随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究

DOI :10. 16578/j . issn . 1004. 2539. 2013. 10. 015

第37卷　第10期　　　　　　　　　随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究　　　　　　　　　　　　　　　19

文章编号:1004-2539(2013) 10-0019-04

王建平1　卢　鹏1　张新荣2　杨　文1　刘成龙1　马福贵1

(1西安理工大学机械与精密仪器工程学院, 　陕西西安　710048) (2长安大学道路施工技术与装备教育部重点实验室, 　陕西西安　710064)

摘要　分析了传统齿根弯曲应力计算方法应用于齿根弯曲应力谱编制时的局限性。从动载荷的计算、啮合点的弯矩、压力角和齿间载荷分布等方面, 对传统方法进行了改进, 建立一种在随机载荷下齿根弯曲应力计算方法。研究结果表明, 此计算方法精度较高, 并能得到单齿在传动过程中齿根弯曲应力的变化历程, 便于准确统计弯曲应力的幅值、均值的循环频次, 为精确编制齿轮弯曲应力谱及齿轮弯曲疲劳寿命预测提供了一种有效的齿根弯曲应力的计算方法。

关键词　齿根弯曲应力　动载荷　随机载荷　疲劳寿命

Study on the Calculation Method of Tooth Root Bending Stress

of Involute Spur Gear under Random Load

Wang Jianping 1　Lu Peng 1　Zhang Xinrong 2　Yang Wen 1　Liu Chenglong 1　Ma Fugui 1

(1School of M echanical and Precis ion Instrument Engineering , Xi ' an University of Tec hnology , Xi ' an 710048, China )

(2Key Laboratory of Road Cons truction Technology and Equipment of Ministry of Education , Chang ' an Univers ity , Xi ' an 710064, China )

A bstract 　According to the analysis of the limitations of traditional method of tooth root bending stress calcula -tion using in fatigue lifetime prediction , a method of calculating tooth root bending stress of involute spur gear under random loading is developed . The method consider the influence of dynamic loads , meshing point bending moment , pressure angle and load distribution along contact line . The results show that this calculation method can get high ac -curac y in teeth r oot bending stress calculate , and can get one tooth root bending stress change process in the gear transmission process . An effective method of calculating teeth root bending stress is pr ovide for accurate gear bending stress spectrum and gear bending fatigue life prediction .

Key words 　Tooth root bending stress 　Dynamic load 　Random load 　Fatigue life

谱[5]647-656[6]35-37。其中齿根弯曲应力的大小和循环频次有很大的近似性, 是制约齿轮弯曲疲劳寿命预测精度提高的重要因素。

近年来, 与齿轮传动振动相关的齿轮动力学问题已受到国内外学术界和工程界的高度重视。诸多学者以振动理论为基础, 考虑时变刚度、传递误差等非线性因素, 用数值方法及解析法对齿轮传动过程中的动态特性做了研究[7]5-8[8][9]238-247, 为本文中齿轮系统振动响应的求解提供了可行的方法依据。

我们建立了一种低速重载, 随机载荷下工作的齿轮齿根弯曲应力计算方法。研究了在静转矩载荷下, 一个啮合周期中齿根弯曲应力的变化特点。得到了在, 0　引言

野外工作的机械(如装载机、军用车辆等) 工作条件恶劣, 波动载荷、冲击载荷等各种复杂的随机载荷对齿轮传动装置损伤严重, 主要表现为轮齿弯曲疲劳破坏[1]。齿轮设计过程中, 基于弯曲疲劳寿命理论进行产品可靠性设计尤为重要。齿根弯曲应力计算是编制齿轮弯曲应力载荷谱的基础和关键, 直接影响齿轮弯曲疲劳寿命预测精度。目前, 诸多学者对静态转矩载荷下齿根弯曲应力沿啮合线的分布规律做了研究[2]67-70[3-4]。在随机载荷下齿轮弯曲疲劳寿命预测时, 先将随机转矩载荷编制成载荷谱, 然后在各级静载编

