2
-2ab cos 120︒
……11分
……12分
【解析】略
28．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3
(1)求AC 的长； (2)求∠A 的大小．
【答案】解：(1)由正弦定理得
5．
(2)由余弦定理得 cos A A ＝120°．
【解析】略
29．在△ABC b , c 。
试卷第3页，总5页
【答案】b =4, c =1或b =1, c =4
【解析】本试题主要考查了同学们运用余弦定理和三角形面积公式求解三角形的的运用。
4分； 8分； 解得：b
=4, c =1或b =1, c =4………………12分；
30．一缉私艇发现在北偏东45 方向, 距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15 方向逃窜. 缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,
缉私艇应沿北偏东45 +α的方向去追,. 求追及所需的时间和α角的正弦值.
A
【解析】本试题主要考查了余弦定理在实际生活中求解角的运用问题。首先根据图示表示出角也相应的边长，然后借助于定理完成角的求解。
解:
设A,C 分别表示缉私艇, 走私船的位置, 设经过 x 小时后在B 处追上, 则有
AB =14x , BC =10x , ∠ACB =120
. ∴(14x ) 2
=12
2
+(10x ) 2-240x cos 120
,
所以所需时间2小时31．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒ .求BC 的长.
试卷第4页，总5页
C
A
B
【答案】解：在△ABD 中，设BD=x则BA 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD ⋅cos ∠BDA
即142=x 2+102-2⋅10x ⋅cos 60 整理得：x 2-10x -96=0 解之：x 1=16 x 2=-6（舍去） 【解析】本试题主要是考查了解三角形中的余弦定理的运用，求解边长的运用。
2011年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学文卷
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2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷带解析）
高中数学文科库》必修5》第一章、解三角形》1、正弦定理和余弦定理》（2）余弦定理
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试卷第5页，总5页
如图1，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处，且与岛屿
A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．
【答案】（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能图1 力等．） 解：（1）依题意，∠BAC =120 ，AB =12，A C =10⨯2=20，
∠B C A =α．………………………2分
在△ABC 中，由余弦定理，得
BC 2
=AB 2
+AC 2
-2AB ⨯AC ⨯cos
∠BAC ……………………4分
=122+202-2⨯
12⨯20⨯cos120 =784．
解得B C =28．………………………………………………………6分 /小时．
答：渔船甲的速里/小时．…………………………………7分
北
（2）方法1：在△ABC 中，因为AB =12，∠BAC =120
，B C =28，
∠B C A =α，资料来源：广东高考吧 www.gaokao8.net
由正弦定理，得
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9分
答
s
：α的值
为
12分
方法2：在△ABC 中，因为
AB =12，AC =20，B C =28，∠B C A =α，
由余弦定理，得
9分
因为α
答
：s
α的值为
12分
【解析】略
25．在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分别是a , b , c ，且 b 2+c 2
=a 2+bc . （1）求∠A 的大小；（2b +c =3，求b 和c 的值. 【答案】（1）（2） b=1,c=2 或 b=2,c=1
【解析】第一问利用余弦定理得到
（2） 由条件可得 b 2
+c 2
-bc =a 2
=(b +c ) 2
-3bc 将代入 得 bc=2
解得 b=1,c=2 或 b=2,c=1 .
26．在△ABC 中，角A 、、B
C 的对边分别为a 、、b
c ，已知
3c o B s -(C -) =1B 6c ，o C
（1）求c o s A （2）若a =3，△ABC 求b 、c
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【答案】：⎨
⎧b =3⎩c =2
或⎨
⎧b =2⎩c =3
【解析】：（1）由3cos(B -C ) -1=6cos B cos C 得3(cosB cos C -sin B sin C ) =-1 （2）由于0
A
即
，解得b c =6 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得
b 2
+c 2
=
13
解方程组⎧⎨b 2+c 2=13 ，得⎧b =3=6
⎨ 或⎧b =2⎩bc c =2⎨
⎩⎩c =327
．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 2cos (A +B )=1
。
求：(1)角C 的度数； (2)AB的长度。
【答案】解：（1
∴C ＝120°……4
分
（2
……7分
∴AB
2
=AC
2
+
BC
2
-2AC ∙BC cos C =a
2+b 2
-2ab cos 120︒
……11分
……12分
【解析】略
28．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3
(1)求AC 的长； (2)求∠A 的大小．
【答案】解：(1)由正弦定理得
5．
(2)由余弦定理得 cos A A ＝120°．
【解析】略
29．在△ABC b , c 。
试卷第3页，总5页
【答案】b =4, c =1或b =1, c =4
【解析】本试题主要考查了同学们运用余弦定理和三角形面积公式求解三角形的的运用。
4分； 8分； 解得：b
=4, c =1或b =1, c =4………………12分；
30．一缉私艇发现在北偏东45 方向, 距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15 方向逃窜. 缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,
缉私艇应沿北偏东45 +α的方向去追,. 求追及所需的时间和α角的正弦值.
A
【解析】本试题主要考查了余弦定理在实际生活中求解角的运用问题。首先根据图示表示出角也相应的边长，然后借助于定理完成角的求解。
解:
设A,C 分别表示缉私艇, 走私船的位置, 设经过 x 小时后在B 处追上, 则有
AB =14x , BC =10x , ∠ACB =120
. ∴(14x ) 2
=12
2
+(10x ) 2-240x cos 120
,
所以所需时间2小时31．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒ .求BC 的长.
试卷第4页，总5页
C
A
B
【答案】解：在△ABD 中，设BD=x则BA 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD ⋅cos ∠BDA
即142=x 2+102-2⋅10x ⋅cos 60 整理得：x 2-10x -96=0 解之：x 1=16 x 2=-6（舍去） 【解析】本试题主要是考查了解三角形中的余弦定理的运用，求解边长的运用。
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试卷第5页，总5页