重积分经典例题

郑州大学重积分经典例题

1．（P148,第2题）求函数fx,ysin

2

x.sin

2

y

在闭正方形区域

D:0x,0y上的函数值的平均值.

解：

fx,ydxdy

2

2

ydy

2



2

D

sin

xdx.

0

sin



0sin

xdx

；

又

sin

2

xdx





1cos2x

x1sin2x

0

2

24|0

2.

所以

2

fx,ydxdy





D

4

. 故fx,y在闭正方形区域D上的函数值的平均值为 2



1SD



fx,ydxdy





1D

4

2

4

.

2．（P148,第3题）设函数fx在闭区间a,b上连续，证明不等式 b2

b

2

afxdx

baa

f

xdx.

证明：考虑积分 Ifxfy2

dxdy D

一方面 I

f

2

xdxdy

2fx.fydxdy



f

2

ydxdy D

D

D

其中



f

2

xdxdy





b

2

a

dxb

a

f

xdy

bab

2

a

f

xdx; D

1）2） （

（



D

f

2

ydxdy





b

a

dxf

a

b

2

ydy

baf

a

b

2

ydy

baf2xdx; （3）

b

a



fx.fydxdy



b

dxba

afx.fydxdybafxdxb

D

.afydy



2

b

afxdx

. 将（2）、（3）、（4）代入（1）得 I2bab

2

f2

a

xdx2b

afxdx.

另一方面

显然I0 ，即2bab

2

f2

xdx2b

a

afxdx

，

故

2

bafxdx

bab

2

a

f

xdx.

3．（P149,第4题）设fx在闭区间a,b上为正值连续函数.证明不等式

bf

xdxbdx2

a

.

fxaab.

证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：



b

dxb

a

fx





b

dya

fy

----（1）以及a

fxdx

b

a

fydy.-----（1）

所以，

bfxdx.bdxfx

aaf

（2）

x

D

fydxdy.---------------其中，D:xb,

aayb.

同理，

bfy

afxdx.bdxafxfxdxdy.-----------------（3）

， 

D

（2）+（3），得：

2bfxdxbdxfyfx.fx

aafx





D

fx

fydxdy

2

fyD

fxfy

dxdy.

4）

5）

（（

2dxdy2

b

a .

2

D

即：b

fxdx

b

dx

.fx

aa

ba2

. 



证法二：因为fx0，

2

所以，

b



a

dx0，即： 

2

dx

b

fa

xdx

2ba



ba

f

x

0.------（1）

（1）式左边是的非负二次三项式，因此必有判别式

ba2

b

b

dx



f

axdx



a

fx0，故 

bfxdxbdx2

a

.

afxba.

4．（书p149页习题8）设函数fx在a,b上连续，证明：



b

y

b

a

dya

fxdx

afxbxdx.

证法一：与累次积分bdydxa

yfxa

对应的二重积分的积分区域 D:b,

xyaxb.

交换积分次序后，重新计算b

a

dyy

a

fxdx，则有



b

y

b

b

a

dya

fxdx



b

a

dxx

fxdy

a

fxbxdx..

证法二：记Fy

y

fxdxa

，则



b

y

a

dya

fxdx



b

a

Fydy

y.Fy|b

b

a

a

yFydy

bFbaFab

a

y.fydy

b.bfxdx0b

a

a

x.fxdx



fxbxdx.

a

b

5．（书p149页习题10）设fx为1,1上的连续函数，证明： 证明：因为

xa

yb

2

1xyffdxdy4abfxdx. 0ab

xa

yb

axbyxy

ffdxdyfdx.fdy

a

ababb

（1）

其中对于fdx，令ua

a

a

a

xxa

,则



a

111x

fdxafudu2afudu2afxdx

100

a

； （2）

同理，对于f

b

b

b

y

dyb

，令v

yb

,则



b

111y

fdybfvdv2bfvdv.2bfxdx

100

b

； （3）

故



xayb

xyffab1fxdx. dxdy4ab

0

2

6．（书p158页习题3）证明：dxsin

1

x

2x

x

2y

dy



4

2

dx2x

sin

x

2y



4



3

2.

证明： （一）记

2x4,1x2,

，D2:.分别画出草图.则DD1D2. D1:

xyx.xy2

（二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为Y型区

1y2,

域：D:，此时无须分块. 2

yxy.

原式



2

1

dy

yy

2

sin

x

2y





2

2y

1



dy

yy

2

sin



2y2y

xx



2

1

22yxy2

cosdy|

2yy



2

1

ycos



2

ydy



4



2



2

1

42

ydsiny2ysiny|

221



2

1

sin





ydy2



422424

2. 1.cosy1|12232

7．（书p158页习题4）求I

1

y



3

1

xdxe

x

2

1

y

2

dy.

解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D的图形，交换积分次序.

I



e

y

2

dyxdx

2

1

3

1

e

y

2

ydy

1

6

1

yde

2



y

2











212y

ye

6

|

10





1

e

y

2

dy



2









211y

ee61e1e11112e1.

|066

1

8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分： （ⅰ）I

x

D

2

xyy

2

dxdy,D为由上半圆周x

2

y

2

（y0）与直线yx1

围成的圆扇形； （ⅱ）I（ⅲ）I（ⅳ）I解： （ⅰ）I



D

1xy1xysin

2

22

22

dxdy,D

为单位圆（x2y21）； 为圆环域（2x2y242）；



D

xydxdy,Dyx

2



D

arctan,D

为单位圆（x2y21）含在第一象限内的部分.

x

D

2

xyydxdy

2



x

D

2

y

2

dxdy

0



2

2dr2.rdr2

4

1

2





1

. 448

1

（ⅱ）I



D1

1xy1xy1r1r1t1t

22

22

22



dxdy42d

1r1r

22

rdr

2 

1

rdr

（令r2t）

1

dt



1tt

2





1

1t

2





1

tt

2

arcsint|0



1



11121t

20t2



.



2

t

2

|

2

10

.





1. 22



2

（ⅲ）I



D

sin

xydxdy42d

2



sinr.rdr

4.

22

.sinr.rdr2.rdcosr 

2

222

2rcosr|cosrdr62sinr|62.









（ⅳ）I



D

arctan

yx

1







2

darctan

1

rsinrcos

2

.rdr







2

1d.rdr 2d.rdr

000

2

1



1212

|02.2r|016.





9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分： （ⅰ）I（ⅱ）I（ⅲ）I



D

yxdxdy,Dx

2

2

为正方形（1x1,0y2）；

为圆域（x2y29）；



2



D

y

2

4,D



D

cosxy,D

为正方形（0x

,0y



2

）.

1x1,

解：（ⅰ）此题中积分区域本来是非常规范的矩形域D:（画图）

0y2.

22

yx,yx,2

.，故需要用抛物线yx但由于被积函数为分段函数|yx|2

2

xy,yx

2

将

积分区域分成两个小区域.

即DD1D2，则原式=yx2dxdyx2ydxdy.

D1

D2

x2y2,0yx2,

其中，D1:， D2:

1x1,1x1,

于是，有I



1

1

dx

2

2

x

yxdy

22

2

1

1

dx

x

2

x

2

ydy



4315



15



4615

.

（ⅱ）设D1:0x2y24,D2:4x2y29.则DD1D2. 所以，I

4x

D1

y

dx

D2

2

y4d

2





2d22

2

d3

2

4.0



0

4rrdr



2

r

rdr

412

（ⅲ）以直线xy



2

将区域D分成两个子区域，DD1D2

0yx,

xy,其中，D2221:， D2:

0x2,

0x

2,







I



2

dx2

x

0

cosxydy



2

dxcos0

2xydy

2x





其中2x







dx20

cosxydy



2

xy|x0

sin2

0dx







2

01sinxdx





2

1；









2

dxxy0

2cosdyx

2

xy|

sin2

dx

2

2x



2cosx1dx



2

1.

所以 I



11

2.22

tx10．（书p159页习题7）求Ft,其中Ft



e

y

2

dxdyt0.

0xt

0yt



txtx解：（一）Ft



ey

2

dxdy



t

dyy

2

dx

t



e

0xt

0yt



y2tx

tey2dtx

0t02dyt

y2tx

ty2

t

te

y

0|

0dy



2

2

t

2



t



t

yey

2

t

2

20t1dy0y

t2ey

1tdy 

令ytu,则dytdu,

Ft

u

2

02

1

12eu1t2du

2

t



01

1

12

uue1du



（1）

（二）

12121222uu

Ft2tue1dutue1

00t

2

（因为（1）式）

2t

Ft.

11．（书p159页习题8）根据dxdyD的面积，求下面曲线围成图形的面积：

D

（ⅰ）由抛物线y2x与半圆周x

2

2y

2

围成的图形；

（ⅱ）曲线x2y2xy围成的图形. 解：（ⅰ） 联立

2

yx,x1,x1,

得或 2

y1.y1.x2y.

故两曲线的交点为1,1及1,1.化出区域D的草图，并视之为Y型区域. 则所求面积为

A



D

dxdydy

1

12yy

2

2

dx



1

1

2y

2

y

2



2

（ⅱ）

1

22y2y12y1

|2ydy2.arcsi. 0

3223232

2

2

解法一：由x2y2xy，知xy0，即图形分布在第一及第三象限.

2

化为极坐标方程表示为

r

2

cos.sin （1）

cos.sin

故 r

,或0,. （2） 22









所以，所求面积为

1

A2A12

2



20



cossin



2



d





2

sin.cosd







2

sin.dsin

12



sin

2

|2

12

.

解法二：记D1为D在第一象限内的那部分区域，则



A2A1



D1

dxdy22d

0

cossin

rdr

12



22

r22

|

cossin



d



20

sin.cosd

12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积

（ⅰ）球面x2y2z22aza0的上半部分与圆锥面z2x2y2围成的图形；

（ⅱ）圆柱面y2z2a2与x2z2a2围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域的草图. 联立

x2y2z22az,

，消去z222

zxy.

，即得在xoy面上的投影区域为

D:xy

22

a.

2

所以，所求立体的体积为 V

a

D

axy

222



2

xydxdy

22



极

0



2

d



a

a



a

20

ar

2

rrdr

22arrdr



2ardr



a

rdr

3



a

a.

3

1222

2.2.2..ar

2323

a

3

a



|

2

3

a

解法二：画出积分区域的草图，显然见的体积为球体x2y2z22az的体积的上半部分体积加上锥体z2x2y20za的体积 故 VV1V2

141323

.aa.aa. 233

（ⅱ）解法一：AzSDz

所以，V8Azdz

解法二：

a



a0

az

22



2

2

az,

2

2

8azdz



2



163

a.

3

V8V18V1



1

V1

2



ax

8dx00

axdy

22



a

dy

y

3

a3a163

aydx8333a.2

2

解法三：（切片法）

V8dv8dz



a

Dz

dxdy8azdz

a



22



163

a.

3

13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数s,t与伽马函数t之间的关系为

s,t其中

s,t提示：

（ⅰ）在t中用x2替换x，得t2（ⅱ）st4lim

fx,yx

2t1

a

D

2

stst

s0,t0



1

x

s1

1x



t1

dx,t





x

t1

e

x

dx

x

2t1

e

x

2.

dx.

fx,ydxdy，其中D0

 .

xa,0ya为正方形，函数

y

2s1

e

xy



2

（ⅲ）如图所示，Ka表示半径为a的圆(x2y2a2)含在第一象限的部分，

K



2a

表示半径为

2a的圆(xy

2

2

2a)含在第一象限的部分.由于函数

2

fx,y的非负性，

Ka

fx,ydxdy



fx,ydxdy

D



K



fx,ydxd.y

2a



（ⅳ）计算上述不等式两端的积分，并让a.

