第一学期第十二次课
第三章 §1，§2 n 阶方阵的行列式
3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质
在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量α, β的坐标分别为
(a 1, a 2) 和(b 1, b 2) ，则由向量α, β张成的平行四边形的有向面积为a 1b 2-a 2b 1，这里记为；
给定三维空间内右手单位正交标架，设向量α, β, γ的坐标分别为(a 1, a 2, a 3) 、(b 1, b 2, b 3) 和
(c 1, c 2, c 3) ，则由向量α, β, γ(a 1b -2
a 2) b 1+c 1(
张成的平行六面体的有向体积为
a
b
c
-a 3b 1) a 1+b 3(c 2-。a ) b
⎛a 11我们引入如下记号：对于二阶方阵A =
⎝a 21
⎛a 11
阶方阵A =a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫
a 22
⎪
a 23，定义A =a 11
⎪a 32⎪a 33⎭
a 12⎫
⎪，定义A =a 11a 22-a 12a 21；对于三a 22⎭a 23a 33
a 21a 31
a 23a 33
a 21a 31
a 22a 32
-a 12+a 13
。
不难发现，A （有向面积与有向体积）满足以下三条性质：
（1）、如果A 的某行或某列换为两个向量的线性组合k α+l β，则A =A 1+A 2，其中A 1, A 2分别为把该行（列）换为α, β所得的n 阶方阵；
（2）、如果A 不满秩，则A =0； （3）、当A 为单位矩阵时，A =1。
3.1.2利用上述三条性质定义n 阶方阵的行列式函数的d et 定义 线性函数
若f :M n (K ) →K 满足如下条件：对K n 中任意向量α1, α2, , αn , α(写成横排形式) 以及K 中任意数k ，∀i =1, 2, , n ，都有
⎛α1
f αi +α α
n ⎝
⎫⎛α1⎫⎛α1⎫⎛α1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=f αi ⎪+f α⎪；f k αi ⎪=kf ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ α⎪ α⎪ α⎪⎭⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭
⎛α1
αi α⎝n
⎫⎪⎪⎪， ⎪⎪⎪⎭
则称f 为M n (K ) 上的一个行线性函数。 设g :M n (K ) →K 满足如下条件
对K n 中任意向量β1, β2, , βn , β（写成竖排形式）以及K 中任意数k ，∀j =1, 2, , n ，都有
g (β1, β2, , βj +β, , βn ) =g (β1, β2, , βj , , βn ) +g (β1, β2, , β, , βn ) ；
g (β1, β2, , k βj , , βn ) =kg (β1, β2, , βj , , βn ) ，
则称g 为M n (K ) 上的一个列线性函数。
同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作
∀k , l ∈K ，有
α1⎛
f k αi +l α
αn ⎝
⎫⎪⎪⎪=kf ⎪⎪⎪⎭
⎛α1 αi α⎝n
⎫⎪⎪⎪+lf ⎪⎪⎪⎭
⎛α1 α α⎝n
⎫⎪⎪⎪和 ⎪⎪⎪⎭
g (β1, β2, , k βj +l β, , βn ) =kg (β1, β2, , βj , , βn ) +lg (β1, β2, , β, , βn ) 。
容易证明它们与上面定义的等价性。
定义 反对称线性函数 记号如上，若列线性函数f 满足
f (α1, , αi , , αj , , αn ) =-f (α1, , αj , , αi , , αn ) ，
则称f 为列反对称函数。
定理 设f :M n (K ) →K 为列线性函数，则下述四条等价： i ）、f 反对称；
, , α, , α, ) α0ii ）、f (α, 1
n
=；
iii ）、f (α1, , αi +k αj , , αj , , αn ) =f (α1, , αi , , αj , , αn ) ； iv ）、若M 不满秩，则f (M ) =0。 证明 i ）⇒ii ） 若f 反对称，则
f (α1, , α, , α, , αn ) =-f (α1, , α, , α, , αn ) ，
于是f (α1, , α, , α, , αn ) =0。
ii ）⇒iii ） 若f (α1, , α, , α, , αn ) =0，由于f 列线性，则
f (α1, , αi +k αj , , αj , , αn ) =f (α1, , αi , , αj , , αn ) +kf (α1, , αj , , αj , , αn )
=f (α1, , αi , , αj , , αn ).