　　　　　　　　　　　　　　20　　　　　　　　　　　机械传动　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2013年

的变化历程, 为精确编制齿根弯曲应力谱和弯曲疲劳寿命预测提供一种有效的新方法。

2　改进算法

2. 1　轮齿动载荷的计算

齿轮在传动过程中齿廓上的载荷是随齿轮的振动

而不断变化的动载荷, 所以应用振动理论来求解。本文中研究对象是ZL30型装载机变速箱的齿轮传动系统, 其工作条件是低速重载。在低速重载下, 齿侧间隙对齿轮系统的动力学特性没有影响, 所以综合考虑时变啮合刚度和传递误差等因素, 忽略齿侧间隙, 采用集中质量法建立齿轮传动系统的动力学模型, 认为系统由只有弹性而无质量的弹簧和只有质量而无弹性的质量块组成。并认为齿轮系统的传动

图2　齿轮副的动力学模型

1　传统计算方法及其局限性

1. 1　传统计算方法

随机载荷下齿根弯曲应力谱编制时, 首先将转矩时间历程编制成载荷谱, 然后在各级载荷下分别计算齿根弯曲应力, 从而将转矩谱转化为齿根弯曲应力谱[5]647-656[6]35-37[7]5-8。轮齿在受载时, 齿根所受的弯矩最大, 因此齿根处的弯曲疲劳强度最弱。如图1所示, 采用30°切线法确定齿根危险截面位置、取危险截面形状为平截面, 按全部载荷作用在单对齿啮合区上界点, 只取弯曲应力一项、按受拉侧的最大应力建立起名义弯曲应力计算公式, 再用相应的系数进行修正, 得到计算齿根应力的公式[10]178-183F t

σK A K V K F βK F αY S Y F F =Bm n

式中, K A ———使用系数

K V ———动载系数B ———齿宽

K F β———齿向载荷分布系数K F α———齿间载荷分配系数Y S ———应力集中系数Y F ———齿形系数m n ———齿轮模数F t ———圆周力1. 2　应用在疲劳载荷谱编制中的局限性

在齿轮传动过程中, 由于时变啮合刚度和传递误差等内部因素的影响, 即使外部载荷不变的情况下齿廓上的载荷也随时间变化。同时由于啮合点的不断变化, 使得图1中啮合点到危险截面

图1　齿根弯曲应力模型

(1)

轴和轴承都是刚性的, 忽略支承轴承所产生的摩擦的

影响, 啮合力始终沿啮合线方向, 阻尼系数为两齿轮啮合时的啮合阻尼, 弹簧的刚度为啮合齿轮的啮合刚度。则可得其动力学模型, 如图2所示。

则系统的运动微分方程可简化为一个自由度的分析模型

T p (t )

+c e x ) +k e x (t ) -m e (2) m x R P

式中, R p 、R g ———齿轮p 、g 的分度圆半径

[7]5-8

　e (t ) ———静态传递误差　　c e ———啮合阻尼x (t ) =R p θR g θe (t ) p -g -———动态传递误差与静态传递误差之间

的差值

　　m ———齿轮副的等效质量

　　k e ———时变啮合刚度　e (t ) ———静态传递误差T p (t ) ———齿轮p 传递的转矩

用石川法计算齿轮时变啮合刚度, 将传递误差按三次谐波函数展开

e (t ) =∑e j cos (j ωe t +θj ) j =1

令x (t ) =bx (t ) , t =ω2) 可得到归n t , 并代入式(

··

的弯曲力臂h x 和压力角ω1) 中对于x 不断变化。式(载荷大小和作用点的变化, 分别采用动载系数和齿形系数进行修正, 使得到的齿根弯曲应力为一近似的恒定值, 不能反映齿根应力在轮齿啮合过程中的变化历程。同时, 对于双齿啮合时的齿间载荷分布对齿根弯曲应力的影响采用齿间载荷分配系数来修正。直接影响到齿根弯曲疲劳应力谱的编制, 大大降低了齿轮弯曲疲劳寿命的预测精度。

一化后的无量纲方程为

x (t ) +2ξx (t ) +k e x (t )

=F 0-Ψj ∑j 2e jb cos (j Ψt +θj ) =1

式中, ξ———阻尼系数

(3)

第37卷　第10期　　　　　　　　　随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究　　　　　　　　　　　　　　　21

