角平分线中的基本图形
例1：如图，在四边形OACB 中，CM ⊥OA 于M ，现有：①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180°；④OA+OB=2OM，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论，下面请同学们一一证明
（1） 已知：①②，求证③④ （2） 已知：①③，求证②④ （3） 已知：①④，求证②③ （4） 已知：②③，求证①④
3
O
A
1、已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180. ︒
（1）利用图1，求证：PA =PB ；
（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当
S ∆POB =3S ∆PCB 时，求PB 与PC 的比值；
（3）若∠MON =60︒
，OB =2，射线AP
交ON 于点D ，且满足且∠PBD =∠ABO ， 请借助图3补全图形，并求OP 的长. M
T
A
O
B
N
图2
M
T
A O
B
N
N
图3
1、已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC，点M 为⊙O 上一点，且在弦BC 下方. （1）如图①，若∠ABC =60°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （2）如图②，若∠ABC =45°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （3）如图③，若∠ABC =30°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ；
（4）如图④，若∠ABC =n°，BM =a ，CM =b （其中b >a ），求出AM 的长(答案用含有a ，b 及n°的三角函数的代数式表示).
图① 图② 图③
图④
2、在平面直角坐标系x Oy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为（1，1）。将一个最短边长
FO 上。
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形。
3、如图，点M （2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在M 处，角尺的两边分别交x 轴、y 轴正半轴于A 、B ，AP 平分∠OAB 交OM 于P ，PN ⊥x 轴于N ，把角尺绕点M 旋转时： （1）求证：OM 平分∠AOB ； （2）求AO+OB的值： （3）ON+
1
AB 的值是否发生变化？试证明你的结论 2
角平分线中的基本图形
例1：如图，在四边形OACB 中，CM ⊥OA 于M ，现有：①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180°；④OA+OB=2OM，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论，下面请同学们一一证明
（1） 已知：①②，求证③④ （2） 已知：①③，求证②④ （3） 已知：①④，求证②③ （4） 已知：②③，求证①④
3
O
A
1、已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180. ︒
（1）利用图1，求证：PA =PB ；
（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当
S ∆POB =3S ∆PCB 时，求PB 与PC 的比值；
（3）若∠MON =60︒
，OB =2，射线AP
交ON 于点D ，且满足且∠PBD =∠ABO ， 请借助图3补全图形，并求OP 的长. M
T
A
O
B
N
图2
M
T
A O
B
N
N
图3
1、已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC，点M 为⊙O 上一点，且在弦BC 下方. （1）如图①，若∠ABC =60°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （2）如图②，若∠ABC =45°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （3）如图③，若∠ABC =30°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ；
（4）如图④，若∠ABC =n°，BM =a ，CM =b （其中b >a ），求出AM 的长(答案用含有a ，b 及n°的三角函数的代数式表示).
图① 图② 图③
图④
2、在平面直角坐标系x Oy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为（1，1）。将一个最短边长
FO 上。
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形。
3、如图，点M （2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在M 处，角尺的两边分别交x 轴、y 轴正半轴于A 、B ，AP 平分∠OAB 交OM 于P ，PN ⊥x 轴于N ，把角尺绕点M 旋转时： （1）求证：OM 平分∠AOB ； （2）求AO+OB的值： （3）ON+
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AB 的值是否发生变化？试证明你的结论 2