iii ）⇒iv ） 若f (α1, , αi , , k αj , , αn ) =f (α1, , αi , , αj , , αn ) ，则由已知，不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M 的列向量为α1, α2, , αn ，
n
则必存在一个αi ，满足αi =
∑k α
j
j =1
j ≠i
j
，其中k j ∈K ，于是
n
f (M ) =f (α1, , ∑k j αj , , αn ) =0。
j =1j ≠i
iv ）⇒ii ） 矩阵(α1 α α αn )不满秩，则f (α1, , α, , α, , αn ) =0。 ii ）⇒i ） 若f (α1, , α, , α, , αn ) =0，则
f (α1, , α+β, , α+β, , αn ) =0，
于是
f (α1, , α, , β, , αn ) +f (α1, , β, , α, , αn ) =0，
则有f (α1, , α, , β, , αn ) =-f (α1, , β, , α, , αn ) 。证毕
定义 函数f :M n (K ) →K 被称为一个行列式函数，当且仅当f 满足下列3条性质： 1、f 列线性； 2、f 反对称； 3、f (E ) =1。
2.3.3行列式函数的存在性与唯一性
引理 设f 和g 为烈现行反对称函数，A , B ∈M n (K ) 。则若经过相同的初等列变换化为A 1和B 1，则
f (A ) =g (A ) ⇔f (A 1) =g (B 1) 。
证明 由初等变换的可逆性，只需证“⇒”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理 行列式函数存在且唯一。
证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设f , g :M n (K ) →K 是行列式函数，若A 不满秩，则f (A ) =0=g (A ) ；若A 满秩，则A 可以经过初等列变换化为E ，
f (E ) =1=g (E ) ，于是由引理f (A ) =g (A ) ，即f 和g 在M n (K ) 上取值相等，于是f =g 。唯一性证毕。
再证明行列式函数的存在性。定义函数det 如下：设A =(a 11)∈M 1(K ) ，定义
det(A ) =a 11；
设在集合M n -1(K ) 内函数det(A ) 已定义，那么，对
⎛a 11
a 21 A = a ⎝n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫
⎪a 2n
⎪∈M (K ) ，
n
⎪⎪a nn ⎪⎭
n
定义det(A ) =a 11M 11-a 12M 12+ +(-1)
n +1
a 1n M 1n =
∑
i =1
⎛1⎫
a 1i A ⎪. 其中M ij 表示划去A 的第
⎝i ⎭
i 行和第j 列后所剩的n-1阶方阵的d et 值，A ⎪为(-1) i M 1i 。
⎝i ⎭
⎛1⎫
用记号A 来代表det(A ) ，如果A =(a ij )∈M n (K ) ，可以写成
a 11
det A =A =
a 21 a n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n a 2n a nn
.
