04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E(XY)=E(X)
⋅E (Y ) , 则必：D(X+Y)=D(X)+D(Y)
2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0.1 。 3．设随机变量
X
的分布函数为
F (x ) ，下列结论错误的是：F (x ) 连续
k k n -k C n p q
4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=5．设
的指数分布，且
X
服从正态分布
N (2, 4) ，Y
服从参数为
2
X
与
Y
相互独立，则
D (2X +Y +3) = 20
6．设
X 1X 2 X n
独立同分布，且
EX 1=μ
及DX
=σ2都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得
⎧n ⎫1-ΦP ⎨∑X i ≥a ⎬(a 为常数
) ⎩i =1⎭的近似值为
7．设二维随机变量
(X , Y ) 的联合分布函数为F (x , y ) ，其联合分布律为
则
F (0,1)= 0.6 。
X 1, X 2, , X k
22
X 12+X 2+ X k 2χN (0, 1) 是来自正态总体的样本，则统计量服从（分布 ）
8．设分布
9．设两个相互独立的随机变量
X 与Y 分别服从
N (0, 1) 和N (1, 1) ，则：P (X +Y ≤1) =2
10．设总体
22x , x x n H :μ=μ0μ, σX~N () ，σ为未知，通过样本12检验0时，需要用统计量：
t =
-μ0s /n
12．设A 、B 表示三个事件，则
表示 ：A 、B 都不发生；
⎧-x
⎪5
f (x ) =⎨c e , x ≥0;
⎪x
14. 设随机变量X 的概率密度为15. 设
⎧ax 3, 0≤x ≤1f (x ) =⎨
⎩0, 其他，则常数a= ( 4 ) 。
P (A ) =2，P (B ) =，P (B A ) =6，则P (AB ) =
1
16. 随机变量F~F(n1 ，n2）, 则F
18．设
~ ( F(n2，n1) )
X ~N (0, 2)
，
Y ~N (0,1)
，且
X 与Y 相互独立，则随机变量Z
=X -Y ~ N (0,3)
19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为
3，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是：
20、设
A , B , C 为三事件，则(A ⋃C ) B =() ⋃
21．已知
P (A ) =0.7，P (B ) =0.6，P (A -B ) =0. 3，则P () = 0.1 。
22．设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2) ，则随σ的增大, 概率P
X -μ≤σ} ( 保持不变 ) 。
23．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H0：μ=μ0，那么在0.01的显著水平下，(必拒绝H0 )。 24．设
F (x ) 和f (x ) 分别为某随机变量的分布函数和概率密度, 则必有(F (-∞) =0 )
P (X -EX ≥2) ≤
0.5 。
25．设X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计26．设二维随机变量
(X , Y ) 的联合分布律为
则
P (X +Y ≤1) = 0.8。
27. 已知随机变量X 的概率密度为
f X (x ) ，令Y= -2X，则Y 的概率密度f Y (y ) 为：
-
1y f X (-) 22
28．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且
E (X +1) =3，则λ=0.5。
29．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = Fx(x) 30．设Ａ与Ｂ互为对立事件，且Ｐ(A)>0, Ｐ(B)>0,则下列各式中正确的是( 31．设随机变量Ｘ的分布函数是Ｆ(x)，下列结论中不一定成立的是：32．设随机变量Ｘ～Ｕ(2, 4), 则Ｐ(3
P (AB ) =0.5 ）
F (x ) 为连续函数
33．设随机变量X 的概率密度为
⎧2x ,
f (x ) =⎨
⎩0,
0
，则
P (-2
34．设Ｘ～Ｎ(-1, 2), Y~Ｎ(1, 3), 且Ｘ与Ｙ相互独立，则X+Y~Ｎ(0, 5)
1
35. 设随机变量X ～B （36，6
二、填空题
），则D （X ）＝(5 )。
1． 100件产品，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率是0.1。
2．袋中有5个黑球，2个白球，一次随机地摸出3个球，其中恰好有2个白球的概率为0.3。
λ3
3．已知随机变量
X
服从参数为λ的泊松分布，则
P (X =3) =3!