证明：

（ⅰ）令xu2，则 dx2udu， 故

t

换记为 t2（ⅱ）st2lim



a

u

0



2t1

e

u

2

2udu2



u

2t1

e

u

2.

du

0a

x

2t1

e

x

2.

dx. （1）

.2lim

a



x

2t1

e

x

2

dx



a

y

2s1

e

y

2

dy



4lim其中

D

a

. （2） fx,ydxdy

D

x,y|0xa,0ya为正方形区域，fx,yx

2t1

y

2s1

e

xy



22

 .

（ⅲ）显然，由于fx,y0，故有 其中

Kax,y|x2y2a2 ；K2ax,y|x2y22a2分别是半径为a及的2a圆含在第一象限的部分. （3）式左端积分



2cos

0

2t1

Ka

fx,ydxdy



fx,ydxdy

D



K



fx,ydxd.y （3）

2a



Ka



x

2t1

y

2s1

e

xy

22

dxdy

（改为极坐标）

sin

2s1

a2

2t12s1r

drre.rdr

0

（4）

其中



2t1

0cos

2

sin2s1d

t12



1

cos2

20

t1



sin

2



s1

2cos.sind

（令cos2u，则2cossinddu）



1

2

1

u

2t1

1u

r

2s1

s1

du

1

2

1

t1

u

1us1du



12

s,t.； （5）

其中r 

1

a

e

r

2

.rdr

（令r2u，则rdrdu）

a

2

2

a

2

s21

ue

u

du

1

st1

2

xe

x

dx

； （6）

故由（5）、（6）两式，得

（3）式左端积分

1s,t.2

1

2



a

2

s21

xe

x

2a1st1x

dxs,txedx

04

. （7）

同理得

（3）式右端积分

14



14

s,t

2a

2

x

st1

e

x

dx

. （8）

故（3）化为

s,t

a

2

x

st1

e

x

dx



fx,ydxdy

D



14

s,t

2a

2

x

st1

e

x

dx

（9）

（9）式两边令a,有 故

14

14

s,t.st

14

s.t

14

s,t.st

s,t..st

14

s.t （10）

（10）化简，即得： s,t

stst

.

14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分： （ⅰ）I（ⅱ）I

y4x

fxydxdy；

xy1

fxydxdy,D为双曲线xy

D

1和xy2（x0,y0）与直线yx和

围成的区域；

（ⅲ）I

2





xyx

2

y

fdxdyx

；

（ⅳ）I

2

faxbycdxdy

2

（a2b20）.

xy1

解：（ⅰ）画出积分区域D（如图，为一个正方形区域）. 作变量代换：

uvx,uxy,2 

uvvxy.y.2

由二重积分的换元法 I其中

fxydxdy

xy1



fuJ

D

dudv

. （1）

xx

J

x,yu,v

1121122

uyu

v2y1v

2

； （2）

D:

1v1, （3）

1u1.

故

I11

2

fududv



1D

2



1

du

fdv1



1

u



11

1

2

2fu1

du



fdu.1

u

（ⅱ）画出积分区域D（如图）.

作变量代换：  uxy,

u



yx

v,

vx.

yu.v.由二重积分的换元法 Ifxydxdy



fuJ

dudv

. D

D

其中

x

x

1

J

x,y1

uu

v2vv

u,v

yy2uv1.11v1u2v u

v2u

2

v

D:

1v4, 1u2.

故

I

1

fu.1dudv

12

2

D

v2



fu1

du.

4

1v

1

ln2.2

1

fudu. （ⅲ）画出积分区域D（如图）.

作变量代换：

xrcos

,

yrsin.

由二重积分的换元法

（1）

（2）

3）

（

I其中



D

y

fdxdyx

ftanJdrd. （1）

D

xx

cos

rsinr

J

x,yr （2）

r,



yysinrcos

r



 D:

0rcos,

 

2

2.故

I



fy

dxdyftanrdrd

D

x

D





2d

cos

ftan



rdr

2





1

2

2

ftan.cos2

d.

2

（ⅳ）作正交变量代换：



xaubv, 

a2b

2buav

x2y2u2v2. y.



a2b2

由二重积分的换元法 I

fax

bycdxdy



f

u

a2b

2

cJdudv

. x2

y2

1

D

其中

x

xab 

x,yuva2

b2

a2

b

2

Ju,v

yy

ba

1. u

v



a2

b

2

a2

b

2

D:u

2

v

2

1.

u

2

vu2

或

D:

,

 

1u1.

故

（3）

（1）

（2）

（3）

I 



D

fu



ab

1u

2

22

cdudv

2

2





1

1

du

1

1u

2

2

1

u

2

fu

fuab

ab

22

 cdu.

cdv

15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积： （ⅰ）xy2

x2a2； 2（ⅱ）

x20,b0,h0,k0a

2



yb

2



xh



yk

（a）；

（ⅲ）xa



yb

1,x0,y0(a0,b0.)；

（ⅳ）a2

2

1xb1yc1a2xb2yc21（a1b2a2b10）.

解：（ⅰ）作变量代换：

uxy,

vx.xv,

y



vu.则原方程化为

u2v2a2. 于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

dudv

D

D

其中

x

x J

x,yuv1u,v

yy0

11

1. u

v

u2v2a2 所以

S

1dudv

a2

.

D

（ⅱ）令arcos,

xybrsin.

则原方程化为 r

abh

cos

k

sin. 由于r0，故有

1）2）3）1）（ （

（

（

ah

cos

bk

sin0. （2）

a

b为使（2）式有解，首先要求不能落在第三象限（否则，cos sin0.）

h

k

因此确定不能超出





2,的范围. 

下面进一步讨论的取值范围.

a.若cos

0



,

22

.

，则由（2）式，得： tan

ak

bh， 由（3）式解得：

arctaakbh



2

； b.若cos

0

,



2

.

，则由（2）式，得： tan

akbh

， 由（3）式解得：



2arctaakbh. 综合（4）、（6）两式，知的取值范围为 arctaak

bh

arctaak

bh

.

于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

drd

D

D

其中

x

x

J

x,yrasinr,



ryyacosbsinbrcos

abr

r





0r D:

cos,

arctanakak 

bharctanbh.故 S

abrdrd

D

ab

arctan

aka

bh

cos

bk

sin

akd

rdr

arctan



h

bh

3）

4）

5）

6）

7）

8） （（（（（（

2



abarctan

akbh

2



acosbsin

arctan

akhkd

bh



2

ak

 

aba2b2

arctan12acosb

h

2k2.bh

arctanakbh

sin

d

a22

hk

h

2



bk

2



ab



2

 

ab22

ak

arctanh2abcos

k

sin h

2k2.bh

arctanaka22bh

a22d



h

2



bk

2

h

2



bk

2



sinaa220令 

h

h2bk2,tan

cosba2b20ak.0.

bh



kh

2



k

2

则

ab22

ak

S

ab22

2

d

h

k2.arctanbh

arctanaksin0bh



ab22

ak

ab2arctanbh1cos20

2h

k2.d

arctanak

bh

2

ab22

ak

ak

arctan22

.bhab4ab

abarctanh2k2arctanakd4h2k2.bh

22d

bh

arctanakcos0bh



ab22

ak

4ab2k2.aba2b2

h.1

.sin22arctanbh

4h

2k220|arctan

akbh



ab22

22



4ab2ababhk2.04h

2k2. 

（（ⅲ））令xarcos8,

ybrsin.

8

则原方程化为

r1. 于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

drd

D

D

其中

9）

10）（1）（（

x

J

x,yr,

xybsin

acos

88



ryr

8racos.sin8brsin

7

7

.cos

8abrcos.sin

77

.

（2）

0r1,



 D:

（3）



02.故 S

8abrcos7.sin

7

drd

D



8ab2cos7.sin7d1

rdr0



4ab20

cos7.sin7d（令usin）



4ab2u71u23

du



4ab20

u73u93u11u13du

4ab1

318

10



4



114

ab

.70

（ⅳ）a2

2

1xb1yc1a2xb2yc21（a1b2a2b10）.

令ua1xb1yc1,

va2xb

2yc2.b2u即

xb1vc1b2c2b1

aa,1b22b1

a 1va2ua1c2c1av2



a1b.2a2b1则原方程化为

u2v21. 于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

dudv

D

D

其中

x

xb2



b1

J

x,yva1b2a2b1

a1b2a2b1

1u,v

uyy

a2aaa.

11b22b1u

v

a1b2a2b1

a1b2a2b1

1）

（

（2）

D:u2v21. （3）

故 S

1

1dudv

D

a1b2a2b1



1

a..

1b2a2b1

（令usin）

16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积： 22（ⅰ）

xy2a2



b2



z1c2

（椭球面）

； x2y2z22（ⅱ）



1（双叶双曲面）

，x2a2

b2

c2

a

2



yb

2

1（椭圆柱面）

； 2

2

x2y2（ⅲ）

z

a

2

b

2



c1，x3ay3

b1,z0. 

解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知 V4Vx2214c1

Da

2



yb

2

dxdy

1

2其中 Dy21:

xa

2



b

2

1,x0,y0.

为计算方便，特引入变量替换 令xarcos,ybrsin.

则被积函数化为

22 zc1

xa

2



yb

2

cr

2

积分区域D1化为 D1:r21.

0





2.

于是

V4V14c1r

2

Jdrd

D1

（1）

（2）

（3）

其中

x

J

x,yx

acosrasinabr

r （4）

r,



yybsinbrcos

r



故

V4V14cr2Jdrd

D

4abc



1r2

rdrd

D



4abc2d1

r2rdr

2ab2



1r2

3

12



4abc.3

|

3



（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知 22 V2V上2c

xD

a

2



yb

2

dxdy

22其中 D:

x1.a

2



yb

2



为计算方便，特引入变量替换

令xarcos,



ybrsin.

则被积函数化为

22 zc1

xa

2



yb

2

cr

2

积分区域D化为 D:r21.

于是

V2V12cr

2

Jdrd

D

其中

x

x

J

x,yrasinr,



ryacosybsinbrcos

abr

r



（1）

（2）

（3） （4）

故

V2V12cr2Jdrd

D

2abc



1r2

rdrd

D

2abc2

1

d0

r2rdr

3

2ab2

11r2

2

4abc3



|

2

20



3

1

.



2

2

2（ⅲ）

xy2z

a

2



b

2



1，x3y3

1,z0.c ab

根据对称性及二重积分的几何意义，知 2 V4

c1xy2



a2b2dxdy

D1

2

2

其中 Dx3

y3

1:a



1,x0,y0b

为计算方便，特引入变量替换

令xarcos3,

brsin.

y3

则被积函数化为

zc1r2cos6r2sin6

. 积分区域D



1化为 D1:r1.0



2

于是

V4c1r2cos6r2sin6

Jdrd

D1



其中

x

x

J

x,yr3

3racos2

.sinr,



yyacos

bsin3

3brsin

2

.cos

3abrcos2.sin

2

.

r



故

1）2）

3）

4）（

（ （（

V4c1r2cos6r2sin6Jdrd

D1

12abc2d1r2cos6r2sin6cos2.sin2rdr



1



2

2

12abc2cos.sindrdr12abc2cos8.sin2d.r3dr

9

1



1



2

8

2

12abcsin.cosd.r3dr

1



2

2



6abc2cos.sind 3abc2cos8.sin2d



3abc2sin8.cos2d

6abc2coscosd3abc2cos8cos10d

2

4



3abc2sin8sin



10

d

9!!7!!