下面要证明上述定义的函数det(A ) 是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。 对n 作归纳，可分别证明det(E ) =1； det(A ) 是列线性函数和det(A ) 反对称，于是
det(A ) 是行列式函数。
命题 行列式函数是行线性函数。 证明 对n 作归纳。 3.2.4行列式的六条性质
命题 行列式函数满足以下六条性质： 1、A =A ' ；
a 11a 21
ka 1i ka 2i
ka ni
a 1n a 2n a nn
=k (a ij )
n ⨯n
2、
a n 1
，
类似地，对行向量，有
a 1
a ka i 2 a n 2
a
ka in =k (a ij ) a nn
n ⨯n
121n ka i 1
a n 1
；
3、若A 的某列（行）为两列（行）之和，则A 为两个相应的行列式之和； 4、A 不满秩，则A =0，特别地，A 有两行（列）相等，则A =0； 5、将A 的一行（列）的若干倍加到B 的另一行（列）上去，行列式值不变； 6、两行（列）互换，行列式反号。
第一学期第十二次课
第三章 §1，§2 n 阶方阵的行列式
3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质
在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量α, β的坐标分别为
(a 1, a 2) 和(b 1, b 2) ，则由向量α, β张成的平行四边形的有向面积为a 1b 2-a 2b 1，这里记为；
给定三维空间内右手单位正交标架，设向量α, β, γ的坐标分别为(a 1, a 2, a 3) 、(b 1, b 2, b 3) 和
(c 1, c 2, c 3) ，则由向量α, β, γ(a 1b -2
a 2) b 1+c 1(
张成的平行六面体的有向体积为
a
b
c
-a 3b 1) a 1+b 3(c 2-。a ) b
⎛a 11我们引入如下记号：对于二阶方阵A =
⎝a 21
⎛a 11
阶方阵A =a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫
a 22
⎪
a 23，定义A =a 11
⎪a 32⎪a 33⎭
a 12⎫
⎪，定义A =a 11a 22-a 12a 21；对于三a 22⎭a 23a 33
a 21a 31
a 23a 33
a 21a 31
a 22a 32
-a 12+a 13
。
不难发现，A （有向面积与有向体积）满足以下三条性质：
（1）、如果A 的某行或某列换为两个向量的线性组合k α+l β，则A =A 1+A 2，其中A 1, A 2分别为把该行（列）换为α, β所得的n 阶方阵；
（2）、如果A 不满秩，则A =0； （3）、当A 为单位矩阵时，A =1。
3.1.2利用上述三条性质定义n 阶方阵的行列式函数的d et 定义 线性函数
若f :M n (K ) →K 满足如下条件：对K n 中任意向量α1, α2, , αn , α(写成横排形式) 以及K 中任意数k ，∀i =1, 2, , n ，都有
⎛α1
f αi +α α
n ⎝
⎫⎛α1⎫⎛α1⎫⎛α1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=f αi ⎪+f α⎪；f k αi ⎪=kf ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ α⎪ α⎪ α⎪⎭⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭
⎛α1
αi α⎝n
⎫⎪⎪⎪， ⎪⎪⎪⎭
则称f 为M n (K ) 上的一个行线性函数。 设g :M n (K ) →K 满足如下条件
对K n 中任意向量β1, β2, , βn , β（写成竖排形式）以及K 中任意数k ，∀j =1, 2, , n ，都有
g (β1, β2, , βj +β, , βn ) =g (β1, β2, , βj , , βn ) +g (β1, β2, , β, , βn ) ；
g (β1, β2, , k βj , , βn ) =kg (β1, β2, , βj , , βn ) ，
则称g 为M n (K ) 上的一个列线性函数。
同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作
∀k , l ∈K ，有
α1⎛
f k αi +l α
αn ⎝
⎫⎪⎪⎪=kf ⎪⎪⎪⎭
⎛α1 αi α⎝n
⎫⎪⎪⎪+lf ⎪⎪⎪⎭
⎛α1 α α⎝n
⎫⎪⎪⎪和 ⎪⎪⎪⎭
g (β1, β2, , k βj +l β, , βn ) =kg (β1, β2, , βj , , βn ) +lg (β1, β2, , β, , βn ) 。
容易证明它们与上面定义的等价性。
定义 反对称线性函数 记号如上，若列线性函数f 满足
f (α1, , αi , , αj , , αn ) =-f (α1, , αj , , αi , , αn ) ，
则称f 为列反对称函数。
定理 设f :M n (K ) →K 为列线性函数，则下述四条等价： i ）、f 反对称；
, , α, , α, ) α0ii ）、f (α, 1
n
=；
iii ）、f (α1, , αi +k αj , , αj , , αn ) =f (α1, , αi , , αj , , αn ) ； iv ）、若M 不满秩，则f (M ) =0。 证明 i ）⇒ii ） 若f 反对称，则
f (α1, , α, , α, , αn ) =-f (α1, , α, , α, , αn ) ，
于是f (α1, , α, , α, , αn ) =0。
ii ）⇒iii ） 若f (α1, , α, , α, , αn ) =0，由于f 列线性，则
f (α1, , αi +k αj , , αj , , αn ) =f (α1, , αi , , αj , , αn ) +kf (α1, , αj , , αj , , αn )
=f (α1, , αi , , αj , , αn ).