e -λ
。
2χ(2) 。
4．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X 与Y 相互独立，则X2+Y2 ~
5．设总体
X
服从正态分布
N (μ, σ2)
，
X 1, X 2, , X n
来自总体
X
的样本，
为样本均值，则
σ2
D () =n
。
6．设随机变量
X
则
P (2X -1
7．设随机变量
X
服从参数为λ的泊松分布，且
E [(X -1)(X -2)]=1，则λ=。
的分布函数，为使
8．设
F 1(x )
与
F 2(x )
分别为随机变量
X 1
与
X 2
F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )
是某一随
机变量的分布函数，则
a , b 满足a-b=1。
(X -1) 2
49．设X ～N(1,4) ，则
2
χ(1) 。 ～
10．设
X 1, X 2, , X n
来自正态总体
N (μ, σ
2
)（σ>0）的样本，则σ
-μ
n
服从N(0,1)。
11. 已知
P (A ) =P (B ) =3，P (A B ) =6，则P () = 7/18 。
12. 抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X ，则P(X≤4)= 5/32 。 13. 设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数
ρxy
=0.12, 则COV(X,Y)=____0.24 ___。
⎧Ce -(x +y ) , x ≥0, y ≥0⎨
其他0,
14. (X,Y)~f(x, y)=⎩，则C= 1 。
15 若随机变量X 的方差存在，由切比雪夫不等式可得
P (X -E (X ) >1) ≤
的矩估计为
D(X) 。
2
x , x x n μ, σ16 总体X~N () ，12为其样本，未知参数μ
。
17. 设随机变量件
X
的概率密度为
⎧2x ,
f (x ) =⎨
⎩0,
0
，以Y 表示对
X
的三次独立重复观察中事
{X ≤2}出现的次数，则EY = 3/4 。
18. 样本来自正态总体N(μ，σ2), 当σ2未知时，要检验H0: μ=μ0 ，采用的统计量是
-μ
S n
。
19．在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独立。现从该班任选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 。
20．设连续型随机变量21．设X 服从
X
的密度为
⎧x 2, 0
⎩0，其它，则P (-1≤X ≤1) = 1/4 。
N (2, 4) , 则P (X ≤2) = 0.5 .
是来自于总体服从参数为λ的泊松分布的样本，则λ的一无偏估计为
22．设
X 1, X 2, , X n
。
19．设随机变量
X i (i =1, 2) 的分布律为
且
X 1, X 2
独立，则
P {X 1=0, X 2=-1}
= 1/8 。
23．设两个相互独立的随机变量
X 与Y 分别服从
N (0, 1) 和N (1, 1) ，则X +2Y 服从 N(2,5)
24．设X 为连续型随机变量，c 为常数，则25．设随机变量X P (X =c ) =
。
记
X
的分布函数为
F (x ) ，则F (1)= 0.5 。
26．把3个不同的球随机放入3个不同的盒中，则出现2个空盒的概率为 1/27 。 27．设A ，B 为随机事件，则
(A B ) A =
A 。
28. 设Ａ, Ｂ为随机事件，且Ｐ(A)＝0.8 Ｐ(B)=0.4 29. 若已知
P (B A ) =
0.25, 则
P (A B )
＝ 0.5 。
E (X ) =2 , D (X ) =4, 则E(2X2)= 16 。
D (2X +3) =
36 。
30. 设随机变量X ～N （1，9），
31. 设两个相互独立的事件生的概率相等，则
A 和B 都不发生的概率为，A 发生但B 不发生的概率与B 发生但A 不发
P (A ) = 4/9 。
32
x 1, x 2 x n
为总体X 的样本，X 服从[0,
θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，记
1n
=∑x i
n i =1，则θ的无偏估计是 2 。
33 若E(X)= μ, D(X)= σ2>0, 由切比雪夫不等式可估计 8/9 。
P (μ-3σ
34. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = F(x) 。
1
35 随机变量F~F(n1 ，n2）, 则F
三、计算题
~ F(n2,n1) 。
1．设X 与Y 为相互独立的随机变量，X 在[-2,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为λ=3的指数分布，求：（X , Y）的概率密度。 2．设连续型随机变量
X
的分布函数为
⎧a -e -x F (x ) =⎨
⎩0
, x ≥0
, x
求：(1)求常数a ；(2) 求随机变量3．设随机变量于3的概率。
X
的密度函数。
进行三次独立观测，求（1）
X ~U (2,5)，现对X P (X >3) ；
（2）至少有两次观测值大
4．设
X 1, , X n
是来自总体的一样本，求
⎧⎪x -1, 0≤x ≤1
f (x , θ) =⎨
⎪0, 其它⎩，其中θ为未知参数，求θ
的矩估计。
5．已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布，其均值
μ=0.13(mm)，标准差σ
=0.015(mm)。
某日开工后检查10处厚度，算出其平均值=0.146(mm)，若厚度的方差不变，试问该日云母带的厚度的均值与0.13(mm)有无显著差异(α=0.05，
u 0. 025=1. 96
) ？
6. 10件产品中有4件是次品，从中随机抽取2件，求（1）两件都是次品的概率，（2）至少有一件是次品的概率。
7. 有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为：0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮
11
船、汽车来的话，迟到的概率分别为0.25，3，12，而乘飞机则不会迟到，求：
(1)他迟到的概率。(2)已知迟到了，他 乘火车来的概率是多少。
⎛0π2π3π2⎫ 0. 30. 20. 40. 1⎪⎪⎝⎭，求Y 的分布律，其中， 8. 设随机变量X 的分布律为
2
Y =(2X -π) Z =cos(2X -π) 。 (1); (2)
9. 正常人的脉搏平均次数为72次/分。今对10 名某种疾病患者测量脉搏，平均数为 67.5次/分，样本标准差为6.3386。设患者的脉搏次数X 服从正态分布，试检验患者的脉 搏与正常人的脉搏有无差异。[ 注α=0.05，t0.025（9）=2.262] 10．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1
和2
，现从A 和B 的产品中分别占60
和40
的
一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属于A 生产的概率。 11．已知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，求常数，且a ≠0 ，c ≠0．
X 1
=aX+b与
X 2
=CY+d的相关系数，其中a ，b ，c ，d 均为
12．设
X 1, , X n
是来自总体
X
的一样本，求
⎧(θ+1) x θ, 0≤x ≤1
f (x , θ) =⎨
0, 其它⎩，其中θ为未知参数，
求θ极大似然估计。
13．从五副不同的手套中任取4只，求其中至少有两只手套配成一副的概率。 14 设二维随机变量的分布律为
试求：(1). (X, Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律，(2). X与Y 是否相互独立，为什么?