.3abc8!!10!!2

9!!7!!

.8!!10!!2

6abc 

75256

4



3!!

.3abc4!!2

abc.

17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）： （ⅰ）



dxdydz

1xyz

3

dxdydz

，其中为由坐标平面x0,y0,z0和平面

xyz1围成的四面体；

（ⅱ）xy2z3dxdydz，为由曲面zxy和平面yx,x1,z0围成的区域；



（ⅲ）xyzdxdydz，为单位球x2y2z21位于第一卦限的那部分区域；



（ⅳ）zdxdydz，为圆锥面z



hR

xy

22

h0,R0与平面zh围成的

区域； 解：（ⅰ）



dxdydz

1xyz

3

dxdydz

；

0y1x,在xoy坐标面上的投影区域为三角形区域D:.故

0x1

1x



1yz

xdyd=zdx3

11x

dy

1xy

1

1xyz

3





1

dx

1x

dy

1xy

1

1xyz

3

1xyz





1

dx

1x

11.221xyz

|

1xy0

dy



1

dx

1x

111

dy2

21xy4



1

111x

y|0dx021xy4

11



1

x13dx20441x



1312115

xln1xxln2. |0

248216

（ⅱ）xy2z3dxdydz；





在xoy坐标面上的投影区域为三角形区域D:

1

x

xy

0yx,

.故

0x1





xyzdxdyd=zxdxydy

2

23

zdz

3





1

xxy214

xdxyz|dy

00

4



1

4

12

1

xdxxydy

x

46

 

1

4

1

1

x1517

xy|dx

287



1

xdx

2813

.

1

x

13

|

10



1364

.

（ⅲ）xyzdxdydz；



20yx,

在xoy坐标面上的投影区域为D:.故

0x1

2

2

2

zxdyd=zxyd



1

xdx

x

ydy



xy

zdz

1

2





1

xdx

1x

2

121x2y2yz|dy02



2

1

xdx



1x

y1xy



22

dy



1

2

1

xdx

1x

2

12222

1xyd1xy2



2



1

4

1

122

x1xy2



|

2

1x

2

1

dx8



1

x1x



2

dx

148



1112

.x1x820

d1x

2

2

112

.1x163



|

310



.

（ⅳ）由对称性知，zdxdydz4zdxdydz



1

其中1为在第一卦限内的那部分区域，1在xoy坐标面上的投影区域为

220yRx,

D1:.故

0xR

2

2





zdxdyd=z4dx

RRx

dyh

2

h

xy

2

2

zdz

R

4dx

0R

RRx

2

12h

z|h

R2

dy22

xy



2dx

Rx

22

2

2h22hxydy2

R



2h

2



R

1213R2x2

y2xyy|0dx

3R1222

Rxx2

R

2

2

1

2h

2

R

Rx

22



3

2

Rx

22

dx

3



2h

2



R

Rxdx2

hR

22



R

x

2

Rxdx

2



2h3R

22



R



2

Rx

22

dx

3

其中

2h2 2

R0

Rxdx2h.

R

22

14

R

2



12

22

hR ；



22

hR

22



x

2

Rxdx

22

2

hR



2

Rsin

22

tRcost.Rcostdt



2hR

2

2



2

sin

2

tcos

2

tdt2hR

22

sin

20



2

tsin

4

tdt



2h2R2

2h3R

22

R

3!!22!!..hR；

4!!282!!2







2

Rx

22

dx3R

3

2h

22





2

Rcost.Rcostdt

3

3

所以

23



hR

2



2

costdt

4

23

hR

22

3!!22

.hR. 4!!28





zdxdydz



2

hR

22





8

hR

22





8

hR

22





4

hR.

22

18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一

重积分 （ⅰ）I



x

（2）Iddfd；





1

dxdy

1xy

fzdz.

解：（1）先将后两次积分dfd中的积分次序进行变换：







dfd







dfd





f|d

x









fd---（14）

所以，I  



x

dfd





x

dfd



x

2x

f|d2



x

x222fxd

22



x

f2

x2d.

（2）先将后两次积分



x

1

dy

xy

01

fzdz中的积分次序进行变换：fzdy

dx

x1



1

dy

xy

fzdz



x

dzfzdy

1x1

dz

zx1



x

fzdz



x1

x

fz1zxdz

所以， I其中，  



1

dxfzdz

x



0x

fz1zxdz

----（15）.



10

1

dzfzdx

zz

1

， fz1zdz--------（16）

1



dzfz1zxdx

2

z

fzz2dz





2

1

dz

1

z1

fz1zxdx

1



2

1

fz

z22

2

dz

，

所以，I 

1



1

2

1z

fz1zdzfzz2dz0



2



2

1

fz

z22

2



dz

2

1

fz2z



dz1fzz2

2

2

2

1

dz

.

19（书p174页习题4）证明不等式 1

cosxyzdxdydz





sinxyzdxdydz



2

其中为为正方体区域0x1,0y1,0z1. 证明：显然，对于x,y,z，有

0xyz1



4

xyz



4

1



4

（1）

又

cosxyzsinxyz



2sinxyz

4

（2）

而由（1）式，知 1

2sin



4





2sinxyz

4

2

2

，即

xyzsinxyz 1cos

所以，由估值定理知 1

（3）

xyzsinxyzdxdydzcos



2

（注意到正方体的体积为1）.

20（书p174页习题5

设函数fx,y,z在区域R3内连续，若对于内任何一个有界子域都有

fxyzdxdydz



0

证明：fx,y,z0,其中x,y,zR3. 证明：反证法

设fx,y,z0，x,y,zR3的结论不成立，则必存在某点P0x0,y0,z0R3，使得 fx0,y0,z00. 不妨假设fx0,y0,z00. 因为fx,y,z在P0x0,y0,z0处连续，故有

limfx,y,zfx0,y0,z00. （1）

xx0

yy0zz0

故根据函数极限的定义知，对于0

2

2

2

12

fx0,y0,z00,00,使得

当xx0yy0zz00时（即Px,y,zUP0,0时），就有

fx,y,zfx0,y0,z0

12

fx0,y0,z0

（2）

由（2）式可解得，当Px,y,zUP0,0时，就有

fx,y,z

12

fx0,y0,z00.

（3）

所以，由积分中值定理有

UP0,0



fxyzdxdydzf,,.



43

.00 （4）

3

而（4）式与函数fx,y,z在对于内任何一个有界子域上都有

fxyzdxdydz



0的假设前提是矛盾的！所以，fx,y,z0,其中x,y,zR.

3

21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分：

（ⅰ）x2y2dxdydz，为抛物面x2y22z与平面z2所围成的区域；



（ⅱ）zdxdydz，为曲面z



2xy

22

与zx2y2所围成的区域；

（ⅲ）



11xy

2

2

dxdydz

，为圆锥面x2y2z2与平面z1所围成的区域；

（ⅳ）



e

2

z

dxdydz

2

，为圆锥面z

xy

22

与平面z1z2和所围成

xy

的区域；

（ⅴ）z2dxdydz，为两球体x2y2z2R2与x2y2z22Rz的公共部



分；

（ⅵ）x2y2z2dxdydz，为球体x2y2z2R2；



（ⅶ）



xydxdydz

22

，为球体x2y2z2Rz.；

（ⅷ）zlnx2y2z2dxdydz，为：1x2y2z24.



解：（ⅰ）x2y2dxdydz，本题宜采用“切片法”计算



x



2

y

2

dxdydz

2

dzxydxdy

Dz



22



4

3





2

dz

2

z

2

160

d

20

r.rdr2



2

r

2z

4

|

dz2

z

3

|

2



3

.

如采用柱面坐标系：

x

2

y

2

dxdydz







2

d

2

rdr2r

2

r2

dz2r3

.0







2

r2r41r6

22

2216

dr2242.6|03.

（ⅱ）zdxdydz，本题宜采用柱面坐标计算.



联立z2x2y2,

消z

,

zx2y2

,

得在xoy坐标面上的投影区域为圆域D:x2y21. 所以，



zdxdydz



2r

2

2





2

d2

20





1

rdr



r

1

r.z2

zdz0



2|

2r

r

2

dr



1

r2r

2

r

4



dr46

r2rr17



46. |0

12（ⅲ）

12

2

dxdydz

，本题宜采用“切片法”计算



1xy

1

1

11x

2

dz



y

2

dxdydz



Dz1x2

y2



1dz

2

dz

1.rdr21

12





1r

2





2

ln0



1z

dz

1

z

2zln

1z

2

dz

|

10

2

1z

2

 

ln22zarctanz|10

ln22

2. （ⅳ）

e

z

dxdydz

，本题宜采用“切片法”计算

x2



y

2

z



e

2

e

z

x2

y

2

dxdydz



1

dz

2

2



Dz

xy

z





2



z

z

1

dz

20

d

e

r

.rdr2



2

1

zedz2



2

1

zde

z



2z

2

z



ze

|

2

1





edz

22e2eez|2

21

12e. （ⅴ）z2dxdydz



解法一：柱面坐标法：

联立x2y2z2R2,

2消z,得在xoy坐标面上的投影区域为



xy2

z2Rz,圆域D:x2y232

4

R.



z2

dxdydz



2

3

3

2

2





R

R2

r

2

2

0

d

2

rdr



RR2r

2

zdz2



2

R

z3

r.

3|

RrR

R2r2



dr



3

3



22

R

22

R2

r

2

3

3



r



Rr

R

dr（令rRsint）





233

RsintR3

cos3

tRRcost3



.Rcostdt

2

3

R5

3

2cos3

t13cost3cos2

t

sintcostdt

4

3

R

5



3

cos

4

tsintdt

2

3

3

R

5



costsintdt





2R5



3

25

costsintdt2R

3

cos3

tsintdt



2



4R

5

cos5

t3

5

|

3

30



23

R

5

cost2

|0

s3t

4



2R

5

co5

3

|

3

2R

cost4

|30



4

31532515R5R3234R378R515216



59480

R.

5

其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域分成两个子区域： 12. 其中 02,

02,

01:,

:22

30R,



32,

02Rcos

,则



z2

dxdydz

=z2dxdydz



z2

dxdydz



1

2

2



3R

0d0

sind2cos2.2

d







2

d22







sind

2Rcos

2cos2

.d

3

2

3sin.cos2

d

R4



0

0

d 22R22cos

4

sin.cosd

0d

3

1

1

2cos3|315R32R5

sin.cos7

d



305|0

2



52





3



2.

7

24.

1

5

R

5



64R5



5

1cos82

8|

3

75

6460

R

R5

1.17R5R559R55

.2568

60160480 （ⅵ）x2y2z2dxdydz，此题最宜采用球面坐标计算：



x

2

y2z

2

dxdydz







2



R

22

d0

sind0

.d

2R15R450sind.04d2cos|0.R.5|0



5 （ⅶ）

x2y2

dxdydz

，本题宜采用“切片法”计算：







xydxdydz

22



z

dz

Dz

xydxdy

22





R

dz

2

d



Rzz

2

r.rdr

3

23



R



Rzz

2

dz

3

2R30



2



RR

zdz42

2

（令z

R2



R2



sint

）

21RR422

.R.coscost.costdt31632222

3

4

tdt





12



.R

4



2

.cos

4

3!!4

tdt.R..R.