T p (t ) F 0R K b ———外部载荷

p m K m ———平均刚度

ωK m /m ———齿轮副的固有频率e =

　　　ω———齿轮副的啮合圆周频率e 　　e j 、θj ———静态传递误差各次谐波参数　　　b ———特征尺寸

Ψ=ωe j /b e /ωn , e j b =

用状态空间法[9]238-241对式(3) 进行求解即可得到齿轮传动过程中的振动响应x (t ) , 齿轮传动过程中作用在轮齿上的动载荷为

F n =k e x (t ) b

则可得到式(1) 中动载系数及圆周力与动载荷的关系式

K v F t =k e x (t ) b cos (ωx )

式中, ω——啮合点压力角。x —2. 2　

齿间载荷分配系数及齿形系数的确定

由于直齿圆柱齿轮在连续运转中, 重合度大于1, 在不同的啮合区分配到一个轮齿上的载荷是不同的, 对齿根弯曲应力的影响不能忽略。对

图3　齿间载荷分配系数

S F ———危险截面弦齿厚2. 3　齿根弯曲应力改进计算公式

将式(4) 、式(6) 代入式(1) , 并用齿间载荷分配系数X r 替代式(1) 中的K F α, 可得直齿圆柱轮齿根弯曲应力的计算公式为

6h x c os 2(ωx )

σF =K A K F βY S X r k e x (t ) b BS F cos α

式中, X r ———齿间载荷分配系数

(7)

为了准确的统计齿轮传动过程中齿根弯曲应力的均值、幅值和循环频次以编制齿根弯曲应力谱, 应用式(7) , 在齿轮传动过程中, 对某一个轮齿在啮合工作时的齿根弯曲应力做了计算和统计, 建立了齿根弯曲应力的改进方法。该改进方法适应于低速重载圆柱直齿轮随机载荷下齿根弯曲应力的计算。低速是由于转速不同, 其齿间载荷分配系数的形式会不同; 重载是由于如果在轻载情况下建立齿轮动力学模型时齿侧间隙会对动力学特性影响, 不能被忽略。其计算流程如图4所示。

(4)

于不修缘、精度较高、转速较低的圆柱直齿轮传动, 其载荷沿啮合线的分布可近似认为如图3所示[10]334-335。

图4中纵坐标为齿间载荷分配系数, 横坐标A B 、DE 段为双齿啮合区, B D 段为单齿啮合区。以啮合点在啮合线上的位移X x 来确定齿间载荷分配系数, 公式如下

X x -X A ) 3X B -X A 3

X r X A ≤X x

(5)

图4　齿根弯曲应力计算流程图

X x -X E ) X D

式中, X A 、X B 、X D 、X E ———分别是单双齿边界点在啮合线上的位移值。

齿形系数Y F 是一个无因次量, 只与轮齿的齿廓形状有关, 而与齿的大小无关, 其计算公式如下[2]67-706cos (ωh x /m n x )

Y F 2

cos α(S F /m n )

, (6)

3　实例分析

本例中所分析的是ZL30型轮式装载机变速箱输出级齿轮副, 其参数为:齿数z 1=32、z 2=50, 模数4

mm , 压力角20°, 齿宽60mm , 弹性模量E =20800MPa , 泊松比μ=0. 31, 重合度为1. 5, 阻尼系数ξ=0. 06。其中, 使用系数K A 取2. 0, 齿向载荷分布系数K F β取1. 176, 应力集中系数Y S 取1. 6, 特征尺寸b =10-6, [11]

展开式为

e (t ) =20+3. 45cos (ω+0. 26cos (2ω) +0. 45e t ) e t +πcos (3ωe t )

算例1:静转矩载荷下, 齿轮1工作条件为转速400r /min , 传递转矩800N ·m 。分别用式(1) 、式(7) 对齿轮1的齿根弯曲应力进行计算, 轮齿在一个啮合周期内(双齿区-单齿区-双齿区) 的齿根弯曲应力如图5所示