15. 设X 的密度函数为
⎧2(1-x ) , 0
⎩0, 其他，，求Y=X3的期望和方差。
16. 设(X，Y) 的概率密度为
⎧3x -y ,
f (x , y ) =⎨
⎩0,
(1)求边缘概率密度
0≤x ≤1, 0≤y ≤1
其他
f X (x ) , f Y (y ) ；(2) 求E (X ) 和D (X )
17．设随机变量X 的密度函数为
⎧ax 2,0
⎩0, 其他
求：（1）常数a 的值； （2）Y
=X -1的密度函数f Y (y ) 。
18. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎧0, x
F (x ) =⎨, 0≤x
⎪8, x ≥8, ⎩1
f (x ) ; (2).
P (X -E (X ) ≤
求(1).X的概率密度
D (X )
) 8
19．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(Ω) 。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(Ω) ，
χ(8)=15.507，设总体为正态分布。问在显著性水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大。(0.05
2χ0.95(8)=
2.733) 。
2
20. 某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布，且已知平均折断力为570公斤，标准差为8公斤。现在改变了原材料，据检验，标准差不会改变，今从新生产的铁丝中随机抽取抽取10根，测得折断力的平均值为574.8公斤，问新产品的平均折断力是否有显著改变？(三、计算题（答案）
α=0. 05,
μ0. 025=1. 96)
1. 由已知条件得X,Y 的概率密度分别为
1⎧-2y ⎪, -1≤x ≤1, , y ≥0, ⎧2e f X (x ) =⎨2f Y (y ) =⎨, 其他⎪0, 其他⎩⎩0 因为X 与Y 相互独立，所以 ⎧e -2y , -1≤x ≤1, y ≥0,
f (x , y ) =f X (y ) f Y (y ) =⎨
其他⎩0,
2. 解：1）由
F (+∞) =1得a =1
1-e -x
, x ≥0
，故
⎧
F (x ) =⎨
⎩02）因为
, x
⎧e -x , x ≥0
F (x ) =⎨
f (x ) =F '(x ) =⎩0, x
5
3. 解：1) 因
⎧
⎪f (x ) =⎨
⎪⎩0
1
, 2≤x ≤53
, 其他
，故
P (X >3) =3
⎰dx =
2120323C 32() 2+C 3() =
33327 2)P(至少有两次观测值大于3)=
ˆ=⎛⎫EX =⎰xf (
x )dx =⎰1dx ==θ ⎪
1-⎝⎭-∞04解：由, 得
∞
1
2
5解：
H 0:μ=0.13; H 1:μ≠0.13
U =
，取
-μ
σn
~N (0, 1)
故拒绝域为：
≥Z 0.025=1.96
U =
，
而
>1.96
C 32
个基本事件。
，因此拒绝
H 0
，认为有显著的差异。
6解：（1）用A 表示取到两件皆次品，则A 中含有
C 321
=2
15 C 10 故P(A)=
(2) 用B 表示取到的两件中至少有一件是次品，B （i=0,1,2）表示两件中有i 件次品， 则B=B1+B2,显然B0,B1,B2互不相容，故
11
C 3C 7C 328
+=22
15 . C C 1010 P(B)=P(B1)+ P(B2)=
7. 解：设
H 1=
{乘火车}；
H 2=
{乘汽车}；
H 3=
{乘轮船}；
H 4=
{乘飞机}；
A ={他迟到}，
P (A )=P (A H 1)P (H 1)+P (A H 2)P (H 2)+P (A H 3)P (H 3)+P (A H 4)P (H 4)=
则1)
31111123
⋅+⋅+⋅+⋅0=[1**********]0
P (H 1A )=
2)
P (H 1A )P (A H 1)P (H 1)0.3⨯0.25
===0.5
P A P A 20
⎛0π2π3π2⎫
0. 30. 20. 40. 1⎪⎪⎝⎭，故得