124!!264

4



2

222

（ⅷ）显然zlnx2y2z2dxdydz0,因为积分区域：1xyz4关



于xoy坐标面对称，且被积函数关于z为奇. 22 .（书p180页习题3）设fu连续函数，求函数 Ft

2



2

2

2

fxyz

222

dxdydz 的导数Ft.



20

xyzt

解：Ft

2



2

f

2

2

xyz

2

2

2

dxdydz

d



0

df

t



2

2

d

xyzt

4f22d，

t

所以，Ft4ft2t2.

20.（书p180页习题4）设m,n,k为非负整数，为单位球体x2y2z21. 求

I

m

n

k





xyzdxdxydz

解：（一） 当m,n,k中至少有一个为奇数时 例如k为奇数时，于是

I





2

xyzdxdxydz

mnk





2

xyzdxdxydz

2

2

mnk



2

xyzdxdxydz

2

mnk

xyz1

z0xyz1z0

（记为） I1I2. （2） 今在积分I2中作变量代换

x

xu,

即令yv,

zw.

xvyvzv

xwywzw

100

010

001. 1

，则 J

uyuzu

故 I2

2

u

2

2

m

vwdudvdw

nk

uvw1w0



2



2

xyzdxdxydzI1.

2

mnk

xyz1z0

于是

II1I2I1I10.

（二） 当m,n,k均偶数时，此时被积函数xmynzk关于三个坐标平面皆对称. 于是

I8

2



2

xyzdxdxydz

2

mnk

（1）

xyz1x0,y0,z0

为方便计算，引入球坐标变换



m

n



I82cos.sind2sinmm1.coskdmnk2d

1

8.其中

1mnk3





2

cos.sind2sin

mnmn1

.cosd （2）

k





2

cos.sind



mn

.sin.cosd





2

cos



m1

.sin

2

n1



1

1sin2

20

.

n1

m12

sin

12

2



n12

dsin



2

（令sin

n1

2

t）



12

1t

1

m12

t

2

dt

1t

1

m12

1

.t

2

1

dt

同理



12



m1n1

（3） ,.

22



2

sin

mn1

.cosd

k

1

mn2k1

,. （4）

2

22

所以

I8.

1

1m1n11mn2k1mnk3

,222.,

222 

m1n1mn2.k1

2

122mnk3mn2.22



m

nk3

2.2.



m1 2

12n1k1

22



.mnk3

.

mn k32



由于 

n1n1n1n1n322.2..22n3

2 



n1n312.22.1

2 



n1!!

n

..1n1!!.. 22

2

n

22

比如：7

2312



5.552.32.35.3.115!!

222222

3..222故

m1!!n1!!k1!!

mnk I2

1222222





mnk3

.



mnk2!!

nk2m22







4mnk3

.

m1!!n1!!k1!!

mnk2!!

.

5）

（6） （

书中P183所提供的答案有误. 23 .（书p180页习题5）求由曲面

xa

22



yb

22



z

2c

2

2

ax

a0,b0,c0包围的

立体体积.

解：根据对称性及二重积分的几何意义，知 V4V14dxdxydz

1

22

x2yz

其中1为由曲面a2b2c2



2

ax

a0,b0,c0包围的立体体积在第

一卦限的那部分区域.

xasincos,

为方便计算，令ybsinsin,

zccos.

22

x2yz

则曲面a2b2c2ax



2

的方程化为

3a2sin.cos. （1） 积分区域1 化为 1:则

V4Jddd

1





3

asin.cos,0

2



2

,0



2

.

其中

xyz

xyz

xyz

asinsinbsincos

acoscosbcossincsin

asincosbsinsinccos

J

2

abcsin.

故

2 V4abcsinddd

1





20



20

3

4abcdsind



20

asincos

2

d

2



4abcd2  

43



3

13

a

2

sin.cossind





2

abc2cosd2sindabc.

3



3

24.（书p187页习题1）讨论下列二重积分的收敛性（当收敛时，并求出积分值） （ⅰ）

2



dxdy

2

xy1

x

2

2

y

2

2





（为参数）； （ⅱ）

2



e

2

xy

22

dxdy

；

xy1

（ⅲ）

e

1xy

xy

.sinxy



22

dxdy

； （ⅳ）

yx

22

x

y0x11y

x

2

y

2

2



2

；

（ⅴ）

yx

22

x

2

2

y

2



2

； （ⅵ）ex

R

3

2

yz

2

dxdy

；

（ⅶ）

2



2

dxdydz

xyz1

x

2

yzdxdy

22





.（为常数）

解：（ⅰ）

2



xy1

2

x

2

y

2





（为参数）

取 Dnx,y|1x2y2nn2 则



Dn

dxdy

x

2

y

2









2

d



n

1r

2

1

2lnn,1,



1 rdr222.n1,1.

22



因此当1时，广义积分

2



dxdy

2

xy1

x

2

y

2





收敛，且收敛于

dxdy

2

n

lim



1

n

2

1



1

.当1时，广义积分

2



xy1

x

2

y

2





发散.

（ⅱ）

2



e

2

xy

22

dxdy

；

xy1

取 Dnx,y|1x2y2nn2

则



e

xy

22

dxdy



2

d



n

e

r

2

1r2

.rdr2e

|e

n

1n

2

.

1

1

Dn

2





e

因为 lim

e

x2y

2

dxdylim1n2

n



Den

e.n 

e因此广义积分

e

x2

y

2

dxdy

收敛，且收敛于



.x2



y2

1

e

（ⅲ）

e

x2

y

2

.sin

x2

y

2

dxdy

；

x

y

因为，

fx,yex

2

y

2

.sin

x2y

2

e

r

2



1

1

2e

r

2

r

4

r

4

,

2

所以，上述二重积分是收敛的. 且



e

x2y

2

.sin

x2y

2

dxdy





2

2

t

d



r

e

.sinr2

.rdr2





e

sintdt

xy

sintcostt



e1212

|0

2. 2（ⅳ）

yx

2

0x1

x

2

y

2



2

；

1y

因为

2





y2x

1

x

2

y2



2

dy

y

2





x

2

1

x2

y2

2



1

x2

y2

2

dy





y

2



x

2



dy

1

x

2

y

2



2





1

x

2

y

2



2

y



x2







2y

2y

1

2

x2

y

2



2

1

2y

x2

y

2



2

.

其中





y2y

1

2x2y2y.

1

2



2

12





1

1

（分部积分） d222xyy



2xy1

21

|









2

1xy

2

1

dy



1

.

1



1； （1）

21x

2

2

1

x2

y

2



x

2

2y

x2





1

2yx2y22

2yd1

x2y21



（分部积分） 2



x

.1

|

1

1

2yx2

x2

y2

1



2

1

x2y2

y2dy

x

2

|



1



1

2y.

1

2

2x2

xy1



2

1

x2y2

y2dy

1

.x

2

12

211

21x

1y2dyxydy122 



1

x

2

12.1x

2



112dy

y

|1





1

x2

y

2







1

2.

x

211x

2



2



1

12



1

x2

y

2

dy. 所以





y2x

2

1



x

2

y

2



2

dy

111



1

1x2

11

1.21x

2

2

1

x2y2.

21x2

22

x2

y

2

dy

1





112

2.x1x21211x

2

. 于是



y2x

2

0x1x

2

y

2



2

1y

22





1

dx

yx

1

11





1

x

2

y

2



2



1x

2

arctanx0

|0

4

.

（2）

3）

（

（ⅴ）

y2x

2

2

1xy

x

y

2



2

因为

2

2





yx

x

x

2

y2



2

2



y





x

2

x

x2

y2

2

x

x2

y2

2

dy







y

2



x







x

2

x

2

y

2

2

x

x

2

y

2



2

dy

y

y



x2







22y

x

2

x2

y

2



2

x

2y.

x2y2



2

其中





y2y



y

x

2x2y2

2d2



1

x

x2y2（分部积分） 

y.

1



12x2

y

2

|

x

2





1x2

y

dy

x

2

1.11

14x2





x2

y

2

x

； 

2

2y



x2



x

yd1

x

2x2y22

x

2yx2y2（分部积分） 

x

2

1

|1

1

2y.x2

x2

y2

x



2x

x2y2

2dyy

x

2

.1

|

12





1

x22y

x2

y

2

x



x

x2y2

y2dy

14.1x1211

ydy xy2dyxx22

1.111|

14x2y

x







x2

y

2

dy

x





1111

14.x2x2



x2

dy.x

y

2

1）

2）

（ （

所以

22





yx

x

x

2

y

2



2

1.11



1



1dy

4x2

x

x2y2

1.1114x2x2



x

x2

y

2







12x

. （3）

于是

2

yx

2

2

1xy

x

2

y



2





2

2





dx

11



yx

x



1x

2

y

2



2



1

2x

2

lnx|



1

.

（ⅵ）e

x2y2

z

2

dxdy

R

3

xasin由于被积函数是正的，采用球坐标

cos,

ybsinsin,，得



zccos.



e

x2y2z

2

dxdy

R

3





2









2

2

d0

sin

e



2

.2

d4



e

.d

2





2



2



2

d

e



2.e

|



2





e

d

02





e



2

d0

2.

2



.

（注意到上式用到了概率积分



2

e

d

1

1.22

2

）

（ⅶ）



dxdydz

2

2

22

xy2

z2

1

x

yz





取 nx,y,z|1x2y2z2nn2 则



n

dxdy

x

2

yz

22









2

d





sind

n

1

3

4lnn,,122

d213324.n1,.





32因此，当

32

时，广义积分



dxdydz

22

x2

y2

z2

1

x

2

yz





收敛，且收敛于

432

1



4dxdy

nlim



32

n

23

.当1时，广义积分



x2

y2

1

x

2

y

2





25.（书p187页习题2）证明：无界域上的二重积分



y2x

2

dy

1x

x

2

y

2



2

x 1y

不收敛；但是二次积分 2





dx

y2x

2

1



1

dy

yx

2

x

2

y

2



2

与



1



1

x

2

y

2



2

dx

都收敛.

证明：

（一）先证两个二次积分都收敛 由p187页习题1之（4）知





y2x

2

11

x

2

y

2



2

dy1x

2

.

故





2dxx

2

1





y1

x

2

y

2



2





1

dx

y2

x

2



1

1

x

2

y

2



2



1x

2

arctaxn1

|1





2





4

收敛；

同理（或根据函数的反对称性）





dx

y2x

2



1



1

x

2

y

2



2

4

.

2



x

2

（二）再证

y2

1xx

y

2



2

发散

1y

事实上，由p187页习题1之（5）知 2



y2

x

1xy

x

2

y

2



2

xdy

2

2

发散，从而 y2x

1xx2y22必也发散.（反证：若

1y

y2x2y2x2

2

1xxy22收敛，则绝对值积分

1xx2y22必也收敛，

1y1y

因此在小一点的区域上的积分y2x2

1xyx2y22dxdy更收敛，于是

y2x222

yxdxdy2

1xyx2y2也收敛，与x2

1xyy22发散相矛盾）.