iii ）⇒iv ） 若f (α1, , αi , , k αj , , αn ) =f (α1, , αi , , αj , , αn ) ，则由已知，不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M 的列向量为α1, α2, , αn ，
n
则必存在一个αi ，满足αi =
∑k α
j
j =1
j ≠i
j
，其中k j ∈K ，于是
n
f (M ) =f (α1, , ∑k j αj , , αn ) =0。
j =1j ≠i
iv ）⇒ii ） 矩阵(α1 α α αn )不满秩，则f (α1, , α, , α, , αn ) =0。 ii ）⇒i ） 若f (α1, , α, , α, , αn ) =0，则
f (α1, , α+β, , α+β, , αn ) =0，
于是
f (α1, , α, , β, , αn ) +f (α1, , β, , α, , αn ) =0，
则有f (α1, , α, , β, , αn ) =-f (α1, , β, , α, , αn ) 。证毕
定义 函数f :M n (K ) →K 被称为一个行列式函数，当且仅当f 满足下列3条性质： 1、f 列线性； 2、f 反对称； 3、f (E ) =1。
2.3.3行列式函数的存在性与唯一性
引理 设f 和g 为烈现行反对称函数，A , B ∈M n (K ) 。则若经过相同的初等列变换化为A 1和B 1，则
f (A ) =g (A ) ⇔f (A 1) =g (B 1) 。
证明 由初等变换的可逆性，只需证“⇒”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理 行列式函数存在且唯一。
证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设f , g :M n (K ) →K 是行列式函数，若A 不满秩，则f (A ) =0=g (A ) ；若A 满秩，则A 可以经过初等列变换化为E ，
f (E ) =1=g (E ) ，于是由引理f (A ) =g (A ) ，即f 和g 在M n (K ) 上取值相等，于是f =g 。唯一性证毕。
再证明行列式函数的存在性。定义函数det 如下：设A =(a 11)∈M 1(K ) ，定义
det(A ) =a 11；
设在集合M n -1(K ) 内函数det(A ) 已定义，那么，对
⎛a 11
a 21 A = a ⎝n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫
⎪a 2n
⎪∈M (K ) ，
n
⎪⎪a nn ⎪⎭
n
定义det(A ) =a 11M 11-a 12M 12+ +(-1)
n +1
a 1n M 1n =
∑
i =1
⎛1⎫
a 1i A ⎪. 其中M ij 表示划去A 的第
⎝i ⎭
i 行和第j 列后所剩的n-1阶方阵的d et 值，A ⎪为(-1) i M 1i 。
⎝i ⎭
⎛1⎫
用记号A 来代表det(A ) ，如果A =(a ij )∈M n (K ) ，可以写成
a 11
det A =A =
a 21 a n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n a 2n a nn
.
下面要证明上述定义的函数det(A ) 是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。 对n 作归纳，可分别证明det(E ) =1； det(A ) 是列线性函数和det(A ) 反对称，于是
det(A ) 是行列式函数。
命题 行列式函数是行线性函数。 证明 对n 作归纳。 3.2.4行列式的六条性质
命题 行列式函数满足以下六条性质： 1、A =A ' ；
a 11a 21
ka 1i ka 2i
ka ni
a 1n a 2n a nn
=k (a ij )
n ⨯n
2、
a n 1
，
类似地，对行向量，有
a 1
a ka i 2 a n 2
a
ka in =k (a ij ) a nn
n ⨯n
121n ka i 1
a n 1
；
3、若A 的某列（行）为两列（行）之和，则A 为两个相应的行列式之和； 4、A 不满秩，则A =0，特别地，A 有两行（列）相等，则A =0； 5、将A 的一行（列）的若干倍加到B 的另一行（列）上去，行列式值不变； 6、两行（列）互换，行列式反号。