8. 解：因为X 的分布律为
………………………………………………………………………………………………(2)
2
Y =(2X -π) 故(1)的分布律为……………………………………………….(5)
(2)
9. X~N（u ，σ2） H0: u =u0
由于总体方差未知，可用T 统计量。 由
Z =cos(2X -π) 的分布律为……………………………………………….(8)
X
=67.5 S=6.3386
(-μ0)
T=
S /n
=(67.2-72)
/6.3386=2.394
t0.025（9）=2.262
T
=2.3947>2.262 ， T 落入拒绝域故否定原假设。
认为患者的脉搏与正常人有显著差异。 10. 解： 设
H A =A H =
{生产的次品}，B {B 生产的次品}，C ={抽取的一件为次品}，
P (C H A )P (H A )
P C H A P H A +P C H B P H B =
0.01⨯0.63
=
0.01⨯0.6+0.02⨯0.47
P (H A C )=
11. COV(X1, X2)=COV(aX+b, cY+d)= acCOV(X,Y) (2分 ) D(X1)=D(aX+b)=a2D(X) (1分 ) D(X2)=D(cY+d)=c2D(Y) (1分 )
ρX X =
1
2
COV (X 1, X 2) D (X 1) D (X 2)
n i =1
acCOV (X , Y )
=
ac D (X ) D (Y )
n
=
⎧ρac >0ac
ρ=⎨ac ⎩-ρac
12 解：因为
L (θ) =∏f (x i , θ) =∏(θ+1) x i θ
i =1
，
故
ln L (θ) =∑(ln(θ+1) +θln x i )
i =1
n
，
∂ln L (θ) n 1
=∑(+ln x i ) =0∂θθ+1i =1从而由得
ˆ=-1-θ
n
∑ln x
i =1
n
i
；
1111
C 54C 2C 2C 2C 28
=4
21 C 1013. 解：令“没有两只手套配成一副”这一事件为A ，则P(A)=
则“至少有两只手套配成一副的概率”这一事件为14. 解:
关于Ｘ的边缘分布律
关于Ｙ的边缘分布律
，
P () =1-P (A ) =1-
813
=2121
P (X =0, Y =-1)=
由于
因此X 与Y 不互相独立
149≠P (X =0) ∙P (Y =-1) =3144
15. 解
+∞
：
1
E (Y ) =E (X ) =⎰x f (x ) dx =⎰2x 3(1-x ) dx =
-∞
3
+∞
3
1
1
10
E (Y 2) =E (X 6) =⎰x 6f (x ) dx =⎰2x 6(1-x ) dx =
-∞
1
≈0. 03628
D (Y ) =E (Y 2) -(E (Y )) 2=
16.
+∞
1
11
-≈0. 02628100
a
3
1=
17.1）由2）
-∞
⎰f (x ) dx =⎰ax 2dx =
，得a =3
F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P (X -1≤y ) =P (X ≤y +1)
=
⎧0, y
(y -1) (y -1) 3⎪⎪⎪⎪(y -1) 2
f (x ) dx =⎨⎰3x dx , 1≤y ≤2=⎨, 1≤y ≤2⎰-∞⎪0⎪8
⎪⎪⎩1, 2≤y ⎩1, 2≤y ，
故
⎧3(y -1) 2⎪, 1≤y ≤2f (y ) =F '(y ) =⎨8⎪0, 其他⎩
18. （1）
⎧1
⎪
f (x ) =F ' (x ) =⎨8
⎪⎩0
0≤x ≤8其他
14
(2)
D (X ) 21014113=P (X -E (X ) ≤) =P (X -4) ≤) =P (≤X ≤) =108333863
19. 解：
H 0:σ2≤0.0052; H 1:σ2>0.0052
，取
（n -1) s 22
χ=~χ(n -1) 2
2
σ
，
222
χ≥χα(n -1) =χ0.05(8)=15.507
故拒绝域为：，
χ=
而
2
(n -1) s 2
σ2
8⨯0.0072
==15.68>15.5072H 0.005，因此拒绝0，认为显著地偏大。
20.