41

微积分 第十章 讲义

主讲 周

郑州大学

世 国 数学系 42

郑州大学重积分经典例题

1．（P148,第2题）求函数fx,ysin

2

x.sin

2

y

在闭正方形区域

D:0x,0y上的函数值的平均值.

解：

fx,ydxdy

2

2

ydy

2



2

D

sin

xdx.

0

sin



0sin

xdx

；

又

sin

2

xdx





1cos2x

x1sin2x

0

2

24|0

2.

所以

2

fx,ydxdy





D

4

. 故fx,y在闭正方形区域D上的函数值的平均值为 2



1SD



fx,ydxdy





1D

4

2

4

.

2．（P148,第3题）设函数fx在闭区间a,b上连续，证明不等式 b2

b

2

afxdx

baa

f

xdx.

证明：考虑积分 Ifxfy2

dxdy D

一方面 I

f

2

xdxdy

2fx.fydxdy



f

2

ydxdy D

D

D

其中



f

2

xdxdy





b

2

a

dxb

a

f

xdy

bab

2

a

f

xdx; D

1）2） （

（



D

f

2

ydxdy





b

a

dxf

a

b

2

ydy

baf

a

b

2

ydy

baf2xdx; （3）

b

a



fx.fydxdy



b

dxba

afx.fydxdybafxdxb

D

.afydy



2

b

afxdx

. 将（2）、（3）、（4）代入（1）得 I2bab

2

f2

a

xdx2b

afxdx.

另一方面

显然I0 ，即2bab

2

f2

xdx2b

a

afxdx

，

故

2

bafxdx

bab

2

a

f

xdx.

3．（P149,第4题）设fx在闭区间a,b上为正值连续函数.证明不等式

bf

xdxbdx2

a

.

fxaab.

证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：



b

dxb

a

fx





b

dya

fy

----（1）以及a

fxdx

b

a

fydy.-----（1）

所以，

bfxdx.bdxfx

aaf

（2）

x

D

fydxdy.---------------其中，D:xb,

aayb.

同理，

bfy

afxdx.bdxafxfxdxdy.-----------------（3）

， 

D

（2）+（3），得：

2bfxdxbdxfyfx.fx

aafx





D

fx

fydxdy

2

fyD

fxfy

dxdy.

4）

5）

（（

2dxdy2

b

a .

2

D

即：b

fxdx

b

dx

.fx

aa

ba2

. 



证法二：因为fx0，

2

所以，

b



a

dx0，即： 

2

dx

b

fa

xdx

2ba



ba

f

x

0.------（1）

（1）式左边是的非负二次三项式，因此必有判别式

ba2

b

b

dx



f

axdx



a

fx0，故 

bfxdxbdx2

a

.

afxba.

4．（书p149页习题8）设函数fx在a,b上连续，证明：



b

y

b

a

dya

fxdx

afxbxdx.

证法一：与累次积分bdydxa

yfxa

对应的二重积分的积分区域 D:b,

xyaxb.

交换积分次序后，重新计算b

a

dyy

a

fxdx，则有



b

y

b

b

a

dya

fxdx



b

a

dxx

fxdy

a

fxbxdx..

证法二：记Fy

y

fxdxa

，则



b

y

a

dya

fxdx



b

a

Fydy

y.Fy|b

b

a

a

yFydy

bFbaFab

a

y.fydy

b.bfxdx0b

a

a

x.fxdx



fxbxdx.

a

b

5．（书p149页习题10）设fx为1,1上的连续函数，证明： 证明：因为

xa

yb

2

1xyffdxdy4abfxdx. 0ab

xa

yb

axbyxy

ffdxdyfdx.fdy

a

ababb

（1）

其中对于fdx，令ua

a

a

a

xxa

,则



a

111x

fdxafudu2afudu2afxdx

100

a

； （2）

同理，对于f

b

b

b

y

dyb

，令v

yb

,则



b

111y

fdybfvdv2bfvdv.2bfxdx

100

b

； （3）

故



xayb

xyffab1fxdx. dxdy4ab

0

2

6．（书p158页习题3）证明：dxsin

1

x

2x

x

2y

dy



4

2

dx2x

sin

x

2y



4



3

2.

证明： （一）记

2x4,1x2,

，D2:.分别画出草图.则DD1D2. D1:

xyx.xy2

（二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为Y型区

1y2,

域：D:，此时无须分块. 2

yxy.

原式



2

1

dy

yy

2

sin

x

2y





2

2y

1



dy

yy

2

sin



2y2y

xx



2

1

22yxy2

cosdy|

2yy



2

1

ycos



2

ydy



4



2



2

1

42

ydsiny2ysiny|

221



2

1

sin





ydy2



422424

2. 1.cosy1|12232

7．（书p158页习题4）求I

1

y



3

1

xdxe

x

2

1

y

2

dy.

解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D的图形，交换积分次序.

I



e

y

2

dyxdx

2

1

3

1

e

y

2

ydy

1

6

1

yde

2



y

2











212y

ye

6

|

10





1

e

y

2

dy



2









211y

ee61e1e11112e1.

|066

1

8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分： （ⅰ）I

x

D

2

xyy

2

dxdy,D为由上半圆周x

2

y

2

（y0）与直线yx1

围成的圆扇形； （ⅱ）I（ⅲ）I（ⅳ）I解： （ⅰ）I



D

1xy1xysin

2

22

22

dxdy,D

为单位圆（x2y21）； 为圆环域（2x2y242）；



D

xydxdy,Dyx

2



D

arctan,D

为单位圆（x2y21）含在第一象限内的部分.

x

D

2

xyydxdy

2



x

D

2

y

2

dxdy

0



2

2dr2.rdr2

4

1

2





1

. 448

1

（ⅱ）I



D1

1xy1xy1r1r1t1t

22

22

22



dxdy42d

1r1r

22

rdr

2 

1

rdr

（令r2t）

1

dt



1tt

2





1

1t

2





1

tt

2

arcsint|0



1



11121t

20t2



.



2

t

2

|

2

10

.





1. 22



2

（ⅲ）I



D

sin

xydxdy42d

2



sinr.rdr

4.

22

.sinr.rdr2.rdcosr 

2

222

2rcosr|cosrdr62sinr|62.









（ⅳ）I



D

arctan

yx

1







2

darctan

1

rsinrcos

2

.rdr







2

1d.rdr 2d.rdr

000

2

1



1212

|02.2r|016.





9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分： （ⅰ）I（ⅱ）I（ⅲ）I



D

yxdxdy,Dx

2

2

为正方形（1x1,0y2）；

为圆域（x2y29）；



2



D

y

2

4,D



D

cosxy,D

为正方形（0x

,0y



2

）.

1x1,

解：（ⅰ）此题中积分区域本来是非常规范的矩形域D:（画图）

0y2.

22

yx,yx,2

.，故需要用抛物线yx但由于被积函数为分段函数|yx|2

2

xy,yx

2

将

积分区域分成两个小区域.

即DD1D2，则原式=yx2dxdyx2ydxdy.

D1

D2

x2y2,0yx2,

其中，D1:， D2:

1x1,1x1,

于是，有I



1

1

dx

2

2

x

yxdy

22

2

1

1

dx

x

2

x

2

ydy



4315



15



4615

.

（ⅱ）设D1:0x2y24,D2:4x2y29.则DD1D2. 所以，I

4x

D1

y

dx

D2

2

y4d

2





2d22

2

d3

2

4.0



0

4rrdr



2

r

rdr

412

（ⅲ）以直线xy



2

将区域D分成两个子区域，DD1D2

0yx,

xy,其中，D2221:， D2:

0x2,

0x

2,







I



2

dx2

x

0

cosxydy



2

dxcos0

2xydy

2x





其中2x







dx20

cosxydy



2

xy|x0

sin2

0dx







2

01sinxdx





2

1；









2

dxxy0

2cosdyx

2

xy|

sin2

dx

2

2x



2cosx1dx



2

1.

所以 I



11

2.22

tx10．（书p159页习题7）求Ft,其中Ft



e

y

2

dxdyt0.

0xt

0yt



txtx解：（一）Ft



ey

2

dxdy



t

dyy

2

dx

t



e

0xt

0yt



y2tx

tey2dtx

0t02dyt

y2tx

ty2

t

te

y

0|

0dy



2

2

t

2



t



t

yey

2

t

2

20t1dy0y

t2ey

1tdy 

令ytu,则dytdu,

Ft

u

2

02

1

12eu1t2du

2

t



01

1

12

uue1du



（1）

（二）

12121222uu

Ft2tue1dutue1

00t

2

（因为（1）式）

2t

Ft.

11．（书p159页习题8）根据dxdyD的面积，求下面曲线围成图形的面积：

D

（ⅰ）由抛物线y2x与半圆周x

2

2y

2

围成的图形；

（ⅱ）曲线x2y2xy围成的图形. 解：（ⅰ） 联立

2

yx,x1,x1,

得或 2

y1.y1.x2y.

故两曲线的交点为1,1及1,1.化出区域D的草图，并视之为Y型区域. 则所求面积为

A



D

dxdydy

1

12yy

2

2

dx



1

1

2y

2

y

2



2

（ⅱ）

1

22y2y12y1

|2ydy2.arcsi. 0

3223232

2

2

解法一：由x2y2xy，知xy0，即图形分布在第一及第三象限.

2

化为极坐标方程表示为

r

2

cos.sin （1）

cos.sin

故 r

,或0,. （2） 22









所以，所求面积为

1

A2A12

2



20



cossin



2



d





2

sin.cosd







2

sin.dsin

12



sin

2

|2

12

.

解法二：记D1为D在第一象限内的那部分区域，则



A2A1



D1

dxdy22d

0

cossin

rdr

12



22

r22

|

cossin



d



20

sin.cosd

12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积

（ⅰ）球面x2y2z22aza0的上半部分与圆锥面z2x2y2围成的图形；

（ⅱ）圆柱面y2z2a2与x2z2a2围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域的草图. 联立

x2y2z22az,

，消去z222

zxy.

，即得在xoy面上的投影区域为

D:xy

22

a.

2

所以，所求立体的体积为 V

a

D

axy

222



2

xydxdy

22



极

0



2

d



a

a



a

20

ar

2

rrdr

22arrdr



2ardr



a

rdr

3



a

a.

3

1222

2.2.2..ar

2323

a

3

a



|

2

3

a

解法二：画出积分区域的草图，显然见的体积为球体x2y2z22az的体积的上半部分体积加上锥体z2x2y20za的体积 故 VV1V2

141323

.aa.aa. 233

（ⅱ）解法一：AzSDz

所以，V8Azdz

解法二：

a



a0

az

22



2

2

az,

2

2

8azdz



2



163

a.

3

V8V18V1



1

V1

2



ax

8dx00

axdy

22



a

dy

y

3

a3a163

aydx8333a.2

2

解法三：（切片法）

V8dv8dz



a

Dz

dxdy8azdz

a



22



163

a.

3

13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数s,t与伽马函数t之间的关系为

s,t其中

s,t提示：

（ⅰ）在t中用x2替换x，得t2（ⅱ）st4lim

fx,yx

2t1

a

D

2

stst

s0,t0



1

x

s1

1x



t1

dx,t





x

t1

e

x

dx

x

2t1

e

x

2.

dx.

fx,ydxdy，其中D0

 .

xa,0ya为正方形，函数

y

2s1

e

xy



2

（ⅲ）如图所示，Ka表示半径为a的圆(x2y2a2)含在第一象限的部分，

K



2a

表示半径为

2a的圆(xy

2

2

2a)含在第一象限的部分.由于函数

2

fx,y的非负性，

Ka

fx,ydxdy



fx,ydxdy

D



K



fx,ydxd.y

2a



（ⅳ）计算上述不等式两端的积分，并让a.

