常微分方程在数学建模中的应用论文

毕 业 论 文

论文题目：常微分方程在数学建模中的应用 姓 名：学科专业：指导教师：完成时间：

摘 要

常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。

关键字 常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型

目 录

第一章 人口预测模型 第二章 市场价格模型 第三章 混合溶液的数学模型 第四章 震动模型

绪 论

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。

事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L,内含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。

第一章 人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（马尔萨斯（Malthus）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

解 设时刻t的人口为N(t),把N(t)当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t到tt时间段内,人口的增长量为

N(tt)N(t)rN(t)t,

并设tt0时刻的人口为N0,于是

dN

rN，

dt

N(t0)N0．

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

N(t)N0er(tt0),

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为3.06109,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样t01961,N03.06109 ,r0.02,于是

N(t)3.06109e0.02(t1961).

这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间

地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．

但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.

例2（逻辑Logistic模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数Nm,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生

N(t)活空间就越大,食物就越多,从而Nm就越大）,并假设将增长率等于r1N,

m即净增长率随着N(t)的增加而减小,当N(t)Nm时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.

解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

dNN

r1N，dtN0

N(t)N，00

上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

N(t)

Nm

Nmr(tt0)

11Ne

0

.

下面,我们对模型作一简要分析.

（1）当t,N(t)Nm,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值

Nm；

（2）当0NNm时,增函数；

NmdNd2Nd2NN2N2N0（3）由于2r,所以当时,,单11N2dt2dtdtNmNmNmNdNdNd2N增；当N时,20,单减,即人口增长率由增变减,在m处最大,

dtdt22dt

dNN

r1N0,这说明N(t)是时间t的单调递dtNm

也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；

（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是Nm不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, Nm的值也就越大；

(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,r0.029,又当人口总数为3.06109时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得

1dNN

, r1NdtNm

3.06109即 0.020.029, 1Nm从而得 Nm9.86109, 即世界人口总数极限值近100亿.

值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.

第二章 市场价格模型

对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.

例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型

解 假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率

dp

与需求dt

和供给之差成正比,并记f(p,r)为需求函数,g(p)为供给函数（r为参数）,于是

dp

fp,rgp，

dt

p(0)p0，

其中p0为商品在t0时刻的价格,为正常数.

若设f(p,r)apb,g(p)cpd,则上式变为

dp

(ac)p(bd)， dt p(0)p0，

①

其中a,b,c,d均为正常数,其解为

bd(ac)tbd

p(t)p0. e

acac

下面对所得结果进行讨论:

（1）设p为静态均衡价格 ,则其应满足

f(p,r)g(p)0,

即 于是得p

apbcpd,

bd

,从而价格函数p(t)可写为 ac

p(t)(p0p)e(ac)tp , 令t,取极限得

t

limp(t)p

这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0p,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就化为静态过程；

（2）由于 所以,当p0p时,

dp

(pp0)(ac)e(ac)t , dt

dpdp0,p(t)单调下降向p靠拢；当p0p时, 0,p(t)dtdt

单调增加向p靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.

第三章 混合溶液的数学模型

例4 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解 设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑t到tdt时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内

容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为dx,注入的盐水中所含盐量为0.013dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t)

,假设t到tdt时间内容器内溶液的质量浓度不

100(32)t

变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于dt时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为

x(t)

2dt,这样即可列出方程

100(32)tdx0.03dt

2x

dt, 100t

即

dx2x0.03. dt100t

又因为t0时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为

2xdx0.03，dt100t



x(0)10,

这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为

9104

x(t)0.01(100t). 2

(100t)

下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t)9104

, p(t)0.01

100t(100t)3

且当t时,p(t)0.01,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量V1注入质量浓度为C1的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定

溶液立即被搅匀,并以V2的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为x(t),原来的初始质量为x0 ,t =0时溶液的体积为V2,在dt时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

dxC1V1dtC2V2dt,

其中C1是流入溶液的质量浓度, C2为t时刻容器中溶液的质量浓度,C2

x

于是,有混合溶液的数学模型 V0(V1V2)t

dx

C1V1C2V2，

dt

x(0)x0．

该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.