H 0:μ=570
μ=
选取统计量
-μ0
σ/n
,
μ~N(0,1) 带入=574. 8，σ=8, n =10
574. 8-570
得
8/=1. 8974
1.8974
即认为平均折断力无显著改变。
04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E(XY)=E(X)
⋅E (Y ) , 则必：D(X+Y)=D(X)+D(Y)
2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0.1 。 3．设随机变量
X
的分布函数为
F (x ) ，下列结论错误的是：F (x ) 连续
k k n -k C n p q
4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=5．设
的指数分布，且
X
服从正态分布
N (2, 4) ，Y
服从参数为
2
X
与
Y
相互独立，则
D (2X +Y +3) = 20
6．设
X 1X 2 X n
独立同分布，且
EX 1=μ
及DX
=σ2都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得
⎧n ⎫1-ΦP ⎨∑X i ≥a ⎬(a 为常数
) ⎩i =1⎭的近似值为
7．设二维随机变量
(X , Y ) 的联合分布函数为F (x , y ) ，其联合分布律为
则
F (0,1)= 0.6 。
X 1, X 2, , X k
22
X 12+X 2+ X k 2χN (0, 1) 是来自正态总体的样本，则统计量服从（分布 ）
8．设分布
9．设两个相互独立的随机变量
X 与Y 分别服从
N (0, 1) 和N (1, 1) ，则：P (X +Y ≤1) =2
10．设总体
22x , x x n H :μ=μ0μ, σX~N () ，σ为未知，通过样本12检验0时，需要用统计量：
t =
-μ0s /n
12．设A 、B 表示三个事件，则
表示 ：A 、B 都不发生；
⎧-x
⎪5
f (x ) =⎨c e , x ≥0;
⎪x
14. 设随机变量X 的概率密度为15. 设
⎧ax 3, 0≤x ≤1f (x ) =⎨
⎩0, 其他，则常数a= ( 4 ) 。
P (A ) =2，P (B ) =，P (B A ) =6，则P (AB ) =
1
16. 随机变量F~F(n1 ，n2）, 则F
18．设
~ ( F(n2，n1) )
X ~N (0, 2)
，
Y ~N (0,1)
，且
X 与Y 相互独立，则随机变量Z
=X -Y ~ N (0,3)
19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为
3，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是：
20、设
A , B , C 为三事件，则(A ⋃C ) B =() ⋃
21．已知
P (A ) =0.7，P (B ) =0.6，P (A -B ) =0. 3，则P () = 0.1 。
22．设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2) ，则随σ的增大, 概率P
X -μ≤σ} ( 保持不变 ) 。
23．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H0：μ=μ0，那么在0.01的显著水平下，(必拒绝H0 )。 24．设
F (x ) 和f (x ) 分别为某随机变量的分布函数和概率密度, 则必有(F (-∞) =0 )
P (X -EX ≥2) ≤
0.5 。
25．设X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计26．设二维随机变量
(X , Y ) 的联合分布律为
则
P (X +Y ≤1) = 0.8。
27. 已知随机变量X 的概率密度为
f X (x ) ，令Y= -2X，则Y 的概率密度f Y (y ) 为：
-
1y f X (-) 22
28．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且
E (X +1) =3，则λ=0.5。
29．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = Fx(x) 30．设Ａ与Ｂ互为对立事件，且Ｐ(A)>0, Ｐ(B)>0,则下列各式中正确的是( 31．设随机变量Ｘ的分布函数是Ｆ(x)，下列结论中不一定成立的是：32．设随机变量Ｘ～Ｕ(2, 4), 则Ｐ(3
P (AB ) =0.5 ）
F (x ) 为连续函数
33．设随机变量X 的概率密度为
⎧2x ,
f (x ) =⎨
⎩0,
0
，则
P (-2
34．设Ｘ～Ｎ(-1, 2), Y~Ｎ(1, 3), 且Ｘ与Ｙ相互独立，则X+Y~Ｎ(0, 5)
1
35. 设随机变量X ～B （36，6
二、填空题
），则D （X ）＝(5 )。
1． 100件产品，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率是0.1。
2．袋中有5个黑球，2个白球，一次随机地摸出3个球，其中恰好有2个白球的概率为0.3。
λ3
3．已知随机变量
X
服从参数为λ的泊松分布，则
P (X =3) =3!