证明：

（ⅰ）令xu2，则 dx2udu， 故

t

换记为 t2（ⅱ）st2lim



a

u

0



2t1

e

u

2

2udu2



u

2t1

e

u

2.

du

0a

x

2t1

e

x

2.

dx. （1）

.2lim

a



x

2t1

e

x

2

dx



a

y

2s1

e

y

2

dy



4lim其中

D

a

. （2） fx,ydxdy

D

x,y|0xa,0ya为正方形区域，fx,yx

2t1

y

2s1

e

xy



22

 .

（ⅲ）显然，由于fx,y0，故有 其中

Kax,y|x2y2a2 ；K2ax,y|x2y22a2分别是半径为a及的2a圆含在第一象限的部分. （3）式左端积分



2cos

0

2t1

Ka

fx,ydxdy



fx,ydxdy

D



K



fx,ydxd.y （3）

2a



Ka



x

2t1

y

2s1

e

xy

22

dxdy

（改为极坐标）

sin

2s1

a2

2t12s1r

drre.rdr

0

（4）

其中



2t1

0cos

2

sin2s1d

t12



1

cos2

20

t1



sin

2



s1

2cos.sind

（令cos2u，则2cossinddu）



1

2

1

u

2t1

1u

r

2s1

s1

du

1

2

1

t1

u

1us1du



12

s,t.； （5）

其中r 

1

a

e

r

2

.rdr

（令r2u，则rdrdu）

a

2

2

a

2

s21

ue

u

du

1

st1

2

xe

x

dx

； （6）

故由（5）、（6）两式，得

（3）式左端积分

1s,t.2

1

2



a

2

s21

xe

x

2a1st1x

dxs,txedx

04

. （7）

同理得

（3）式右端积分

14



14

s,t

2a

2

x

st1

e

x

dx

. （8）

故（3）化为

s,t

a

2

x

st1

e

x

dx



fx,ydxdy

D



14

s,t

2a

2

x

st1

e

x

dx

（9）

（9）式两边令a,有 故

14

14

s,t.st

14

s.t

14

s,t.st

s,t..st

14

s.t （10）

（10）化简，即得： s,t

stst

.

14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分： （ⅰ）I（ⅱ）I

y4x

fxydxdy；

xy1

fxydxdy,D为双曲线xy

D

1和xy2（x0,y0）与直线yx和

围成的区域；

（ⅲ）I

2





xyx

2

y

fdxdyx

；

（ⅳ）I

2

faxbycdxdy

2

（a2b20）.

xy1

解：（ⅰ）画出积分区域D（如图，为一个正方形区域）. 作变量代换：

uvx,uxy,2 

uvvxy.y.2

由二重积分的换元法 I其中

fxydxdy

xy1



fuJ

D

dudv

. （1）

xx

J

x,yu,v

1121122

uyu

v2y1v

2

； （2）

D:

1v1, （3）

1u1.

故

I11

2

fududv



1D

2



1

du

fdv1



1

u



11

1

2

2fu1

du



fdu.1

u

（ⅱ）画出积分区域D（如图）.

作变量代换：  uxy,

u



yx

v,

vx.

yu.v.由二重积分的换元法 Ifxydxdy



fuJ

dudv

. D

D

其中

x

x

1

J

x,y1

uu

v2vv

u,v

yy2uv1.11v1u2v u

v2u

2

v

D:

1v4, 1u2.

故

I

1

fu.1dudv

12

2

D

v2



fu1

du.

4

1v

1

ln2.2

1

fudu. （ⅲ）画出积分区域D（如图）.

作变量代换：

xrcos

,

yrsin.

由二重积分的换元法

（1）

（2）

3）

（

I其中



D

y

fdxdyx

ftanJdrd. （1）

D

xx

cos

rsinr

J

x,yr （2）

r,



yysinrcos

r



 D:

0rcos,

 

2

2.故

I



fy

dxdyftanrdrd

D

x

D





2d

cos

ftan



rdr

2





1

2

2

ftan.cos2

d.

2

（ⅳ）作正交变量代换：



xaubv, 

a2b

2buav

x2y2u2v2. y.



a2b2

由二重积分的换元法 I

fax

bycdxdy



f

u

a2b

2

cJdudv

. x2

y2

1

D

其中

x

xab 

x,yuva2

b2

a2

b

2

Ju,v

yy

ba

1. u

v



a2

b

2

a2

b

2

D:u

2

v

2

1.

u

2

vu2

或

D:

,

 

1u1.

故

（3）

（1）

（2）

（3）

I 



D

fu



ab

1u

2

22

cdudv

2

2





1

1

du

1

1u

2

2

1

u

2

fu

fuab

ab

22

 cdu.

cdv

15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积： （ⅰ）xy2

x2a2； 2（ⅱ）

x20,b0,h0,k0a

2



yb

2



xh



yk

（a）；

（ⅲ）xa



yb

1,x0,y0(a0,b0.)；

（ⅳ）a2

2

1xb1yc1a2xb2yc21（a1b2a2b10）.

解：（ⅰ）作变量代换：

uxy,

vx.xv,

y



vu.则原方程化为

u2v2a2. 于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

dudv

D

D

其中

x

x J

x,yuv1u,v

yy0

11

1. u

v

u2v2a2 所以

S

1dudv

a2

.

D

（ⅱ）令arcos,

xybrsin.

则原方程化为 r

abh

cos

k

sin. 由于r0，故有

1）2）3）1）（ （

（

（

ah

cos

bk

sin0. （2）

a

b为使（2）式有解，首先要求不能落在第三象限（否则，cos sin0.）

h

k

因此确定不能超出





2,的范围. 

下面进一步讨论的取值范围.

a.若cos

0



,

22

.

，则由（2）式，得： tan

ak

bh， 由（3）式解得：

arctaakbh



2

； b.若cos

0

,



2

.

，则由（2）式，得： tan

akbh

， 由（3）式解得：



2arctaakbh. 综合（4）、（6）两式，知的取值范围为 arctaak

bh

arctaak

bh

.

于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

drd

D

D

其中

x

x

J

x,yrasinr,



ryyacosbsinbrcos

abr

r





0r D:

cos,

arctanakak 

bharctanbh.故 S

abrdrd

D

ab

arctan

aka

bh

cos

bk

sin

akd

rdr

arctan



h

bh

3）

4）

5）

6）

7）

8） （（（（（（

2



abarctan

akbh

2



acosbsin

arctan

akhkd

bh



2

ak

 

aba2b2

arctan12acosb

h

2k2.bh

arctanakbh

sin

d

a22

hk

h

2



bk

2



ab



2

 

ab22

ak

arctanh2abcos

k

sin h

2k2.bh

arctanaka22bh

a22d



h

2



bk

2

h

2



bk

2



sinaa220令 

h

h2bk2,tan

cosba2b20ak.0.

bh



kh

2



k

2

则

ab22

ak

S

ab22

2

d

h

k2.arctanbh

arctanaksin0bh



ab22

ak

ab2arctanbh1cos20

2h

k2.d

arctanak

bh

2

ab22

ak

ak

arctan22

.bhab4ab

abarctanh2k2arctanakd4h2k2.bh

22d

bh

arctanakcos0bh



ab22

ak

4ab2k2.aba2b2

h.1

.sin22arctanbh

4h

2k220|arctan

akbh



ab22

22



4ab2ababhk2.04h

2k2. 

（（ⅲ））令xarcos8,

ybrsin.

8

则原方程化为

r1. 于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

drd

D

D

其中

9）

10）（1）（（

x

J

x,yr,

xybsin

acos

88



ryr

8racos.sin8brsin

7

7

.cos

8abrcos.sin

77

.

（2）

0r1,



 D:

（3）



02.故 S

8abrcos7.sin

7

drd

D



8ab2cos7.sin7d1

rdr0



4ab20

cos7.sin7d（令usin）



4ab2u71u23

du



4ab20

u73u93u11u13du

4ab1

318

10



4



114

ab

.70

（ⅳ）a2

2

1xb1yc1a2xb2yc21（a1b2a2b10）.

令ua1xb1yc1,

va2xb

2yc2.b2u即

xb1vc1b2c2b1

aa,1b22b1

a 1va2ua1c2c1av2



a1b.2a2b1则原方程化为

u2v21. 于是，曲线所围成的面积为 S1dxdy1J

dudv

D

D

其中

x

xb2



b1

J

x,yva1b2a2b1

a1b2a2b1

1u,v

uyy

a2aaa.

11b22b1u

v

a1b2a2b1

a1b2a2b1

1）

（

（2）

D:u2v21. （3）

故 S

1

1dudv

D

a1b2a2b1



1

a..

1b2a2b1

（令usin）

16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积： 22（ⅰ）

xy2a2



b2



z1c2

（椭球面）

； x2y2z22（ⅱ）



1（双叶双曲面）

，x2a2

b2

c2

a

2



yb

2

1（椭圆柱面）

； 2

2

x2y2（ⅲ）

z

a

2

b

2



c1，x3ay3

b1,z0. 

解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知 V4Vx2214c1

Da

2



yb

2

dxdy

1

2其中 Dy21:

xa

2



b

2

1,x0,y0.

为计算方便，特引入变量替换 令xarcos,ybrsin.

则被积函数化为

22 zc1

xa

2



yb

2

cr

2

积分区域D1化为 D1:r21.

0





2.

于是

V4V14c1r

2

Jdrd

D1

（1）

（2）

（3）

其中

x

J

x,yx

acosrasinabr

r （4）

r,



yybsinbrcos

r



故

V4V14cr2Jdrd

D

4abc



1r2

rdrd

D



4abc2d1

r2rdr

2ab2



1r2

3

12



4abc.3

|

3



（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知 22 V2V上2c

xD

a

2



yb

2

dxdy

22其中 D:

x1.a

2



yb

2



为计算方便，特引入变量替换

令xarcos,



ybrsin.

则被积函数化为

22 zc1

xa

2



yb

2

cr

2

积分区域D化为 D:r21.

于是

V2V12cr

2

Jdrd

D

其中

x

x

J

x,yrasinr,



ryacosybsinbrcos

abr

r



（1）

（2）

（3） （4）

故

V2V12cr2Jdrd

D

2abc



1r2

rdrd

D

2abc2

1

d0

r2rdr

3

2ab2

11r2

2

4abc3



|

2

20



3

1

.



2

2

2（ⅲ）

xy2z

a

2



b

2



1，x3y3

1,z0.c ab

根据对称性及二重积分的几何意义，知 2 V4

c1xy2



a2b2dxdy

D1

2

2

其中 Dx3

y3

1:a



1,x0,y0b

为计算方便，特引入变量替换

令xarcos3,

brsin.

y3

则被积函数化为

zc1r2cos6r2sin6

. 积分区域D



1化为 D1:r1.0



2

于是

V4c1r2cos6r2sin6

Jdrd

D1



其中

x

x

J

x,yr3

3racos2

.sinr,



yyacos

bsin3

3brsin

2

.cos

3abrcos2.sin

2

.

r



故

1）2）

3）

4）（

（ （（

V4c1r2cos6r2sin6Jdrd

D1

12abc2d1r2cos6r2sin6cos2.sin2rdr



1



2

2

12abc2cos.sindrdr12abc2cos8.sin2d.r3dr

9

1



1



2

8

2

12abcsin.cosd.r3dr

1



2

2



6abc2cos.sind 3abc2cos8.sin2d



3abc2sin8.cos2d

6abc2coscosd3abc2cos8cos10d

2

4



3abc2sin8sin



10

d

9!!7!!

