正方形构成的几何题
例1 已知：O 是正方形ABCD 对角线的交点，AE 为∠BAC 的平分线，交BC 于E ，
DH ⊥AE 于H ，交AB 于F ，交AO 于G ． 求证：BF=2OG
在正方形ABCD 中，点B 、E 、C 、G 在一条直线上，EB =EC , AE ⊥FE ，∠1=∠2．
求证：AE=FE
A
D
A
D
F
2
B
C
G
B
E C
变式思考：如果点E 为BC 上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？
例2 如图1，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3厘米，BC ＝4厘米．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ．试确定重叠部分△AEF 的面积．
例3 在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于P ．若四边形
ABCD 的面积是18，求DP 的长
B 例4 △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， M ，N 为斜边AB 上两点，如果∠MCN ＝45°．
求证 AM 2＋BN 2＝MN 2
A C 由此问题可以产生如下问题．
例5 △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， M ，N 为斜边AB 上两点，满足AM 2
＋BN 2＝MN 2．求∠MCN 的度数．
N
A C
例6 在△ABC 的外面作正方形ABEF 和ACGH ，M 点
例7 在正方形ABCD 中，∠1=∠2．
求证：AE=BF＋DE ．
B
F
C
A
D
1E
A
D
E
B F
在正方形ABCD 中，∠1=∠2，ED=EC
求证：AF=CF+AD
例8 正方形ABCD 的边长为1,E 、F 分别在BC 和CD 上， ∠EAF =450, S ∆CEF =S ，求S ∆AEF
D
1
C
A
A
O
F
B
E
B
D
C
9，点O 为正方形ABCD 内一点，
如果OA:OB:OC=1:2:3,求∠A OB 的度数
A
o
D
B C C
10，在正方形ABCD 中，∠1=∠2．
1
求证：OF =BE
2提示：注意到基本图形中的AE=AF. 1， 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 2， 过点O 作OG ‖DE 和CO=CG,CF=CE可证. B D 1
3， 过点O 作OH ‖B E, OF= OH=BE
2
D 11．在正方形ABCD 中，∠1=∠2．AE ⊥DF,
1
求证：OG =CE 2E
（提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种）
F
12, 在正方形ABCD 中, 点E 、F 分别为BC 和AB 的中点 求证：AM=AD
A F
B C E
E A 13,. 正方形ABCD 中, 点E 为AD 的中点，BD 和CE 相交于点F ，
求证：AF ⊥BE
B
14，*. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF⊥BC, EG⊥CD 求证：AE ⊥FG
A
（提示：延长AE 交GF 于点M ，DC, 使CH=DG,连接HF, 证四边形对角互补, 法2：延长FE ，AE 证全等三角形）
B
13
A B
C
B
E
D
C
D C
D E G
F C
15, 如图14，点O 为正方形ABCD 对角线交点,E 为CD 上任意一点 DG ⊥AE 于点G 交BC 于点F.
求证：△ OEF是等腰直角三角形 .
16, 点E 为正方形ABCD 的边B C 上一点, MN⊥DE
分别交AB 、CD 于点M 、N. 求证：MN=DE
17, 正方形ABCD 中, ∠DAF=250,AF 交BD 于点E. 求∠BEC 的度数.
18, 正方形ABCD 的边长为1cm, △ BCE是等边三角形 求△ BCE的面积 。
1
4
(3-1)
A D
E B F
C A 14 N
M B E C ͼ15A F B
C ͼ16A D
E B
C ͼ17
19，以正方形ABCD 的CD 边长作等边△DCE,AC 和BE 相交于点F ，连接DF. (1) 求∠AFD 的度数； (2) 求证：AF=EF.
提示：∠B CE=1500, ∠CBE=∠CEB=∠FDC=150, △A BF全等△ ADF
A
E
B C
20, 已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G, GH ⊥AD 于点H.
(1) 求证：AF ⊥DE ；
(2) 如果AB=2,求GH 的长；
(3) 在以上条件下求sin ∠DGC 。 E (4) 求证：CG=CD
B
21，如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
22、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF.