e -λ
。
2χ(2) 。
4．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X 与Y 相互独立，则X2+Y2 ~
5．设总体
X
服从正态分布
N (μ, σ2)
，
X 1, X 2, , X n
来自总体
X
的样本，
为样本均值，则
σ2
D () =n
。
6．设随机变量
X
则
P (2X -1
7．设随机变量
X
服从参数为λ的泊松分布，且
E [(X -1)(X -2)]=1，则λ=。
的分布函数，为使
8．设
F 1(x )
与
F 2(x )
分别为随机变量
X 1
与
X 2
F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )
是某一随
机变量的分布函数，则
a , b 满足a-b=1。
(X -1) 2
49．设X ～N(1,4) ，则
2
χ(1) 。 ～
10．设
X 1, X 2, , X n
来自正态总体
N (μ, σ
2
)（σ>0）的样本，则σ
-μ
n
服从N(0,1)。
11. 已知
P (A ) =P (B ) =3，P (A B ) =6，则P () = 7/18 。
12. 抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X ，则P(X≤4)= 5/32 。 13. 设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数
ρxy
=0.12, 则COV(X,Y)=____0.24 ___。
⎧Ce -(x +y ) , x ≥0, y ≥0⎨
其他0,
14. (X,Y)~f(x, y)=⎩，则C= 1 。
15 若随机变量X 的方差存在，由切比雪夫不等式可得
P (X -E (X ) >1) ≤
的矩估计为
D(X) 。
2
x , x x n μ, σ16 总体X~N () ，12为其样本，未知参数μ
。
17. 设随机变量件
X
的概率密度为
⎧2x ,
f (x ) =⎨
⎩0,
0
，以Y 表示对
X
的三次独立重复观察中事
{X ≤2}出现的次数，则EY = 3/4 。
18. 样本来自正态总体N(μ，σ2), 当σ2未知时，要检验H0: μ=μ0 ，采用的统计量是
-μ
S n
。
19．在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独立。现从该班任选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 。
20．设连续型随机变量21．设X 服从
X
的密度为
⎧x 2, 0
⎩0，其它，则P (-1≤X ≤1) = 1/4 。
N (2, 4) , 则P (X ≤2) = 0.5 .
是来自于总体服从参数为λ的泊松分布的样本，则λ的一无偏估计为
22．设
X 1, X 2, , X n
。
19．设随机变量
X i (i =1, 2) 的分布律为
且
X 1, X 2
独立，则
P {X 1=0, X 2=-1}
= 1/8 。
23．设两个相互独立的随机变量
X 与Y 分别服从
N (0, 1) 和N (1, 1) ，则X +2Y 服从 N(2,5)
24．设X 为连续型随机变量，c 为常数，则25．设随机变量X P (X =c ) =
。
记
X
的分布函数为
F (x ) ，则F (1)= 0.5 。
26．把3个不同的球随机放入3个不同的盒中，则出现2个空盒的概率为 1/27 。 27．设A ，B 为随机事件，则
(A B ) A =
A 。
28. 设Ａ, Ｂ为随机事件，且Ｐ(A)＝0.8 Ｐ(B)=0.4 29. 若已知
P (B A ) =
0.25, 则
P (A B )
＝ 0.5 。
E (X ) =2 , D (X ) =4, 则E(2X2)= 16 。
D (2X +3) =
36 。
30. 设随机变量X ～N （1，9），
31. 设两个相互独立的事件生的概率相等，则
A 和B 都不发生的概率为，A 发生但B 不发生的概率与B 发生但A 不发
P (A ) = 4/9 。
32
x 1, x 2 x n
为总体X 的样本，X 服从[0,
θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，记
1n
=∑x i
n i =1，则θ的无偏估计是 2 。
33 若E(X)= μ, D(X)= σ2>0, 由切比雪夫不等式可估计 8/9 。
P (μ-3σ
34. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = F(x) 。
1
35 随机变量F~F(n1 ，n2）, 则F
三、计算题
~ F(n2,n1) 。
1．设X 与Y 为相互独立的随机变量，X 在[-2,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为λ=3的指数分布，求：（X , Y）的概率密度。 2．设连续型随机变量
X
的分布函数为
⎧a -e -x F (x ) =⎨
⎩0
, x ≥0
, x
求：(1)求常数a ；(2) 求随机变量3．设随机变量于3的概率。
X
的密度函数。
进行三次独立观测，求（1）
X ~U (2,5)，现对X P (X >3) ；
（2）至少有两次观测值大
4．设
X 1, , X n
是来自总体的一样本，求
⎧⎪x -1, 0≤x ≤1
f (x , θ) =⎨
⎪0, 其它⎩，其中θ为未知参数，求θ
的矩估计。
5．已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布，其均值
μ=0.13(mm)，标准差σ
=0.015(mm)。
某日开工后检查10处厚度，算出其平均值=0.146(mm)，若厚度的方差不变，试问该日云母带的厚度的均值与0.13(mm)有无显著差异(α=0.05，
u 0. 025=1. 96
) ？
6. 10件产品中有4件是次品，从中随机抽取2件，求（1）两件都是次品的概率，（2）至少有一件是次品的概率。
7. 有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为：0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮
11
船、汽车来的话，迟到的概率分别为0.25，3，12，而乘飞机则不会迟到，求：
(1)他迟到的概率。(2)已知迟到了，他 乘火车来的概率是多少。
⎛0π2π3π2⎫ 0. 30. 20. 40. 1⎪⎪⎝⎭，求Y 的分布律，其中， 8. 设随机变量X 的分布律为
2
Y =(2X -π) Z =cos(2X -π) 。 (1); (2)
9. 正常人的脉搏平均次数为72次/分。今对10 名某种疾病患者测量脉搏，平均数为 67.5次/分，样本标准差为6.3386。设患者的脉搏次数X 服从正态分布，试检验患者的脉 搏与正常人的脉搏有无差异。[ 注α=0.05，t0.025（9）=2.262] 10．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1
和2
，现从A 和B 的产品中分别占60
和40
的
一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属于A 生产的概率。 11．已知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，求常数，且a ≠0 ，c ≠0．
X 1
=aX+b与
X 2
=CY+d的相关系数，其中a ，b ，c ，d 均为
12．设
X 1, , X n
是来自总体
X
的一样本，求
⎧(θ+1) x θ, 0≤x ≤1
f (x , θ) =⎨
0, 其它⎩，其中θ为未知参数，
求θ极大似然估计。
13．从五副不同的手套中任取4只，求其中至少有两只手套配成一副的概率。 14 设二维随机变量的分布律为
试求：(1). (X, Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律，(2). X与Y 是否相互独立，为什么?