.3abc8!!10!!2

9!!7!!

.8!!10!!2

6abc 

75256

4



3!!

.3abc4!!2

abc.

17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）： （ⅰ）



dxdydz

1xyz

3

dxdydz

，其中为由坐标平面x0,y0,z0和平面

xyz1围成的四面体；

（ⅱ）xy2z3dxdydz，为由曲面zxy和平面yx,x1,z0围成的区域；



（ⅲ）xyzdxdydz，为单位球x2y2z21位于第一卦限的那部分区域；



（ⅳ）zdxdydz，为圆锥面z



hR

xy

22

h0,R0与平面zh围成的

区域； 解：（ⅰ）



dxdydz

1xyz

3

dxdydz

；

0y1x,在xoy坐标面上的投影区域为三角形区域D:.故

0x1

1x



1yz

xdyd=zdx3

11x

dy

1xy

1

1xyz

3





1

dx

1x

dy

1xy

1

1xyz

3

1xyz





1

dx

1x

11.221xyz

|

1xy0

dy



1

dx

1x

111

dy2

21xy4



1

111x

y|0dx021xy4

11



1

x13dx20441x



1312115

xln1xxln2. |0

248216

（ⅱ）xy2z3dxdydz；





在xoy坐标面上的投影区域为三角形区域D:

1

x

xy

0yx,

.故

0x1





xyzdxdyd=zxdxydy

2

23

zdz

3





1

xxy214

xdxyz|dy

00

4



1

4

12

1

xdxxydy

x

46

 

1

4

1

1

x1517

xy|dx

287



1

xdx

2813

.

1

x

13

|

10



1364

.

（ⅲ）xyzdxdydz；



20yx,

在xoy坐标面上的投影区域为D:.故

0x1

2

2

2

zxdyd=zxyd



1

xdx

x

ydy



xy

zdz

1

2





1

xdx

1x

2

121x2y2yz|dy02



2

1

xdx



1x

y1xy



22

dy



1

2

1

xdx

1x

2

12222

1xyd1xy2



2



1

4

1

122

x1xy2



|

2

1x

2

1

dx8



1

x1x



2

dx

148



1112

.x1x820

d1x

2

2

112

.1x163



|

310



.

（ⅳ）由对称性知，zdxdydz4zdxdydz



1

其中1为在第一卦限内的那部分区域，1在xoy坐标面上的投影区域为

220yRx,

D1:.故

0xR

2

2





zdxdyd=z4dx

RRx

dyh

2

h

xy

2

2

zdz

R

4dx

0R

RRx

2

12h

z|h

R2

dy22

xy



2dx

Rx

22

2

2h22hxydy2

R



2h

2



R

1213R2x2

y2xyy|0dx

3R1222

Rxx2

R

2

2

1

2h

2

R

Rx

22



3

2

Rx

22

dx

3



2h

2



R

Rxdx2

hR

22



R

x

2

Rxdx

2



2h3R

22



R



2

Rx

22

dx

3

其中

2h2 2

R0

Rxdx2h.

R

22

14

R

2



12

22

hR ；



22

hR

22



x

2

Rxdx

22

2

hR



2

Rsin

22

tRcost.Rcostdt



2hR

2

2



2

sin

2

tcos

2

tdt2hR

22

sin

20



2

tsin

4

tdt



2h2R2

2h3R

22

R

3!!22!!..hR；

4!!282!!2







2

Rx

22

dx3R

3

2h

22





2

Rcost.Rcostdt

3

3

所以

23



hR

2



2

costdt

4

23

hR

22

3!!22

.hR. 4!!28





zdxdydz



2

hR

22





8

hR

22





8

hR

22





4

hR.

22

18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一

重积分 （ⅰ）I



x

（2）Iddfd；





1

dxdy

1xy

fzdz.

解：（1）先将后两次积分dfd中的积分次序进行变换：







dfd







dfd





f|d

x









fd---（14）

所以，I  



x

dfd





x

dfd



x

2x

f|d2



x

x222fxd

22



x

f2

x2d.

（2）先将后两次积分



x

1

dy

xy

01

fzdz中的积分次序进行变换：fzdy

dx

x1



1

dy

xy

fzdz



x

dzfzdy

1x1

dz

zx1



x

fzdz



x1

x

fz1zxdz

所以， I其中，  



1

dxfzdz

x



0x

fz1zxdz

----（15）.



10

1

dzfzdx

zz

1

， fz1zdz--------（16）

1



dzfz1zxdx

2

z

fzz2dz





2

1

dz

1

z1

fz1zxdx

1



2

1

fz

z22

2

dz

，

所以，I 

1



1

2

1z

fz1zdzfzz2dz0



2



2

1

fz

z22

2



dz

2

1

fz2z



dz1fzz2

2

2

2

1

dz

.

19（书p174页习题4）证明不等式 1

cosxyzdxdydz





sinxyzdxdydz



2

其中为为正方体区域0x1,0y1,0z1. 证明：显然，对于x,y,z，有

0xyz1



4

xyz



4

1



4

（1）

又

cosxyzsinxyz



2sinxyz

4

（2）

而由（1）式，知 1

2sin



4





2sinxyz

4

2

2

，即

xyzsinxyz 1cos

所以，由估值定理知 1

（3）

xyzsinxyzdxdydzcos



2

（注意到正方体的体积为1）.

20（书p174页习题5

设函数fx,y,z在区域R3内连续，若对于内任何一个有界子域都有

fxyzdxdydz



0

证明：fx,y,z0,其中x,y,zR3. 证明：反证法

设fx,y,z0，x,y,zR3的结论不成立，则必存在某点P0x0,y0,z0R3，使得 fx0,y0,z00. 不妨假设fx0,y0,z00. 因为fx,y,z在P0x0,y0,z0处连续，故有

limfx,y,zfx0,y0,z00. （1）

xx0

yy0zz0

故根据函数极限的定义知，对于0

2

2

2

12

fx0,y0,z00,00,使得

当xx0yy0zz00时（即Px,y,zUP0,0时），就有

fx,y,zfx0,y0,z0

12

fx0,y0,z0

（2）

由（2）式可解得，当Px,y,zUP0,0时，就有

fx,y,z

12

fx0,y0,z00.

（3）

所以，由积分中值定理有

UP0,0



fxyzdxdydzf,,.



43

.00 （4）

3

而（4）式与函数fx,y,z在对于内任何一个有界子域上都有

fxyzdxdydz



0的假设前提是矛盾的！所以，fx,y,z0,其中x,y,zR.

3

21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分：

（ⅰ）x2y2dxdydz，为抛物面x2y22z与平面z2所围成的区域；



（ⅱ）zdxdydz，为曲面z



2xy

22

与zx2y2所围成的区域；

（ⅲ）



11xy

2

2

dxdydz

，为圆锥面x2y2z2与平面z1所围成的区域；

（ⅳ）



e

2

z

dxdydz

2

，为圆锥面z

xy

22

与平面z1z2和所围成

xy

的区域；

（ⅴ）z2dxdydz，为两球体x2y2z2R2与x2y2z22Rz的公共部



分；

（ⅵ）x2y2z2dxdydz，为球体x2y2z2R2；



（ⅶ）



xydxdydz

22

，为球体x2y2z2Rz.；

（ⅷ）zlnx2y2z2dxdydz，为：1x2y2z24.



解：（ⅰ）x2y2dxdydz，本题宜采用“切片法”计算



x



2

y

2

dxdydz

2

dzxydxdy

Dz



22



4

3





2

dz

2

z

2

160

d

20

r.rdr2



2

r

2z

4

|

dz2

z

3

|

2



3

.

如采用柱面坐标系：

x

2

y

2

dxdydz







2

d

2

rdr2r

2

r2

dz2r3

.0







2

r2r41r6

22

2216

dr2242.6|03.

（ⅱ）zdxdydz，本题宜采用柱面坐标计算.



联立z2x2y2,

消z

,

zx2y2

,

得在xoy坐标面上的投影区域为圆域D:x2y21. 所以，



zdxdydz



2r

2

2





2

d2

20





1

rdr



r

1

r.z2

zdz0



2|

2r

r

2

dr



1

r2r

2

r

4



dr46

r2rr17



46. |0

12（ⅲ）

12

2

dxdydz

，本题宜采用“切片法”计算



1xy

1

1

11x

2

dz



y

2

dxdydz



Dz1x2

y2



1dz

2

dz

1.rdr21

12





1r

2





2

ln0



1z

dz

1

z

2zln

1z

2

dz

|

10

2

1z

2

 

ln22zarctanz|10

ln22

2. （ⅳ）

e

z

dxdydz

，本题宜采用“切片法”计算

x2



y

2

z



e

2

e

z

x2

y

2

dxdydz



1

dz

2

2



Dz

xy

z





2



z

z

1

dz

20

d

e

r

.rdr2



2

1

zedz2



2

1

zde

z



2z

2

z



ze

|

2

1





edz

22e2eez|2

21

12e. （ⅴ）z2dxdydz



解法一：柱面坐标法：

联立x2y2z2R2,

2消z,得在xoy坐标面上的投影区域为



xy2

z2Rz,圆域D:x2y232

4

R.



z2

dxdydz



2

3

3

2

2





R

R2

r

2

2

0

d

2

rdr



RR2r

2

zdz2



2

R

z3

r.

3|

RrR

R2r2



dr



3

3



22

R

22

R2

r

2

3

3



r



Rr

R

dr（令rRsint）





233

RsintR3

cos3

tRRcost3



.Rcostdt

2

3

R5

3

2cos3

t13cost3cos2

t

sintcostdt

4

3

R

5



3

cos

4

tsintdt

2

3

3

R

5



costsintdt





2R5



3

25

costsintdt2R

3

cos3

tsintdt



2



4R

5

cos5

t3

5

|

3

30



23

R

5

cost2

|0

s3t

4



2R

5

co5

3

|

3

2R

cost4

|30



4

31532515R5R3234R378R515216



59480

R.

5

其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域分成两个子区域： 12. 其中 02,

02,

01:,

:22

30R,



32,

02Rcos

,则



z2

dxdydz

=z2dxdydz



z2

dxdydz



1

2

2



3R

0d0

sind2cos2.2

d







2

d22







sind

2Rcos

2cos2

.d

3

2

3sin.cos2

d

R4



0

0

d 22R22cos

4

sin.cosd

0d

3

1

1

2cos3|315R32R5

sin.cos7

d



305|0

2



52





3



2.

7

24.

1

5

R

5



64R5



5

1cos82

8|

3

75

6460

R

R5

1.17R5R559R55

.2568

60160480 （ⅵ）x2y2z2dxdydz，此题最宜采用球面坐标计算：



x

2

y2z

2

dxdydz







2



R

22

d0

sind0

.d

2R15R450sind.04d2cos|0.R.5|0



5 （ⅶ）

x2y2

dxdydz

，本题宜采用“切片法”计算：







xydxdydz

22



z

dz

Dz

xydxdy

22





R

dz

2

d



Rzz

2

r.rdr

3

23



R



Rzz

2

dz

3

2R30



2



RR

zdz42

2

（令z

R2



R2



sint

）

21RR422

.R.coscost.costdt31632222

3

4

tdt





12



.R

4



2

.cos

4

3!!4

tdt.R..R.