。

的值。

应用式(7) , 按图4计算流程对传动过程中一个轮齿在2s 的啮合时间内齿根弯曲应力进行计算, 结果如图7所示。

从图7中可以看出, 该轮齿在2s 内啮合14次, 完整记录了轮齿齿根弯曲应力的变化历程。所以该方法可以应用于工程中随机载荷下齿轮弯曲应力的计算, 能得到目标齿在传动过程中齿根弯曲应力的变化历程, 便于对应力幅值和均值的循环频次的统计, 为精确编制齿轮弯曲应力谱及齿轮弯曲疲劳寿命预测提供依据。

图5　一个啮合周期齿根弯曲应力

式(1) 的计算得到是一固定值, 用此方法计算齿根弯曲应力进行弯曲疲劳寿命预测会使齿轮的弯曲强度比较富裕, 经济性不足。式(7) 的结果显示, 在一个啮合周期内齿根承受交变应力作用, 这对齿根弯曲疲劳寿命有较大影响, 在齿轮疲劳寿命预测时不容忽视。同时由于单双齿交替时齿轮振动和齿间载荷分配系数的影响, 齿根弯曲应力最大值发生在单齿啮合区的最高点, 大于式(1) 的计算值。所以式(7) 的计算结果准确反映了在轮齿啮合周期内齿根弯曲应力的变化历程, 提高了计算精度, 应用式(7) 进行工程中齿根应力的计算是准确的, 也是必要的。

算例2:装载机主要用来装卸成堆散料, 一般采用“V 型六段”的作业模型进行工作。根据载荷特点一个完整作业循环划分为空载前进、铲掘、满载后退、满载前进、卸料和空载后退等6个作业段。其传动系载荷信号具有显著的概率分布特征, 传递转矩为均值, 符合正态分布, 幅值符合威布尔分布[12]1412-1416。对ZL30装载机采用“V 型六段”的作业模型在平整路面装卸松散土料工况下满载前进时变速箱输出级齿轮传递的转矩均值及转速做理论计算, 幅值参考文献[12]1412-1416的统计规律。用高斯序列模拟随机载荷和传动过程中齿轮的转速, 得到齿轮1的随机转矩载荷和转速信号, 与求解动力学方程步长Δt =0. 0001s 一致, 两信号采集点间的时间间隔是0. 0001s , 如图6所示。当实测的转矩载荷信号采集频率比较低, 两信号采集点间的时间间隔大于求解动力学方程的步长时, 可近似认为

图7　齿根弯曲应力

图6　齿轮1的转矩及转速时间历程

(下转第40页)

输出转矩提高至80N ·m , 在此恒转矩输出下, 汽车的最高车速降为75. 6km /h 。

型[J ]. 汽车技术, 2010(10) :35-38.

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6　结论

(1) 简单介绍了电动汽车动力学模型的研究现状, 提出了一种AMT 机械结构的电动汽车传动系统模型。(2) 建立了两挡变速器电动汽车传动系统3自由度动力学仿真模型。

(3) 对传动系统动力学模型进行了仿真, 得到了系统的响应特性。其结果为传动部件的匹配和机电控制方法的制定提供了依据。

参

考

文

献

[11]　翁晓明. 湿式双离合器变速器换挡品质的研究[J ]. 汽车工程,

2009, 31(10) :927-931.

收稿日期:20121217　　收修改稿日期:20130421基金项目:国家高技术研究发展计划(863计划)

资助项目(2012AA110802)

国家级大学生创新创业训练计划项目([1**********]2) 国家高技术研究发展计划(863计划) 资助项目(2012AA111711)

作者简介:冯永恺(1989-) , 男, 江苏常州人, 硕士

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[4]　郭迪, 颜伏伍, 全书海, 等. 基于Si mulink 的电动汽车动力系统模

(上接第22页)

4　结论

(1) 建立了一种在低速重载, 随机载荷下工作的齿轮齿根弯曲应力计算方法。考虑了动载荷、啮合位置、齿间载荷分布对齿根弯曲应力影响, 提高了计算精度。(2) 由于齿轮传动过程中振动的影响, 即使转矩恒定, 齿根弯曲应力也在发生变化。轮齿在一个啮合周期内齿根弯曲应力有明显交变特点, 对齿根弯曲疲劳寿命有较大影响, 在齿轮弯曲疲劳寿命预测时应予以考虑。

(3) 该方法适用于工程中随机载荷下齿轮弯曲应力的计算, 能得到单齿在传动过程中齿根弯曲应力的变化历程, 是准确统计齿根应力幅值、均值及循环频次的前提, 对准确编制齿根弯曲应力谱及齿轮弯曲疲劳寿命预测具有一定的指导意义。

参

考

文

献

[1]　陈东升, 钟其水, 陈欣. 车辆变速箱齿轮弯曲疲劳寿命的估算[J ].