15. 设X 的密度函数为
⎧2(1-x ) , 0
⎩0, 其他，，求Y=X3的期望和方差。
16. 设(X，Y) 的概率密度为
⎧3x -y ,
f (x , y ) =⎨
⎩0,
(1)求边缘概率密度
0≤x ≤1, 0≤y ≤1
其他
f X (x ) , f Y (y ) ；(2) 求E (X ) 和D (X )
17．设随机变量X 的密度函数为
⎧ax 2,0
⎩0, 其他
求：（1）常数a 的值； （2）Y
=X -1的密度函数f Y (y ) 。
18. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎧0, x
F (x ) =⎨, 0≤x
⎪8, x ≥8, ⎩1
f (x ) ; (2).
P (X -E (X ) ≤
求(1).X的概率密度
D (X )
) 8
19．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(Ω) 。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(Ω) ，
χ(8)=15.507，设总体为正态分布。问在显著性水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大。(0.05
2χ0.95(8)=
2.733) 。
2
20. 某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布，且已知平均折断力为570公斤，标准差为8公斤。现在改变了原材料，据检验，标准差不会改变，今从新生产的铁丝中随机抽取抽取10根，测得折断力的平均值为574.8公斤，问新产品的平均折断力是否有显著改变？(三、计算题（答案）
α=0. 05,
μ0. 025=1. 96)
1. 由已知条件得X,Y 的概率密度分别为
1⎧-2y ⎪, -1≤x ≤1, , y ≥0, ⎧2e f X (x ) =⎨2f Y (y ) =⎨, 其他⎪0, 其他⎩⎩0 因为X 与Y 相互独立，所以 ⎧e -2y , -1≤x ≤1, y ≥0,
f (x , y ) =f X (y ) f Y (y ) =⎨
其他⎩0,
2. 解：1）由
F (+∞) =1得a =1
1-e -x
, x ≥0
，故
⎧
F (x ) =⎨
⎩02）因为
, x
⎧e -x , x ≥0
F (x ) =⎨
f (x ) =F '(x ) =⎩0, x
5
3. 解：1) 因
⎧
⎪f (x ) =⎨
⎪⎩0
1
, 2≤x ≤53
, 其他
，故
P (X >3) =3
⎰dx =
2120323C 32() 2+C 3() =
33327 2)P(至少有两次观测值大于3)=
ˆ=⎛⎫EX =⎰xf (
x )dx =⎰1dx ==θ ⎪
1-⎝⎭-∞04解：由, 得
∞
1
2
5解：
H 0:μ=0.13; H 1:μ≠0.13
U =
，取
-μ
σn
~N (0, 1)
故拒绝域为：
≥Z 0.025=1.96
U =
，
而
>1.96
C 32
个基本事件。
，因此拒绝
H 0
，认为有显著的差异。
6解：（1）用A 表示取到两件皆次品，则A 中含有
C 321
=2
15 C 10 故P(A)=
(2) 用B 表示取到的两件中至少有一件是次品，B （i=0,1,2）表示两件中有i 件次品， 则B=B1+B2,显然B0,B1,B2互不相容，故
11
C 3C 7C 328
+=22
15 . C C 1010 P(B)=P(B1)+ P(B2)=
7. 解：设
H 1=
{乘火车}；
H 2=
{乘汽车}；
H 3=
{乘轮船}；
H 4=
{乘飞机}；
A ={他迟到}，
P (A )=P (A H 1)P (H 1)+P (A H 2)P (H 2)+P (A H 3)P (H 3)+P (A H 4)P (H 4)=
则1)
31111123
⋅+⋅+⋅+⋅0=[1**********]0
P (H 1A )=
2)
P (H 1A )P (A H 1)P (H 1)0.3⨯0.25
===0.5
P A P A 20
⎛0π2π3π2⎫
0. 30. 20. 40. 1⎪⎪⎝⎭，故得
8. 解：因为X 的分布律为
………………………………………………………………………………………………(2)