124!!264

4



2

222

（ⅷ）显然zlnx2y2z2dxdydz0,因为积分区域：1xyz4关



于xoy坐标面对称，且被积函数关于z为奇. 22 .（书p180页习题3）设fu连续函数，求函数 Ft

2



2

2

2

fxyz

222

dxdydz 的导数Ft.



20

xyzt

解：Ft

2



2

f

2

2

xyz

2

2

2

dxdydz

d



0

df

t



2

2

d

xyzt

4f22d，

t

所以，Ft4ft2t2.

20.（书p180页习题4）设m,n,k为非负整数，为单位球体x2y2z21. 求

I

m

n

k





xyzdxdxydz

解：（一） 当m,n,k中至少有一个为奇数时 例如k为奇数时，于是

I





2

xyzdxdxydz

mnk





2

xyzdxdxydz

2

2

mnk



2

xyzdxdxydz

2

mnk

xyz1

z0xyz1z0

（记为） I1I2. （2） 今在积分I2中作变量代换

x

xu,

即令yv,

zw.

xvyvzv

xwywzw

100

010

001. 1

，则 J

uyuzu

故 I2

2

u

2

2

m

vwdudvdw

nk

uvw1w0



2



2

xyzdxdxydzI1.

2

mnk

xyz1z0

于是

II1I2I1I10.

（二） 当m,n,k均偶数时，此时被积函数xmynzk关于三个坐标平面皆对称. 于是

I8

2



2

xyzdxdxydz

2

mnk

（1）

xyz1x0,y0,z0

为方便计算，引入球坐标变换



m

n



I82cos.sind2sinmm1.coskdmnk2d

1

8.其中

1mnk3





2

cos.sind2sin

mnmn1

.cosd （2）

k





2

cos.sind



mn

.sin.cosd





2

cos



m1

.sin

2

n1



1

1sin2

20

.

n1

m12

sin

12

2



n12

dsin



2

（令sin

n1

2

t）



12

1t

1

m12

t

2

dt

1t

1

m12

1

.t

2

1

dt

同理



12



m1n1

（3） ,.

22



2

sin

mn1

.cosd

k

1

mn2k1

,. （4）

2

22

所以

I8.

1

1m1n11mn2k1mnk3

,222.,

222 

m1n1mn2.k1

2

122mnk3mn2.22



m

nk3

2.2.



m1 2

12n1k1

22



.mnk3

.

mn k32



由于 

n1n1n1n1n322.2..22n3

2 



n1n312.22.1

2 



n1!!

n

..1n1!!.. 22

2

n

22

比如：7

2312



5.552.32.35.3.115!!

222222

3..222故

m1!!n1!!k1!!

mnk I2

1222222





mnk3

.



mnk2!!

nk2m22







4mnk3

.

m1!!n1!!k1!!

mnk2!!

.

5）

（6） （

书中P183所提供的答案有误. 23 .（书p180页习题5）求由曲面

xa

22



yb

22



z

2c

2

2

ax

a0,b0,c0包围的

立体体积.

解：根据对称性及二重积分的几何意义，知 V4V14dxdxydz

1

22

x2yz

其中1为由曲面a2b2c2



2

ax

a0,b0,c0包围的立体体积在第

一卦限的那部分区域.

xasincos,

为方便计算，令ybsinsin,

zccos.

22

x2yz

则曲面a2b2c2ax



2

的方程化为

3a2sin.cos. （1） 积分区域1 化为 1:则

V4Jddd

1





3

asin.cos,0

2



2

,0



2

.

其中

xyz

xyz

xyz

asinsinbsincos

acoscosbcossincsin

asincosbsinsinccos

J

2

abcsin.

故

2 V4abcsinddd

1





20



20

3

4abcdsind



20

asincos

2

d

2



4abcd2  

43



3

13

a

2

sin.cossind





2

abc2cosd2sindabc.

3



3

24.（书p187页习题1）讨论下列二重积分的收敛性（当收敛时，并求出积分值） （ⅰ）

2



dxdy

2

xy1

x

2

2

y

2

2





（为参数）； （ⅱ）

2



e

2

xy

22

dxdy

；

xy1

（ⅲ）

e

1xy

xy

.sinxy



22

dxdy

； （ⅳ）

yx

22

x

y0x11y

x

2

y

2

2



2

；

（ⅴ）

yx

22

x

2

2

y

2



2

； （ⅵ）ex

R

3

2

yz

2

dxdy

；

（ⅶ）

2



2

dxdydz

xyz1

x

2

yzdxdy

22





.（为常数）

解：（ⅰ）

2



xy1

2

x

2

y

2





（为参数）

取 Dnx,y|1x2y2nn2 则



Dn

dxdy

x

2

y

2









2

d



n

1r

2

1

2lnn,1,



1 rdr222.n1,1.

22



因此当1时，广义积分

2



dxdy

2

xy1

x

2

y

2





收敛，且收敛于

dxdy

2

n

lim



1

n

2

1



1

.当1时，广义积分

2



xy1

x

2

y

2





发散.

（ⅱ）

2



e

2

xy

22

dxdy

；

xy1

取 Dnx,y|1x2y2nn2

则



e

xy

22

dxdy



2

d



n

e

r

2

1r2

.rdr2e

|e

n

1n

2

.

1

1

Dn

2





e

因为 lim

e

x2y

2

dxdylim1n2

n



Den

e.n 

e因此广义积分

e

x2

y

2

dxdy

收敛，且收敛于



.x2



y2

1

e

（ⅲ）

e

x2

y

2

.sin

x2

y

2

dxdy

；

x

y

因为，

fx,yex

2

y

2

.sin

x2y

2

e

r

2



1

1

2e

r

2

r

4

r

4

,

2

所以，上述二重积分是收敛的. 且



e

x2y

2

.sin

x2y

2

dxdy





2

2

t

d



r

e

.sinr2

.rdr2





e

sintdt

xy

sintcostt



e1212

|0

2. 2（ⅳ）

yx

2

0x1

x

2

y

2



2

；

1y

因为

2





y2x

1

x

2

y2



2

dy

y

2





x

2

1

x2

y2

2



1

x2

y2

2

dy





y

2



x

2



dy

1

x

2

y

2



2





1

x

2

y

2



2

y



x2







2y

2y

1

2

x2

y

2



2

1

2y

x2

y

2



2

.

其中





y2y

1

2x2y2y.

1

2



2

12





1

1

（分部积分） d222xyy



2xy1

21

|









2

1xy

2

1

dy



1

.

1



1； （1）

21x

2

2

1

x2

y

2



x

2

2y

x2





1

2yx2y22

2yd1

x2y21



（分部积分） 2



x

.1

|

1

1

2yx2

x2

y2

1



2

1

x2y2

y2dy

x

2

|



1



1

2y.

1

2

2x2

xy1



2

1

x2y2

y2dy

1

.x

2

12

211

21x

1y2dyxydy122 



1

x

2

12.1x

2



112dy

y

|1





1

x2

y

2







1

2.

x

211x

2



2



1

12



1

x2

y

2

dy. 所以





y2x

2

1



x

2

y

2



2

dy

111



1

1x2

11

1.21x

2

2

1

x2y2.

21x2

22

x2

y

2

dy

1





112

2.x1x21211x

2

. 于是



y2x

2

0x1x

2

y

2



2

1y

22





1

dx

yx

1

11





1

x

2

y

2



2



1x

2

arctanx0

|0

4

.

（2）

3）

（

（ⅴ）

y2x

2

2

1xy

x

y

2



2

因为

2

2





yx

x

x

2

y2



2

2



y





x

2

x

x2

y2

2

x

x2

y2

2

dy







y

2



x







x

2

x

2

y

2

2

x

x

2

y

2



2

dy

y

y



x2







22y

x

2

x2

y

2



2

x

2y.

x2y2



2

其中





y2y



y

x

2x2y2

2d2



1

x

x2y2（分部积分） 

y.

1



12x2

y

2

|

x

2





1x2

y

dy

x

2

1.11

14x2





x2

y

2

x

； 

2

2y



x2



x

yd1

x

2x2y22

x

2yx2y2（分部积分） 

x

2

1

|1

1

2y.x2

x2

y2

x



2x

x2y2

2dyy

x

2

.1

|

12





1

x22y

x2

y

2

x



x

x2y2

y2dy

14.1x1211

ydy xy2dyxx22

1.111|

14x2y

x







x2

y

2

dy

x





1111

14.x2x2



x2

dy.x

y

2

1）

2）

（ （

所以

22





yx

x

x

2

y

2



2

1.11



1



1dy

4x2

x

x2y2

1.1114x2x2



x

x2

y

2







12x

. （3）

于是

2

yx

2

2

1xy

x

2

y



2





2

2





dx

11



yx

x



1x

2

y

2



2



1

2x

2

lnx|



1

.

（ⅵ）e

x2y2

z

2

dxdy

R

3

xasin由于被积函数是正的，采用球坐标

cos,

ybsinsin,，得



zccos.



e

x2y2z

2

dxdy

R

3





2









2

2

d0

sin

e



2

.2

d4



e

.d

2





2



2



2

d

e



2.e

|



2





e

d

02





e



2

d0

2.

2



.

（注意到上式用到了概率积分



2

e

d

1

1.22

2

）

（ⅶ）



dxdydz

2

2

22

xy2

z2

1

x

yz





取 nx,y,z|1x2y2z2nn2 则



n

dxdy

x

2

yz

22









2

d





sind

n

1

3

4lnn,,122

d213324.n1,.





32因此，当

32

时，广义积分



dxdydz

22

x2

y2

z2

1

x

2

yz





收敛，且收敛于

432

1



4dxdy

nlim



32

n

23

.当1时，广义积分



x2

y2

1

x

2

y

2





25.（书p187页习题2）证明：无界域上的二重积分



y2x

2

dy

1x

x

2

y

2



2

x 1y

不收敛；但是二次积分 2





dx

y2x

2

1



1

dy

yx

2

x

2

y

2



2

与



1



1

x

2

y

2



2

dx

都收敛.

证明：

（一）先证两个二次积分都收敛 由p187页习题1之（4）知





y2x

2

11

x

2

y

2



2

dy1x

2

.

故





2dxx

2

1





y1

x

2

y

2



2





1

dx

y2

x

2



1

1

x

2

y

2



2



1x

2

arctaxn1

|1





2





4

收敛；

同理（或根据函数的反对称性）





dx

y2x

2



1



1

x

2

y

2



2

4

.

2



x

2

（二）再证

y2

1xx

y

2



2

发散

1y

事实上，由p187页习题1之（5）知 2



y2

x

1xy

x

2

y

2



2

xdy

2

2

发散，从而 y2x

1xx2y22必也发散.（反证：若

1y

y2x2y2x2

2

1xxy22收敛，则绝对值积分

1xx2y22必也收敛，

1y1y

因此在小一点的区域上的积分y2x2

1xyx2y22dxdy更收敛，于是

y2x222

yxdxdy2

1xyx2y2也收敛，与x2

1xyy22发散相矛盾）.

41

微积分 第十章 讲义

主讲 周

郑州大学

世 国 数学系 42