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[3]　徐步青, 佟景伟, 李鸿琦. 移动载荷下齿根应力的时间历程[J ].

收稿日期:20130125　　收修改稿日期:20130208

基金项目:中央高校基本科研业务费专项资助(CHD2011SY006)

长安大学基础研究支持计划专项基金资助

道路施工技术与装备教育部重点实验室开放基金资助

作者简介:王建平(1970-) , 男, 山西代县人, 博士后, 副教授

DOI :10. 16578/j . issn . 1004. 2539. 2013. 10. 015

第37卷　第10期　　　　　　　　　随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究　　　　　　　　　　　　　　　19

文章编号:1004-2539(2013) 10-0019-04

随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究

王建平1　卢　鹏1　张新荣2　杨　文1　刘成龙1　马福贵1

(1西安理工大学机械与精密仪器工程学院, 　陕西西安　710048) (2长安大学道路施工技术与装备教育部重点实验室, 　陕西西安　710064)

关键词　齿根弯曲应力　动载荷　随机载荷　疲劳寿命

Study on the Calculation Method of Tooth Root Bending Stress

of Involute Spur Gear under Random Load

Wang Jianping 1　Lu Peng 1　Zhang Xinrong 2　Yang Wen 1　Liu Chenglong 1　Ma Fugui 1

(1School of M echanical and Precis ion Instrument Engineering , Xi ' an University of Tec hnology , Xi ' an 710048, China )

(2Key Laboratory of Road Cons truction Technology and Equipment of Ministry of Education , Chang ' an Univers ity , Xi ' an 710064, China )

Key words 　Tooth root bending stress 　Dynamic load 　Random load 　Fatigue life

谱[5]647-656[6]35-37。其中齿根弯曲应力的大小和循环频次有很大的近似性, 是制约齿轮弯曲疲劳寿命预测精度提高的重要因素。

　　　　　　　　　　　　　　20　　　　　　　　　　　机械传动　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2013年

的变化历程, 为精确编制齿根弯曲应力谱和弯曲疲劳寿命预测提供一种有效的新方法。

2　改进算法

2. 1　轮齿动载荷的计算

齿轮在传动过程中齿廓上的载荷是随齿轮的振动

图2　齿轮副的动力学模型

1　传统计算方法及其局限性

1. 1　传统计算方法

σK A K V K F βK F αY S Y F F =Bm n

式中, K A ———使用系数

K V ———动载系数B ———齿宽

图1　齿根弯曲应力模型

(1)

轴和轴承都是刚性的, 忽略支承轴承所产生的摩擦的

影响, 啮合力始终沿啮合线方向, 阻尼系数为两齿轮啮合时的啮合阻尼, 弹簧的刚度为啮合齿轮的啮合刚度。则可得其动力学模型, 如图2所示。

则系统的运动微分方程可简化为一个自由度的分析模型

T p (t )

+c e x ) +k e x (t ) -m e (2) m x R P

式中, R p 、R g ———齿轮p 、g 的分度圆半径

[7]5-8

　e (t ) ———静态传递误差　　c e ———啮合阻尼x (t ) =R p θR g θe (t ) p -g -———动态传递误差与静态传递误差之间

的差值

　　m ———齿轮副的等效质量

　　k e ———时变啮合刚度　e (t ) ———静态传递误差T p (t ) ———齿轮p 传递的转矩

用石川法计算齿轮时变啮合刚度, 将传递误差按三次谐波函数展开

e (t ) =∑e j cos (j ωe t +θj ) j =1

令x (t ) =bx (t ) , t =ω2) 可得到归n t , 并代入式(

··

一化后的无量纲方程为

x (t ) +2ξx (t ) +k e x (t )