E
求证：CE ＝CF ．
正方形构成的几何题
例1 已知：O 是正方形ABCD 对角线的交点，AE 为∠BAC 的平分线，交BC 于E ，
DH ⊥AE 于H ，交AB 于F ，交AO 于G ． 求证：BF=2OG
在正方形ABCD 中，点B 、E 、C 、G 在一条直线上，EB =EC , AE ⊥FE ，∠1=∠2．
求证：AE=FE
A
D
A
D
F
2
B
C
G
B
E C
变式思考：如果点E 为BC 上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？
例2 如图1，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3厘米，BC ＝4厘米．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ．试确定重叠部分△AEF 的面积．
例3 在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于P ．若四边形
ABCD 的面积是18，求DP 的长
B 例4 △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， M ，N 为斜边AB 上两点，如果∠MCN ＝45°．
求证 AM 2＋BN 2＝MN 2
A C 由此问题可以产生如下问题．
例5 △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， M ，N 为斜边AB 上两点，满足AM 2
＋BN 2＝MN 2．求∠MCN 的度数．
N
A C
例6 在△ABC 的外面作正方形ABEF 和ACGH ，M 点
例7 在正方形ABCD 中，∠1=∠2．
求证：AE=BF＋DE ．
B
F
C
A
D
1E
A
D
E
B F
在正方形ABCD 中，∠1=∠2，ED=EC
求证：AF=CF+AD
例8 正方形ABCD 的边长为1,E 、F 分别在BC 和CD 上， ∠EAF =450, S ∆CEF =S ，求S ∆AEF
D
1
C
A
A
O
F
B
E
B
D
C
9，点O 为正方形ABCD 内一点，
如果OA:OB:OC=1:2:3,求∠A OB 的度数
A
o
D
B C C
10，在正方形ABCD 中，∠1=∠2．
1
求证：OF =BE
2提示：注意到基本图形中的AE=AF. 1， 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 2， 过点O 作OG ‖DE 和CO=CG,CF=CE可证. B D 1
3， 过点O 作OH ‖B E, OF= OH=BE
2
D 11．在正方形ABCD 中，∠1=∠2．AE ⊥DF,
1
求证：OG =CE 2E
（提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种）
F
12, 在正方形ABCD 中, 点E 、F 分别为BC 和AB 的中点 求证：AM=AD
A F
B C E
E A 13,. 正方形ABCD 中, 点E 为AD 的中点，BD 和CE 相交于点F ，
求证：AF ⊥BE
B
14，*. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF⊥BC, EG⊥CD 求证：AE ⊥FG
A
（提示：延长AE 交GF 于点M ，DC, 使CH=DG,连接HF, 证四边形对角互补, 法2：延长FE ，AE 证全等三角形）
B
13
A B
C
B
E
D
C
D C
D E G
F C
15, 如图14，点O 为正方形ABCD 对角线交点,E 为CD 上任意一点 DG ⊥AE 于点G 交BC 于点F.
求证：△ OEF是等腰直角三角形 .
16, 点E 为正方形ABCD 的边B C 上一点, MN⊥DE
分别交AB 、CD 于点M 、N. 求证：MN=DE
17, 正方形ABCD 中, ∠DAF=250,AF 交BD 于点E. 求∠BEC 的度数.
18, 正方形ABCD 的边长为1cm, △ BCE是等边三角形 求△ BCE的面积 。
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(3-1)
A D
E B F
C A 14 N
M B E C ͼ15A F B
C ͼ16A D
E B
C ͼ17
19，以正方形ABCD 的CD 边长作等边△DCE,AC 和BE 相交于点F ，连接DF. (1) 求∠AFD 的度数； (2) 求证：AF=EF.
提示：∠B CE=1500, ∠CBE=∠CEB=∠FDC=150, △A BF全等△ ADF
A
E
B C
20, 已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G, GH ⊥AD 于点H.
(1) 求证：AF ⊥DE ；
(2) 如果AB=2,求GH 的长；
(3) 在以上条件下求sin ∠DGC 。 E (4) 求证：CG=CD
B
21，如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
22、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF.
E
求证：CE ＝CF ．