2
Y =(2X -π) 故(1)的分布律为……………………………………………….(5)
(2)
9. X~N（u ，σ2） H0: u =u0
由于总体方差未知，可用T 统计量。 由
Z =cos(2X -π) 的分布律为……………………………………………….(8)
X
=67.5 S=6.3386
(-μ0)
T=
S /n
=(67.2-72)
/6.3386=2.394
t0.025（9）=2.262
T
=2.3947>2.262 ， T 落入拒绝域故否定原假设。
认为患者的脉搏与正常人有显著差异。 10. 解： 设
H A =A H =
{生产的次品}，B {B 生产的次品}，C ={抽取的一件为次品}，
P (C H A )P (H A )
P C H A P H A +P C H B P H B =
0.01⨯0.63
=
0.01⨯0.6+0.02⨯0.47
P (H A C )=
11. COV(X1, X2)=COV(aX+b, cY+d)= acCOV(X,Y) (2分 ) D(X1)=D(aX+b)=a2D(X) (1分 ) D(X2)=D(cY+d)=c2D(Y) (1分 )
ρX X =
1
2
COV (X 1, X 2) D (X 1) D (X 2)
n i =1
acCOV (X , Y )
=
ac D (X ) D (Y )
n
=
⎧ρac >0ac
ρ=⎨ac ⎩-ρac
12 解：因为
L (θ) =∏f (x i , θ) =∏(θ+1) x i θ
i =1
，
故
ln L (θ) =∑(ln(θ+1) +θln x i )
i =1
n
，
∂ln L (θ) n 1
=∑(+ln x i ) =0∂θθ+1i =1从而由得
ˆ=-1-θ
n
∑ln x
i =1
n
i
；
1111
C 54C 2C 2C 2C 28
=4
21 C 1013. 解：令“没有两只手套配成一副”这一事件为A ，则P(A)=
则“至少有两只手套配成一副的概率”这一事件为14. 解:
关于Ｘ的边缘分布律
关于Ｙ的边缘分布律
，
P () =1-P (A ) =1-
813
=2121
P (X =0, Y =-1)=
由于
因此X 与Y 不互相独立
149≠P (X =0) ∙P (Y =-1) =3144
15. 解
+∞
：
1
E (Y ) =E (X ) =⎰x f (x ) dx =⎰2x 3(1-x ) dx =
-∞
3
+∞
3
1
1
10
E (Y 2) =E (X 6) =⎰x 6f (x ) dx =⎰2x 6(1-x ) dx =
-∞
1
≈0. 03628
D (Y ) =E (Y 2) -(E (Y )) 2=
16.
+∞
1
11
-≈0. 02628100
a
3
1=
17.1）由2）
-∞
⎰f (x ) dx =⎰ax 2dx =
，得a =3
F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P (X -1≤y ) =P (X ≤y +1)
=
⎧0, y
(y -1) (y -1) 3⎪⎪⎪⎪(y -1) 2
f (x ) dx =⎨⎰3x dx , 1≤y ≤2=⎨, 1≤y ≤2⎰-∞⎪0⎪8
⎪⎪⎩1, 2≤y ⎩1, 2≤y ，
故
⎧3(y -1) 2⎪, 1≤y ≤2f (y ) =F '(y ) =⎨8⎪0, 其他⎩
18. （1）
⎧1
⎪
f (x ) =F ' (x ) =⎨8
⎪⎩0
0≤x ≤8其他
14
(2)
D (X ) 21014113=P (X -E (X ) ≤) =P (X -4) ≤) =P (≤X ≤) =108333863
19. 解：
H 0:σ2≤0.0052; H 1:σ2>0.0052
，取
（n -1) s 22
χ=~χ(n -1) 2
2
σ
，
222
χ≥χα(n -1) =χ0.05(8)=15.507
故拒绝域为：，
χ=
而
2
(n -1) s 2
σ2
8⨯0.0072
==15.68>15.5072H 0.005，因此拒绝0，认为显著地偏大。
20.
H 0:μ=570
μ=
选取统计量
-μ0
σ/n
,
μ~N(0,1) 带入=574. 8，σ=8, n =10
574. 8-570
得
8/=1. 8974
1.8974
即认为平均折断力无显著改变。