=F 0-Ψj ∑j 2e jb cos (j Ψt +θj ) =1

式中, ξ———阻尼系数

(3)

第37卷　第10期　　　　　　　　　随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究　　　　　　　　　　　　　　　21

T p (t ) F 0R K b ———外部载荷

p m K m ———平均刚度

ωK m /m ———齿轮副的固有频率e =

　　　ω———齿轮副的啮合圆周频率e 　　e j 、θj ———静态传递误差各次谐波参数　　　b ———特征尺寸

Ψ=ωe j /b e /ωn , e j b =

用状态空间法[9]238-241对式(3) 进行求解即可得到齿轮传动过程中的振动响应x (t ) , 齿轮传动过程中作用在轮齿上的动载荷为

F n =k e x (t ) b

则可得到式(1) 中动载系数及圆周力与动载荷的关系式

K v F t =k e x (t ) b cos (ωx )

式中, ω——啮合点压力角。x —2. 2　

齿间载荷分配系数及齿形系数的确定

由于直齿圆柱齿轮在连续运转中, 重合度大于1, 在不同的啮合区分配到一个轮齿上的载荷是不同的, 对齿根弯曲应力的影响不能忽略。对

图3　齿间载荷分配系数

S F ———危险截面弦齿厚2. 3　齿根弯曲应力改进计算公式

将式(4) 、式(6) 代入式(1) , 并用齿间载荷分配系数X r 替代式(1) 中的K F α, 可得直齿圆柱轮齿根弯曲应力的计算公式为

6h x c os 2(ωx )

σF =K A K F βY S X r k e x (t ) b BS F cos α

式中, X r ———齿间载荷分配系数

(7)

(4)

于不修缘、精度较高、转速较低的圆柱直齿轮传动, 其载荷沿啮合线的分布可近似认为如图3所示[10]334-335。

X x -X A ) 3X B -X A 3

X r X A ≤X x

(5)

图4　齿根弯曲应力计算流程图

X x -X E ) X D

式中, X A 、X B 、X D 、X E ———分别是单双齿边界点在啮合线上的位移值。

齿形系数Y F 是一个无因次量, 只与轮齿的齿廓形状有关, 而与齿的大小无关, 其计算公式如下[2]67-706cos (ωh x /m n x )

Y F 2

cos α(S F /m n )

, (6)

3　实例分析

本例中所分析的是ZL30型轮式装载机变速箱输出级齿轮副, 其参数为:齿数z 1=32、z 2=50, 模数4

展开式为

e (t ) =20+3. 45cos (ω+0. 26cos (2ω) +0. 45e t ) e t +πcos (3ωe t )

。

的值。

应用式(7) , 按图4计算流程对传动过程中一个轮齿在2s 的啮合时间内齿根弯曲应力进行计算, 结果如图7所示。

图5　一个啮合周期齿根弯曲应力

图7　齿根弯曲应力

图6　齿轮1的转矩及转速时间历程

(下转第40页)

输出转矩提高至80N ·m , 在此恒转矩输出下, 汽车的最高车速降为75. 6km /h 。

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6　结论

(3) 对传动系统动力学模型进行了仿真, 得到了系统的响应特性。其结果为传动部件的匹配和机电控制方法的制定提供了依据。

参

考

文

献

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收稿日期:20121217　　收修改稿日期:20130421基金项目:国家高技术研究发展计划(863计划)

资助项目(2012AA110802)

国家级大学生创新创业训练计划项目([1**********]2) 国家高技术研究发展计划(863计划) 资助项目(2012AA111711)

作者简介:冯永恺(1989-) , 男, 江苏常州人, 硕士

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(上接第22页)

4　结论

参

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收稿日期:20130125　　收修改稿日期:20130208

基金项目:中央高校基本科研业务费专项资助(CHD2011SY006)

长安大学基础研究支持计划专项基金资助

道路施工技术与装备教育部重点实验室开放基金资助

作者简介:王建平(1970-) , 男, 山西代县人, 博士后, 副教授

随机载荷下渐开线直齿轮齿根弯曲应力计算方法研究

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