第四章 振动模型

振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.

例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m的物体,试研究其振动规律.

解 假设

（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；

（2）在一定的初始位移x0及初始速度v0下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；

（3）物体在t时刻的位置坐标为xx(t),即t时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为h

dx

,h为阻尼系数； dt

（5）当质点有位移x(t)时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx,其中k为劲度系数；（6）在振动过程中受外力f(t)的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得

m

dxdx

hkxf(x) , ① 2

dtdt

2

这就是该物体的强迫振动方程.

由于方程①中, f(t)的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.

1. 无阻尼自由振动

在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为

图4

令

d2x

m2kx0 ,

dt

k

2,方程变为 m

d2x

22x0,

dt

特征方程为 220, 特征根为 通解为 或将其写为

C1

xCCsint

2C2

12

2

1

22

1,2i,

xC1sintC2cost,

cost 2C12C2

C2

Acossintsincost

Asin(t)

，

C2C

2

1

22

2

其中 A12C2,sin,cos

C1CC

2

1

22

.

这就是说,无阻尼自由振动的振幅AC12C22,频率2.有阻尼自由振动

k

均为常数. m

在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为

d2xdx

m2hkx0,

dtdt

令

kh

2,2,方程变为 mm

d2xdx

2x0, 22dtdt

特征方程为2220,特征根 1,222.根据与的关系,又分为如下三种情形：

(1)大阻尼情形, >.特征根为二不等实根,通解为

xC1e

(22)t

C2e

(22)t

(2)临界阻尼情形,.特征根为重根,通解为

x(C1C2t)et

这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t的变化规律分别如图5和图6所示.

图5 图6

(3)小阻尼情形,

xet( C1sin22tC2sin22t)

将其简化为

xAet22t)

其中AC12C22,sin

C2C1C2

2

2

,cos

C1C1C2

2

2

,振幅

Aet随时间t的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随

时间t的变化规律见右图7.

3.无阻尼强迫振动

在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐

力f(t)msinpt,此时,方程①化为 图7

d2x

m2kxmsinpt,

dt

d2x

22xsinpt, dt

根据ip是否等于特征根i,其通解分为如下两种情形：

（1）当p时,其通解为

x

1

sinptC1sintC2cost,

2p2

此时,特解的振幅

1

为常数,但当p接近于时,将会导致振幅增大,发生22

p

类似共振的现象；

（2）当p时,其通解为

x

1

tcosptC1sintC2cost, 2p

此时,特解的振幅

1

t随时间t的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频2p

率p等于物体的固有频率时,将发生共振.

4.阻尼强迫振动

在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力f(x)msinpt的作用,并设,方程①变为

d2xdx

2xsinpt , 22dtdt

特征根i22,0,则ip不可能为特征根,特解为

x*AsinptBcospt,

其中A

2p2

(2p2)242p2

,B

2p

, 22222

(p)4p

还可将其化为

x*

122

[(wp)sinpt2pcospt], 22222

(wp)4p

由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当p时,

x*

1

cospt, 2p

若很小,则仍会有较大的振幅；若比较大,则不会有较大的振幅.

结 论

在科学研究和生产实际中，经常要寻求表示客串事物的变量的函数关系。微分方程就是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型

常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。

。

参考文献

1丁同仁 《常微分方程》高等教育出版社2010.4.1

》高等教育出版社 2007.4 2周之铭 《常微分方程（第三版）

3姜启源、谢金星等 《数学建模》高等教育出版社 2003 4贾晓峰 《微积分与数学模型》 高等教育出版社 1999

5欧阳瑞、孙要伟 《常微分方程在数学建模中的应用》宿州教育学院学报2008

年2第11卷第2期

6吉蕴、朱向东 《常微分方程在数学建模中的应用》 潍坊高等职业教育2006

年6 第2卷第2期

致谢

经过近三个月的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个毕业生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有陈老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。

在这里首先要感谢我的导师陈老师．陈老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导．除了敬佩陈老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。

然后还要感谢大学几年来所有的老师，为我打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业设计才会顺利完成。

