24．1．2 垂直于弦的直径
教学流程安排
引导学生用圆的轴对称性来解释线段相等和弧相等。
帮助分析并强化垂径定理的条件和结论，重点帮助学生理解定理中的“直径”。
教师导学:1。圆心O 到水面的距离怎样表示？
所要求的边与直角三角形有什么关系？求直角三角形的边通常要用什么定理？
怎样将AB 转化为直角三角形的边？转化的依据是什么？
在学生完成强化练习1,2题后，引导总结求弦心距，弦，半径常见的方法。
【教学过程】 一、 提出问题
赵州桥的半径是多少？
已知：跨度（即弦长）为37.4m 拱高（即弓形高）为7.2m 求：半径
二、 探究圆的轴对称性，得出垂径定理
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2
吗？
(通过改变对称轴的位置，观察轴对称后弦和弧的变化)
3、垂径定理：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 用法：（1）∵直径CD ⊥AB 于点M
⌒ ⌒， ⌒ ∴ AM = BM，⌒AC=BCAD=BD
（2）∵直径CD 平分弦AB 于点M
∴CD ⊥AB ，AC=BC，AD=BD
分析：（1）定理中的直径（过圆心）的条件能否省略？定理中的垂直于弦的条件能否省略？
（2）为什么要添上“不是直径”这个条件？ 三、 巩固练习，深入思考
⌒
1、如图2，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若OD =3 ，弦AB =8 ，
求此圆的半径和弓形高CD ．
图2
*说明：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．
⌒
变题1：如图2，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若CD =4 ，弦AB =16 ，求此圆的半径和弦心距．
⌒ 所在圆的圆心是点O ，半径长为6，过O 作OC ⊥AB 于点D ，变题2：如图2，AB
若OD =4 ，求弦AB 和弓形高CD 。
在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆
2、解决赵州桥的问题
3、如图3，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出的AB 中点，说出你的作法．
A
B
师生活动设计：
根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．
四、 拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 解决下列问题
1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道
?
图7 图8
师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维． 〔解答〕
如图8所示，连接OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，
1
则AE =AB = 30 cm．令⊙O 的半径为R ，
2
则OA =R ，OE ＝OF -EF ＝R -10．
在R t △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即R 2=302+(R -10) 2． 解得R =50 cm．
修理人员应准备内径为100 cm的管道．
2．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下面水面宽度AB 为7．2米，
桥的最高处点C 离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
A
A
B
O
B
图5 图6
学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．
〔解答〕如图6，连接AO 、GO 、CO ，由于弧的最高点C 是弧AB 的中点，所以得到
OC ⊥AB ，OC ⊥G F ， 根据勾股定理容易计算 OE =1．5米， OM =3．6米．
所以ME =2．1米，因此可以通过这座拱桥．
【归纳小结、布置作业】
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．
作业：第88页练习，习题24．1 第1题，第8题，第9题．
24．1．2 垂直于弦的直径
教学流程安排
引导学生用圆的轴对称性来解释线段相等和弧相等。
帮助分析并强化垂径定理的条件和结论，重点帮助学生理解定理中的“直径”。
教师导学:1。圆心O 到水面的距离怎样表示？
所要求的边与直角三角形有什么关系？求直角三角形的边通常要用什么定理？
怎样将AB 转化为直角三角形的边？转化的依据是什么？
在学生完成强化练习1,2题后，引导总结求弦心距，弦，半径常见的方法。
【教学过程】 一、 提出问题
赵州桥的半径是多少？
已知：跨度（即弦长）为37.4m 拱高（即弓形高）为7.2m 求：半径
二、 探究圆的轴对称性，得出垂径定理
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2
吗？
(通过改变对称轴的位置，观察轴对称后弦和弧的变化)
3、垂径定理：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 用法：（1）∵直径CD ⊥AB 于点M
⌒ ⌒， ⌒ ∴ AM = BM，⌒AC=BCAD=BD
（2）∵直径CD 平分弦AB 于点M
∴CD ⊥AB ，AC=BC，AD=BD
分析：（1）定理中的直径（过圆心）的条件能否省略？定理中的垂直于弦的条件能否省略？
（2）为什么要添上“不是直径”这个条件？ 三、 巩固练习，深入思考
⌒
1、如图2，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若OD =3 ，弦AB =8 ，
求此圆的半径和弓形高CD ．
图2
*说明：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．
⌒
变题1：如图2，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若CD =4 ，弦AB =16 ，求此圆的半径和弦心距．
⌒ 所在圆的圆心是点O ，半径长为6，过O 作OC ⊥AB 于点D ，变题2：如图2，AB
若OD =4 ，求弦AB 和弓形高CD 。
在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆
2、解决赵州桥的问题
3、如图3，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出的AB 中点，说出你的作法．
A
B
师生活动设计：
根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．
四、 拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 解决下列问题
1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道
?
图7 图8
师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维． 〔解答〕
如图8所示，连接OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，
1
则AE =AB = 30 cm．令⊙O 的半径为R ，
2
则OA =R ，OE ＝OF -EF ＝R -10．
在R t △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即R 2=302+(R -10) 2． 解得R =50 cm．
修理人员应准备内径为100 cm的管道．
2．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下面水面宽度AB 为7．2米，
桥的最高处点C 离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
A
A
B
O
B
图5 图6
学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．
〔解答〕如图6，连接AO 、GO 、CO ，由于弧的最高点C 是弧AB 的中点，所以得到
OC ⊥AB ，OC ⊥G F ， 根据勾股定理容易计算 OE =1．5米， OM =3．6米．
所以ME =2．1米，因此可以通过这座拱桥．
【归纳小结、布置作业】
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．
作业：第88页练习，习题24．1 第1题，第8题，第9题．