毕 业 论 文

论文题目：常微分方程在数学建模中的应用 姓 名：学科专业：指导教师：完成时间：

摘 要

常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。

关键字 常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型

目 录

第一章 人口预测模型 第二章 市场价格模型 第三章 混合溶液的数学模型 第四章 震动模型

绪 论

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。

事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L,内含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。

第一章 人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（马尔萨斯（Malthus）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

解 设时刻t的人口为N(t),把N(t)当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t到tt时间段内,人口的增长量为

N(tt)N(t)rN(t)t,

并设tt0时刻的人口为N0,于是

dN

rN，

dt

N(t0)N0．

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

N(t)N0er(tt0),

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为3.06109,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样t01961,N03.06109 ,r0.02,于是

N(t)3.06109e0.02(t1961).

这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间

地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．

但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.

例2（逻辑Logistic模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数Nm,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生

N(t)活空间就越大,食物就越多,从而Nm就越大）,并假设将增长率等于r1N,

m即净增长率随着N(t)的增加而减小,当N(t)Nm时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.

解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

dNN

r1N，dtN0

N(t)N，00

上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

N(t)

Nm

Nmr(tt0)

11Ne

0

.

下面,我们对模型作一简要分析.

（1）当t,N(t)Nm,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值

Nm；

（2）当0NNm时,增函数；

NmdNd2Nd2NN2N2N0（3）由于2r,所以当时,,单11N2dt2dtdtNmNmNmNdNdNd2N增；当N时,20,单减,即人口增长率由增变减,在m处最大,

dtdt22dt

dNN

r1N0,这说明N(t)是时间t的单调递dtNm

也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；

（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是Nm不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, Nm的值也就越大；

(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,r0.029,又当人口总数为3.06109时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得

1dNN

, r1NdtNm

3.06109即 0.020.029, 1Nm从而得 Nm9.86109, 即世界人口总数极限值近100亿.

值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.

第二章 市场价格模型

对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.

例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型

解 假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率

dp

与需求dt

和供给之差成正比,并记f(p,r)为需求函数,g(p)为供给函数（r为参数）,于是

dp

fp,rgp，

dt

p(0)p0，

其中p0为商品在t0时刻的价格,为正常数.

若设f(p,r)apb,g(p)cpd,则上式变为

dp

(ac)p(bd)， dt p(0)p0，

①

其中a,b,c,d均为正常数,其解为

bd(ac)tbd

p(t)p0. e

acac

下面对所得结果进行讨论:

（1）设p为静态均衡价格 ,则其应满足

f(p,r)g(p)0,

即 于是得p

apbcpd,

bd

,从而价格函数p(t)可写为 ac

p(t)(p0p)e(ac)tp , 令t,取极限得

t

limp(t)p

这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0p,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就化为静态过程；

（2）由于 所以,当p0p时,

dp

(pp0)(ac)e(ac)t , dt

dpdp0,p(t)单调下降向p靠拢；当p0p时, 0,p(t)dtdt

单调增加向p靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.

第三章 混合溶液的数学模型

例4 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解 设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑t到tdt时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内

容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为dx,注入的盐水中所含盐量为0.013dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t)

,假设t到tdt时间内容器内溶液的质量浓度不

100(32)t

变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于dt时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为

x(t)

2dt,这样即可列出方程

100(32)tdx0.03dt

2x

dt, 100t

即

dx2x0.03. dt100t

又因为t0时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为

2xdx0.03，dt100t



x(0)10,

这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为

9104

x(t)0.01(100t). 2

(100t)

下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t)9104

, p(t)0.01

100t(100t)3

且当t时,p(t)0.01,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量V1注入质量浓度为C1的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定

溶液立即被搅匀,并以V2的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为x(t),原来的初始质量为x0 ,t =0时溶液的体积为V2,在dt时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

dxC1V1dtC2V2dt,

其中C1是流入溶液的质量浓度, C2为t时刻容器中溶液的质量浓度,C2

x

于是,有混合溶液的数学模型 V0(V1V2)t

dx

C1V1C2V2，

dt

x(0)x0．

该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.

第四章 振动模型

振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.

例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m的物体,试研究其振动规律.

解 假设

（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；

（2）在一定的初始位移x0及初始速度v0下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；

（3）物体在t时刻的位置坐标为xx(t),即t时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为h

dx

,h为阻尼系数； dt

（5）当质点有位移x(t)时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx,其中k为劲度系数；（6）在振动过程中受外力f(t)的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得

m

dxdx

hkxf(x) , ① 2

dtdt

2

这就是该物体的强迫振动方程.

由于方程①中, f(t)的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.

1. 无阻尼自由振动

在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为

图4

令

d2x

m2kx0 ,

dt

k

2,方程变为 m

d2x

22x0,

dt

特征方程为 220, 特征根为 通解为 或将其写为

C1

xCCsint

2C2

12

2

1

22

1,2i,

xC1sintC2cost,

cost 2C12C2

C2

Acossintsincost

Asin(t)

，

C2C

2

1

22

2

其中 A12C2,sin,cos

C1CC

2

1

22

.

这就是说,无阻尼自由振动的振幅AC12C22,频率2.有阻尼自由振动

k

均为常数. m

在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为

d2xdx

m2hkx0,

dtdt

令

kh

2,2,方程变为 mm

d2xdx

2x0, 22dtdt

特征方程为2220,特征根 1,222.根据与的关系,又分为如下三种情形：

(1)大阻尼情形, >.特征根为二不等实根,通解为

xC1e

(22)t

C2e

(22)t

(2)临界阻尼情形,.特征根为重根,通解为

x(C1C2t)et

这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t的变化规律分别如图5和图6所示.

图5 图6

(3)小阻尼情形,

xet( C1sin22tC2sin22t)

将其简化为

xAet22t)

其中AC12C22,sin

C2C1C2

2

2

,cos

C1C1C2

2

2

,振幅

Aet随时间t的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随

时间t的变化规律见右图7.

3.无阻尼强迫振动

在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐

力f(t)msinpt,此时,方程①化为 图7

d2x

m2kxmsinpt,

dt

d2x

22xsinpt, dt

根据ip是否等于特征根i,其通解分为如下两种情形：

（1）当p时,其通解为

x

1

sinptC1sintC2cost,

2p2

此时,特解的振幅

1

为常数,但当p接近于时,将会导致振幅增大,发生22

p

类似共振的现象；

（2）当p时,其通解为

x

1

tcosptC1sintC2cost, 2p

此时,特解的振幅

1

t随时间t的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频2p

率p等于物体的固有频率时,将发生共振.

4.阻尼强迫振动

在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力f(x)msinpt的作用,并设,方程①变为

d2xdx

2xsinpt , 22dtdt

特征根i22,0,则ip不可能为特征根,特解为

x*AsinptBcospt,

其中A

2p2

(2p2)242p2

,B

2p

, 22222

(p)4p

还可将其化为

x*

122

[(wp)sinpt2pcospt], 22222

(wp)4p

由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当p时,

x*

1

cospt, 2p

若很小,则仍会有较大的振幅；若比较大,则不会有较大的振幅.

结 论

在科学研究和生产实际中，经常要寻求表示客串事物的变量的函数关系。微分方程就是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型

常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。

。

参考文献

1丁同仁 《常微分方程》高等教育出版社2010.4.1

》高等教育出版社 2007.4 2周之铭 《常微分方程（第三版）

3姜启源、谢金星等 《数学建模》高等教育出版社 2003 4贾晓峰 《微积分与数学模型》 高等教育出版社 1999

5欧阳瑞、孙要伟 《常微分方程在数学建模中的应用》宿州教育学院学报2008

年2第11卷第2期

6吉蕴、朱向东 《常微分方程在数学建模中的应用》 潍坊高等职业教育2006

年6 第2卷第2期

致谢

经过近三个月的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个毕业生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有陈老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。

在这里首先要感谢我的导师陈老师．陈老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导．除了敬佩陈老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。

然后还要感谢大学几年来所有的老师，为我打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业设计才会顺利完成。